Koła rowerowe malują fraktale

Transkrypt

1 Koła rowerowe malują fratale Mare Berezowsi Politechnia Śląsa Rozważmy urządzenie sładającego się z n ół o różnych rozmiarach, obracających się z różnymi prędościami. Na obręczy danego oła, obracającego się z oreśloną prędością, zamontowane jest oło od niego mniejsze, obracające się z prędością więszą (rys.1 ). Rys. 1. System ół. ϕ na tym rysunu oznacza ąt obrotu danego oła względem własnej osi. W efecie poszczególne oła obracają się nie tylo z prędościami własnymi, ale napędzane są taże ruchem wszystich ół od nich więszych.

2 2 Na obręczy ostatniego (najmniejszego) oła zamocowany jest rysi, tóry pozostawia ślad na płaszczyźnie. Oazuje się, że już przy stosunowo niewieliej liczbie ół ślad ten może być bardzo sompliowany i tworzyć nawet rysune fratalny. Cieawe jest to, że mimo, że obrotowe prędości własne poszczególnych ół są stałe, nieustannie zmienia się prędość rysia, i to zarówno jej wartość ja i ierune. W srajnym przypadu, gdy liczba ół dąży do niesończoności, prędość rysia zmienia się w ażdej chwili. i wynosi: Założymy, że stosune promieni oraz ątów obrotu poszczególnych ół jest stały q r r ϕ ϕ + 1 = = + 1 > 1. (1) Pozycję rysia, zamocowanego na obwodzie ostatniego oła, oreślają wzory: x y = = = = 1 ( ) = r cos( q ϕ ) r cos ϕ (2) q = 1 ( ) = r sin( q ϕ ) r sin ϕ. (3) q = Przechodząc na zapis zespolony powyższe wzory przedstawić można jao: R iϕ iq ϕ = r e = r e = = q 1 (4) gdzie R jest promieniem wodzącym zespolonym, natomiast 2 ( x ) ( ) 2 R + y = (5) jest odległością rysia od osi najwięszego oła, czyli rzeczywistą długością tego promienia. Korzystając z tych zależności łatwo wyazać, że dla n=2 i q=2 rysi reśli linię o długości L = 8r. Dla r = 1/ 2 linia ta ogranicza obszar o identycznych rozmiarach i ształcie ja najwięszy obszar słynnego fratala Mandelbrota, oreślany w literaturze jao ardioida.

3 3 Wprowadzając do naszych rozważań znormalizowany promień wodzący oraz srótowy zapis ąta obrotu najwięszego oła jao: R R = ; t = ϕ (6) r równanie (4) przeształca się do postaci: 1 iq t R e. (7) q n = 1 = Zależność ta w swej formie jest analogiczna do funcji Weierstrassa. Ponieważ długość promień R zmienia się w sposób ciągły, ciągła jest taże trajetoria ruchu rysia. Nieciągła jest natomiast szybość zmiany długości tego promienia, czyli prędość ruchu rysia: dr dt = i n 1 lim n = e iq t. (8) Dla n = nieciągłość ta występuje dla ażdej wartości t. W pratyce, gdy n <, zjawiso to ma znaczenie dla przyrostu t > q 1 n. I ta, np. dla n=2 i q=2.5, t >. 3. Oznacza to, że zani nieciągłości pochodnej (8), czyli zani nieciągłości prędości ruch rysia, zaobserwowalibyśmy mierząc obrót najwięszego oła dopiero w odstępach rótszych niż 3 nanostopni. W pratyce zatem w uładzie występują nieustannie gwałtowne zmiany prędości ruchu rysia, zarówno jej wartości ja i ierunu. Można powiedzieć, że rysi jest nieustannie szarpany i w onsewencji może tworzyć na płaszczyźnie bardzo złożone figury fratalne. Rozważmy dla przyładu system złożony z 2 ół, w tórym zastosowano q=2,5. Na rys. 2 przedstawiono obraz jai maluje rysi zamontowany na obwodzie dwudziestego oła.

4 4 Rys. 2. Fratal namalowany przez oła. Prezentowana strutura jest bardzo złożona, a jej fragmenty poazane na rys. 3 i 4 świadczą, że ma ona formę fratalną.

5 5 Rys. 3. Fragment obrazu z rys. 2.

6 6 Rys. 4. Fragment obrazu z rys. 3. Użyte na powyższych wyresach symbole x i y są współrzędnymi znormalizowanymi: x x =, r y y =. r

7 7 Z olei na rys. 5 przedstawiono zmiany długości promienia wodzącego R w funcji t. Rys. 5. Zmiany odległości rysia od osi najwięszego oła.

8 8 Natomiast na rys. 6 zaprezentowano szybość tych zmian dr. dt Rys. 6. Szybość zmian odległości rysia od osi najwięszego oła. Powyższe wyresy potwierdzają ciągłość zmian odległości rysia R od osi najwięszego oła oraz pratyczną nieciągłość szybości ruchu rysia dr. W granicznym dt przypadu, gdy n =, gwałtowna zmiana tej szybości następuje dla ażdej wartości t.

9 9 (rys. 7). Widoczne na poniższej płaszczyźnie fazowej zygzai są onsewencją tej nieciągłości Rys. 7. Prędość ruchu rysia. Gdy n = zygzai występują w ażdym puncie płaszczyzny. Trajetoria ta przypomina ruchy Browna, gdzie ja wiadomo ruch cząstecze brownowsich jest taże zygzaowaty w ażdym puncie [1]. Konsewencją tego jest to, że wprawdzie zmiany długości promienia wodzącego mają charater ciągły (co poazano na rys. 5), ale charater tych zmian nie jest gładi. Można powiedzieć, że wyres jest chropowaty. Przy niesończenie wielu ołach chropowatość ta występuje w ażdym puncie. Na rys. 8 przedstawiono formę przestrzenną tego zjawisa.

10 1 Rys. 8. Góry malowane ołami. Trudno oprzeć się wrażeniu, że podobny charater mają taże strutury przyrody. Wystarczy spojrzeć na góry saliste. Szerszy wywód zaprezentowanego w niniejszym materiale problemu zainteresowany Czytelni znaleźć może w artyule [2]. Literatura [1]. P. F. Góra, Sto lat teorii ruchów Browna. Foton 91, Zima 25. [2]. M. Berezowsi, Phase trajectories of a certain mechanical system. Far East Journal of Dynamical Systems, 13/1, 85-96, 21.