Analiza B. Paweł Głowacki

Transkrypt

1 Analiza B Paweł Głowaci Pojęcie liczby rzeczywistej uważać będziemy za intuicyjnie oczywiste. Tym niemniej celowe wydaje się przypomnienie i ugruntowanie nietórych fundamentalnych własności liczb rzeczywistych. W zbiorze liczb rzeczywistych, tóry będziemy oznaczać przez R, na szczególną uwagę zasługują liczby wymierne, czyli liczby postaci p q, gdzie p i q są liczbami całowitymi i q 0. Będziemy używać oznaczeń N, Z i Q odpowiednio na zbiory liczb naturalnych, całowitych i wymiernych. Geometrycznie wyobrażamy sobie liczby rzeczywiste jao oś liczbową, tórej puntem początowym jest 0. Dlatego R często nazywamy prostą rzeczywistą. Z algebraicznego puntu widzenia R stanowi ciało, bo oreślone są w nim dwa działania x, y x + y, x, y x y, zwane odpowiednio dodawaniem i mnożeniem, o następujących własnościach. Dodawanie jest łączne i przemienne, a elementem neutralnym jest liczba 0. Ponadto, ażdy element x R posiada element przeciwny. Mnożenie jest łączne i przemienne, a elementem neutralnym jest jedność. Różne od zera elementy R posiadają element odwrotny. Wreszcie mnożenie jest rozdzielne względem dodawania. Łatwo zauważyć, że wszystie powyższe własności posiadają taże liczby wymierne. Zatem i Q jest ciałem. Nie są natomiast ciałami ani Z, ani N. Zbiór liczb rzeczywistych jest liniowo uporządowany. Oznacza to, że istnieje w nim relacja porządu, taa że dla dowolnych x, y R jest x y lub y x. Relacja ta jest zgodna z działaniami algebraicznymi w tym sensie, że zostaje zachowana, gdy do obu stron nierówności dodamy tę samą liczbę lub pomnożymy je przez tę samą liczbę dodatnią. Zbiór liczb wymiernych jest zbiorem przeliczalnym, czyli równolicznym ze zbiorem liczb naturalnych. Ponadto jest gęstym podzbiorem R. Rozumiemy przez to, że dla ażdych rzeczywistych x < y, istnieje liczba wymierna w, taa że x < w < y. Innymi słowy, ażdy otwarty przedział prostej rzeczywistej zawiera przynajmniej jedną liczbę wymierną. Oczywiście stąd natychmiast wynia, że jest ich w istocie w ażdym przedziale niesończenie wiele. Pozostawiamy to naszemu Czytelniowi jao pierwsze a więc ważne ćwiczenie. Ciało liczb rzeczywistych posiada istotną własność, tórej nie ma ciało liczb wymiernych. Własność ciągłości. Niech będzie dany ograniczony od góry zbiór E R. Wśród liczb ograniczających E od góry jest zawsze liczba najmniejsza. Nazywa się ją resem górnym zbioru E, a wypowiedzianą własność własnością resu lub asjomatem ciągłości. Będziemy o tym mówić bardziej szczegółowo już w pierwszym rozdziale. Wymienione własności liczb rzeczywistych mogą wydać się zrazu bardzo proste Serdecznie dzięuję pani Agnieszce Kazun za trud włożony w przepisanie i redację znacznej części niniejszego sryptu.

2 2 i oczywiste, ale taimi nie są. W tracie wyładu uważny Czytelni przeona się, że na nich wspiera się cały gmach analizy matematycznej.. Inducja matematyczna, nierówności i resy Przystępujemy obecnie do właściwego wyładu. Dla dowolnej liczby x R oreślamy jej moduł lub wartość bezwzględną wzorem { x dla x 0; x = x dla x < 0, lub równoważnie x = max{x, x}. Funcja wartości bezwzględnej spełnia warune trójąta x + y x + y, x, y R, przy czym równość zachodzi, wtedy i tylo wtedy gdy xy 0. Stąd natychmiast wynia nierówność x y x y, x, y R. Moduł liczby x można interpretować jao jej odległość od zera na osi liczbowej, zaś x y jao odległość x od y. Pamiętając, że środe odcina [x, y] to punt x+y 2, możemy wyrazić więszą z liczb x, y wzorem max{x, y} = x + y 2 + x y, 2 a mniejszą min{x, y} = x + y x y. 2 2 Częścią całowitą liczby rzeczywistej x nazywamy najwięszą liczbę całowitą n taą, że n x i oznaczamy ją przez [x]. Innymi słowy, [x] = max{n Z : n x}. Warto też zapamiętać, że [x] to jedyna liczba całowita n, taa że n x < n +. Dlatego jeśli x [n, n + dla pewnego n Z, to [x] = n; w szczególności, jeśli x Z, to [x] = x. Zauważmy również, że ażdą liczbę rzeczywistą x można jednoznacznie przedstawić w postaci x = [x] + mx, gdzie mx [0,. Liczbę mx = x [x] nazywamy mantysą liczby x. Obecnie omówimy zasadę inducji matematycznej. Inducja matematyczna jest metodą dowodzenia własności liczb naturalnych. Niech T n orzea pewną własność liczby naturalnej n. Zasada inducji matematycznej mówi, że jeśli oraz to prawdziwe jest twierdzenie n 0 N T n 0 n n 0 T n T n +, n n 0 T n.

3 3 Ta więc dowód inducyjny przebiega w dwóch etapach. Pierwszy polega na sprawdzeniu warunu początowego, drugi nazwiemy roiem inducyjnym. Zilustrujmy teraz zasadę inducji matematycznej. Symbolem Newtona nazywamy wyrażenie n = n!!n!. Czytelni zapewne pamięta, że liczba n to ilość sposobów wyboru elementów ze zbioru n-elementowego.. wzór dwumienny Newtona. Dla dowolnych liczb a, b R oraz dowolnego n N zachodzi równość n a + b n = a b n. =0 Dowód. Możemy bez straty ogólności założyć, że b 0. Dzieląc wzór Newtona obustronnie przez b n i oznaczając x = a b, otrzymujemy n + x n = x =0 i tego wzoru będziemy dowodzić. Sprawdzenie warunu początowego dla n = nie nastręcza żadnych trudności. Aby wyonać ro inducyjny, załóżmy, że wzór obowiązuje dla pewnego n. Wtedy n + x n+ = + x + x n = + x x.2 bo = =0 n x + = Tym samym zaończyliśmy dowód. =0 =0 n x + n n = + + x + x n+ = n+ n + n + = + x + x n+ = n n + = n +. =0 x, Zauważmy mimochodem, że wzór ten pozwala łatwo uzasadnić następującą nierówność Bernoulliego: Rzeczywiście, + x n = + x n + nx, x 0. =0 n x = + nx + =2 n x + nx,

4 4 gdyż dla x 0 oczywiście n =2 n x 0. Ja zobaczymy za chwilę, ta prosta nierówność ma daleo idące uogólnienia. A na razie zauważmy, że z nierówności Bernoulliego wynia, że + n n 2 dla ażdego naturalnego n. Zaraz też zobaczymy, że.3 + n n < 3, n N, co wcale nie jest już taie oczywiste. Niech q będzie ustaloną liczbą. Bez trudu przeonujemy się, że q + q + q q n = q n+. Jeśli ponadto q, dzieląc obie strony przez q, otrzymujemy + q + q q n = qn+, q czyli znany wzór na sumę postępu geometrycznego. Sorzystamy teraz z tego wzoru, ja również i rozwinięcia dwumiennego Newtona, aby wyprowadzić zapowiedziane już oszacowanie.3. Rzeczywiście, a ponadto =0 + n n = =0! = 2 + 2! + 3! + + n! = < n 2 n n n =0!, n < /3 = 4 < 3. Średnią arymetyczną liczb a, a 2, a 3,..., a n R nazywamy wyrażenie A = a + a 2 + a a n ; n średnią geometryczną liczb a, a 2, a 3,..., a n 0 nazywamy wyrażenie G = n a a 2 a 3... a n ; średnią harmoniczną liczb a, a 2, a 3,..., a n > 0 nazywamy wyrażenie n H = a + a 2 + a a n Następujący lemat wyorzystamy w dowodzie twierdzenia o porównaniu średnich..4. Lemat. Niech będą dane liczby 0 < x < < y. Wtedy x + y > + xy. Dowód. Po przeniesieniu wszystich wyrazów w naszej nierówności na lewą stronę otrzymujemy wyrażenie dodatnie, gdyż co ończy nasz dowód. x + y xy = xy > 0,

5 5.5. Jeśli b b 2... b n =, gdzie n 2, i nie wszystie z liczb b są równe, to b + b b n > n. Dowód. Jeśli n = 2, to jedna z liczb b, b 2 jest mniejsza, a druga więsza od, więc na mocy Lematu.4.6 b + b 2 > + b b 2 = 2, co oznacza sprawdzenie warunu początowego. Przyjmijmy teraz, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnego n N. Niech b b 2... b n b n+ = i niech np. b n < < b n+. Wtedy, ponownie orzystając z Lematu i założenia inducyjnego zastosowanego do n liczb c = b, c 2 = b 2,..., c n = b n, c n = b n b n+, tórych iloczyn jest równy jedności, mamy oraz b n + b n+ > b n b n+ + = c n + b + b b n + b n+ > c + c c n + c n + n +, czego należało dowieść..7. Wniose. Jeśli a, a 2, a 3,..., a n > 0 nie są wszystie sobie równe, to średnia geometryczna tych liczb jest mniejsza od ich średniej arytmetycznej: G = a a 2 a 3... a n n < a + a 2 + a a n n = A. Dowód. Przynajmniej jedna z liczb b = a /G jest różna od, a ponadto Na mocy.5 czyli a to już jest nasza teza. b b 2... b n =. a G + a 2 G + + a n G = b + b b n > n, G < A = a + a a n, n Sformułujemy teraz bardzo prostą zasadę, z tórej będziemy nieustannie orzystać w tracie tego wyładu..8 zasada epsilona. Niech a, b R. Jeśli dla ażdego ε > 0 zachodzi a < b + ε, to a b. Dowód. Przypuśćmy nie wprost, że a > b i weźmy ε = a b 2. Na mocy naszych założeń powinno być a < b + ε = a+b 2 < a, co jest niedorzecznością. Wobec tego musi być a b. Symbol ε greca litera epsilon będzie nam najczęściej służył do oznaczania bardzo małych liczb dodatnich..9 asomat gęstości. Każdy niepusty przedział otwarty I R zawiera przynajmniej jedną liczbę wymierną.

6 6 Asjomat ten można też wyrazić ta: Dla ażdej liczby rzeczywistej a i ażdego ε > 0 istnieje liczba wymierna w, taa że a w < ε. Rzeczywiście, to nowe sformułowanie mówi, że w ażdym przedziale a ε, a + ε znajduje się jaaś liczba wymierna. Zwróćmy uwagę, że nie mówi się tu wyraźnie, że ε > 0 jest mały, ale chwila zastanowienia wystarczy, aby stwierdzić, że jeśli warune jest spełniony np. dla 0 < ε <, to jest też spełniony i dla pozostałych. W gruncie rzeczy o jego prawdziwości decydują małe przedziały. Przyjrzyjmy się teraz doładniej wspomnianej na początu zasadzie resu. Zacznijmy od starannej definicji. Mówimy, że zbiór E R jest ograniczony od góry, jeśli istnieje liczba y R, taa że x y dla ażdego x E. Taa liczba y nazywa się górnym ograniczeniem zbioru E. Jeśli y jest górnym ograniczeniem E, to oczywiście ażda liczba z więsza od y taże jest górnym ograniczeniem tego zbioru. Zatem zbiór górnych ograniczeń E + jest albo pusty, albo niesończony..0 asjomat ciągłości. Niech E będzie niepustym i ograniczonym od góry podzbiorem R. W zbiorze E + liczb ograniczających E od góry istnieje element najmniejszy. Najmniejsze spośród górnych ograniczeń zbioru E nazywamy resem górnym zbioru E i oznaczamy przez sup E. Zwróćmy uwagę, że liczba a, tóra jest resem górnym zbioru E spełnia dwa waruni. Jest ona górnym ograniczeniem zbioru E i żadna liczba mniejsza od a taim ograniczeniem już nie jest. Można zapisać to formalnie ta: oraz Dla zbioru F R niech Z asomatu ciągłości wynia x E x a ε > 0 x E x > a ε. F = {y R : x F y x}... Wniose. Każdy niepusty i ograniczony z dołu zbiór F R ma najwięsze dolne ograniczenie zwane resem dolnym, tóre oznaczamy przez inf F. Dowód. Jeśli F jest zbiorem niepustym i ograniczonym od dołu, to E = F jest zbiorem niepustym i ograniczonym od góry. Nietrudno się przeonać, że E + = F, co oznacza, że y jest ograniczeniem górnym E wtedy i tylo wtedy, gdy y jest ograniczeniem dolnym F. Jest też jasne, że jeśli a jest najmniejszym elementem E +, to a jest najwięszym elementem F. Dodajmy, że z definicji resu i asomatu ciągłości wynia, że dla ażdego zbioru E ograniczonego od góry E + = [a,, a = sup E, i dla ażdego zbioru F ograniczonego od dołu F =, b], b = inf F. Przyjmiemy też następującą onwencję. Jeśli zbiór E jest nieograniczony z góry, będziemy pisać sup E = i mówić, że E ma niewłaściwy res górny. Podobnie zbiór F nieograniczony z dołu ma niewłaściwy res dolny inf F =. Powracamy do nierówności Bernoulliego.

7 7.2. Lemat. Dla dowolnego n N i dowolnego q > 0 q n+ n + > qn n. Dowód. Załóżmy najpierw, że q >. Wtedy proste przeształcenia z wyorzystaniem wzoru na sumę postępu geometrycznego poazują, że nasza nierówność jest równoważna nierówności nq n+ > + q + q 2 + q n, q >, tóra jest oczywista. Jeśli natomiast 0 < q <, to podobne rachuni prowadzą do nierówności nq n+ < + q + q 2 + q n, q <, tóra jest też oczywista..3 nierówność Bernoulliego. Dla α > i dowolnego < x 0 zachodzi następująca nierówność + x α > + αx. Dowód. Dowód przeprowadzimy najpierw dla wymiernych α = m n, gdzie m > n. Niech q = + x /n. Z lematu wynia, że a stąd q m m > qn n, q m > + m n qn m n, co po podstawieniu daje naszą tezę. Korzystając z zasady gęstości, uzupełnimy teraz dowód nierówności Bernoulliego w przypadu α > niewymiernych. Niech będzie dana liczba 0 < ε < α. Niech w Q należy do przedziału α ε, α + ε, przy czym α wx > 0. Wtedy + x α > + x w > + wx = + αx + w αx, sąd + αx < + x α + ε x i na mocy zasady epsilona otrzymujemy + αx + x α, co już niemal nas zadowala. Niemal, bo otrzymana nierówność jest słaba. Aby to poprawić, możemy postąpić ta. Niech < w < α będzie wymierne. Wtedy + x α = + x w α w > + wx α α w + wx = + αx, w tym razem już z ostrą nierównością..4. Wniose. Niech będzie dana liczba rzeczywista α >. Wówczas dla dowolnego y > 0 zachodzi nierówność + y α > + y α.

8 8 Dowód. Przyjmijmy najpierw, że αy y α. Wtedy na mocy nierówności Bernoulliego + y α > + αy + y α, ta ja chcieliśmy. Jeśli natomiast αy y α, to y α α i stosując ponownie nierówność Bernoulliego widzimy, że + y α = y α + /y α > y α + α/y więc i w tym wypadu wszysto się zgadza. = y α + αy α α 2 + y α > + y α,

9 9. Udowodnij nierówności Zadania a + a a + a, a > Poaż, że x + y = max{x, y} + min{x, y}. 3. Poaż, że x + y = max{ x + y, x y }. 4. Oblicz wartości wyrażeń: [ n n ], [n + n ], gdzie n N. 5. Wyaż, że jeśli x / Z, to [ x] = [x], m x = mx. 6. Niech x, y R. Udowodnij nierówności [ x ] [x + y] [x] + [y], [x], [ x] [x] Rozwiąż równanie [2x] = 3[x]. 8. Poaż, że mx = my wtedy i tylo wtedy, gdy x y Z. 9. Poaż, że mnx = mnmx. 0. Poaż, że jeśli mx < N, to mnx = Nmx.. Wiadomo, że mx > /N. Poaż, że Nmx mnx = N. 2. Niech < n będą naturalne. Udowodnij, że n n. 3. Udowodnij tożsamość Pascala n n + = n + 4. Dane są liczby naturalne m n 2. Poaż, że n m n! m + < m!. 5. Korzystając ze wzoru dwumiennego Newtona, wyaż, że n n =0 2 = 3 n. 6. Wyaż, że n n =0 = 2 n oraz n =0 n = Dane są liczby a 0, a,..., a N, taie że a 0 = i a n+ = 2a n + dla 0 n < N. Poaż przez inducję, że a n+ = a n + 2 n+ i znajdź a N. 8. Dla a, b R wyprowadź tożsamość a n+ b n+ = a b a b n. 9. Korzystając z gęstości liczb wymiernych wśród rzeczywistych, poaż, że ażdy przedział a, b R zawiera niesończenie wiele liczb wymiernych. 20. Wiedząc, że a + b > 2, wyaż, że a 2 + b 2 > Wyaż, że dla dowolnych a, b, c, d > 0 a b + b c + c d + d 4. a 22. Udowodnij przez inducję nierówność dla x > i n N. =0. + x n + nx + n x 2

10 0 23. Korzystając z nierówności Bernoulliego, poaż, że 24. Poaż, że + x β < + βx, 0 < β <, x >. + x β < + x β, x > 0, 0 < β <. 25. Korzystając z nierówności Bernoulliego, poaż, że n < na + a + dla a > 0 i n N \ {}. 26. Poaż, że 27. Poaż, że a a + < + n n, 0 < a <. u + v a < u a + v a, u, v > 0, 0 < a <. 28. Korzystając z nierówności Bernoulliego, poaż, że n a a n, a >. 29. Znajdź najmniejszą wartość funcji fx = n punt, w tórym funcja przyjmuje tę wartość. 30. Wyaż, że dla a, b, c > 0 a + b c + b + c a + a + c b 6. = n x na półprostej x > 0 i 3. Znajdź najwięszą wartość funcji fx, y = xy na elipsie x y2 = i punty, w tórych funcja przyjmuje tę wartość. 32. Wyaż, że średnia harmoniczna jest zawsze nie więsza od średniej geometrycznej tych samych liczb, a równość zachodzi tylo wtedy, gdy wszystie liczby a są identyczne. 33. Udowodnij nierówność dla a R i b 0. a 6 + b 9 3a 2 b Niech L będzie obwodem, a P polem trójąta. Udowodnij nierówność L 2 > 6P lub nawet L 2 > 4 27P. 35. Niech a R, b > 0. Uzasadnij nierówność a b a2 + 4b Niech a, b, c 0. Udowodnij, że 3 abc + 3 bcd + 3 cda + 3 dab a + b + c + d. 37. Niech m, n N. Poaż, że mn m n2 4, przy czym równość jest zrealizowana tylo wtedy, gdy n jest parzyste.

11 38. Dane są liczby a, b R i liczba dodatnia A > 0 spełniające warune ε > 0 a < b + Aε. Korzystając z zasady epsilona, poaż, że a b. 39. Dane są liczby a, b R i liczba dodatnia A > 0. Sprawdź, że ε > 0 a < b + Aε ε > 0 a b + Aε a b. 40. Udowodnij, że ażdy ograniczony od dołu zbiór liczb rzeczywistych E ma res dolny, tzn. że w zbiorze E liczb ograniczających E od dołu istnieje element masymalny. 4. Wyaż, że jeśli x y dla ażdych x A, y B, to sup A inf B. Czy prawdziwe jest wynianie odwrotne? 42. Wyaż, że A B pociąga sup A sup B oraz inf B inf A. 43. Udowodnij, że jeśli A, B są ograniczone, to oraz sup A = inf A, supa + B = sup A + sup B infa + B = inf A + inf B. 44. Poaż, że w zbiorze liczb dodatnich nie ma elementu minimalnego. 45. Oblicz { } { } { } n inf n : n N, sup n : n N, inf : n N. n 46. Udowodnij, że jeśli A i B są zbiorami ograniczonymi, to gdzie sup A inf B = supa B, A B = {x y : x A, y B}. 47. Rozstrzygnij, tóra z liczb a = 3 2 czy b = jest więsza. 48. Rozstrzygnij, tóra z liczb a = 4 / 2 czy b = + 3 / 2 jest więsza. 49. Dla jaich x > 0 liczba x 3 x Ax = jest więsza od? 50. Oblicz [ + n n]. 5. Poaż, że + n < 2 + n 2! + 3! + + n! < 49, n Wiedząc, że a, b 0 oraz a b+ a, poaż, że a + b. W tym celu rozpatrz nierówność wadratową x 2 x b 0, gdzie x = a.