Koła rowerowe kreślą fraktale

Transkrypt

1 26 FOTON 114, Jesień 2011 Koła rowerowe reślą fratale Mare Berezowsi Politechnia Śląsa Od Redacji: Fratalom poświęcamy ostatnio dużo uwagi. W Fotonach 111 i 112 uazały się na ten temat artyuły Marcina Figla i Tomasza Sabały. Najczęściej podreślaną cechą fratali jest ich samopodobieństwo. W poniższym artyule autor przedstawia, ja za pomocą prostego urządzenia mechanicznego, sładającego się z połączonych ze sobą ół (np. rowerowych), można narysować fratale. Rozważmy urządzenie sładające się z n ół o różnych rozmiarach, obracających się z różnymi szybościami. Na obręczy danego oła, obracającego się z oreśloną szybością, zamontowane jest oło od niego mniejsze, obracające się z szybością więszą (rys. 1). Rys. 1. System ół (φ na tym rysunu oznacza ąt obrotu danego oła względem własnej osi) W efecie poszczególne oła obracają się nie tylo z szybościami własnymi, ale napędzane są taże ruchem wszystich ół od nich więszych. Na obręczy ostatniego (najmniejszego) oła zamocowany jest rysi, tóry pozostawia ślad na płaszczyźnie. Oazuje się, że już przy stosunowo niewieliej liczbie ół ślad ten może być bardzo sompliowany i tworzyć rysune fratalny. Pomimo iż prędości obrotowe własne poszczególnych ół są stałe, nieustannie zmienia się prędość rysia, i to zarówno jej wartość, ja i ierune. Założymy, że stosune promieni oraz ątów obrotu poszczególnych ół jest stały i wynosi: r 1 q 1 (1) r 1

2 FOTON 114, Jesień Pozycję rysia, zamocowanego na obwodzie ostatniego oła, oreślają wzory: n n 1 1 (2) x' r cos r cos q 0 0q n n 1 1. (3) y' r sin r sin q 0 0q Przechodząc do zapisu zespolonego powyższe wzory przedstawić można jao: n 1 n 1 1 R' r e r e q i iq 0 0 (4) 0 0 gdzie R jest promieniem wodzącym zespolonym, natomiast 2 2 R' x' y' (5) jest odległością rysia od osi najwięszego oła, czyli rzeczywistą długością tego promienia. Korzystając z tych zależności łatwo wyazać, że dla n = 2 i q = 2 rysi reśli linię o długości L = 8r 0. Dla r 0 = 1/2 linia ta ogranicza obszar o identycznych rozmiarach i ształcie ja najwięszy obszar słynnego fratala Mandelbrota, oreślany w literaturze jao ardioida. Wprowadzając do naszych rozważań znormalizowany promień wodzący oraz srótowy zapis ąta obrotu najwięszego oła jao: równanie (4) przeształca się do postaci: R' R ; t r 0 (6) R 0 n 1 1 iq t e (7) 0 q Ponieważ długość promienia R zmienia się w sposób ciągły, ciągła jest taże trajetoria ruchu rysia. Nieciągła jest natomiast szybość zmiany długości tego promienia, czyli prędość ruchu rysia: n 1 dr i iq t lim e dt (8) n 0 Dla n nieciągłość ta występuje dla ażdej wartości t. W pratyce, gdy n, zjawiso to ma znaczenie dla przyrostu Δt > q 1 n. I ta np. dla n = 20 i q = 2,5, t 0, Oznacza to, że zani nieciągłości pochodnej (8), czyli zani nieciągłości prędości ruchu rysia, zaobserwowalibyśmy mierząc obrót najwięszego oła dopiero w odstępach rótszych niż

3 28 FOTON 114, Jesień nanostopni. W pratyce zatem w uładzie występują nieustannie gwałtowne zmiany prędości ruchu rysia, zarówno jej wartości, ja i ierunu. Można powiedzieć, że rysi jest nieustannie szarpany i w onsewencji może tworzyć na płaszczyźnie bardzo złożone figury fratalne. Rozważmy dla przyładu system złożony z 20 ół, w tórym zastosowano q = 2,5. Na rys. 2 przedstawiono obraz, jai reśli rysi zamontowany na obwodzie dwudziestego oła. Rys. 2. Fratal namalowany przez oła Prezentowana strutura jest bardzo złożona, a jej fragmenty poazane na rys. 3 i 4 świadczą, że ma ona formę fratalną. Rys. 3. Fragment obrazu z rys. 2

4 FOTON 114, Jesień Rys. 4. Fragment obrazu z rys. 3 Użyte na powyższych wyresach symbole x i y są współrzędnymi znormalizowanymi: x, y. x' y ' r0 r0 Z olei na rys. 5 przedstawiono zmiany długości promienia wodzącego R w funcji t. Rys. 5. Zmiany odległości rysia od osi najwięszego oła Natomiast na rys. 6 zaprezentowano szybość tych zmian dr dt.

5 30 FOTON 114, Jesień 2011 Rys. 6. Szybość zmian odległości rysia od osi najwięszego oła Powyższe wyresy potwierdzają ciągłość zmian odległości rysia R od osi dr najwięszego oła oraz pratyczną nieciągłość szybości ruchu rysia. dt W granicznym przypadu, gdy n, gwałtowna zmiana tej szybości następuje dla ażdej wartości t. Widoczne na poniższej płaszczyźnie fazowej zygzai są onsewencją tej nieciągłości (rys. 7). Rys. 7. Współrzędne prędości ruchu rysia

6 FOTON 114, Jesień Gdy n zygzai występują w ażdym puncie płaszczyzny. Trajetoria ta przypomina ruchy Browna, gdzie ja wiadomo ruch cząstecze brownowsich jest taże zygzaowaty w ażdym puncie [1]. Konsewencją tego jest fat, że wprawdzie zmiany długości promienia wodzącego mają charater ciągły (co poazano na rys. 5), ale charater tych zmian nie jest gładi. Można powiedzieć, że wyres jest chropowaty. Przy niesończenie wielu ołach chropowatość ta występuje w ażdym puncie. Na rys. 8 przedstawiono formę przestrzenną tego zjawisa. Rys. 8. Góry reślone ołami Trudno oprzeć się wrażeniu, że podobny charater mają taże strutury przyrody. Wystarczy spojrzeć na góry saliste. Więcej na temat tu poruszony można przeczytać w artyule [2]. Literatura [1] P.F. Góra, Sto lat teorii ruchów Browna, Foton 91, Zima 2005 [2] M. Berezowsi, Phase trajectories of a certain mechanical system, Far East Journal of Dynamical Systems, 13/1, 85 96, 2010 Redacja poleca [3] P. Pierańsi, Fratale: od geometrii do sztui, Ośrode Wydawnictw Nauowych, Poznań 1992 [4] M. Figiel, T. Sabała, Fratale, Foton 111, Zima 2010, s. 18 [5] M. Figiel, T. Sabała, Maszyna do fratali, Foton 112, Wiosna 2011, s. 28