HEURYSTYCZNA PROCEDURA SZEREGOWANIA ZADA W SYSTEMIE MASZYN RÓWNOLEGŁYCH PRZY OGRANICZONEJ DOST PNO CI ZASOBÓW

Transkrypt

1 EURYSYCA PROCEDURA SEREGOWAIA ADA W SYSEMIE MASY RÓWOLEGŁYC PRY OGRAICOEJ DOSPOCI ASOBÓW BIGIEW BUCALSKI Poltechna Wrocławsa Streszczene Cele artył jest prezentacja rezltatów bada proble czasowo-optyalnego szeregowana zada rozdzał zasobów w systee aszyn równoległych. Syste ten posada równoległych aszyn na tórych naley wyona n zada. aładay e wszyste zadana s nezalene lczba zada jest wsza od lczby aszyn. aładay ponadto e wystpje stało przydzał zasobów do aszyn podczas wyonywana całego zbor zada. Dla zadanej fncj czas realzacj zada sforłowano odel ateatyczny proble. Ponewa proble ten naley do lasy probleów P-zpełnych zaproponowano pewen algoryt herystyczny dla rozwzana postawonego proble. aprezentowano rezltaty esperyentów oblczenowych wyonanych na baze podanego w pracy algoryt herystycznego. Słowa lczowe systey aszyn równoległych szeregowane zada rozdzał zasobów algoryty herystyczne.. Wprowadzene Rozwój równoległych systeów przetwarzana nforacj pocgnł za sob ntensywny rozwój probleaty szeregowana zada rozdzał zasobów. Szczególnego znaczena nabera proble nalzacj dłgoc szeregowana zada na aszynach. adana optyalzacj zarówno dysretnej ja cgłej nale do lasy probleów bardzo trdnych zarówno z teoretycznego ja oblczenowego pnt wdzena najczcej nale do lasy probleów P-zpełnych a wc s do soplowane. Przy rozwzywan tych probleów wystpj stotne trdnoc natry oblczenowej. Pojawaj s bardzo trdne zagadnena rozstrzygnca złoonoc oblczenowej rozpatrywanych probleów. Rozstrzygnca te s stotne z pnt wdzena onstrcj efetywnych oblczenowo algorytów rozwzjcych te probley [ ]. Wyn teor złoonoc oblczenowej oraz rozar probleów pratycznych w sposób jednoznaczny elnj z rozwaa algoryty doładne pozostawajc do zastosowana pratycznego jedyne algoryty herystyczne olwajce rozwzane postawonych probleów w rót czase z zadowalajca doładnoc. Fat ten jest typowy dla tej lasy probleów optyalzacj dysretnej w przypad edy zaley na na rót czase oblcze jedyny podejce jest zastosowane algorytów herystycznych. Badana nad algoryta herystyczny dostarczajcy rozwza zagadne w tórych zastosowane etod doładnych jest neefetywne lb wrcz neolwe stanow jedn z najszybcej rozwjajcych s gałz na [ ]. Cele nnejszej pracy jest znalezene taego szeregowana n nezalenych nepodzelnych zada na aszynach pracjcych równolegle oraz taego przydzał zasob podzelnego w sposób cgły do tych aszyn aby nalzowa czas za zaoczena wyonywana

2 272 POLSKIE SOWARYSEIE ARDAIA WIED Sera Stda Materały nr wszystch zada. Sposób wyonana zada orela nezbdna do tego lo zasob. eatya ta porszana j była we wczenejszych pracach atora [9 0 ]. W artyle zaprezentowanono algoryt herystyczny wyznaczajcy czasowo-optyalne szeregowane n zada nezalenych nepodzelnych ogranczonej lczby jednoste zasob neodnawalnego podzelnego w sposób cgły do aszyn pracjcych równolegle. Przedstawono wyn bada nerycznych przeprowadzonych na algoryte dla losowo generowanych danych. 2. Sforłowane zagadnena Rozpatrzy syste aszyn połczonych równolegle przedstawony na ponszy rysn ródło Opracowane własne. Rys.. Syste aszyn równoległych a syste aszyn równoległych naładay nastpjce załoena (I) posada rónych aszyn M { } na tórych naley wyona n nezalenych zada { n} (II) zadane oe by wyonywane na dowolnej aszyne w trace jego wyonywana ne oe by przerywane (III) lczba zada do wyonana jest wsza od lczby aszyn n > (IV) realzacja adego z zada na aszynach s nastpowa nezwłoczne po zaoczen wyonywana poprzednego zadana lb nastp w chwl zerowej gdy zadane realzowane jest jao perwsze na jednej z aszyn. ech oznacza globaln lo zasobów neodnawalnych a przez oznaczy t cz zasobów tóre zostan przydzelone -tej aszyne w trace wyonywana zada szeregowanych na tej aszyne. Ogranczene dotyczce zasobów jest nastpjce 0.

3 bgnew Bchals erystyczna procedra szeregowana zada w systee aszyn równoległych przy ogranczonej dostpnoc zasobów 273 Czas wyonywana -tego zadana na -tej aszyne orelony jest przez nastpjc fncj ( ) b ( ) a + { 2... } n. () Paraetry a > 0 b > 0 charateryzj -te zadane -t aszyn. aley znale tae szeregowane zada na aszynach ta przydzał ogranczonych zasobów do aszyn równoległych aby nalzowa czas zaoczena wyonana całego zbor zada za. 3. Model ateatyczny zagadnena Jeel oznaczyy przez zbór zada szeregowanych na -tej aszyne to za znajdzey rozwzjc nastpjcy proble nalzacyjny za n ax ( ).... (2) Ogranczena nałoone na rozwzane tego proble s nastpjce r s φ r s 2... r s 2... całowte dodatne. Ogranczene (III) powodje e proble do rozwzana jest do soplowany. Przyjey zate najperw e zasoby neodnawalne 2... s cgłe. Przy ty załoen wyznaczyy rozwzane optyalne a nastpne zaorgly otrzyane wartoc zasobów do najblszych lczb natralnych (ro 6 algoryt herystycznego w pnce 4). Uwzgldnajc t relasacj nalny czas za zaoczena wyonywana zbor zada przez syste aszyn równoległych znajdzey rozwzjc nastpjcy proble nalzacj dysretno-cgłej za n ax '( ) (3) przy nastpjcych ogranczenach r s φ r s 2... r s 0 + gdze [ 0 ] { 2.. } R + { 2... } { 2.. } R 2... ' jest rozszerzene nastpjcej fncj orelone jest przez fncj

4 POLSKIE SOWARYSEIE ARDAIA WIED Sera Stda Materały nr ( ) [ ]. 0 ' n b a + (4) Do rozwzana postawonego proble poocny bdze nastpjcy leat Leat. Jeel... 2 s rozwzana optyalny zadana (3) to > φ φ ) ( ' const φ Warne () w Leace oznacza e w przydzale czasowo-optyalny zasobów zada do aszyn wyorzystje s wszyste jednost zasobów a warne () e czasy pracy tych aszyn na tórych wyonywane s jae zadana s dentyczne. defnjy fncj F( 2... ) orelon dla zborów 2... dla tórych zachodz ogranczene () dla wzor (3). Warto tej fncj jest rozwzane nastpjcego ład równa > + F b a )... ( (5) Wyorzystjc Leat oraz (5) zadane (3) ona przedstaw w postac ( )... n za F (6) przy ogranczenach s r s r s r φ 2.. Jeel 2.. jest rozwzane zadana (6) to... 2 gdze ( ) a F b φ φ (7) jest rozwzane zadana (3).

5 bgnew Bchals erystyczna procedra szeregowana zada w systee aszyn równoległych przy ogranczonej dostpnoc zasobów Algoryt herystyczny Maszyny wchodzce w sład syste aszyn równoległych rón s pod wzglde szyboc wyonywana zada. Decydje o ty lo zasobów przydzelanych poszczególny aszyno. Dlatego te -ta aszyna bdze ty szybsza wcej zasobów jej przydzelono. Przedstawony w pracy algoryt herystyczny szeregje najperw zadana na jednaowych aszynach tj. tach do tórych przydzelona została jednaowa lczba dostpnych zasobów 2... (ro 4 ). Po ty szeregowan nastpje zróncowane aszyn pod wzglde lczby przydzelonych zasobów sprawdzene czy srócony został czas zaoczena wyonywana wszystch zada za (ro 2 5).. aładay e aszyn najszybsz jest aszyna perwsza ze zbor M a aszyn najwolnejsz jest aszyna -ta. Mar szyboc realzacj -tego zadana przez -t aszyn jest współczynn zasobów β β >. Maszyne -tej czyl najwolnejszej przydzelay zasobów wg nastpjcej zalenoc + [( ) β ] (8) a pozostały aszyno przydzelay lczb zasobów wg wzor ( ) β (9) Algoryt herystyczny wyznaczajcy czasowo-optyalne szeregowane zada nezalenych na aszynach równoległych a nastpjc posta ro. Oblcz czasy wyonywana zada na poszczególnych aszynach ro 2. ro 3. b + ( ) a 2... n 2.. dla losowo generowanych paraetrów a b oraz dla zadanej wartoc. Uszeregj alejco zadana wg czasów ch trwana tworzc lst L tych zada. Oblcz redn czas r wyonywana zada przez ad z aszyn wg wzor n ( ) M. r ro 4. Przydzelaj na przean najdłsze najrótsze zadana z lsty L do perwszej wolnej aszyny poczynajc od aszyny perwszej do oent gdy sa czasów wyonywana zada przydzelonych tej aszyne ne przeroczy czas r a nastpne s te zadana z lsty L. ro 5. Jeel s jeszcze aszyny tóry ne przydzelono adnych zada to wró do ro 4. W przecwny wypad przejd do ro 6.. ro 6. Przydzelaj olejno najrótsze zadana z lsty L do olejnych aszyn od perwszej poczynajc a na -tej oczc a nastpne s te zadana z lsty L. Jeel lsta L s

6 276 POLSKIE SOWARYSEIE ARDAIA WIED Sera Stda Materały nr jeszcze ne wyczerpała to wyonaj ro 7. W przecwny wypad przejd do ro 8. ro 7. Przydzelaj olejno najrótsze zadana z lsty L do aszyn w odwrotnej olejnoc n w ro 6 tzn. od -tej poczynajc a na perwszej oczc a nastpne s te zadana z lsty L. Jeel lsta L s jeszcze ne wyczerpała to wró do ro 6. W przecwny wypad przejd do ro 8. ro 8. Oblcz czas zaoczena wyonywana wszystch zada za dla szeregowana zada na aszynach tworzonego w roach 4 7 dla. ro 9. Oblcz saryczne czasy wyonywana zada szeregowanych na poszczególnych aszynach. ro 0. Us najrótsze zadane z aszyny o najdłszy saryczny czase wyonywana zada przydzel je do aszyny o najrótszy saryczny czase wyonywana zada. ro. Oblcz czas zaoczena wyonywana wszystch zada za po zaane zada w ro 0. Jeel czas ten legne srócen to wró do ro 9. W przecwny wypad anlj ostatno wyonan czynno w ro 0 zaocz szeregowane zada na aszynach. ro 2. Dla zadanego współczynna β przydzel zasoby 2... poszczególny aszyno wylczone z zalenoc (8) (9). ro 3. Dla szeregowana zada na aszynach tworzonego w roach 4 dla lczby zasobów przydzelonych aszyno w ro 2 oblcz czas zaoczena wyonywana wszystch zada za. ro 4. Powtórz ro 2 ro 3 dla nastpnych zwszajcych s olejno sed wartoc współczynna β. Po zaoczen tych prób przejd do ro 5. ro 5. Porównaj wartoc czasów zaoczena wyonywana wszystch zada za z olejnych prób wyberz najrótszy z tych czasów. ro 6. Wyznacz dysretne loc zasobów 2... wedłg zalenoc ˆ ( ) ( ) ( ) gdze + j j 2... ˆ ( ) oraz jest ta pertacj eleentów zbor M { 2... } e ( ) () (2) (2)... ( ) ( ). Jeel stnej tae aszyny tóry przydzelono zerowe loc zasobów to przydzel adej z tych aszyn po jednej jednostce zasob poberajc je z olejnych aszyn poczynajc od aszyny tórej przydzelono najwsz lo zasobów.. 5. Wyn esperyentów oblczenowych a baze przedstawonego w poprzedn pnce pracy algoryt herystycznego przeprowadzono esperyenty oblczenowe. Algoryt wyonje za ady raze ose prób znalezena najlepszego z pnt wdzena czas realzacj zbor zada rozwzana. Po

7 bgnew Bchals erystyczna procedra szeregowana zada w systee aszyn równoległych przy ogranczonej dostpnoc zasobów 277 wyonan ser prób z róny wartoca współczynna podzał zasobów β porównywane s ze sob czasy realzacj zbor zada wyberany jest najrótszy z nch. Esperyenty oblczenowe przeprowadzono dla o zwszajcych s olejno wartoc współczynna podzał zasobów β ze zbor {3 6 24}. Paraetry a b charateryzjce -te zadane -t aszyn wylosowane zostały ze zbor {5 0 50} przez generator o jednostajny rozładze prawdopodobestwa. Oblczena przeprowadzono dla zadanej lczby zada n lczby aszyn oraz dla ogranczonej lczby zasobów Dla adej obnacj n wygenerowano 40 nstancj. astpne doonano analzy porównawczej zaproponowanego w pracy algoryt herystycznego ze znany z lteratry algoryte LP (Longest Processng e) [3]. Rezltaty tej analzy zostały przedstawone w abel. W abel wystpj nastpjce weloc n lczba zada lczba aszyn czas zaoczena wyonywana wszystch zada ze zbor przy wyorzystan za algoryt herystycznego LP czas zaoczena wyonywana wszystch zada ze zbor przy wyorzystan za algoryt LP redna procentowa poprawa czas w stosn do LP S S LP LP za za 00% za redn czas oblcze dla algoryt herystycznego redn czas oblcze dla algoryt LP. za abela. Wyn analzy porównawczej algoryt herystycznego algoryt LP za n/ < za Lczba nstancj dla tórych LP za za LP za S S LP LP > za za % se se 30/ / / / / / / / / / / / /

8 278 POLSKIE SOWARYSEIE ARDAIA WIED Sera Stda Materały nr n/ < za Lczba nstancj dla tórych LP za za LP za S S LP LP > za za % se se 60/ / / / / / / ródło Opracowane własne. 6. Uwag ocowe Przedstawone w poprzedn pnce esperyenty oblczenowe wyazały e jao szeregowana zada na równoległych aszynach na baze zaproponowanego w pracy algoryt herystycznego legła poprawe w stosn do szeregowana za pooc znanego z lteratry LP algoryt LP. Klprocentowa poprawa czas za w stosn do za oe by zacht do dalszych prac nad efetywny algoryta herystyczny. astosowane podanego w pracy algoryt herystycznego jest wsazane przede wszyst dla systeów prodcyjnych o dej lczbe zada gdy wówczas redna procentowa poprawa Η jest najwsza. aproponowany algoryt oe sły zarówno do rozdzał operacj na stanowsa prodcyjne wyposaone w odpowedne aszyny w dysretnych systeach prodcyjnych ja do szeregowana prograów w weloprocesorowych systeach opterowych. [] Banco L. n. Preeptve schedlng of ltprocessor tass on the dedcated processors syste sbject to nal lateness. Inforaton Processng Letters pp [2] Banco L. n. Lnear algorths for preetve schedlng of ltprocessor tass sbject to nal lateness. Dscrete Appled Matheatcs pp [3] Błaewcz J. n. Badana operacyjne dla nforatyów W Warszawa 983. [4] Błaewcz J. n. Schedlng ndependent ltprocessor tass before deadlnes. Dscrete Appled Matheatcs 65 ( 3) 996 pp [5] Błaewcz J. n. Schedlng n Copter and Manfactrng Systes. Sprnger-Verlag Berln-edelberg 993. [6] Błaewcz J. L. Schedlng ltprocessor tass wth chan constrants. Eropean Jornal of Operatonal Research pp [7] Boctor F. F. A new and effcent herstc for schedlng projects wll resorces restrctons and ltple execton odel. Eropean Jornal of Operatonal Research vol pp [8] Brah S.A. Loo L.L. erstcs for schedlng n a flow shop wth ltple processors Eropean Jornal of Operatonal Research Vol. 3 o. 999 pp

9 bgnew Bchals erystyczna procedra szeregowana zada w systee aszyn równoległych przy ogranczonej dostpnoc zasobów 279 [9] Bchals. Szeregowane zada na rónych aszynach równoległych z razdzałe ogranczonych zasobów. eszyty aowe Poltechn lsej Atoatya o. 389 Glwce 998 pp [0] Bchals. A Progra Schedlng erstc Algorth n Mltprocessng Copter Syste wth Lted Meory Pages. Polsh Jornal of Envronental Stdes Vol. 5 o. 4C 2006 pp [] Bchals. Mnsng the otal Processng e for the ass Schedlng on the Parallel Machnes Syste. Proc. of the 2 th IEEE Internatonal Conference on Methods and Models n Atoaton and Robotcs Doe S. Kaszys R. (Eds.) Mdzyzdroje Poland MMAR Agst 2006 pp [2] Cheng J. Karno Y. Kse. A shftng bottlenec approach for a parallel-achne flowshop schedlng proble Jornal of the Operatonal Reasearch Socety of Japan Vol. 44 o pp [3] Gpta J..D. arr A.M.A. Potts C.. Schedlng a two-stage hybrd flow shop wth parallel achnes at the frst stage Annals of Operatons Research Vol. 69 o pp [4] oogeveen J.A. Lenstra J.K. Veltan B. Preeptve schedlng n a two-stage ltprocessor flow shop n P-hard Eropean Jornal of Operatonal Research Vol. 89 o. 996 pp [5] Jana A. Kovalyov M. Sngle achne schedlng sbject to deadlnes and resorces dependent processng tes. Eropean Jornal of Operatonal Research vol pp [6] Józefowsa J. n. Dscrete-contnos schedlng to nze ax lateness Proceedngs of the Forth Internatonal Sypos on Methods and Models n Atoaton and Robotcs MMAR 97 Mdzyzdroje Poland 997 pp [7] Józefowsa J. n. Local search etaherstcs for dscrete-contnos schedlng probles Eropean Jornal of Operatonal Research pp [8] Józefowsa J. Wglarz J. Dscrete-contnos schedlng probles ean copleton te reslt Eropean Jornal of Operatonal Research vol. 94 o pp [9] Józefowsa J. Wglarz J. On a ethodology for dscrete-contnos schedlng Eropean Jornal of Operatonal Research Vol. 07 o pp [20] g C.. n. Grop Schedlng wth controllable setp and processng tes nzng total weghted copleton te Ann. Oper. Res pp [2] owc E. Stnc C. he flow shop wth parallel achnes. A ab search approach. Eropean Jornal of Operatonal Research pp [22] Santos D.L. J.L. Deal D.E. An evalaton of seqencng herstcs n flow shops wth ltple processors Copters and Indstral Engneerng Vol. 30 o pp [23] Wglarz J. Mltprocessor schedlng wth eory allocaton a deternstc approach. IEEE rans. Copt. C pp

10 280 POLSKIE SOWARYSEIE ARDAIA WIED Sera Stda Materały nr EURISIC PROCEDURE OF ASK SCEDULIG I PARALLEL MACIE SYSEM WI LIMIED RESOURCE ACCESS Sary he a of the paper s to present reslts of research on the proble of teoptal tass schedlng and resorces allocaton n parallel achnes syste. We consder syste havng parallel achnes. hs syste can execte n tass. We asse that all n tass are ndependent and nber of tass s greater than nber of achnes. We also asse that s constancy of resorces allocaton n execton te all tass set. For soe tass processng te fncton the atheatcal odel of ths proble s forlated. Becase or proble belongs to the class of P-coplete probles we propose an herstc algorth for solton of ths proble. Soe reslts of exected nercal experents for bass of proposed herstc algorth are presented. Keywords parallel achnes systes tas schedlng resorces allocaton herstc algorths. bgnew Bchals Instytt Inforaty Atoaty Roboty Wydzał Eletron Poltechna Wrocławsa l. Janszewsgo / Wrocław e-al zbgnew.bchals@pwr.wroc.pl