(U.3) Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej
|
|
- Wiktoria Chrzanowska
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 33 Rozdział 24 (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 24.1 Wartości oczeiwane i dyspersje dla stanu superponowanego Założenia wstępne W rozdziale 3 wyazaliśmy twierdzenie (3.84) mówiące, ze dla funcji falowej uładu fizycznego będącej stanem własnym obserwabli  dyspersja wielości fizycznej, tórej odpowiada Â, znia. Jesli zaś stan uładu jest superpozycją stanów własnych Â, to wtedy σ2 (a) 0. Faty te omówimy teraz na przyładzie energii. Niech funcje ϕ 1 ( r) oraz ϕ 2 ( r) będą stanami własnymi hamiltonianu (niezależnego od czasu) uładu fizycznego Ĥϕ ( r) = E ϕ ( r), = 1, 2, E 1 E 2. (24.1) Hamiltonian jest operatorem hermitowsim, więc jego stany własne są ortogonalne i unormowane ϕ j ϕ = d 3 r ϕ j( r) ϕ ( r) = δ j. (24.2) Niech teraz funcja falowa rozważanego uładu będzie superpozycją ψ( r, t) = β 1 e iω 1t ϕ 1 ( r) + β 2 e iω 2t ϕ 2 ( r), (24.3) gdzie oznaczyliśmy ω = E /. Jest to więc superpozycja stanów stacjonarnych (patrz (2.57)). Współczynnii są ta dobrane, aby β β 2 2 = 1. (24.4) Funcja falowa ψ jest więc (zgodnie z (3.12)) unormowana. Gęstość prawdopodobieństwa ψ 2 wynosi ψ 2 = ψ ( r, t)ψ( r, t) = β 1 2 ϕ 1 ( r) 2 + β 2 2 ϕ 2 ( r) Re { β 1 β 2 e i(ω 1 ω 2 )t ϕ 1 ( r)ϕ 2 ( r) }, (24.5) co obliczmy identycznie ja we wzorze (2.36). Gęstość ta zawiera, ja należało oczeiwać, człon interferencyjny zależny od czasu poprzez różnicę faz sładniów superpozycji. Całując wyrażenie (24.5)) po całym zaresie zmienności argumentu r uzysamy jedynę (normowanie), bowiem funcje ϕ są ortonormalne. Celem naszych dalszych rozważań jest obliczenie dyspersji energii σ 2 (E) = ψ Ĥ2 ψ ψ Ĥ ψ 2. (24.6) a więc najpierw musimy obliczyć potrzebne elementy macierzowe hamiltonianu (wartości oczeiwane). S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 33
2 (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej Obliczenia elementów macierzowych W zasadzie E = ψ Ĥ ψ możemy wypisać bez obliczeń. Wystarczy uzmysłowić sobie, że amplitudy β są amplitudami prawdopodobieństwa tego, że w wyniu pomiaru energii otrzymamy wartości równe E. Wobec tego od razu mamy E = β 1 2 E 1 + β 2 2 E 2. (24.7) Sprawdzimy jedna (dla ćwiczenia rachunowego) ten wyni. Z definicji wartości oczeiwanej E = ψ ( Ĥ ψ ) ) = β 1 e iω1t ϕ 1 + β 2 e iω2t ϕ 2 Ĥ (β 1 e iω1t ϕ 1 + β 2 e iω2t ϕ 2 = β 1 2 ϕ 1 Ĥ ϕ 1 + β 1β 2 e i(ω 1 ω 2 )t ϕ 1 Ĥ ϕ 2 + β 1 β 2 e i(ω 1 ω 2 )t ϕ 2 Ĥ ϕ 1 + β 2 2 ϕ 2 Ĥ ϕ 2. (24.8) Z ortonormalności stanów własnych hamiltonianu wynia, że ϕ j Ĥ ϕ = E ϕ j ϕ = E δ j, (24.9) więc człony mieszane w (24.8) zniają i dostajemy E = β 1 2 E 1 + β 2 2 E 2, (24.10) co jest oczywiście zgodne z wyniiem (24.7) uzysanym bezpośrednio z probabilistycznej interpretacji sładniów funcji falowej ψ. Drugi element macierzowy potrzebny do obliczenia dyspersji, tj. E 2 obliczamy w podobny sposób. Cała różnica polega na tym, że we wzorach (24.8) i (24.9) zamiast Ĥ trzeba wstawić Ĥ2, co wyproduuje E 2 zamiast E. Wobec tego E 2 = β 1 2 E β 2 2 E 2 2. (24.11) Dyspersja energii Mając już wartości oczeiwane E i E 2 łatwo wyliczamy dyspersję energii. Z (24.6) otrzymujemy σ 2 (E) = β 1 2 E β 2 2 E 2 2 ( β 1 2 E 1 + β 2 2 E 2 ) 2. (24.12) Proste wymnożenie prowadzi do σ 2 (E) = β 1 2 E 2 1 ( 1 β 1 2) + β 2 2 E 2 2 ( 1 β 2 2) 2 β 1 2 β 2 2 E 1 E 2. (24.13) Ponieważ z (24.4) wynia, że ( 1 β 1 2) = β 2 2 (i na odwrót), zatem σ 2 (E) = β 1 2 β 2 2 ( E E2 2 2 E 1E 2 ) = β 1 2 β 2 2( E 1 E 2 ) 2. (24.14) Widać więc, że σ 2 (E) > 0 jeśli tylo E 1 E 2. Możemy policzyć dyspersję energii również w inny sposób. Sorzystamy ze wzoru (3.83), w tórym podstawimy C = β e iωt dla = 1, 2, oraz C = 0 dla > 2. Ponadto weźmiemy a = E, bowiem rolę obserwabli  odgrywa teraz hamiltonian. Wobec tego z (3.83) otrzymujemy σ 2 (E) = 2 =1 E β 2 [ E 2 m=1 E m β m 2 ]. (24.15) S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 34
3 (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 35 Rozpisując najpierw sumę wewnętrzną, a potem zewnętrzną, dostajemy σ 2 (E) = E 1 β 1 2 [ E 1 E 1 β 1 2 E 2 β 2 2] + E 2 β 2 2 [ E 2 E 1 β 1 2 E 2 β 2 2] = β 1 2 β 2 2 (E 1 E 2 ) 2, (24.16) gdzie ponownie posłużyliśmy się relacją (24.4). Oczywiście uzysany w ten sposób wyni jest identyczny z uprzednim, tj. z (24.14). Energia uładu ma więc różną od zera dyspersję energii. Twierdzenie (3.84) nie jest spełnione. Stan ψ( r, t) nie jest stanem własnym hamiltonianu, mimo że jest superpozycją taich stanów. Identyczne rozumowanie można przeprowadzić dla funcji falowej będącej superpozycją stanów własnych dowolnej innej obserwabli ˆK. Wniosi będą taie same: ψ( r, t) nie będzie stanem własnym ˆK Pomiary i stany pośrednie Rozważmy pewien uład fizyczny, w tórym można oreślić dwie nieomutujące obserwable  i ˆB. Ponieważ są one nieprzemienne więc zbiory ich stanów własnych wyznaczają w przestrzeni stanów dwie różne bazy  a = α a { a } baza w H, (24.17a) ˆB b m = β m b m { b m } baza w H. (24.17b) Obie bazy są ortonormalne i zupełne a a = δ a a = ˆ1, (24.18a) b m b m = δ mm m b m b m = ˆ1. (24.18b) Przyjmujemy (dla prostoty rozważań), ze wartości własne obu obserwabli {α } i {β m } są niezdegenerowane Doświadczenie 1: dwa olejne pomiary Niech stan uładu, w pewnej chwili początowej, będzie dany wetorem ψ H. W ta przygotowanym uładzie doonujemy pomiaru obserwabli Â. W wyniu pomiaru, z prawdopodobieństwem P ( a ψ ) = a ψ 2 = ψ a a ψ = ψ P (a) ψ, (24.19) gdzie P (a) = a a jest operatorem rzutu na stan a, otrzymano wartość własną α obserwabli Â. Natychmiast po pomiarze nastąpiła taże reducja stanu ψ do stanu ψ P (a) = ψ pomiar α P (a) ψ a ψ = a a a ψ = a a ψ a ψ, (24.20) bo stan a jest z założenia unormowany. Czynni po prawej stronie (24.20) jest czynniiem fazowym, więc możemy napisać pomiar α ψ = a e iφ. (24.21) S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 35
4 (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 36 Podreślmy raz jeszcze, że po pomiarze  uład przeszedł (nastąpiła reducja stanu) do stanu (24.21) z prawdopodobieństwem (24.19). Tuż po pomiarze  doonujemy następnego pomiaru, lecz tym razem mierzymy obserwablę ˆB. Ważne jest, aby odstęp czasu pomiędzy pomiarami był mały, aby ewolucja czasowa (zgodna z równaniem Schrödingera) nie zdążyła w znaczący sposób zmienić stanu ψ. Wobec tego pomiar ˆB z prawdopodobieństwem (czynni fazowy e iφ nie ma tu znaczenia) P ( b m ψ ) = b m ψ 2 = b m a 2 = P ( b m a ), (24.22) da wartość własną β m obserwabli ˆB. Nastąpi taże (z tym samym prawdopodobieństwem) reducja stanu ψ ψ = b m e iθ. (24.23) Oba pomiary są całowicie niezależne. Stan ψ wystąpił po pomiarze  z prawdopodobieństwem P ( a ψ ). Prawdopodobieństwo łączne tego, że w wyniu pomiaru  otrzymano wartość α, zaś pomiar ˆB dał β m wynosi P ( b m a ψ ) = P ( b m a ) P ( a ψ ) = b m a 2 a ψ 2. (24.24) Prawdopodobieństwo to możemy taże zapisać za pomocą odpowiednich operatorów rzutowych w postaci P ( b m a ψ ) = ψ a a b m b m a a ψ = ψ P (a) P (b) m P (a) ψ (24.25) W uładzie doonano (szybo, jeden po drugim) pomiarów obserwabli  i ˆB, co spowodowało przejścia pomiar α a b m, (24.26) gdzie pominęliśmy czynnii fazowe. Prawdopodobieństwo całego procesu jest równe iloczynowi (24.24) prawdopodobieństw poszczególnych przejść. Zwracamy uwagę, że dzięi pomiarowi  stan pośredni został ustalony, zaszła bowiem reducja (24.21) Doświadczenie 2: bez stanu pośredniego Rozważmy znów ten sam uład fizyczny, przygotowany w tym samym stanie początowym ψ. Zbadamy teraz sytuację, w tórej od razu mierzymy obserwablę ˆB, pomijając pomiar pośredni obserwabli Â. W tym przypadu z prawdopodobieństwem P ( b m ψ ) = b m ψ 2 = ψ b m b m ψ = ψ P (b) m ψ, (24.27) otrzymano wartość własną β m obserwabli ˆB. Stan ψ uległ reducji (z tym samym prawdopodobieństwem) do stanu ψ = b m e iλm. (24.28) Zanalizujmy uważnie prawdopodobieństwo (24.27). Korzystamy z zupełności (24.18a) stanów własnych obserwabli Â, dzięi czemu mamy P ( b m ψ ) = ψ b m b m ψ = ψ ˆ1 b m b m ˆ1 ψ = ψ a a b m b m a a ψ. (24.29) S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 36
5 (U.3) Podstawy formalizmu mechanii wantowej 37 W otrzymanej podwójnej sumie wyodrębnijmy te sładnii, w tórych =, otrzymamy wówczas P ( b m ψ ) = ψ a a b m b m a a ψ + ψ a a b m b m a a ψ = b m a 2 a ψ 2 + ψ a a b m b m a a ψ. (24.30) W pierwszym sładniu rozpoznajemy iloczyny prawdopodobieństw typu (24.24), tym samym piszemy P ( b m ψ ) = P ( b m a ψ ) { } człony interferencyjne = + P ( b m a ) P ( a ψ ) { } człony interferencyjne. (24.31) + Jest to bardzo ważny rezultat. Stany początowy i ońcowy są w obu doświadczeniach te same. Jedna prawdopodobieństwo obu esperymentów jest istotnie różne gdy nie oreślamy stanu pośredniego pojawiają się złożone wyrazy interferencyjne Dysusja Różnica prawdopodobieństw wyniów obu doświadczeń polega na tym, że w doświadczeniu pierwszym doonaliśmy pomiaru pośredniego (obserwabli Â). Zaburzenie uładu wywołane pomiarem  liwiduje człony interferencyjne i ustala stan pośredni a. W drugim doświadczeniu nie można powiedzieć, że uład "przechodzi" przez tai, czy inny stan a. Przed pomiarem obserwabli ˆB wszystie stany { a } są "możliwe", interferują ze sobą i stąd pojawia się drugi sładni wzoru (24.31). Uzysanie (ja w doświadczeniu pierwszym) informacji o stanie pośrednim niszczy ich spójność i człony interferencyjne nie pojawiają się. Sytuacja ta jest w pewnej mierze analogiczna do interferencyjnego doświadczenia Younga. Jeżeli oreślimy stan pośredni (tj. stwierdzimy przez tóry otwór przesłony przejdzie foton) to zniszczymy obraz interferencyjny na eranie. "Nieoreśloność" stanów pośrednich (tzn. sytuacja, gdy nie doonujemy pomiarów pozwalających je oreślić) ma więc zasadnicze znaczenie przy przewidywaniu wyniów doświadczeń. W mechanice lasycznej zawsze znamy stany pośrednie, bowiem w przypadu lasycznym nie ma czegoś taiego ja reducja stanu. Klasyczny pomiar nie załóca stanu uładu. W mechanice wantowej, ja poazaliśmy, sytuacja jest jedna zupełnie inna. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * S.Kryszewsi MECHANIKA KWANTOWA 37
POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny
POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,
Bardziej szczegółowoTEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM
EORI OBWODÓW I SYGNŁÓW LBORORIUM KDEMI MORSK Katedra eleomuniacji Morsiej Ćwiczenie nr 2: eoria obwodów i sygnałów laboratorium ĆWICZENIE 2 BDNIE WIDM SYGNŁÓW OKRESOWYCH. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia
Bardziej szczegółowoII. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski
II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU Janusz Adamowski 1 1 Przestrzeń Hilberta Do opisu stanów kwantowych używamy przestrzeni Hilberta. Przestrzenią Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorową
Bardziej szczegółowoPostulaty mechaniki kwantowej
3.10.2004 11. Postulaty mechaniki kwantowej 120 Rozdział 11 Postulaty mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa, jak zresztą każda teoria fizyczna, bazuje na kilku postulatach, które przyjmujemy "na wiarę".
Bardziej szczegółowoStany stacjonarne w potencjale centralnym
3.10.2004 14. Stany stacjonarne w potencjale centralnym 149 Rozdział 14 Stany stacjonarne w potencjale centralnym 14.1 Postawienie problemu 14.1.1 Przypomnienie lasycznego problemu Keplera Rozważmy cząstę
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Rezonansowe oddziaływanie układu atomowego z promieniowaniem "! "!! # $%&'()*+,-./-(01+'2'34'*5%.25%&+)*-(6
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania optyki półklasycznej Posłużymy się teraz równaniem (2.4), i Ψ t = ĤΨ ażeby wyprowadzić
Bardziej szczegółowo(U.14) Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym
3.10.2004 35. U.14 Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 131 Rozdział 35 U.14 Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 35.1 Niezmienniczość ze względu na W rozdziale 16 wspominaliśmy jedynie o podstawowych
Bardziej szczegółowoReprezentacje położeniowa i pędowa
3.10.2004 9. Reprezentacje położeniowa i pędowa 103 Rozdział 9 Reprezentacje położeniowa i pędowa 9.1 Reprezentacja położeniowa Reprezentacja położeniowa jest szczególnie uprzywilejowana i najczęściej
Bardziej szczegółowoA4: Filtry aktywne rzędu II i IV
A4: Filtry atywne rzędu II i IV Jace Grela, Radosław Strzała 3 maja 29 1 Wstęp 1.1 Wzory Poniżej zamieszczamy podstawowe wzory i definicje, tórych używaliśmy w obliczeniach: 1. Związe między stałą czasową
Bardziej szczegółowoDRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH
Część 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH... 5. 5. DRGANIA WŁASNE RAM OBLICZANIE CZĘSTOŚCI KOŁOWYCH DRGAŃ WŁASNYCH 5.. Wprowadzenie Rozwiązywanie zadań z zaresu dynamii budowli sprowadza
Bardziej szczegółowoNotacja Diraca. Rozdział Abstrakcyjna przestrzeń wektorów stanu
3.10.2004 7. Notacja Diraca 84 Rozdział 7 Notacja Diraca 7.1 Abstrakcyjna przestrzeń wektorów stanu Do tej pory posługiwaliśmy się postulatem, że stan układu fizycznego jest w mechanice kwantowej w pełni
Bardziej szczegółowo( ) + ( ) T ( ) + E IE E E. Obliczanie gradientu błędu metodą układu dołączonego
Obliczanie gradientu błędu metodą uładu dołączonego /9 Obliczanie gradientu błędu metodą uładu dołączonego Chodzi o wyznaczenie pochodnych cząstowych funcji błędu E względem parametrów elementów uładu
Bardziej szczegółowoWykład 21: Studnie i bariery cz.1.
Wyład : Studnie i bariery cz.. Dr inż. Zbigniew Szlarsi Katedra Eletronii, paw. C-, po.3 szla@agh.edu.pl http://layer.uci.agh.edu.pl/z.szlarsi/ 3.6.8 Wydział Informatyi, Eletronii i Równanie Schrödingera
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 4 Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci
Ćwiczenie 4 - Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci Strona 1/13 Ćwiczenie 4 Badanie wpływu asymetrii obciążenia na pracę sieci Spis treści 1.Cel ćwiczenia...2 2.Wstęp...2 2.1.Wprowadzenie
Bardziej szczegółowo4.15 Badanie dyfrakcji światła laserowego na krysztale koloidalnym(o19)
256 Fale 4.15 Badanie dyfracji światła laserowego na rysztale oloidalnym(o19) Celem ćwiczenia jest wyznaczenie stałej sieci dwuwymiarowego ryształu oloidalnego metodą dyfracji światła laserowego. Zagadnienia
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Zadanie Rozważmy następujący model strzelania do tarczy. Współrzędne puntu trafienia (, Y ) są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednaowym rozładzie normalnym N ( 0, σ ). Punt (0,0) uznajemy za środe tarczy,
Bardziej szczegółowoRównanie Fresnela. napisał Michał Wierzbicki
napisał Michał Wierzbici Równanie Fresnela W anizotropowych ryształach optycznych zależność między wetorami inducji i natężenia pola eletrycznego (równanie materiałowe) jest następująca = ϵ 0 ˆϵ E (1)
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5. PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rozłady soowe Rozład jednopuntowy Oreślamy: P(X c) 1 gdzie c ustalona liczba. 1 EX c, D 2 X 0 (tylo ten rozład ma zerową wariancję!!!)
Bardziej szczegółowoWAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.
ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,
Bardziej szczegółowoPrędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Bardziej szczegółowo(U.16) Dodawanie momentów pędu
.0.004 7. (U.6) Dodawanie momentów pędu 5 Rozdział 7 (U.6) Dodawanie momentów pędu 7. Złożenie orbitalnego momentu pędu i spinu / 7.. Przejście do bazy sprzężonej W praktycznych zastosowaniach potrzebujemy
Bardziej szczegółowoZaliczenie wykładu Technika Analogowa Przykładowe pytania (czas zaliczenia minut, liczba pytań 6 8)
Zaliczenie wyładu Technia Analogowa Przyładowe pytania (czas zaliczenia 3 4 minut, liczba pytań 6 8) Postulaty i podstawowe wzory teorii obowdów 1 Sformułuj pierwsze i drugie prawo Kirchhoffa Wyjaśnij
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyi i Informatyi Stosowanej Aademia Górniczo-Hutnicza Wyład 12 M. Przybycień (WFiIS AGH Metody Lagrange a i Hamiltona... Wyład 12
Bardziej szczegółowo13. 13. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE
Część 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3. 3. BELKI CIĄGŁE STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE 3.. Metoda trzech momentów Rozwiązanie wieloprzęsłowych bele statycznie niewyznaczalnych można ułatwić w znaczącym
Bardziej szczegółowoWykłady z Mechaniki Kwantowej
Wykłady z Mechaniki Kwantowej Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (2017) Wykład 7 Jesteśmy uczniami w szkole natury i kształtujemy nasze pojęcia z lekcji na lekcję.
Bardziej szczegółowo(U.6) Oscylator harmoniczny
3.0.004 7. U.6 Oscylator harmoniczny 47 Rozdział 7 U.6 Oscylator harmoniczny 7. Rozwiązanie przez rozwinięcie w szereg W głównej części wykładu rozwiązanie zagadnienia własnego dla hamiltonianu kwantowo-mechanicznego
Bardziej szczegółowoWstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS
Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania (3.7), pomimo swojej prostoty, nie posiadają poza nielicznymi przypadkami ścisłych rozwiązań,
Bardziej szczegółowoZasada nieoznaczoności
3.10.2004 5. Zasada nieoznaczoności 63 Rozdział 5 Zasada nieoznaczoności 5.1 Formalna zasada nieoznaczoności 5.1.1 Średnie i dyspersje. Pojęcia wstępne Niech Â, ˆB oraz Ĉ będą operatorami hermitowskimi
Bardziej szczegółowoSygnały stochastyczne
Sygnały stochastyczne Zmienne losowe E zbiór zdarzeń elementarnych (zbiór możliwych wyniów esperymentu) e E zdarzenie elementarne (wyni esperymentu) B zbiór wybranych podzbiorów zbioru E β B zdarzenie
Bardziej szczegółowoPostulaty mechaniki kwantowej
Wyk lad 2 Postulaty mechaniki kwantowej 1 wymiar Postulat Stan czastki określa funkcja falowa Ψ = Ψ(x, t) zależna od po lożenia czastki x oraz czasu t. Interpretacje fizyczna ma jedynie kwadrat modu lu
Bardziej szczegółowo(U.11) Obroty i moment pędu
3.10.2004 32. U.11) Obroty i moment pędu 96 Rozdział 32 U.11) Obroty i moment pędu 32.1 Wprowadzenie Obroty w przestrzeni R 3 są scharakteryzowane przez podanie osi obrotu, którą określa wektor jednostkowy
Bardziej szczegółowo5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa
5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa 5.1 Reprezentacja położeniowa W poprzednim rozdziale znaleźliśmy jawną postać operatora Ĥ w przedstawieniu położeniowym. Co to znaczy? W przedstawieniu położeniwym
Bardziej szczegółowoWstęp do Modelu Standardowego
Wstęp do Modelu Standardowego Plan (Uzupełnienie matematyczne II) Abstrakcyjna przestrzeń stanów Podstawowe własności Iloczyn skalarny amplitudy prawdopodobieństwa Operatory i ich hermitowskość Wektory
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoDSP-MATLAB, Ćwiczenie 5, P.Korohoda, KE AGH. Ćwiczenie 5. Przemysław Korohoda, KE, AGH
DSP-MATLAB, Ćwiczenie 5, P.Korohoda, KE AGH Instrucja do laboratorium z cyfrowego przetwarzania sygnałów Ćwiczenie 5 Wybrane właściwości Dysretnej Transformacji Fouriera Przemysław Korohoda, KE, AGH Zawartość
Bardziej szczegółowoRelaksacja. Chem. Fiz. TCH II/19 1
Relasaja Relasaja oznaza powrót uładu do stanu równowagi po zaburzeniu równowagi pierwotnej jaimś bodźem (wielośią zewnętrzną zmieniająą swoją wartość soowo, np. stężenie jednego z reagentów, iśnienie
Bardziej szczegółowoKOLOKWIUM Z ALGEBRY I R
Instrucje: Każde zadanie jest za 4 puntów. Rozwi azanie ażdego zadania musi znajdować siȩ na osobnej artce oraz być napisane starannie i czytelnie. W nag lówu ażdego rozwi azania musz a znajdować siȩ dane
Bardziej szczegółowoPodstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
. Zdarzenia odstawy rachunu prawdopodobieństwa (przypomnienie). rawdopodobieństwo 3. Zmienne losowe 4. rzyład rozładu zmiennej losowej. Zdarzenia (events( events) Zdarzenia elementarne Ω - zbiór zdarzeń
Bardziej szczegółowoMoment pędu fali elektromagnetycznej
napisał Michał Wierzbicki Moment pędu fali elektromagnetycznej Definicja momentu pędu pola elektromagnetycznego Gęstość momentu pędu pola J w elektrodynamice definuje się za pomocą wzoru: J = r P = ɛ 0
Bardziej szczegółowoMODYFIKACJA KOSZTOWA ALGORYTMU JOHNSONA DO SZEREGOWANIA ZADAŃ BUDOWLANYCH
MODYFICJ OSZTOW LGORYTMU JOHNSON DO SZEREGOWNI ZDŃ UDOWLNYCH Michał RZEMIŃSI, Paweł NOW a a Wydział Inżynierii Lądowej, Załad Inżynierii Producji i Zarządzania w udownictwie, ul. rmii Ludowej 6, -67 Warszawa
Bardziej szczegółowox 2 = a RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych 2. Proste równania kwadratowe Równanie kwadratowe typu:
RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych Przed rozpoczęciem nauki o równaniach kwadratowych, warto dobrze opanować rozwiązywanie zwykłych równań liniowych. W równaniach liniowych niewiadoma
Bardziej szczegółowo(U.10) Ewolucja układów kwantowych w czasie
3.10.2004 31. (U.10) Ewolucja układów kwantowych w czasie 81 Rozdział 31 (U.10) Ewolucja układów kwantowych w czasie 31.1 Równanie Schrödingera i operator ewolucji 31.1.1 Podstawowe definicje Gdy układ
Bardziej szczegółowoA. Cel ćwiczenia. B. Część teoretyczna
A. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z wsaźniami esploatacyjnymi eletronicznych systemów bezpieczeństwa oraz wyorzystaniem ich do alizacji procesu esplatacji z uwzględnieniem przeglądów
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoRównanie Schrödingera
Fizyka 2 Wykład 3 1 Równanie Schrödingera Chcemy znaleźć dopuszczalne wartości energii układu fizycznego, dla którego znamy energię potencjalną. Z zasady odpowiedniości znamy postać hamiltonianu. Wybieramy
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 35: Elektroliza
Wydział PRACOWNIA FIZYCZNA WFiIS AGH Imię i nazwiso 1.. Temat: Ro Grupa Zespół Nr ćwiczenia Data wyonania Data oddania Zwrot do popr. Data oddania Data zaliczenia OCENA Ćwiczenie nr 35: Eletroliza Cel
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa Schrödingera
Fizyka 2 Wykład 2 1 Mechanika kwantowa Schrödingera Hipoteza de Broglie a wydawała się nie zgadzać z dynamiką Newtona. Mechanika kwantowa Schrödingera zawiera mechanikę kwantową jako przypadek graniczny
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa mechanika kwantowa Rozpraszanie na potencjale Na początek rozważmy najprostszy przypadek: próg potencjału
Fizyka 2 Wykład 4 1 Jednowymiarowa mechanika kwantowa Rozpraszanie na potencjale Na początek rozważmy najprostszy przypadek: próg potencjału Niezależne od czasu równanie Schödingera ma postać: 2 d ( x)
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne Rozwiązania zadań
Metody robabilistyczne Rozwiązania zadań 6. Momenty zmiennych losowych 8.11.2018 Zadanie 1. Poaż, że jeśli X Bn, to EX n. Odowiedź: X rzyjmuje wartości w zbiorze {0, 1,..., n} z rawdoodobieństwami zadanymi
Bardziej szczegółowoTemat ćwiczenia: POMIARY W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH PRĄDU STAŁEGO. A Lp. U[V] I[mA] R 0 [ ] P 0 [mw] R 0 [ ] 1. U 0 AB= I Z =
Laboratorium Teorii Obwodów Temat ćwiczenia: LBOTOM MD POMY W OBWODCH LKTYCZNYCH PĄD STŁGO. Sprawdzenie twierdzenia o źródle zastępczym (tw. Thevenina) Dowolny obwód liniowy, lub część obwodu, jeśli wyróżnimy
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoWykłady z Mechaniki Kwantowej
Wykłady z Mechaniki Kwantowej Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (2017) Wykład 3 Fakty nie są najważniejsze. Zresztą, aby je poznać, nie trzeba studiować na
Bardziej szczegółowoModelowanie Preferencji a Ryzyko. Dlaczego w dylemat więźnia warto grać kwantowo?
Modelowanie Preferencji a Ryzyko Dlaczego w dylemat więźnia warto grać kwantowo? Marek Szopa U n iwe r s y t e t Ś l ą s k i INSTYTUT FIZYKI im. Augusta Chełkowskiego Zakład Fizyki Teoretycznej Klasyczny
Bardziej szczegółowoσ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;
Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wyni pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jaościowy. Zdarzenie elementarne - najprostszy wyni doświadczenia
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:
Bardziej szczegółowoĆwiczenie VI KATALIZA HOMOGENICZNA: ESTRYFIKACJA KWASÓW ORGANICZNYCH ALKOHOLAMI
Zjawisa powierzchniowe i ataliza Ćwiczenie VI ATALIZA HMGNIZNA: STYFIAJA WASÓW GANIZNYH ALHLAMI WPWADZNI stry wasów organicznych stanowią jedną z ważniejszych grup produtów przemysłu chemicznego, ta pod
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych i ich charakterystyki
Rozdział 1 Wybrane rozłady zmiennych losowych i ich charaterystyi 1.1 Wybrane rozłady zmiennych losowych typu soowego 1.1.1 Rozład równomierny Rozpatrzmy esperyment, tóry może sończyć się jednym z n możliwych
Bardziej szczegółowoRównanie Schrödingera
Równanie Schrödingera Maciej J. Mrowiński 29 lutego 2012 Zadanie RS1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = 0 ma następującą postać: A(a Ψ(x,0) = 2 x 2 ) gdy x [ a,a] 0 gdy x / [ a,a]
Bardziej szczegółowoR w =
Laboratorium Eletrotechnii i eletronii LABORATORM 6 Temat ćwiczenia: BADANE ZASLACZY ELEKTRONCZNYCH - pomiary w obwodach prądu stałego Wyznaczanie charaterysty prądowo-napięciowych i charaterysty mocy.
Bardziej szczegółowoDrugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A
Drugie kolokwium z Rachunku Prawdopodobieństwa, zestaw A Zad. 1. Korzystając z podanych poniżej mini-tablic, oblicz pierwszy, drugi i trzeci kwartyl rozkładu N(10, 2 ). Rozwiązanie. Najpierw ogólny komentarz
Bardziej szczegółowoWstęp do komputerów kwantowych
Obwody kwantowe Uniwersytet Łódzki, Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej 2008/2009 Obwody kwantowe Bramki kwantowe 1 Algorytmy kwantowe 2 3 4 Algorytmy kwantowe W chwili obecnej znamy dwie obszerne
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa ćwiczenia, 2007/2008, Zestaw II
1 Dane są następujące operatory: ˆD = x, ˆQ = π 0 x, ŝin = sin( ), ĉos = cos( ), ˆπ = π, ˆ0 = 0, przy czym operatory ˆπ oraz ˆ0 są operatorami mnożenia przez opowienie liczby (a) Wyznacz kwarat oraz owrotność
Bardziej szczegółowoMetody komputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Skoczonych. Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna
Metody omputerowe i obliczeniowe Metoda Elementów Soczonych Element jednowymiarowy i jednoparametrowy : spryna Jest to najprostszy element: współrzdne loalne i globalne jego wzłów s taie same nie potrzeba
Bardziej szczegółowoZARYS METODY OPISU KSZTAŁTOWANIA SKUTECZNOŚCI W SYSTEMIE EKSPLOATACJI WOJSKOWYCH STATKÓW POWIETRZNYCH
Henry TOMASZEK Ryszard KALETA Mariusz ZIEJA Instytut Techniczny Wojs Lotniczych PRACE AUKOWE ITWL Zeszyt 33, s. 33 43, 2013 r. DOI 10.2478/afit-2013-0003 ZARYS METODY OPISU KSZTAŁTOWAIA SKUTECZOŚCI W SYSTEMIE
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej
Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Jacek Izdebski 5 stycznia roku Zadanie 1 Funkcja falowa Ψ(x) = A n sin( πn x) jest zdefiniowana jedynie w obszarze
Bardziej szczegółowoMateriały dydaktyczne. Matematyka. Semestr III. Wykłady
Materiały dydatyczne Matematya Semestr III Wyłady Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego - 70-500 Szczecin WIII RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE PIERWSZEGO RZĘDU. Pojęcia wstępne. Równania różniczowe
Bardziej szczegółowoModelowanie przez zjawiska przybliżone. Modelowanie poprzez zjawiska uproszczone. Modelowanie przez analogie. Modelowanie matematyczne
Modelowanie rzeczywistości- JAK? Modelowanie przez zjawisa przybliżone Modelowanie poprzez zjawisa uproszczone Modelowanie przez analogie Modelowanie matematyczne Przyłady modelowania Modelowanie przez
Bardziej szczegółowo1 Płaska fala elektromagnetyczna
1 Płaska fala elektromagnetyczna 1.1 Fala w wolnej przestrzeni Rozwiązanie równań Maxwella dla zespolonych amplitud pól przemiennych sinusoidalnie, reprezentujące płaską falę elektromagnetyczną w wolnej
Bardziej szczegółowoKWANTOWA SZTUCZNA SIEĆ NEURONOWA CZĘŚĆ 1. METODA I WYNIKI OBLICZEŃ
POZNAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ACADEMIC JOURNALS No 96 Electrical Engineering 2018 DOI 10.21008/j.1897-0737.2018.96.0002 Jerzy TCHÓRZEWSKI *, Dariusz RUCIŃSKI * KWANTOWA SZTUCZNA SIEĆ NEURONOWA CZĘŚĆ
Bardziej szczegółowoGeometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2
Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Inne rozwiązanie zadania 2. (Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 w dowolnym jej punkcie (x 0, y 0 ). ) Przypuśćmy, że krzywa na
Bardziej szczegółowo1 Całki funkcji wymiernych
Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoPromieniowanie dipolowe
Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A
Bardziej szczegółowoWykład 9. Fizyka 1 (Informatyka - EEIiA 2006/07)
Wyład 9 Fizya 1 (Informatya - EEIiA 006/07) 9 11 006 c Mariusz Krasińsi 006 Spis treści 1 Ruch drgający. Dlaczego właśnie harmoniczny? 1 Drgania harmoniczne proste 1.1 Zależność między wychyleniem, prędością
Bardziej szczegółowo(U.19) Zaburzenia zależne od czasu
3.10.2004 40. (U.19) Zaburzenia zależne od czasu 194 Rozdział 40 (U.19) Zaburzenia zależne od czasu 40.1 Rachunek zaburzeń zależny od czasu Przedstawimy tu inny, bardziej elegancki choć i bardziej złożony
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA PRZEPUSTOWOŚCI SIECI KOMPUTEROWYCH ZA POMOCĄ ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH
OPTYMALIZACJA PRZEPUSTOWOŚCI SIECI KOMPUTEROWYCH ZA POMOCĄ ALGORYTMÓW GENETYCZNYCH Andrzej SZYMONIK, Krzysztof PYTEL Streszczenie: W złożonych sieciach omputerowych istnieje problem doboru przepustowości
Bardziej szczegółowoPomiary napięć przemiennych
LABORAORIUM Z MEROLOGII Ćwiczenie 7 Pomiary napięć przemiennych . Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie sposobów pomiarów wielości charaterystycznych i współczynniów, stosowanych do opisu oresowych
Bardziej szczegółowo9. Sprzężenie zwrotne własności
9. Sprzężenie zwrotne własności 9.. Wprowadzenie Sprzężenie zwrotne w uładzie eletronicznym realizuje się przez sumowanie części sygnału wyjściowego z sygnałem wejściowym i użycie zmodyiowanego w ten sposób
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d
C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią analityczną
WYKŁAD. Własności zbiorów liczbowych. Podzielność liczb całowitych, relacja przystawania modulo, twierdzenie chińsie o resztach. Liczby całowite Liczby 0,±,±,±3,... nazywamy liczbami całowitymi. Zbiór
Bardziej szczegółowo21 Symetrie Grupy symetrii Grupa translacji
21 Symetrie 21.1 Grupy symetrii Spróbujmy odpowiedzieć sobie na pytanie, jak zmienia się stan układu kwantowego pod wpływem transformacji układu współrzędnych. Najprostszą taką transformacją jest np. przesunięcie
Bardziej szczegółowoWykład 13 Mechanika Kwantowa
Wykład 13 Mechanika Kwantowa Maciej J. Mrowiński mrow@if.pw.edu.pl Wydział Fizyki Politechnika Warszawska 25 maja 2016 Maciej J. Mrowiński (IF PW) Wykład 13 25 maja 2016 1 / 21 Wprowadzenie Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowoKryptografia. z elementami kryptografii kwantowej. Ryszard Tanaś Wykład 13
Kryptografia z elementami kryptografii kwantowej Ryszard Tanaś http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Wykład 13 Spis treści 19 Algorytmy kwantowe 3 19.1 Bit kwantowy kubit (qubit)........... 3 19. Twierdzenie
Bardziej szczegółowoStacjonarne procesy gaussowskie, czyli o zwiazkach pomiędzy zwykła
Stacjonarne procesy gaussowskie, czyli o zwiazkach pomiędzy zwykła autokorelacji Łukasz Dębowski ldebowsk@ipipan.waw.pl Instytut Podstaw Informatyki PAN autokorelacji p. 1/25 Zarys referatu Co to sa procesy
Bardziej szczegółowoAtom dwupoziomowy w niezerowej temperaturze
Seminarium CFT p. 1/24 Atom dwupoziomowy w niezerowej temperaturze Tomasz Sowiński 1 paździenika 2008 Seminarium CFT p. 2/24 Atom dwupoziomowy Hamiltonian Ĥ = Ĥ0 + ĤI Ĥ 0 = mσ z + 0 dk k a (k)a(k), Ĥ I
Bardziej szczegółowoA i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy
3. Wyład 7: Inducja i reursja struturalna. Termy i podstawianie termów. Dla uninięcia nieporozumień notacyjnych wprowadzimy rozróżnienie między funcjami i operatorami. Operatorem γ w zbiorze X jest funcja
Bardziej szczegółowoWEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej
WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoLogarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.
Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowo1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Trzecia
1 Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Trzecia Piotr Szańkowski Ćwiczenia nr 3 : Podstawowy aparatu matematycznego mechaniki kwantowej I OPERATORY Operator to odwzorowanie  : V V, które działa na stan,
Bardziej szczegółowo