KOMPUTEROWY SYSTEM WYBORU DECYZJI WIELOKRYTERIALNEJ

Transkrypt

1 KOMPUTEROWY SYSTEM WYBORU DECYZJI WIELOKRYTERIALNEJ Andrzej Łodziński Katedra Ekonoetrii i Inforatyki SGGW Warszawa Streszczenie: W pracy przedstawiono koputerowy syste wyboru decyzji wielokryterialnej. Metody optyalizacji wielokryterialnej nie dają jednego rozwiązania, ale cały zbiór rozwiązań. Sposób wyboru polega na interaktywny prowadzeniu procesu podejowania decyzji. Wybór decyzji dokonuje się przez rozwiązywanie probleu z paraetrai sterującyi, które określają aspiracje użytkownika i ocenie otrzyywanych rozwiązań. Abstract: A coputer syste of choosing ultcriteria decision has been presented in this paper. Methods of ultiobjective optialization do not give one unique solution, but a whole set of the. A decision aking relies on interactive conducting of the decision aking process. Selection of given decision is ade by way of solving a proble with paraeters defining user s aspirations and the evaluation of obtained results.

2 WPROWADZENIE W pracy przedstawiono koputerowy syste wyboru decyzji wielokryterialnej. Metody optyalizacji wielokryterialnej nie dają jednego rozwiązania, ale cały zbiór rozwiązań. Metoda wyznaczania rozwiązania polega na interaktywny prowadzeniu procesu podejowania decyzji. Wybór decyzji dokonuje się przez rozwiązywanie probleu z paraetrai sterującyi, które określają aspiracje użytkownika i ocenie otrzyywanych rozwiązań. Użytkownik zadaje paraetr, dla którego wyznaczane jest rozwiązanie wielokryterialne. Następnie ocenia otrzyaną decyzję akceptując ją lub odrzucając. W drugi przypadku użytkownik podaje nową wartość paraetru i proble jest rozwiązywany ponownie dla nowego paraetru. Proces wyznaczania rozwiązania nie jest procese jednorazowy, ale iteracyjny procese uczenia się decydenta o probleie decyzyjny. Stosując ten sposób wyboru rozwiązania decydent oże otrzyać takie rozwiązania, jakie chce, a nawet je polepszyć. Jeśli jakiś pozio aspiracji jest nieożliwy do osiągnięcia, to ożna się do niego najlepiej przybliżyć. MODELOWANIE SYTUACJI DECYZYJNEJ Podejowanie decyzji jest to proces wyboru decyzji cele rozstrzygnięcia określonego probleu. Decyzją nazyway wybór poiędzy wieloa ożliwościai, które nazywa się opcjai (wariantai) decyzyjnyi. Osobę podejującą decyzję nazywa się decydente. Dokonywanie wyboru oznacza, więc działania związane z wybore jednej ożliwości ze zbioru wielu ożliwości, gdzie sa wybór jest zaledwie częścią podejowania decyzji. Podejowanie decyzji obejuje następujące etapy: rozpoznanie probleu, odelowanie probleu, wybór decyzji oraz realizacja i nadzór decyzji. Proble przygotowania decyzji jest zazwyczaj znacznie bardziej złożony niż sa proble wyboru iędzy opcjai. Początkowo nie zna się zazwyczaj wszystkich opcji decyzyjnych, należy je saeu przygotować; sa też proces przygotowania opcji wariantów decyzji jest często bardziej złożony i czasochłonny niż sa proble wyboru. W etapie realizacja i nadzór decyzji ożna dokonywać odyfikacji decyzji na zasadzie obserwacji skutków decyzji [3], [4], [5], [6]. Proble decyzyjny opisuje się ateatycznie wprowadzając zienne decyzyjne x z pewnej przestrzeni decyzji X, której eleenty jednoznacznie opisują podjęte decyzje. Zienne decyzyjne nie ogą przyjować dowolnych wartości. Występują ograniczenia na te zienne wynikające na przykład z określonego zasobu surowców, ograniczonych nakładów finansowych czy ożliwości technologicznych. Zienne decyzyjne x powinny należeć do pewnego ustalonego zbioru decyzji X. Zbiór X nazywa się zbiore decyzji dopuszczalnych, a należące do niego zienne decyzyjne x X ziennyi dopuszczalnyi. W probleach decyzyjnych występują pewne iary jakości podejowania decyzji. Mateatycznie iarę jakości decyzji wyraża się za poocą funkcji oceny: przy poocy jednego lub wielu kryteriów. 122

3 Przyjujey następujące oznaczenia: n x X decyzja należąca do zbioru decyzji dopuszczalnych, X R, y = f ( x) f : X Y odwzorowanie decyzji w ich rezultaty, które zawiera też reprezentację niepewności, y Y skutek, czyli rezultat decyzji x należący do zbioru rezultatów osiągalnych, Y R, Y = f ( X ) - zbiór rezultatów osiągalnych przy dopuszczalnych decyzjach. Funkcja y = f (x) przyporządkowuje każdeu wektorowi ziennych decyzyjnych x wektor ocen y Y, który ierzy jakość decyzji x z punktu widzenia ustalonego układu wskaźników jakości y 1,..., y. Obraz zbioru dopuszczalnego X dla funkcji y stanowi zbiór osiągalnych wektorów ocen Y. Większość probleów a charakter wielokryterialny, czyli nie a w nich jednego wskaźnika jakości, którego optyalna wartość zapewniłaby decyzję najlepszą. Decyzje są scharakteryzowane przez wiele kryteriów, które są sprzeczne iędzy sobą, tzn. polepszenie jednego z nich powoduje pogorszenie innego lub innych kryteriów. Chcey znaleźć taką decyzję, która byłaby akceptowalna dla każdego kryteriu. Aby wyznaczyć taką decyzję stosuje się etody optyalizacji wielokryterialnej, które pozwalają wyznaczać decyzje Pareto-optyalne. Proble decyzyjny rozpatruje się jako zadanie optyalizacji wielokryterialnej: gdzie: ax{ f1 ( x),..., f ( x) : x X } (1) x x X wektor ziennych decyzyjnych, f = f,..., f ) funkcja wektorowa, która przyporządkowuje ( 1 każdeu wektorowi ziennych decyzyjnych x X wektor ocen y = f (x) ; poszczególne współrzędne f i, i = 1,..., reprezentują skalarne funkcje ocen, X zbiór decyzji dopuszczalnych. Zadanie (1) polega na znalezieniu takiej decyzji dopuszczalnej xˆ X, dla której ocen przyjuje jak najlepsze wartości. Zadanie (1) rozpatruje się w przestrzeni ocen, tzn. rozpatruje się następujące zadanie: ax{( y1,..., y ) : y Y} ( 2) x 123

4 gdzie: x X wektor ziennych decyzyjnych, y = y,..., y ) wektorowy wskaźnik jakości,; poszczególne ( 1 współrzędne y i, i = 1,..., reprezentują pojedyncze, skalarne kryteria, Y zbiór dopuszczalnych wskaźników jakości. Zbiór rezultatów osiągalnych Y dany jest zwykle w postaci niejawnej poprzez zbiór decyzji dopuszczalnych X i odwzorowanie odelu f, Y = f ( X ). Aby wyznaczyć wartość y potrzebna jest syulacja odelu decyzyjnego y = f (x). Cele zadania jest wybór decyzji właściwej pooc w znalezieniu właściwej decyzji. OPTYMALNOŚĆ W SENSIE PARETO W optyalizacji wielokryterialnej ważny jest nie cały zbiór Y, ale tylko jego odpowiednia część. Interesujące są nie wszystkie eleenty zbioru Y, ale tylko eleenty niezdoonowane, czyli tak zwane rezultaty Pareto-optyalne. Rezultaty Pareto-optyalne (niezdoinowane) są definiowane w następujący sposób: Y ˆ ~ = {yˆ Y :(y ˆ + D) Y = ) } (3) ~ gdzie: D = D \{} stożek dodatni bez wierzchołka. Jako stożek dodatni ~ ożna przyjąć D = R+ [3], [4], [5], [6]. Rezultaty Pareto-optyalne to takie, w których nie ożna poprawić jednego wskaźnika jakości bez pogarszania wskaźników pozostałych. Decyzję x ˆ X nazywa się decyzją Pareto-optyalną, jeśli odpowiadający u wektor ocen y ˆ = f ( xˆ ) jest wektore Pareto-optyalny. SKALARYZACJA PROBLEMU Metodą wyznaczania poszczególnych rozwiązań Pareto-optyalnych jest optyalizacja specjalnie utworzonej funkcji skalaryzującej dwóch ziennych - wskaźnika jakości y Y i paraetru sterującego y Ω R o wartości 1 rzeczywistej tzn. funkcji s : Y Ω R. Paraetr y jest w dyspozycji użytkownika, co uożliwia u przeglądanie zbioru rozwiązań wielokryterialnych. Aby wyznaczyć rozwiązanie Pareto-optyalne zadania (2) rozwiązuje się 1 skalaryzację tego zadania z funkcją skalaryzującą s : Y Ω R : 124

5 ax{ s( y, y) : y Y} (4) x Rozwiązanie optyalne zadania (4) powinno być rozwiązanie zadania (2). W pracy stosuje się funkcję skalaryzującą o postaci: gdzie: 1 i s( y, y) = in( y y ) + ε ( y ) (5) i i y i i i= 1 y = y,..., y ) wektorowy wskaźnik jakości,; poszczególne ( 1 współrzędne y i, i = 1,..., reprezentują pojedyncze, skalarne kryteria, y i pozioy aspiracji dla poszczególnych kryteriów i = 1,...,, ε arbitralnie ały, dodatni paraetr regularyzacyjny. Taka funkcja skalaryzującą nazywa się funkcją osiągnięcia. Maksyalizacja takiej funkcji ze względu y Y na wyznacza rozwiązanie Pareto-optyalne ŷ i generującą ją decyzję Pareto-optyalną xˆ. Wyznaczone rozwiązanie Pareto-optyalne ŷ zależy od wartości pozioów aspiracji. y i, i = 1,..., [3], [4], [5], [6], [7]. Funkcja skalaryzująca (5) charakteryzuje się dwiea własnościai: własnością wystarczalności i własnością zupełności. Własność wystarczalności oznacza, że dla każdego poziou aspiracji y rozwiązanie zadania skalaryzacji jest rozwiązanie Pareto-optyalny, tzn. yˆ Yˆ. Własność zupełności oznacza, że za poocą odpowiednich zian paraetru y ożna osiągnąć dowolny rezultat yˆ Yˆ. Taka funkcja w pełni charakteryzuje rozwiązania Pareto-optyalne. Każde aksiu takiej funkcji jest rozwiązanie Paretooptyalny. Każde rozwiązanie Pareto-optyalne ożna osiągnąć przyjując odpowiedni pozio aspiracji y. Wartości optyalne tej funkcji ogą być wykorzystane nie tylko do obliczania rozwiązań Paretooptyalnych, lecz także do oceny osiągalności danego punktu aspiracji y. Jeśli optiu funkcji osiągnięcia jest ujene, to punkt aspiracji nie jest osiągalny, a rozwiązanie optyalne jest rozwiązanie Pareto-optyalny; jeśli optiu funkcji osiągnięcia jest równe zeru,, to punkt aspiracji jest osiągalny i jest rozwiązanie Pareto-optyalny: jeśli optiu funkcji osiągnięcia jest dodatnie, to punkt aspiracji jest osiągalny a rozwiązanie optyalne jest rozwiązanie Pareto-optyalny polepszony w stosunku do punktu aspiracji [3], [4], [5], [6]. 125

6 METODA WYBORU DECYZJI W celu rozstrzygnięcia danego probleu decyzyjnego należy wybrać jedną decyzję do realizacji. Zbioru decyzji Pareto-optyalnych nie ożna traktować jako ostatecznego rozwiązania probleu decyzyjnego. Ze względu na to, że rozwiązanie Pareto-optyalny jest cały zbiór rozwiązań, decydent powinien dokonywać wyboru decyzji przy poocy interaktywnego systeu koputerowego. Syste taki uożliwia sterowany przegląd zbioru rozwiązań. Na podstawie podawanych przez decydenta wartości pewnych paraetrów sterujących syste przedstawia decydentowi różne rozwiązania do analizy. Paraetry sterujące określają paraetryzację zbioru rozwiązań Paretooptyalnych. Syste każdorazowo wyznacza jedno rozwiązanie odpowiadające bieżący wartościo paraetrów sterujących. Paraetr sterujący w postaci pozioów aspiracji jest dogodny dla decydenta, gdyż reprezentuje rozuiane przez decydenta wielkości rzeczywiste charakteryzujące jego preferencje. Decydent rozwiązując proble decyzyjny przy poocy funkcji skalaryzującej (5) określa pozioy aspiracji, jako pożądane wartości poszczególnych kryteriów. Jeżeli wartości kryteriów nie osiągają pozioów aspiracji, to decydent stara się znaleźć rozwiązanie lepsze. Jeżeli wartości pewnych kryteriów osiągnęły odpowiednie pozioy aspiracji, to decydent koncentruje uwagę na poprawie wartości tych kryteriów, które nie osiągnęły swoich pozioów aspiracji. Gdy wszystkie kryteria osiągną założone pozioy aspiracji, to decydent jest zainteresowany dalszą poprawą kryteriów, o ile jest to ożliwe [3], [4], [5], [6]. Sposób podejowania decyzji przestawiony jest na rysunku 1. Rys. 1. Sposób podejowania decyzji Taki sposób podejowania decyzji nie narzuca decydentowi żadnego sztywnego scenariusza analizy probleu decyzyjnego i dopuszcza ożliwość odyfikacji jego preferencji w trakcie analizy probleu. W ty sposobie podejowania decyzji użytkownik spełnia rolę nadrzędną. Koputer nie zastępuje użytkownika w podejowaniu decyzji. Cały procese podejowania decyzji steruje użytkownik. 126

7 ZAKOŃCZENIE W pracy przedstawiono sposób wyboru decyzji wielokryterialnej. Metodą znajdowania decyzji wielokryterialnych jest optyalizacja specjalnej funkcji skalaryzującej funkcji osiągnięcia. Jako paraetrów sterujących używa się pozioów aspiracji, które są dobrze rozuiane przez decydenta. Taka paraetryczna skalaryzacja pozwala wyznaczać decyzje zgodne z preferencjai decydenta. LITERATURA [1] Findeisen W., Bailey F., Brdyś M., Malinowski K., Tatjewski P., Woźniak A., Control and Coorditation in Hierarchical Systes, Vol. 9, IIASA International series, John Wiley & Sons r [2] Findeisen W., Struktury sterowania dla złożonych systeów, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa r [3] Lewandowski A., Wierzbicki A. P., Aspiration Based Decision Support Systes, vol. 331, Springer-Verlag, Berlin/Heilderberg r [4] Ogryczak W. Wielokryterialna optyalizacja liniowa i dyskretna. Wydawnictwa UW, Warszawa r [5] Wierzbicki A. P., Makowski M., Wessela J., Model-based Decision Support Methodology with Environental Applications, Kluwer Acadeic Publishers, Dordrecht-Laxenburg r. 2. [6] Wierzbicki A. P., Granat J., Optyalizacja we Wspoaganiu Decyzji (aszynopis), r. 23. [7] Wierzbicki A. P., On the copletness and constructiveness of paraetric characterizations to vector optiization probles, vol. 8, OR Spektru r [8] Łodziński A., The use of reference objectives for selecting polyoptial control in ultistage process. Syste Analysis Modelling Siulation, vol.8, Akadeie Verlag, Berlin r [9] Wierzbicki A. P., The use of reference objectives in ulti-objective optiization, (w:) Multiple Criteria Decision Making. Theory and Application, Lecture Notes in Electronic and Matheatical Systes, vol. 177, red. Fandel G., Gal T., Springer-Verlag, Berlin/Heildelberg r

8