Matematyka Dyskretna Zadania

Transkrypt

1 Matematya Dysretna Zadania Jace Cichoń Politechnia Wrocławsa, WPPT Wrocław Wstęp 11 Oznaczenia [n] = {1,, n} [] = {X P ( : X = } (x = 1 j=0 (x j, (x = 1 (x + j Zadanie 1 j=0 Poaż za pomocą inducji matematycznej, że =1 =1 = n(n+1 = 1 6n(n + 1(n = =1 ( n(n+1 (! = (n + 1! 1 =1 Zadanie Poaż za pomocą inducji matematycznej, że P ( = dla dowolnego zbioru sończonego Poaż, że ( n N(n < n Zadanie 3 Wsaż bijecję pomiędzy zbiorami P ( oraz {0, 1} Zadanie 4 Poaż, za pomocą inducji matematycznej, że dla dowolnych zbiorów sończonych i B mamy B = B Zadanie 5 Poaż, że dla dowolnych liczb naturalnych a oraz n mamy { [n] : a } = n a Zadanie 6 Wyznacz moce następujących zbiorów: 1 { [1000] : 5 } { [1000] : 5 7 } 3 { [1000] : } Zadanie 7 Niech n 3 Ile jest surjecji ze zbioru [n] na zbiór [3]? Wsazówa: Niech Z i oznacza zbior tych funcji f z [n] w [3] taich, że i / rng(f Stosując zasadę włączania - wyłączania wyznacz Z 1 Z Z 3 Zadanie 8 Ile jest funcji częściowych ze zbioru n elementowego w zbiór m elementowy? Zadanie 9 Niech S n oznacza zbiór wszystich ciągów zerojedynowych długości n 1 Poaż, że S n = n+1 1 Wsaż bijecję między zbiorem S n a zbiorem {0, 1} [n+1] \ {(1, 1,, 1} Zadanie 10 Wyznacz moce następujących zbiorów: 1 {(, B P ([n] : B} {(, B, C P ([n] 3 : B C} 3 {(, B, C P ([n] 3 : = B C} Zadanie 11 Niech Ω = P ([n] P ([n] 1 Wyznacz Pr[(X, Y Ω : X Y } Wyznacz Pr[(X, Y Ω : X Y = [n]} 1

2 Zadanie 1 Niech Ω = P ([n] oraz = {X Ω : ( ( X = } Wyznacz Pr[] Niech X i = [n] {i} 1 Wyznacz moc zbioru Zadanie 13 S n = { P ([n] [n] : ( i( X i } Oblicz lim n S n n Oblicz (n n, ( 1, (1 n Zadanie 14 Zadanie 15 Ile razy wyonywana jest operacja OP wewnątrz pętli FOR I=1 to N DO FOR J=I TO N DO OP(I,J? Współczynnii dwumianowe Zadanie 16 Oblicz 11 4 Jai związe ma ta liczba ze współczynniami dwumianowymi? Zadanie 17 Napisz program na wyznaczanie dla n 30 Oszacuj złożoność obliczeniową napisanego programu Zadanie 18 Narysuj wyres z puntami (, ( 30 dla = 0,, 30 Ustalmy n N Dla jaich wartości liczba jest najwięsza? Zadanie 19 Sorzystaj ze wzoru dwumianowego zastosowanego do (1 + x n oraz ze wzoru (x = x 1 do poazania, że = n n 1 Zadanie 0 Podaj przyjnajmniej dwa różne dowody tożsamości ( 1 n ( ( j = n n j j( j ( n n ( ( j = n n j j( Zadanie 1 Niech Ω = P ({1,,, n} Oblicz prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany element z przestrzeni Ω ma jest mocy parzystej Zadanie Oblicz ( 1 negując górny indes Zadanie 3 Poaż, że ( 1 n+1 = ( 1 n+1 1 n! ( n n+1 n, gdzie C n = n+1( 1 n n Zadanie 4 Załóżmy, że p jest liczbą pierwszą oraz 1 < p 1 Poaż, że p ( p Poaż, orzystając z pierwszej części zadania, że jeśli p jest liczbą pierwszą oraz a, b N to (a + b p (a p + b p ( mod p 3 Wyprowadź z poprzedniego zadania Małe Twierdzenie Fermata : jeśli p jest liczbą pierwszą, to a p a mod p dla dowolnej liczby naturalnej a Zadanie 5 Poaż, że x = ( 1 ( x Zadanie 6 Niech n N oraz n > 0 Poaż, że (x + y n = ( n x y n, Wsazówa: Podziel obie strony równości przez n! i porównaj to co otrzymasz z tożsamością Cauchy ego Zadanie 7 Niech n N oraz n > 0 Poaż, że (x + y n = ( n x y n Wsazówa: sorzystaj z dwóch poprzednich zadań Zadanie 8 Znajdź zwartą postać sumy Wsazówa: sorzystaj z tożsamości = n n 1 Zadanie 9 Znajdź zwartą postać sumy ( 1 +1 Zadanie oraz Znajdź zwartą postać sumy Wsazówa: sorzystaj z tożsamości (1 + x n = (1 + x n (1 + x n Zadanie 31

3 Wyznacz ( 1 Wsazówa: sorzystaj z tego, że (1 x n = (1 x n (1 + x n ** Zadanie 3 Udowodnij, że dla dowolnych liczb naturalnych n mamy ( n e Zadanie 33 Zastosuj wzór Stirlinga n! πn e n do wyznaczenia przybliżeń liczb ( ( n n oraz n n/ Porównaj otrzymane wynii z wyniami Zadania 18 3 Permutacje Zadanie 34 Niech σ = (, 3, 9, 1, 5, 4, 8, 7, 6 Wyznacz rozład permutacji σ na cyle, znajdź jej zna, przedstaw ją jao złożenie transpozycji, przedstaw ją jao złożenie transpozycji elementów sąsiednich i wyznacz jej wetor inwersji Powtórz to zadanie dla ilu innych permutacji Zadanie 35 Ile jest permutacji cylicznych zbioru n- elementowego? Zadanie 36 Załóżmy, że permutacja π S n ma rozład na cyli mocy c 1,, c 1 Poaż, że sgn(π = i=1 ( 1ci 1 Poaż, że sgn(π = ( 1 n Zadanie 37 Napisz algorytm służący do wyznaczania znau danej permutacji w postaci tablicowej Jaa jest jego złożoność obliczeniowa? Zadanie 38 Wyznacz wszystie permutacje zbioru {1,, n} tóre mają doładnie jedną inwersję oraz te, tóre mają doładnie dwie inwersje Zadanie 39 Napisz algorytm tóry odtwarza permutację z jej wetora inwersji Ustalmy liczbę n > 0 Zadanie 40 1 Poaż, że funcja sgn : S n { 1, 1} jest epimorfizmem grup (S n, oraz ({ 1, 1}, Wyznacz jądro odwzorowania sgn 3 Wyznacz moc jądra odwzorowania sgn Zadanie 41 Jai jest rząd i zna permutacji cylicznej długości? Uwaga: rzędem elementu a w grupie (G, nazywamy najmniejszą liczbę > 0 taą, że a = e * Zadanie 4 Załóżmy, że permutacja π S n ma rozład na cyli mocy c 1,, c Poaż, że rz(π = NWW(c 1,, c Zadanie 43 Nastepujący od programu Mathematica służy do narysowania grafu losowej permutacji zbioru {1,, n}: DRPerm [ n_ ] : = Bloc [ { perm }, perm= P e r m u t a t i o n L i s t [ RandomPermutation [ n ] ] ; Graph [ Table [ i >perm [ [ i ] ], { i, 1, n } ] ] ] ; Sorzystaj z tego odu do wygenerowania ilunastu wyresów losowych permutacji zbioru {1,, 1000}, zinterpretuj otrzymane wynii i postaw rozsądną hipotezę o postaci losowej permutacji zbioru {1,, n} 4 Liczby Stirlinga Symbolem [ n ] oznaczamy cyliczne liczby Stirlinga a symbolem { n } - partycyjne liczby Stirlinga Liczby { } n B n = nazywają się liczbami Bella =0 Zadanie 44 Wyznacz liczby [ 3 ], [ 4 ], { 3 }, { 4 } Zadanie 45 Napisz program na wyznaczanie [ n ] dla n 30 Zadanie 46 Napisz program na wyznaczanie { n } dla n 30 Zadanie 47 Jai jest związe liczb Stirlinga drugiego rodzaju z surjecjami? Zadanie 48 3

4 Poaż, że B n < n! dla n > Narysuj wyres ciągu dla n =, 00 Zadanie 49 ln(b n /n ln n ln ln n Zadanie 50 [ n ] x wypro- Korzystając z tożsamości x n wadź wzór x n = n =0 ( 1n+[ n ] x Zadanie 51 = n =0 Niech R n [x] oznacza przestrzeń liniową wielomianów stopnia n nad liczbami rzeczywistymi Niech e i = x i oraz f i = (x i 1 Poaż, że rodziny E = {e i : i = 0,, n} oraz F = {f i : i = 0,, n} są bazami przestrzeni R n [x] Wyznacz macierz przejścia od bazy E do bazy F 3 Wyznacz macierz przejścia od bazy F do bazy E 4 Korzystając z dwóch poprzednich podzadań wyznacz związe pomiedzy liczbami Stirlinga pierwszego i drugiego rodzaju Zadanie 5 Załóżmy, że f : [, B] R jest funcją niemalejącą oraz, że, B N Poaż, że f( + f(xdx B f( = Wsazówa: sorzystaj z definicji całi Riemanna Zadanie 53 f(xdx + f(b Załóżmy, że f : [, B] R jest funcją nierosnącą oraz, że, B N Poaż, że f( + f(xdx B f( = Wsazówa: sorzystaj z poprzedniego zadania Poaż, że Zadanie 54 n n e < n! < ne e e Wsazówa: zajmij się ciągiem ln(n! f(xdx + f(b Niech H n = n +1 1 Liczbę H n nazywamy n-tą liczbą harmoniczną Zadanie 55 Poaż, że ln n + 1 n < H n < ln n + 1 Zadanie 56 Poaż, że n 1 =1 H = nh n n Zadanie 57 Wyznacz sumę S n = n+1 za pomocą liczb harmonicznych Zbadaj asymptotyę liczb S n Zadanie 58 [ Poaż, że H n = 1 n+1 ] n! Zadanie 59 Poaż, że n =1 [ ] [ n = n+1 ] Zadanie 60 Poaż, że n =m [ n [ ]( m = n+1 Zadanie 61 m+1] Poaż, że n =m [ n ] = (n + 1! Zadanie 6 Poaż, że ln(n < H n < ln(n + 1 Wsazówa: zajmij się funcją f(x = 1 x 5 Grafy Zadanie 63 Poaż, że w dowolnym grafie liczba wierzchołów o rzędzie nieparzystym jest parzysta Zadanie 64 Niech G = (V, E będzie grafem prostym Przez G oznaczamy graf (V, [V ] \ E Poaż, że grupy automorfizmów Γ(G oraz Γ(G są izomorficzne Zadanie 65 Wyznacz grupy automorfizmów grafów Γ(K n, Γ(L n, Γ(K n,m, Γ(C n Zadanie 66 Poaż, że graf prosty jest grafem dwudzielnym wtedy i tylo wtedy, gdy ażdy cyl w tym grafie ma długość parzystą Zadanie 67 Niech δ(g = min{deg G (v : v V (G} Poaż, że jeśli G jest sończonym grafem prostym oraz δ(g to 4

5 w grafie G istnieje cyl długości co najmniej δ(g + 1 Wsazówa: rozważ ścieżę (v 0, v o masymalnej długości Poaż najpierw, że zbiór sąsiadów wierzchoła v 0 zawiera się w zbiorze {v 1,, v } Zadanie 68 Wyznacz wszysie (z doładnością do izomorfizmu wszystie drzewa n elementowe dla n = 1,, 3, 4, 5, 6, 7 Zadanie 69 Poaż, że ażde drzewo o co najmniej dwóch wierzchołach musi zawierać co najmniej dwa wierzchołi o rzędzie Zadanie 70 Poaż, że graf prosty jest drzewem wtedy i tylo wtedy pomiędzy dowolnym dwoma różnymi wierzchołami istnieje doładnie jedna ścieża Zadanie 71 Rozważmy dowolny algorytm wyszuujący za pomocą porównań element najmniejszy w podanym n elementowym ciągu liczb rzeczywistych Poaż, że algorytm ten musi wyonać co najmniej n 1 porównań Wsazówa: sorzystaj z tego, że jeśli graf G jest spójny, to E(G V (G 1 6 Funcje tworzace Zadanie 7 Znajdź zwarte postacie funcji tworzących następujących ciągów a n = 1, b n = n, c n = n + 3 n, d n = n Zadanie 73 Wyznacz ciągi, tórych funcje tworzące wyrażają się wzorami: ciągów f(x = 1 1+x, g(x = 1 1 x, h(x = x 1 3x Zadanie 74 Znajdź zwarty wzór na n-ty wyraz ciągu zadanego następującym równaniem reurencyjnym: a 0 = a 1 = 1, a n+ = 3a n+1 a n Zbadaj asymptotyę tego ciągu Zadanie 75 Niech P = (P ({1,,, n},, gdzie = moc zbioru Wyznacz P(x Zadanie 76 Niech L bedzie zbiorem wszystich sończonych ciągów zbudowanych z liter {, G, C, T } Niech L = (L,, gdzie σ = długość ciągu σ 1 Wyznacz L(x Wyznacz [x n ](L L(x i podaj interpretację otrzymanego wyniu Zadanie 77 Mówimy, że lasy ombinatoryczne = (, oraz B = (B, B są izomorficzne jeśli istnieje bijecja f : B taa, że ( a ( a = f(a B Poaż, że jeśli lasy i B sa izomorficzne, to (x = B(x Zadanie 78 Niech N ε = ({ε},, gdzie ε = 0 Poaż, że ażda lasa ombinatoryczna jest izomorficzna z lasą N ε Zadanie 79 Niech będzie lasą ombinatoryczną Jaiej lasie odpowiada funcja tworząca 1 ((x + ( x? Zadanie 80 Dlaczego przy onstrucji lasy SEQ( załadaliśmy, że w lasie ombinatorycznej nie ma elementów rozmiaru 0? ** Zadanie 81 Ustalmy liczbę rzeczywistą a Niech f(x = (1 + x a 1 Niech f ( oznacza -tą pochodną funcji f Poaż, że f ( (x = a (1 + x a Wyznacz przybliżenie Taylora funcji f w puncie x = 0 rzędu n: f(x = n 1 =0 f ( (0! + r n (x gdzie r n (x = f (n (ζ xx n! x n dla pewnego ζ x (0, 1 3 Poaż, że dla ażdego ustalonego x ( 1, 1 mamy lim n r n (x = 0 4 Wywniosuj z tego, że dla x ( 1, 1 mamy Wsazówi (1 + x a = n=0 ( a x n n 1 Zacznij od poazania, że dla a / N mamy lim n ( a n+1 / ( a n = 1 Wywniosuj z tego, że dla dowolnej ustalonej liczby rzeczywistej r (0, 1 mamy lim n ( a n r n = 0 3 Poaż, że dla 0 y < x < 1 mamy f (n (yx n a n (1 + x a x n 5

6 Poaż, że Zadanie x = 1 + x x 8 + x O(x4 Zadanie 83 Rozwiń funcje f(x = 1 (1 x oraz g(x = x 3 (1 x w 3 szeregi potęgowe w puncie x = 0 Podaj interpretację ombinatoryczną otrzymanych wyniów Wsazówa: sorzystaj ze wzoru na górną negację"dla współczynniów dwumianowych Zadanie 84 Rozwiń funcje f(x = 1 (1 x oraz g(x = x 3 (1 x w 3 szeregi potęgowe w puncie x = 0 Podaj interpretację ombinatoryczną otrzymanych wyniów Wsazówa: sorzystaj ze wzoru na górną negację"dla współczynniów dwumianowych Zadanie 85 Niech = ({a, b},, gdzie a = i b = 3 1 Wyznacz (x, SEQ((x oraz MULT((x Podaj interpretacje ombinatoryczne liczb [x n ](x, [x n ]SEQ((x, [x n ]MULT((x oraz [x n ]CYCLE((x 3 Wyznacz (w dowolny sposób, na przyład za pomocą programu Mathematica [x 100 ]MULT((x 4 Niech SEQ((x = n b nx n Znajdź wzór reurencyjny na ciąg b n 5 ( Spróbuj wyznaczyć asymptotyę liczb b n z poprzedniego podzadania Wsazówa: mogą ci się przydać polecenia SeriesCoefficient, FullSimplify, ToRadicals, bs programu Mathamatica Zadanie 86 Niech = ({a 1,, a },, gdzie a 1 = = a = 1 Wyznacz MULT((x oraz znajdź wzór na [x n ]MULT((x Porównaj tez wzór ze wzorem z wyładu Korzystając ze wzoru Zadanie 87 CYCLE((x = n 1 odpowiedź na nastepujące pytania: ϕ(n n ln 1 1 (x n 1 Ile różnych cyli długości 11 można utworzyć z dwóch różnych elementów? Ile różnych cyli długości 11 można utworzyć z trzech różnych elementów? 3 Ile różnych cyli długości 10 można utworzyć z dwóch różnych elementów? Zadanie 88 Zastosuj wzór na CYCLE((x do lasy ombinatorycznej złożonej z jednego elementu o wadze 1 1 Wyjaśnij zaobserwowane zjawiso Podaj możliwie prosty (ilu linijowy dowód zaobserwowanego fatu Zadanie 89 Ile jest {0, 1, } drzew o n wierzchołach (czyli drzew, w tórych ażdy węzeł ma 0, 1 lub potomów? Zadanie 90 Poaż, że n + ąt wypuły posiada C n rożnych triangulacji (C n = n-ta liczba Catalana = 1 n+1( n n Zadanie 91 Poaż, że n osób siedzących przy orągłym stole może uścisnąć sobie dłonie (bez przecięć na C n sposobów (C n = n-ta liczba Catalana ** Zadanie 9 Znajdź rozwinięcie funcji 1 4x w szereg potęgowy w puncie x = 0 i zastosuj to rozwinięcie do wyznaczenia zwartego wzoru na n-tą liczbę Catalana Zadanie 93 Wyznacz asymptotyę liczb Catalana Zadanie 94 Zapisz wyrażenia x (x (x (x x, (x (x x ((x x, (((((x x x x x x x w postaci drzew binarnych, następnie w odwrotnej notacji polsiej oraz narysuj {, } - ścieżi tych wyrażeń na Z Z Zadanie 95 Korzystając ze wzoru na mnożenie wyładniczych szeregów potęgowych poaż, że e x e x = e x Zadanie 96 Niech (a n bedzie dowolnym ciągiem liczb rzeczywistych Niech b n = n =0 a 1 Poaż, że ( n=0 a n xn n! ex = n=0 b n xn n! Wywniosuj z tego, że dla ażdego n mamy a n = b ( 1 n n =0 6

7 CDN Jace Cichoń 7