wtedy i tylko wtedy, gdy rozwiązanie i jest nie gorsze od j względem k-tego kryterium. 2) Macierz części wspólnej Utwórz macierz

Transkrypt

1 Temat: Programowanie wieloryterialne. Ujęcie dysretne.. Problem programowania wieloryterialnego. Z programowaniem wieloryterialnym mamy do czynienia, gdy w problemie decyzyjnym występuje więcej niż jedno ryterium oceny rozwiązań. Najczęściej ryteria te nie są zgodne, co często prowadzi do sytuacji, w tórej nie jest możliwe wyznaczenie jednego rozwiązania optymalizującego je wszystie. W przypadu programowania wieloryterialnego w ujęciu dysretnym mamy do czynienia ze sończoną liczbą wariantów decyzyjnych. Dla ażdego z nich znamy wartość wszystich funcji celu, a rozwiązanie otrzymujemy doonując bezpośrednich porównań wartości funcji celu w poszczególnych puntach. Punty, tóre są optymalne ze względu na poszczególne ryteria nazywamy optimami cząstowymi. 2. Rozwiązania Pareto-optymalne. Mówimy, że rozwiązanie X jest zdominowane przez Y, gdy jest od niego pod ażdym względem nie lepsze, a przynajmniej ze względu na jedno ryterium gorsze. Zbiór Pareto (zbiór rozwiązań Pareto-optymalnych) to zbiór rozwiązań, tóre nie są zdominowane przez żadne inne rozwiązanie. W przypadu dużej ilości ryteriów, wyznaczanie zbioru Pareto może być nieco łopotliwe. Z tego względu pratycznie jest zastosować metodę poszuiwania zbioru Pareto przedstawioną poniżej: ) Macierze relacji Niech n oznacza liczbę dopuszczalnych rozwiązań. Dla ażdego ryterium utwórz macierz,2,, K, gdzie K ilość ryteriów) o wymiarach n n o elementach 0 i. Niech element a wtedy i tylo wtedy, gdy rozwiązanie i jest nie gorsze od j względem -tego ryterium. 2) Macierz części wspólnej Utwórz macierz W wij n n o elementach 0 i, wstawiając do niej jedyni na tych pozycjach, na tórych jedyni znajdują się we wszystich macierzach przypisanych poszczególnym ryteriom. Pozostałe elementy są zerami. 3) Zaostrzenie Utwórz macierz zaostrzenia S w następujący sposób. Jeżeli dla tóregoś z elementów zachodzi w w zamień ij ji w ij oraz w ji na zera. 4) Optimum Pareto Zbór Pareto tworzą te rozwiązania, tórych olumny w macierzy S sładają się wyłącznie z zer. w ij A ij ( macierzy W Opracowanie teoretyczne na podstawie: Marcin Anholcer,. Wydawnictwo Uniwersytetu Eonomicznego w Poznaniu, Poznań Wojciech Siora (red.),. Polsie Wydawnictwo Eonomiczne, Warszawa 2008.

2 3. Rozwiązania ompromisowe: metaryterium, stopnie realizacji, programowanie interatywne. Wobec nieporównywalności decyzji Pareto-optymalnych nie można powiedzieć, że jedna z nich jest lepsza od drugiej. W taiej sytuacji proponuje się wiele strategii postępowania mających na celu wybór najlepszej decyzji. Wprowadzając dodatowe waruni, zawężamy zbiór decyzji Pareto-optymalnych do jednego puntu utożsamianego z tzw. decyzją ompromisową. 3.. Metaryterium Problem optymalizacji wieloryterialnej możemy starać się sprowadzić do problemu optymalizacji jednoryterialnej, onstruując funcję metaryterium (ryterium zastępcze), w tórej ujmujemy wszystie ryteria cząstowe. Procedurę porządowania rozwiązań na podstawie metaryterium można zapisać następująco: ) Wyznaczanie funcji metaryterium Dla ażdego rozwiązania wyznacz funcję metaryterium jao sumę ważoną poszczególnych funcji celu. Jeżeli ryteria mają różne ieruni optymalizacji, to wszystie wagi przy ryteriach minimalizowanych (albo masymalizowanych) wymnóż przez. 2) Porządowanie rozwiązań Uporząduj rozwiązania według wartości metaryterium malejąco (gdy wagi przy ryteriach masymalizowanych były dodatnie) lub rosnąco (gdy wagi przy ryteriach minimalizowanych były dodatnie). Niewątpliwą wadą funcji metaryterium jest oczywiście dobór wag. Problem polega na tym, że poszczególne funcje celu wyrażone są w różnych salach i jednostach a dobór wag jest subietywny Stopnie realizacji Wad stronniczego doboru wag pozbawiona jest metoda minimalnych stopni realizacji. Oznaczmy: najmniejsza wartość -tego ryterium, m M najwięsza wartość -tego ryterium, f x wartość -tego ryterium dla rozwiązania x. Jeżeli ryterium jest masymalizowane, to stopień jego realizacji przez rozwiązanie x oreślony jest wzorem r x f x m M m Jeżeli ryterium jest minimalizowane, to stopień jego realizacji przez rozwiązanie x oreślony jest wzorem r x M f x M m Wzory () oraz (2) mają tę własność, że najgorsze pod pewnym względem rozwiązanie ma stopień realizacji równy 0, a najlepsze. Procedura wyznaczania rozwiązania ompromisowego metodą minimalnych stopni realizacji przebiega następująco: ) Dla ażdego rozwiązania x i ażdej funcji celu f wyznacz stopnie realizacji zgodnie ze wzorami () oraz (2). 2) Dla ażdego rozwiązania wybierz najniższy spośród stopni realizacji. 3) Uszereguj rozwiązania według malejącej wartości wyznaczonych minimów. Wadą metody stopni realizacji jest fat, iż jest ona silnie dysryminująca, tzn. jeżeli rozwiązanie jest najgorsze pod chociaż jednym względem, zostaje slasyfiowane na ońcu raningu. Połączenie wyżej wymienionych metod pomaga uninąć ich wad. Zastosowanie metaryterium do stopni realizacji a nie do danych wyjściowych, pozwala z jednej strony zastosować bardziej intuicyjne wagi (wszystie () (2) 2

3 ryteria są przesalowane do przedziału dysryminującego charateru metody minimalnych stopni realizacji Programowanie interatywne 0, ), z drugiej strony uśrednia wynii, pozbawione jest więc Programowanie interatywne polega na tym, że zadnie rozwiązywane jest sewencyjnie, ze względu na olejne ryteria, a po ażdym etapie informacje o otrzymanym rozwiązaniu mają wpływ na zbiór decyzji dopuszczalnych w olejnym etapie. Metoda ta nie daje nam w efecie raningu obietów, lecz daje wybór jednego ompromisowego rozwiązania. Rozpatrywany przez nas wariant tej metody będzie oparty na idei hierarchii celów. Załada ona, że ryteria są uporządowane od najważniejszego do najmniej ważnego i przypisane im są minimalne aceptowalne stopnie realizacji (dla ryterium ). R Procedura wyznaczania rozwiązania ompromisowego metodą programowania interatywnego możemy zapisać następująco: ) Przyjmij, że wszystie rozwiązania dopuszczalne są zadowalające. Wyonaj roi 2 i 3 dla wszystich funcji poza ostatnią, według wsazanej olejności. Potem przejdź do rou 4. 2) Załóżmy, że rozpatrywane jest ryterium f f. Wyznacz stopnie realizacji r x dla wszystich rozwiązań zadowalających x za pomocą wzorów () oraz (2). Minimalne i masymalne wartości ryteriów wybierz spośród rozwiązań zadowalających. 3) Usuń ze zbioru rozwiązań zadowalających wszystie te rozwiązania x, dla tórych rou 2. 4) Wybierz rozwiązanie najlepsze ze względu na ostatnie ryterium. 4. Programowanie celowe. r x R. Wróć do Programowanie celowe jest pewną odmianą programowania wieloryterialnego, w tórej nie zajmujemy się minimalizacją czy masymalizacją poszczególnych ryteriów, lecz osiągnięciem przez nie oreślonych wartości. Dla ażdego z ryteriów oreślana jest pewna wartość pożądana f x u można oreślić odległość od wartości optymalnej jao:. u i jego waga w. Dla ażdego rozwiązania Funcja celu jest wtedy ważoną sumą tych odległości i dążymy do jej minimalizacji, co zapiszemy jao Procedura: (3) min C x w f x u ) Dla ażdego rozwiązania wyznacz wartości funcji celu zgodnie ze wzorem (3). 2) Uporząduj rozwiązania według rosnącej wartości funcji celu. Podobnie ja w przypadu funcji ryterium, można rozpatrywać wariant hybrydowy, tzn. zamiast wartości funcji celu używamy wtedy unormowanych wartości. Jeżeli są one podane w jednostach naturalnych, trzeba u * wyznaczyć stopnie realizacji odpowiadające tym wartościom, zgodnie ze wzorem () lub (2): u r u Funcja celu przyjmuje wtedy postać:. min (4) * * C x w r x u 3

4 Zadanie Należy poddać ocenie waruni posiadania ROR w pięciu banach ze względu na trzy ryteria i wybrać najlepszy. Kryteriami są: liczba banomatów (im więsza, tym lepiej), oprocentowanie ROR (im wyższe, tym lepiej) oraz roczne oszty utrzymania onta (im niższe, tym lepiej). Dane na temat poszczególnych banów zawiera tabela: Wyonaj polecenia: Kryteria Ban A B C D E Liczba banomatów Oprocentowanie ROR ,5 3 Roczne oszty utrzymania onta a) Wyznacz optima cząstowe. b) Wyznacz rozwiązania zdominowane i zbiór rozwiązań Pareto-optymalnych. c) Ułóż raning banów, używając metaryterium z wagami dla olejnych ryteriów: 0,002, i 0,. d) Ułóż raning banów, orzystając z metody stopni realizacji. e) Ułóż raning banów, stosując metaryterium do stopni realizacji i wiedząc, że oprocentowanie i liczba banomatów są ta samo ważne, a dwurotnie ważniejsze od ryterium osztów utrzymania onta. f) Wyznacz najlepszy ban na podstawie programowania interatywnego (hierarchii celów), przyjmując olejność celów: banomaty, oprocentowanie, oszty z aceptowalnymi stopniami realizacji 0,2 i 0,4. g) Uszereguj bani stosując programowanie celowe dla stopni realizacji przy założeniu, że pożądany poziom realizacji ażdego z ryteriów to 90% jego poziomu optymalnego, a dwa pierwsze ryteria są dwurotnie ważniejsze od trzeciego. Zadanie 2 Pan Kowalsi chce upić dom. Bierze pod uwagę trzy ryteria: odległość od centrum (w m), cenę (w tys. zł) i powierzchnię działi (w m 2 ). Dane na temat czterech dostępnych ofert zawiera tabela: Wyonaj polecenia: Kryteria Oferta A B C D Odległość od centrum (w m) Cena (w tys. zł) Powierzchnia działi (w m 2 ) a) Wyznacz oferty Pareto-optymalne. b) Wyznacz stopnie realizacji. c) Uszereguj oferty za pomocą metaryterium (wersja dla stopni realizacji), jeżeli wagi dla olejnych ryteriów są równe:, 2 i. d) Wyznacz najlepszą ofertę, stosując programowanie interatywne z olejnością ryteriów ja w tabeli i obydwoma aceptowalnymi stopniami realizacji równymi 0,5. e) Uszereguj oferty za pomocą programowania celowego (wersja dla stopni realizacji), jeżeli wagi dla olejnych ryteriów są równe:, 2 i. Pożądany poziom odległości to 0 m, ceny najniższy, powierzchni działi 000 m 2. 4

5 Zadanie 3 Spośród 0 hut szła H, H 2,, H 0 należy wybrać pięć najlepszych załadów, walifiujących się w pierwszej olejności do sprywatyzowania. O olejności hut w raningu decydują czynnii o charaterze eonomicznym oraz wybrane wsaźnii eologiczne. Kryteria oceny w postaci zaleconej listy zmiennych diagnostycznych zostały podane przez ministerstwo. Są to: x roczny zys huty w mln zł, x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 procentowy udział producji sprzedanej w ciągu rou, procentowy udział producji esportowej w ciągu rou, stopień deapitalizacji (zużycia) majątu trwałego wyrażony procentowo, procentowy udział zanieczyszczeń gazowych wydalanych do atmosfery, procentowy udział ścieów nie oczyszczonych wydalanych do otoczenia. Dane dotyczące wyżej wymienionych cech diagnostycznych podano w tablicy: Lp. Obiet i-ty (huta szła) x i x i2 Zmienne diagnostyczne x i3 x i4 x i5 x i H H 2 H 3 H 4 H 5 H 6 H 7 H 8 H H Wyonaj polecenia: a) Wyznacz optima cząstowe. b) Wyznacz rozwiązania zdominowane i zbiór rozwiązań Pareto-optymalnych. c) Ułóż raning hut szła, używając metaryterium. Zaproponuj sposób wyznaczania wag dla olejnych ryteriów. d) Ułóż raning hut szła, orzystając z metody stopni realizacji. e) Ułóż raning hut szła, stosując metaryterium do stopni realizacji. Przyjmij, że czynnii o charaterze eonomicznym są ta samo ważne i są dwurotnie ważniejsze od czynniów o charaterze eologicznym. f) Wyznacz najlepszą hutę szła na podstawie programowania interatywnego (hierarchii celów), przyjmując olejność celów: roczny zys, procentowy udział producji sprzedanej, procentowy udział producji esportowej, stopień deapitalizacji (zużycia) majątu trwałego, procentowy udział zanieczyszczeń gazowych wydalanych do atmosfery, procentowy udział ścieów nie oczyszczonych wydalanych do otoczenia z aceptowalnymi stopniami realizacji 0,4 ażdy. g) Uszereguj huty stosując programowanie celowe dla stopni realizacji przy założeniu, że pożądany poziom realizacji ażdego z ryteriów to 80% jego poziomu optymalnego, a ryterium rocznego zysu huty jest czterorotnie ważniejsze od pozostałych ryteriów. 5