Podstawowe techniki zliczania obiektów kombinatorycznych. Szufladkowa zasada Dirichleta, Zasada włączeń i wyłączeń.

Transkrypt

1 Materiały dydatyczne Mateatya Dysretna (Wyład 5 Podstawowe technii zliczania obietów obinatorycznych. Szufladowa zasada Dirichleta, Zasada włączeń i wyłączeń. Szufladowa Zasada Dirichleta. Jest rzeczą oczywistą, że jeżeli F : X Y jest funcją różnowartościową, to X Y, lub inaczej, nie istnieje funcja różnowartościowa oreślona na zbiorze X o wartościach w Y, jeśli Y a niej eleentów, niż X. Obserwacja ta nosi nazwę Szufladowej (lub Pudełowej Zasady Dirichleta (SZD. Ma ona liczne zastosowania w różnego rodzaju zadaniach obinatorycznych i io swej prostoty, jej użycie wyaga często niestandardowych obserwacji i nieałej poysłowości. Foralne brzienie tej zasady w wersji podstawowej jest następujące. Twierdzenie 1. (Szufladowa Zasada Dirichleta Niech X i Y będą dowolnyi zbiorai sończonyi, przy czy X > Y. Wówczas dla dowolnej funcji F oreślonej na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y istnieją eleenty x 1, x 2 X, x 1 x 2, dla tórych F (x 1 = F (x 2. Mówiąc potocznie SZD stwierdza, że jeśli pewną liczbę przediotów włożyy do szuflad, a szuflad jest niej niż przediotów, tóre właday, to w pewnej szufladzie znajdą się co najniej dwa przedioty. Szufladową Zasadę Dirichleta ożey sforułować również w wersji nieco silniejszej. Twierdzenie 2. Niech X i Y będą dowolnyi zbiorai sończonyi, przy czy dla pewnej liczby naturalnej zachodzi nierówność X > Y. Wówczas dla dowolnej funcji F oreślonej na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y istnieją różne eleenty x 1, x 2,..., x, x +1 X, dla tórych F (x 1 = F (x 2 = = F (x = F (x +1. Odwołując się do szufladowej interpretacji podstawowej wersji SZD, ożey wyrazić jej wersję silniejszą następująco. Jeśli w ażdej z = Y szuflad upaujey przediotów, to łącznie spaujey = Y przediotów. Jeśli zate do upaowania ay n = X przediotów i n >, to przynajniej do jednej szuflady trzeba włożyć więcej niż przediotów. Np. ając 11 szuflad i 100 przediotów, tóre chcey w tych szufladach schować, usiy przynajniej do jednej z nich włożyć co najniej 10 przediotów. Bo przecież, gdyby do ażdej szuflady włożyć nie więcej niż 9 z nich, to łącznie urylibyśy nie więcej niż 9 11 = 99, a więc nie wszystie przedioty zostałyby uryte. Dużo poważniejszy i trudniejszy uogólnienie Szufladowej Zasady Dirichleta jest twierdzenie Ph. Halla, tóre ze względu na jego atryonialną interpretację nazywane jest twierdzenie Halla o ojarzeniu ałżeństw. Taą interpretację przedstawiy później. Najpierw jej szufladowa otywacja. Rozważy zbiór X sładający się z n przediotów, tóre chcey rozieścić w szufladach, ta aby ażdy przediot znalazł się w innej szufladzie. Zbiór Y złożony z szuflad, tóre ay do dyspozycji, nie jest idealny, bo cechy (roziary przediotów są różne, roziary szuflad też są różne i w związu z ty dowolny przediot daję się włożyć tylo do nietórych szuflad. Załóży, że A 1 jest zbiore tych szuflad, w tórych ożna schować przediot x 1, A 2 jest zbiore tych szuflad, w tórych ożna schować przediot x 2, itd. A n jest zbiore tych szuflad, w tórych ożna schować przediot x n. 1

2 Materiały dydatyczne Mateatya Dysretna (Wyład 5 Jaie waruni wystarczające i onieczne uszą być spełnione, aby rozieszczenie tych n przediotów w n szufladach (po jedny przediocie w ażdej szufladzie było wyonalne? Zauważy, że jeśli nie a ograniczeń dotyczących rozieszczeń przediotów w szufladach, tzn. gdy ażdy ze zbiorów A i, (i = 1,..., n porywa się ze zbiore Y wszystich szuflad, to tai warunie jest by liczba przediotów była niejsza od liczby szuflad. To właśnie stwierdza SZD. Odpowiedź na powyższe pytanie jest nieco bardziej sopliowana. Otóż Rozieszczenie n przediotów w szufladach zgodnie z powyżej ustalonyi zasadai jest wyonalne wtedy i tylo wtedy, gdy dla dowolnego podzbioru {x 1, x 2,..., x } zbioru przediotów X łączna liczba wszystich szuflad, do tórych ogą te przedioty być władane, nie jest niejsza od liczby przediotów. Przyład 1. Udowodnić, że w dowolny zbiorze dziesięciu dwucyfrowych liczb naturalnych istnieją dwa rozłączne podzbiory taie, że suy liczb obu pozbiorów są równe. Niech zate Z będzie dowolny, acz ustalony zbiore dziesięciu liczb dwucyfrowych i niech X = 2 Z będzie zbiore wszystich podzbiorów zbioru Z. Na zbiorze X definiujey funcję f, w następujący sposób: dla A X niech f(a = a A a, f( = 0. Innyi słowy, ażdeu podzbiorowi zbioru Z funcja f przyporządowuje suę liczb tego podzbioru. Na przyład, jeśli A = {1, 2, 31, 42, 90}, to f(a = = 166. Zauważy teraz, że liczba eleentów zbioru X jest równa 2 10 = 1024, natoiast zbiór wartości funcji f a nie więcej niż 945 eleentów, bo 945 jest suą dziesięciu najwięszych liczb dwucyfrowych: = 945. Na ocy SZD istnieją dwa podzbiory A i B zbioru Z taie, że f(a = f(b. Zbiory A i B nie uszą być rozłączne, ale jeśli f(a = a = b = f(b, to dla A 1 = A (A B B 1 = B (A B również ay f(a 1 = f(b 1, a zbiory A 1 i B 1 są rozłączne. Przyład 2. Niech n będzie ustaloną liczbą naturalną. Spośród liczb 1, 2,..., 2n wybrano n + 1 liczb. Udowodnić, że wśród wybranych liczb istnieje taa, tóra jest dzielniie co najniej jednej z pozostałych n liczb. Każdą liczbę naturalną a ożna w sposób jednoznaczy zapisać w postaci a = 2, gdzie jest liczbą nieparzystą, natoiast nieujeną liczbą całowitą. Na nasz użyte liczbę nazwijy częścią nieparzystą liczby a. Niech teraz X będzie ustalony n + 1-eleentowy podzbiore zbioru {1, 2, 3,..., 2n 1, 2n}. Na zbiorze X oreślay funcję f, tóra ażdej liczbie tego zbioru przyporządowuje jej część nieparzystą. Innyi słowy f(a = f(2 =. Zbiór wartości funcji f ieści się w zbiorze n-eleentowy {1, 3,..., 2n 1}. Ponieważ zbiór X a n + 1 eleentów, więc znowu na podstawie SZD istnieją dwie liczby a i b (a < b, dla tórych f(a = = f(b. To oznacza, że a = 2, b = 2 l dla pewnych liczb całowitych i l, < l. Ponieważ liczba b a = 2l jest całowita, więc a jest dzielniie b. a A b B 2

3 Materiały dydatyczne Mateatya Dysretna (Wyład 5 Przyład 3. Niech i n będą liczbai naturalnyi. Udowodnić, że w dowolny ciągu różnych liczb naturalnych ający n + 1 wyrazów istnieje podciąg rosnący długości + 1 lub podciąg alejący długości n + 1. Niech a 1, a 2, a 3,..., a n, a n+1 będzie owy ciągie. Niech X będzie zbiore wyrazów tego ciągu. Na ty zbiorze definiujey funcję f przyjując, że f(a i jest długością najdłuższego rosnącego podciągu ciągu {a } 1 n+1, tórego pierwszy wyraze jest a i. Jeśli dla pewnego i, f(a i n + 1, to z oreślenia funcji f, istnieje rosnący podciąg długości nie niejszj niż n + 1. Załóży zate, że dla dowolnego i, f(a i n. Innyi słowy, załaday, że zbiór wartości funcji f a nie więcej niż n eleentów. May zate nierówność X = n + 1 > f(x. Wobec tego, na ocy silniejszej wersji SZD istnieją i 1 < i 2 < < i +1, taie że f(a i1 = f(a i2 = = f(a i+1. (1 Wystarczy teraz udowodnić, że a i1 > a i2 > > a i+1. Przypuśćy, że jest inaczej, tzn. istnieje j taie, że w powyższy podciągu wyrazy a ij i a ij+1 spełniają warune a ij < a ij+1. Wtedy jedna długość najdłuższego ciągu rosnącego zaczynającego się od a ij jest więsza niż długość najdłuższego ciągu rosnącego zaczynającego się od a ij+1 (wystarczy ten drugi uzupełnić dołączając doń na początu a ij. To przeczy jedna równości (1. Zasada włączeń i wyłączeń. Ja zauważyliśy w wyładzie 2, liczba różnowartościowych funcji z jednego zbioru do drugiego jest łatwa do policzenia. Znacznie trudniej obliczyć liczbę funcji z jednego na drugi zbiór, tzn. liczbę surjecji, o ile taie istnieją. Twierdzenie 3. (Zasada włączeń-wyłączeń Niech P 1, P 2,..., P n będą podzbiorai sończonego zbioru X. Wówczas P 1 P 2 P n = P i + 1 i n 1 i 1 <i 2 n 1 i 1 <i 2 <i 3 n P i1 P i2 + P i1 P i2 P i ( i 1 <i 2 <<i n +( 1 n 1 P 1 P 2 P n P i1 P i2 P i Dowód. Zauważy, że liczba sładniów w pierwszej suie po prawej stronie jest równa 1, w drugiej jest ich ( ( n 2, w trzeciej n 3, itd. Dowód wzoru (2 wynia ze znanej tożsaości dotyczącej współczynniów dwuianowych ( ( ( ( ( ( + + ( ( ( 1 = 0, tóry przepiszy w postaci ( ( 1 = ( 1 ( (2 ( ( + + ( ( 1 1. (3 1 Niech x P 1 P 2 P n będzie dowolny eleente. Jego wład do ocy tego zbioru, (czyli do liczby stojącej po lewej stronie równości (2 jest równy 1. Trzeba poazać, że jego wład do 3

4 Materiały dydatyczne Mateatya Dysretna (Wyład 5 poszczególnych sładniów suy po prawej stronie jest tai, że ich sua (z uwzględnienie znaów jest taże równa 1. Załóży, że x jest eleente należący do doładnie spośród zbiorów P 1,..., P n. Wład do suy po prawej stronie wzoru 2 zliczay po olei. I ta, w sładniach postaci P i eleent x występuje = ( 1 razy, w sładniach postaci Pi P j występuje ( 2 razy, itd. Zate uwzględniając znai plus/inus otrzyujey suę po prawej stronie równości (3. To ończy dowód. Twierdzenie 4. Jeżeli X = n, Y =, to liczba wszystich funcji z X na Y (tzn. wszystich surjecji jest równa liczbie liczba s n = ( 0 n ( 1 ( 1 + ( 2 ( 2 n + ( 1 j( j ( j n + + ( n = ( 1 j( j ( j n. Dowód. Niech F = Y X będzie zbiore wszystich funcji oreślonych na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y. Ja wiadoo F = n. Dla dowodu twierdzenia wystarczy więc oreślić liczbę funcji z X do Y, tóre nie są surjecjai, tzn. tych funcji, tórych zbiór wartości nie zawiera przynajniej jednego eleentu ze zbioru Y. Niech Y = {y 1, y 2,..., y } i niech F i, i = 1, 2,..., będzie zbiore tych funcji, tórych zbiór wartości nie zawiera eleentu y i. Bezpośrednie zastosowanie Zasady włączeń i wyłączeń w celu obliczenia F 1 F 2 F prowadzi do wzoru podanego w twierdzeniu. Wniose 5. Niech i n będą ustalonyi liczbai naturalnyi. Wówczas, ( 1 j( j ( j n = { n! jeśli n = 0 jeśli n <. Powyższy wniose jest onsewencją znanego fatu, że w przypadu, gdy zbiory X i Y są sończone i równoliczne, to ażda surjecja z X do Y jest injecją, a zate jest przeształcenie wzajenie jednoznaczny. Tych zaś jest doładnie n!, gdzie n = X = Y. Jeżeli natoiast X < Y, to żadna funcja z X do Y nie jest surjecją. Nieporządie na zbiorze X nazyway dowolną perutację f : X X taą, że f(x x dla dowolnego x X. Twierdzenie 6. Jeżeli X = n, to liczba wszystich nieporządów na zbiorze X jest równa D n = n ( 1 j j (n j! = n!( 1 0! 1 1! + 1 2! + ( 1j 1 j! + + ( 1n 1 n! = n n! ( 1 j j!. Dowód. Podobnie, ja w dowodzie poprzedniego twierdzenia, wystarczy policzyć ile jest tych perutacji, tóre nieporządai nie są. Niech X = {1, 2,..., n} i niech S(n będzie zbiore wszystich perutacji zbioru X. Wtedy oczywiście S(n = n!. Niech dalej S i (n będzie zbiore wszystich tych perutacji zbioru X, tórych eleent i jest punte stały, tzn. S i (n = {f S(n : f(i = i}. Teraz, aby otrzyać wzór z twierdzenia, wystarczy zastosować Zasadę włączeń i wyłączeń do policzenia S 1 (n S 2 (n S n (n. 4

5 Materiały dydatyczne Mateatya Dysretna (Wyład 5 Na oniec przedstawiy jeszcze jeden przyład zastosowania Zasady włączeń i wyłączeń. Przyład 4. Niech,, n będą liczbai całowityi nieujenyi. Wyznaczyć liczbę rozwiązań równania x 1 + x x n = (4 w liczbach całowitych, przy ograniczeniach: { 0 x 1, x 2,..., x n. (5 Na począte zauważy, że liczba rozwiązań równania (4, przy ograniczeniach 0 x i, i = 1, 2,..., n, jest równa ( ( n+ 1 = n+ 1 n 1. Ze zbioru wszystich rozwiązań tego równania z taii ograniczeniai trzeba usunąć te, dla tórych przynajniej jedna ze ziennych nie spełnia drugiego ograniczenia. Niech A i, będzie zbiore rozwiązań równania (4, w tórych niewiadoa x i spełnia warune < x i (tzn. nie spełnia ogranicznia górnego podanego w zadaniu. Do policzenia A 1 A 2 A n zastosujey Zasadę włączeń i wyłączeń. Od liczby wszystich rozwiązań trzeba odjąć właśnie tę liczbę. Przyjijy y i = x i, wtedy oczywiście ay 0 y i, a po sprowadzeniu równania (4 do postaci x y i + + x n = dostajey A i = + 1 A 1 A 2 A n =. 1. Analogicznie liczyy Ai A j = ( n+ 1 2, itd. Zate Opracował: Cz. Bagińsi 5