Materiały dydaktyczne. Matematyka. Semestr III. Wykłady
|
|
- Piotr Kubicki
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Materiały dydatyczne Matematya Semestr III Wyłady Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin
2 WIII RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE PIERWSZEGO RZĘDU. Pojęcia wstępne. Równania różniczowe o zmiennych rozdzielonych 3. Równania jednorodne. Pojęcia wstępne Równaniem różniczowym zwyczajnym nazywamy równanie postaci F y y y... y n 0 Rozwiązaniem (całą równania różniczowego nazywamy ażdą funcję y y tóra spełnia to równanie tożsamościowo. Rzędem równania różniczowego nazywamy rząd najwyższej pochodnej szuanej funcji występującej w tym równaniu. Jeżeli funcja F występująca w równaniu różniczowym jest wielomianem stopnia zmiennych y y... y n to liczbę nazywamy stopniem równania różniczowego. Równanie różniczowe stopnia pierwszego nazywamy równaniem różniczowym liniowym. Całą ogólną (rozwiązaniem ogólnym równania różniczowego rzędu n nazywamy funcję y y c c... c n tóra zależy od n dowolnym wzajemnie niezależnych stałych c c... c n taą że przyjmując dowolne stałe wartości c c... c n otrzymamy wszystie znajdujące się w danym obszarze rzywe całowe i wyłącznie te rzywe. Nadając występującym w całce ogólnej stałym c c... c n oreślone wartości otrzymujemy całę szczególną (rozwiązanie szczególne równania różniczowego. Całą osobliwą (rozwiązaniem osobliwym równania różniczowego nazywamy całę tórej nie można otrzymać z całi ogólnej przez nadanie stałym c c... c n oreślonych wartości. Zagadnienie Cauchy ego (zagadnienie o warunach początowych polega na wyznaczeniu taiej całi szczególnej y tóra spełnia waruni początowe Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin
3 n... y y y y y y n gdzie liczby 0 y 0 y... y n (są dane nazywamy wartościami początowymi. Równaniem liniowym rzędu n nazywamy równanie różniczowe postaci n n n y a y a y... a y a y f n n gdzie funcje ai i 0... n oraz 0 f są danymi funcjami ciągłymi w przedziale J. Zagadnieniem o warunach brzegowych dla równania różniczowego liniowego rzędu n nazywamy zadania polegające na wyznaczaniu całi y tóra spełnia w przedziale J waruni y y... n J ( y są dane nazywane warunami brzegowymi.. Równanie o zmiennych rozdzielonych Równaniem o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie różniczowe postaci P y y Q gdzie P Q są funcjami o argumentach y oraz (odpowiednio ciągłymi w pewnych przedziałach. Rozwiązanie ogólne (całę ogólną znajdujemy całując obie strony równania P y dy (rozwiązanie ogólne w postaci uwiłanej. 3. Równanie jednorodne Qd stąd y C Równaniem jednorodnym nazywamy równanie różniczowe postaci y y f gdzie f y jest funcją ciągłą ilorazu w pewnym przedziale. Stosujemy podstawienie: y u stąd y u oraz y u u. Po podstawieniu otrzymujemy równanie różniczowe o zmiennych rozdzielonych o nowej funcji niewiadomej u f u u u przy założeniu 0 f u u 0. Literatura: P. Roz. VIII 8.; P. Roz.. Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 3
4 WIII RÓWNANIE LINIOWE PIERWSZEGO RZĘDU. RÓWNANIE BERNOULLIEGO. Równanie liniowe. Równanie Bernoulliego. Równanie liniowe Równanie postaci Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 4 y p y f p f funcje ciągłe w pewnym przedziale nazywamy równaniem różniczowym liniowym rzędu pierwszego. Jeżeli f 0 wówczas równanie (o zmiennych rozdzielonych y p 0 nazywamy równaniem różniczowym liniowym jednorodnym.. Metoda uzmienniania (wariacji stałej a. Znajdujemy rozwiązanie ogólne (całę ogólną równania liniowego jednorodnego y C e P gdzie P jest funcją pierwotną funcji p b. Uzmienniamy stałą C: C C Znajdujemy funcję C dla tórej liniowego niejednorodnego. P p. y C e P jest rozwiązaniem ogólnym równania. Metoda przewidywań (metoda współczynniów nieoznaczonych Rozwiązanie ogólne równania liniowego niejednorodnego jest postaci y y y gdzie y 0 jest rozwiązaniem ogólnym równania liniowego jednorodnego natomiast y jest dowolnym rozwiązaniem szczególnym (całą szczególną równania liniowego niejednorodnego. 0
5 Jeżeli równanie liniowe niejednorodne jest postaci oraz funcja y p y f p stała f jest wielomianem funcją postaci e a sin b cos sumą (ombinacją liniową lub iloczynem tych funcji wówczas przewidujemy rozwiązanie szczególne y analogicznej postaci.. Równanie Bernoulliego Równaniem Bernoulliego nazywamy równanie różniczowe postaci y p y f y gdzie R oraz p f są funcjami ciągłymi w pewnym przedziale. Dla n 0 lub n otrzymujemy równanie różniczowe liniowe. Stosujemy podstawienie y z dla 0 stąd y z. Po podstawieniu otrzymujemy równanie różniczowe liniowe o nowej funcji niewiadomej z z p z f Literatura: P. Roz. VIII 8.; P. Roz.. Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 5
6 WIII 3 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE DRUGIEGO RZĘDU. PRZYPADKI SZCZEGÓLNE F ( y y' y'' 0 rozwiązanie ogólne y y( C C C C R. Szczególne przypadi równań rzędu drugiego. Równanie postaci y f Równanie postaci strony czyli y f rozwiązujemy za pomocą dwurotnego całowania prawej y f d C y C d C C y y C C.. Równanie postaci y f y Równanie to nie zawiera w sposób jawny y. Stosujemy podstawienie y p stąd y p. Po podstawieniu otrzymujemy równanie różniczowe pierwszego rzędu o niewiadomej funcji p p 3. Równanie postaci y f y y p f p Równanie to nie zawiera w postaci jawnej zmiennej niezależnej. Stosujemy podstawienie y p p p y stąd y p py y p py Po podstawieniu otrzymujemy równanie różniczowe pierwszego rzędu o niewiadomej funcji p p y p p f y p y Literatura: P. Roz. VIII 8.; P. Roz. I. Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 6
7 WIII 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE DRUGIEGO RZĘDU O STAŁYCH WSPÓŁCZYNNIKACH. Równanie liniowe jednorodne o stałych współczynniach. Równanie liniowe niejednorodne o stałych współczynniach. Równania liniowe jednorodne o stałych współczynniach Równanie postaci y ay by 0 a b R nazywamy równaniem różniczowym jednorodnym drugiego rzędu o stałych współczynniach. Szuamy rozwiązań równania postaci y e r (r stała. Po podstawieniu y y y otrzymujemy równanie (liczbowe charaterystyczne: r ar b 0. Jeżeli a 4b 0 wówczas rozwiązanie ogólne równania różniczowego jest postaci r r y C e C e gdzie r r są różnymi pierwiastami równania charaterystycznego a C C dowolnymi stałymi.. Jeżeli 0 wówczas rozwiązanie ogólne równania różniczowego jest postaci r0 r0 y C e C e gdzie r 0 jest pierwiastiem podwójnym równania charaterystycznego a C C dowolnymi stałymi. 3. Jeżeli 0 wówczas rozwiązanie ogólne równania różniczowego jest postaci gdzie rer imr r y C e sin C e cos charaterystycznego C C są dowolnymi stałymi. i r jest jednym z pierwiastów zespolonych równania. Równania liniowe niejednorodne rzędu drugiego o stałych współczynniach Równanie postaci y ay by f nazywamy równaniem różniczowym liniowym niejednorodnym rzędu drugiego o stałych współczynniach.. Metoda uzmienniania (wariacji stałych Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 7
8 a. Znajdujemy rozwiązanie ogólne (całę ogólną równania liniowego jednorodnego tóre jest postaci b. Uzmienniamy stałe C C Rozwiązując uład równań y C y C y C C C C C C y C y y C y f 0 znajdujemy funcje C C dla tórych ogólnym równania liniowego niejednorodnego. y C y C y jest rozwiązaniem. Metoda przewidywań (metoda współczynniów nieoznaczonych Rozwiązanie ogólne równania liniowego niejednorodnego jest postaci y y y 0 gdzie y 0 jest rozwiązaniem ogólnym równania liniowego jednorodnego natomiast y jest dowolnym rozwiązaniem szczególnym (całą szczególną równania liniowego niejednorodnego. Jeżeli funcja e a cos bsin sumą f jest wielomianem funcją postaci (ombinacją liniową lub iloczynem powyższych funcji wówczas przewidujemy rozwiązanie szczególne y analogicznej postaci. Literatura: P. Roz. VIII 8.3; P. Roz. I. Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 8
9 WIII 5 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE. WSTĘP. Równania różniczowe cząstowe liniowe pierwszego rzędu. Równania różniczowe cząstowe liniowe drugiego rzędu 3. Klasyfiacja równań różniczowych cząstowych liniowych drugiego rzędu Równaniem różniczowym cząstowym o niewiadomej funcji u u y z równanie F y z u u u u u u y z y... 0 w tórym występuje co najmniej jedna pochodna cząstowa tej funcji. nazywamy Rzędem równania różniczowego cząstowego nazywamy liczbę n jeżeli w równaniu tym występuje pochodna cząstowa rzędu n funcji u natomiast nie występuje w nim pochodna cząstowa rzędu wyższego niż n. Rozwiązaniem szczególnym (całą szczególną równania różniczowego cząstowego rzędu u C n G spełniającą dane równanie w ażdym puncie n w obszarze G nazywamy funcję tego obszaru. Rozwiązaniem ogólnym (całą ogólną nazywamy zbiór wszystich rozwiązań szczególnych tego równania.. Równania różniczowe cząstowe liniowe rzędu pierwszego Równaniem różniczowym cząstowym liniowym rzędu pierwszego nazywamy równanie B y z C y z f y z A y z u o niewiadomej funcji u u y z u y u z. Załadamy że funcje A B C f są lasy C w jednym obszarze G R 3. Jeżeli funcja f y z 0 w obszarze G wówczas równanie nazywamy równaniem liniowym jednorodnym. B y z C y z A y z u u u 0 y z Równanie jednorodne rozwiązujemy metodą charaterysty. Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 9
10 Równaniem różniczowym cząstowym liniowym jednorodnym rzędu pierwszego o u u y nazywamy równanie niewiadomej funcji B y A y u u 0 y gdzie funcje A B C w pewnym płasim obszarze D R.. Równania różniczowe cząstowe liniowe drugiego rzędu Równania różniczowe cząstowe liniowe drugiego rzędu jest postaci A u u y u y y B y C y a y b y c yu d y 0 u u y o niewiadomej funcji u u y. Załadamy że funcje A B C a b c d są lasy C w pewnym obszarze płasim D i nie zniają jednocześnie w żadnym puncie tego obszaru. 3. Klasyfiacja równań cząstowych rzędu drugiego Rozpatrujemy lasyfiację równań postaci ze względu na zna wyrażenia (wyróżnia w obszarze D. a y b y y A yc y B y D 0 równanie nazywamy równaniem typu hiperbolicznego. c y D 0 równanie nazywamy równaniem typu parabolicznego. D 0 równanie nazywamy równaniem typu eliptycznego. 4. Postać anoniczna Zna wyróżnia jest niezmienniiem dowolnego przeształcenia nieosobliwego g y f y jeżeli funcje f g C i jaobian Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 0 D D y 0 w rozpatrywanym obszarze. Stosując zamianę zmiennych niezależnych możemy sprowadzić równanie do następującej postaci nazywanej postacią anoniczną.
11 a u u f u u u 0 gdy 0 (równanie typu hiperbolicznego. b u f u u u 0 gdy 0 (równanie typu parabolicznego. c u u f u u u 0 gdy 0 (równanie typu eliptycznego. Literatura: Janowsi W. Matematya Tom II PWN Warszawa 969r. Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin
12 WIII 6 DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA. WŁASNOŚCI PRAWDOPODOBIEŃSTWA. prawdopodobieństwa. Własności prawdopodobieństwa. prawdopodobieństwa Dana jest przestrzeń zdarzeń elementarnych oraz wyróżniona rodzina zdarzeń losowych M. Prawdopodobieństwem nazywamy funcję oreśloną na rodzinie M o wartościach należących do zbioru liczb rzeczywistych R tóra spełnia następujące asjomaty P: M R Asjomat Dla dowolnego zdarzenia A M prawdopodobieństwo P A spełnia nierówność: P A 0 Asjomat Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe jedności: P. Asjomat 3 Prawdopodobieństwo sumy przeliczalnej liczby zdarzeń wyłączających się parami A A i j jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń: i j P A PA. Własności prawdopodobieństwa Twierdzenie. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego równa się zeru: P 0. Jeżeli A B to P A PB 3. P A B P A PB PA B 4. P A P A A zdarzenie przeciwne do zdarzenia A. Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin
13 Twierdzenie Jeżeli wszystie zdarzenia elementarne są jednaowo prawdopodobne to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A ( A E jest ilorazem liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających temu zdarzeniu przez liczbę wszystich zdarzeń elementarnych tj. P( A n gdzie E e e en A ei ei ei Twierdzenie (z tórego często orzystamy stanowi treść tzw. lasycznej definicji prawdopodobieństwa podanej przez P. Laplacea w 8 r. Literatura: RP. Roz. II.-.4. Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 3
14 WIII 7 PRAWDOPODOBIEŃSTWO WARUNKOWE. NIEZALEŻNOŚĆ ZDARZEŃ. Prawdopodobieństwo warunowe. Niezależność pary zdarzeń losowych 3. Niezależność n zdarzeń ( n. Prawdopodobieństwo warunowe Niech A B oraz P( B 0. Prawdopodobieństwem warunowym zajścia zdarzenia A pod waruniem zajścia zdarzenia B nazywamy liczbę P( A B P( A B P( B. Niezależność zdarzeń Niech będzie danym zbiorem zdarzeń elementarnych oraz A B. Jeżeli informacja o zajściu zdarzenia B nie wpływa na prawdopodobieństwo zdarzenia A możemy przypuszczać że nie ma zależności między tymi zdarzeniami. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi jeżeli 3. Niezależność n zdarzeń ( n P( A B P( A P( B Zdarzenia A A... A n nazywamy niezależnymi jeżeli dla ażdej liczby naturalnej n i dowolnego ciągu liczb naturalnych i i... i spełniających waruni i i... i n zachodzi wzór i i... i i i... i P A A A P A P A P A Równość ta oznacza że prawdopodobieństwo iloczynu dowolnych spośród zdarzeń Ai ( i... n równa się iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń. Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 4
15 Z definicji wynia że zdarzenia A B C są niezależne jeżeli są niezależne parami tzn. oraz P( A B P( A P( B P( A C P( A P( C P( B C P( B P( C P( A B C P( A P( B P( C Literatura: RP. Roz. II.5.6. Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 5
16 WIII 8 SCHEMAT BERNOULLIEGO. PRAWDOPODOBIEŃSTWO CAŁKOWITE. WZÓR BAYESA.. Schemat Bernoulliego. Prawdopodobieństwo całowite 3. Wzór Bayesa. Schemat Bernoulliego Niech S będzie pewnym doświadczeniem losowym. Doświadczenie S powtarzamy sończoną ilość razy. Załadamy że wyni doświadczenia jest niezależny od wyniów innych doświadczeń (doświadczenia niezależne. Załóżmy ponadto że w wyniu doświadczenia S może zajść zdarzenie A (suces albo zdarzenie przeciwne A (poraża. Załadamy że prawdopodobieństwo sucesu A dla ażdego doświadczenia S jest stałe i równe p. Prawdopodobieństwo porażi A oznaczamy symbolem q (q = p. Oreślony ciąg powtórzeń doświadczenia S nazywamy schematem Bernoulliego natomiast poszczególne doświadczenia S nazywamy próbami Bernoulliego. Twierdzenie Prawdopodobieństwo P otrzymania ( 0 n sucesów w ciągu n prób Bernoulliego oreślone jest wzorem gdzie: 0 p i q p. P n p n q n. Prawdopodobieństwo całowite Twierdzenie (o prawdopodobieństwie całowitym Niech zdarzenia A A... A n wyłączają się parami ( Ai A j dla i j przy czym P( A i 0 dla i =... n i niech ich suma będzie zdarzeniem pewnym tzn. A A... A E wówczas dla dowolnego zdarzenia B( B E zachodzi wzór (.6 P( B P( A P( B A P( A P( B A... P( A P( B A n n n Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 6
17 3. Wzór Bayesa Załadamy że zdarzenia A... P ( B 0 wówczas P( A P( B A P( A B... n. P( B Literatura: RP. Roz..8. A An spełniają założenia poprzedniego twierdzenia oraz Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 7
18 WIII 9 ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Oreślenie zmiennej losowej. Rozład prawdopodobieństwa zmiennej losowej 3. Dystrybuanta zmiennej losowej Niech ( P będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową nazywamy ażdą funcję o wartościach rzeczywistych oreśloną na przestrzeni zdarzeń elementarnych taą że dla ażdej liczby R zbiór zdarzeń elementarnych dla tórych ( jest zdarzeniem losowym czyli { ; ( }. R Rozładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej nazywamy funcję P (A oreśloną na rodzinie B zbiorów borelowsich prostej ( A P({ : ( A} P dla ażdego A R. R wzorem Jeżeli zbiór A jest np. przedziałem liczbowym wówczas stosujemy następujące oznaczenie funcji P : A ( a b ( A P( a b P( ( a b P A ( a P ( A P (( a P( a P( ( a A { } P A b P o o ( A P ( b P( b P( b ({ } P( { } P( o o o Dystrybuantą zmiennej losowej nazywamy funcję F zmiennej F( P( dla ażdego R. R oreśloną wzorem Rozład P zmiennej losowej wyznacza dystrybuantę F. Można wyazać że również dystrybuanta F wyznacza jednoznacznie rozład P. Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 8
19 Twierdzenie. Dla ażdego przedziału a.b na prostej P R ( a b P( a b F( b F( a gdzie F jest dystrybuantą zmiennej losowej.. Dla ażdej liczby o R P ({ o} P( o F( o 0 F( o gdzie F jest dystrybuantą zmiennej losowej oraz F( 0 lim F(. o t 0 Twierdzenie Dystrybuanta F ma następujące własności:. lim F( F( 0 lim F( F(. F jest funcją niemalejącą tzn. dla również F( F( 3. F jest funcją lewostronnie ciągłą tzn. lim F( F( o Można wyazać że ażda funcja o własnościach 3 jest dystrybuantą pewnej zmiennej losowej. Literatura: RP. Roz. III o Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 9
20 WIII 0 ZMIENNA LOSOWA TYPU SKOKOWEGO ZMIENNA LOSOWA TYPU CIĄGŁEGO. Zmienna losowa typu soowego. Zmienna losowa typu ciągłego. Zmienna losowa typu soowego (dysretna Zmienna losowa jest typu soowego (dysretnego jeżeli istnieje sończony lub przeliczalny zbiór liczb S...} tai że P( p (... gdzie p 0 oraz p. { Liczby nazywamy puntami soowymi zmiennej losowej a prawdopodobieństwo p jej soami. Rozładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej typu soowego nazywamy zbiór {( p ;...} gdzie jest wartością zmiennej losowej a p jest prawdopodobieństwem z jaim przybiera wartości. Dystrybuanta zmiennej losowej typu soowego sumowanie rozciąga się na te wsaźnii dla tórych. Zmienna losowa typu ciągłego F ( P( p gdzie. Zmienna losowa o dystrybuantach F jest typu ciągłego jeżeli istnieje nieujemna funcja f ( f ( 0 taa że dla ażdego R F ( f ( t dt. Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 0
21 Funcję f nazywamy funcją gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej (wsaźni gęstości. Własności funcji gęstości: f ( 0 f ( d. Każda funcja f mające te własności jest funcją gęstości pewnej zmiennej losowej. W puntach w tórych funcja f jest ciągła zachodzi związe: F' ( f ( Literatura: RP. Roz. III Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin
22 WIII PARAMETRY ROZKŁADU ZMIENNEJ LOSOWEJ. Wartość oczeiwana mediana moda.. Wariancje odchylenie standardowe i przeciętne parametry (wsaźnii położenia Wartość oczeiwana (wartość przeciętna wartość średnia nadzieja matematyczna Niech ( P będzie przestrzenią probabilistyczną oraz będzie zmienną losową oreśloną w przestrzeni.. Parametry położenia Wartością oczeiwaną zmiennej losowej typu soowego o rozładzie prawdopodobieństwa {( p...} nazywamy liczbę oznaczoną symbolem E ( (symbol E pochodzi od francusiego słowa espe rance nadzieja i oreśloną wzorem: E ( p jeżeli szereg jest bezwzględnie zbieżny tzn.. p Jeżeli p to zmienna losowa nie ma wartości oczeiwanej. Wartością oczeiwaną zmiennej losowej typu ciągłego o funcji gęstości f nazywamy liczbę E ( f ( d jeżeli cała niewłaściwa jest bezwzględnie zbieżna tzn. f ( d. Niech y g( będzie zmienną losową będącą funcją zmiennej losowej ( g -funcja ciągła. Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin
23 Twierdzenie. Niech będzie zmienną losową typu soowego o rozładzie {( p...}. Wartością oczeiwaną zmiennej losowej Y g( jest liczba E( Y g( p o ile szereg ten jest zbieżny bezwzględnie.. Niech będzie zmienną losową typu ciągłego o gęstości f. Wartością oczeiwaną zmiennej losowej Y g( jest liczba E ( Y g( f ( d o ile liczba ta jest bezwzględnie zbieżna. Twierdzenie Własności wartości oczeiwanej:. E( a a R. E( a ae( a R 3. E( a b ae( b a b R 4. E[( a ] a E( a R N 5. E g ( g ( ] E[ g ( ] E[ g ( ] gdzie g g ( są jednoznacznymi [ ( funcjami zmiennej losowej oraz istnieją wartości oczeiwane E g ( ] E[ g ( ]. [ Medianą M e zmiennej losowej typu soowego nazywamy liczbę spełniającą nierówności: P ( P(. Jeżeli jest zmienną losową typu ciągłego o gęstości f i dystrybuancie F to ostatnie nierówności zapisujemy w postaci: M e F ( lub f ( d. Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 3
24 Modą M o (wartością modalną dominantą zmiennej losowej nazywamy:. Dla zmiennej losowej soowej wartość zmiennej tórej odpowiada najwięsze prawdopodobieństwo.. Dla zmiennej losowej ciągłej wartość zmiennej dla tórej funcja gęstości osiąga masimum.. Parametry (wsaźnii rozrzutu. Wariancją zmiennej losowej typu soowego o rozładzie prawdopodobieństwa {( p...} nazywamy liczbą D ( ( stronie wzoru jest zbieżny. E( p gdy szereg po prawej. Wariancją zmiennej losowej typu ciągłego o gęstości f nazywamy liczbę D ( (( E( f ( d jeżeli cała jest zbieżna. Twierdzenie Własności wariancji. D ( E( E(. D ( E( ( E( 3. D ( a 0 a R 4. D ( a a D ( 5. D ( a b a D ( a b R. Odchyleniem standardowym (lub D( zmiennej losowej nazywamy piewiaste arytmetyczny drugiego stopnia z wariancji ( D (. Literatura: RP. Roz. V Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 4
25 WIII WYBRANE ROZKŁADY ZMIENNEJ LOSOWEJ. Rozład zmiennej losowej typu soowego. Wybrane rozłady zmiennej losowej typu ciągłego. Rozład zmiennej losowej typu soowego.. Rozład dwupuntowy Zmienna losowa ma rozład dwupuntowy jeżeli jest postaci {( p( p} gdzie p 0. 0 F( p o Jeżeli rozład dwupuntowy nazywamy rozładem zero-jedynowym. Wówczas 0 E( p D p( p... Rozład dwumianowy (Bernoulliego Zmienna losowa ma rozład Bernoulliego jeżeli jest on postaci {( p 0... n} n n gdzie p p q n N o p q p. 0 0 n n F( p q 0 n E( np D ( npq n.3. Rozład Poissona Zmienna losowa ma rozład Poissona jeżeli jej rozład prawdopodobieństwa jest postaci {( p 0...} gdzie p e 0 ( - parametr rozładowy.! 0 F ( 0 E ( D ( e 0! Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 5
26 Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 6. Wybrane rozłady zmiennej losowej typu ciągłego.. Rozład jednostajny (równomierny lub prostoątny Zmienna losowa ma rozład jednostajny w przedziale b a jeżeli gęstość f oreślona jest wzorem. 0 0 ( b b a a b a f 0 ( b b a a b a a F. ( ( ( a b D b a E.. Rozład wyładniczy Zmienna losowa ma rozład wyładniczy o parametrze 0 jeżeli gęstość f oreślona jest wzorem: ( e f ( e F. ( ( D E.3. Rozład normalny (rozład Gaussa Zmienna losowa ma rozład normalny ( m N jeżeli ma gęstość f oreśloną wzorem ( ( m e f gdzie. 0 R m m D m E d e F. ( ( ( ( Literatura: RP. Roz. VI
27 WIII 3 ZMIENNA LOSOWA DWUWYMIAROWA. Zmienna losowa typu soowego. Zmienna losowa typu ciągłego Niech ( P. Y będą zmiennymi losowymi oreślonymi na przestrzeni probabilistycznej Zmienne losowe [ ( Y ( ]. Y przyporządowują ażdemu zdarzeniu elementarnemu wetor Zmienną losową dwuwymiarową ( Y nazywamy odwzorowanie ( Y : R wyznaczone przez uporządowaną parę ( Y zmiennych losowych Y. Dystrybuantą zmiennej losowej dwuwymiarowej ( Y nazywamy funcję rzeczywistą F zmiennych y oreśloną wzorem F( y P( Y y Niech A będzie dowolnym zbiorem borelowsim przestrzeni R. Rozładem prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej ( Y nazywamy funcję P Y ( A oreśloną następująco: P Y ( A P({ ( ( Y( A}.. Dwuwymiarowa zmienna losowa typu soowego Zmienna losowa ( Y jest typu soowego (dysretna jeżeli istnieje sończony lub przeliczalny zbiór par wartości ( i yi ( i j... tai że P( i Y yi pij dla ażdej pary wsaźniów i j gdzie p 0 oraz. ij i j p ij Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 7
28 Rozładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej ( Y typu soowego nazywamy zbiór {(( y p : i j...} i j ij. Dystrybuanta F zmiennej losowej ( Y typu soowego jest postaci F( y y y. i j Wartością oczeiwaną zmiennej losowej ( Y typu soowego nazywamy liczbę E( Y i y j pij przy założeniu że szereg jest bezwzględnie zbieżny. i j. Dwuwymiarowa zmienna losowa typu ciągłego Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 8 p ij i j Dwuwymiarowa zmienna losowa ( Y jest typu ciągłego jeżeli istnieje nieujemna funcja f (funcja gęstości taa że dla ażdej pary liczb rzeczywistych ( y zachodzi wzór: y F ( y f ( y ddy gdzie F jest dystrybuantą zmiennej losowej ( Y. Wartością oczeiwaną zmiennej losowej ( Y typu ciągłego o gęstości f nazywamy liczbę E ( Y yf ( y ddy przy założeniu że cała podwójna jest bezwzględnie zbieżna. Z definicji i własności dystrybuanty wynia że: f ( y ddy. Można wyazać że jeżeli funcja gęstości f jest ciągła w puncie ( y to: F y f ( y. Literatura: RP. Roz. IV
29 WIII 4 ROZKŁADY BRZEGOWE. NIEZALEŻNOŚĆ ZMIENNYCH LOSOWYCH. Rozłady brzegowe. Zmienne losowe niezależne 3. Zmienne losowe niesorelowane Rozłady brzegowe. Niezależność zmiennych losowych. Oznaczamy i pij p j p p. j i ij Zbiór {( i pi : i...} nazywamy rozładem brzegowym zmiennej losowej natomiast zbiór {( y i p i :...} - rozładem brzegowym zmiennej Y. Zmienne losowe Y typu soowego są niezależne jeżeli pij p i p j dla wszystich i j. Dystrybuantą F rozładu brzegowego zmiennej losowej nazywamy funcję F ( pi R natomiast dystrybuantę F Y rozładu brzegowego zmiennej losowej Y i nazywamy funcję Funcję i F ( y p y R. Y j y y f oreślamy wzorem j j f ( f ( y dy nazywamy funcję gęstości rozdziału brzegowego zmiennej losowej natomiast funcję f Y oreśloną wzorem f Y ( y f ( y d nazywamy funcją gęstości rozładu brzegowego zmiennej losowej Y. Dystrybuanty rozładów brzegowych zmiennych losowych typu ciągłego F ( f ( d R - dystrybuanta rozładu brzegowego zmiennej losowej Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 9
30 y F ( y f ( y dy y R - dystrybuanta rozładu brzegowego zmiennej losowej Y. Y Y Zmienne losowe Y typu ciągłego są niezależne jeżeli f ( y f ( fy ( y dla wszystich y R. Twierdzenie Jeżeli zmienne losowe Y są niezależne i istnieją E ( oraz E (Y to E( Y E( E( Y. Kowariancją zmiennych losowych Y nazywamy liczbę cov( Y E[( E( ( Y E( Y ]. Jeżeli cov( Y 0 to Y nazywamy zmiennymi losowymi niesorelowanymi. Twierdzenie Jeżeli zmienne losowe Y są niezależne to są niesorelowane. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe. Współczynni orelacji zmiennej losowej ( Y : Literatura: RP. Roz. IV 4.. cov( Y. D ( D ( Y Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 30
31 WIII 5 WSTĘP DO STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ. Wybrane zagadnienia teorii estymacji statystycznej. Weryfiacja hipotez statystycznych Przedmiotem badań statystyi matematycznej są zbiory (zbiorowości tóre nazywamy populacjami generalnymi. Własności elementów populacji generalnej tóre podlegają badaniom statystycznym nazywamy cechami. Każdy podzbiór elementów wylosowanych z populacji generalnej nazywamy próbą losową. Próbę losową tratujemy jao n elementową zmienną losową... tórej wartościami są n elementowe ciągi n n.... Jeżeli zmienne losowe... n są niezależne to próbę losową nazywamy prostą. Zmienną losową U U n n n nazywamy statystyą.... tóra jest funcją zmiennych losowych... n. Wybrane zagadnienia teorii estymacji statystycznej... Estymatory.. Przedziały ufności Przedmiotem teorii estymacji jest wniosowanie o wartościach parametrów rozładu w populacji generalnej na podstawie próby losowej. Estymatorem parametru nazywamy ażdą jednoznacznie oreśloną funcję (statystyę U n U n... n tóre ma tę własność że prawdopodobieństwo zdarzenia U n jest tym bliższe jedności im więsza jest liczebność próby.. Przedziały ufności. Przedziałem ufności dla parametru nazywamy przedział losowy u u o tórym z danym prawdopodobieństwem (poziom ufności możemy twierdzić że zawiera Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 3 n n
32 nieznany parametr : P u n u n. Przedział ufności dla wartości oczeiwanej m w populacji generalnej o rozładzie normalnym N m w tórym jest znane.. Przedział ufności dla wartości oczeiwanej m w populacji generalnej o rozładzie normalnym N m w tórym nie jest znane. 3. Przedział ufności dla wartości oczeiwanej m w dowolnym rozładzie. 4. Przedział ufności dla prawdopodobieństwa p zmiennej losowej o rozładzie Bernoulliego 5. Przedział ufności dla wariancji w populacji generalnej o rozładzie normalnym N m w tórym m i są nieznane. Weryfiacja hipotez statystycznych. Hipotezy parametryczne. Hipotezy nieparametryczne 3. Testowanie hipotez Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie o rozładzie prawdopodobieństwa cechy populacji generalnej dotyczącej postaci funcji rozładu prawdopodobieństwa (hipoteza nieparametryczna albo wartości parametrów badanej cechy (hipoteza parametryczna. Sprawdzenie hipotezy statystycznej nazywamy weryfiacją hipotezy natomiast testem statystycznym nazywamy sposób weryfiacji hipotezy statystycznej. Weryfiacja hipotez parametrycznych. Weryfiacja hipotezy o wartości oczeiwanej m w populacji generalnej o rozładzie normalnym N m. Hipotezę orzeającą że wartość oczeiwana m jest równa liczbie m 0 zapisujemy H0: m m0 Hipotezę alternatywną orzeającą że m nie jest równe m 0 zapisujemy H : m m. Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 3 0. Weryfiacja hipotezy o wariancji w populacji generalnej o rozładzie normalnym N m w tórym m i nie są znane. Weryfiowaną hipotezą jest H 0 : natomiast 0
33 hipotezą alternatywną: H : Weryfiacja hipotezy dotyczącej postaci rozładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej F. Hipoteza H 0 jest hipotezą orzeającą że dystrybuanta zmiennej losowej jest hipotezą alternatywną H : ma rozład o dystrybuancie różnej od założonej w H 0. Wybrane (najczęściej stosowane testy nieparametryczne (testy zgodności - test chi-wadrat Pearsona - test Kołmogorowa - test Kołmogorowa-Smirnowa Literatura: S. Roz. III 3. 3.; Roz. IV.-.4. Aademia Morsa w Szczecinie ul. Wały Chrobrego Szczecin 33
σ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;
Zdarzenie losowe i zdarzenie elementarne Zdarzenie (zdarzenie losowe) - wyni pewnej obserwacji lub doświadczenia; może być ilościowy lub jaościowy. Zdarzenie elementarne - najprostszy wyni doświadczenia
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych i ich charakterystyki
Rozdział 1 Wybrane rozłady zmiennych losowych i ich charaterystyi 1.1 Wybrane rozłady zmiennych losowych typu soowego 1.1.1 Rozład równomierny Rozpatrzmy esperyment, tóry może sończyć się jednym z n możliwych
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5. PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Rozłady soowe Rozład jednopuntowy Oreślamy: P(X c) 1 gdzie c ustalona liczba. 1 EX c, D 2 X 0 (tylo ten rozład ma zerową wariancję!!!)
Bardziej szczegółowoPodstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
. Zdarzenia odstawy rachunu prawdopodobieństwa (przypomnienie). rawdopodobieństwo 3. Zmienne losowe 4. rzyład rozładu zmiennej losowej. Zdarzenia (events( events) Zdarzenia elementarne Ω - zbiór zdarzeń
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Zadanie Rozważmy następujący model strzelania do tarczy. Współrzędne puntu trafienia (, Y ) są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednaowym rozładzie normalnym N ( 0, σ ). Punt (0,0) uznajemy za środe tarczy,
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoStatystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory
Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoTablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki
Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa
STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA
Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
Bardziej szczegółowoW rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoLiczba godzin Punkty ECTS Sposób zaliczenia. ćwiczenia 16 zaliczenie z oceną
Wydział: Zarządzanie i Finanse Nazwa kierunku kształcenia: Finanse i Rachunkowość Rodzaj przedmiotu: podstawowy Opiekun: prof. nadzw. dr hab. Tomasz Kuszewski Poziom studiów (I lub II stopnia): II stopnia
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoOpis przedmiotu. Karta przedmiotu - Probabilistyka I Katalog ECTS Politechniki Warszawskiej
Kod przedmiotu TR.NIK304 Nazwa przedmiotu Probabilistyka I Wersja przedmiotu 2015/16 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów Niestacjonarne
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoOpis przedmiotu: Probabilistyka I
Opis : Probabilistyka I Kod Nazwa Wersja TR.SIK303 Probabilistyka I 2012/13 A. Usytuowanie w systemie studiów Poziom Kształcenia Stopień Rodzaj Kierunek studiów Profil studiów Specjalność Jednostka prowadząca
Bardziej szczegółowoSpis treści 3 SPIS TREŚCI
Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe
Bardziej szczegółowodr Jerzy Pusz, st. wykładowca, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej B. Ogólna charakterystyka przedmiotu
Kod przedmiotu TR.SIK303 Nazwa przedmiotu Probabilistyka I Wersja przedmiotu 2015/16 A. Usytuowanie przedmiotu w systemie studiów Poziom kształcenia Studia I stopnia Forma i tryb prowadzenia studiów Stacjonarne
Bardziej szczegółowoWykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału
Wykład 1 Zmienne losowe, statystyki próbkowe - powtórzenie materiału Magdalena Frąszczak Wrocław, 22.02.2017r Zasady oceniania Ćwiczenia 2 kolokwia (20 punktów każde) 05.04.2017 oraz 31.05.2017 2 kartkówki
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoRozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
STATYSTYKA MATEMATYCZA 1. Wyład wstępny. Teoria prawdopodobieństwa i elementy ombinatoryi. Zmienne losowe i ich rozłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez statystycznych
Bardziej szczegółowoZadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.
Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład III. Estymacja przedziałowa
Statystyka matematyczna. Wykład III. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Rozkłady zmiennych losowych 1 Rozkłady zmiennych losowych Rozkład χ 2 Rozkład t-studenta Rozkład Fischera 2 Przedziały ufności
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoStatystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski
Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka - W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i unkcja gęstości rozkładu
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.
Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej
Bardziej szczegółowoW2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym
Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania wykraczające. Plan wynikowy lasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń
Bardziej szczegółowoI. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU
I. KARTA PRZEDMIOTU 1. Nazwa przedmiotu: MATEMATYKA 2. Kod przedmiotu: Ma 3. Jednostka prowadząca: Wydział Mechaniczno-Elektryczny 4. Kierunek: Mechanika i budowa maszyn 5. Specjalność: Eksploatacja Siłowni
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk
Bardziej szczegółowoModelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Wykład 2: Kombinatoryka. Gniewomir Sarbicki
Matematya dysretna Wyład 2: Kombinatorya Gniewomir Sarbici Kombinatorya Definicja Kombinatorya zajmuje się oreślaniem mocy zbiorów sończonych, w szczególności mocy zbiorów odwzorowań jednego zbioru w drugi
Bardziej szczegółowoRozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe
Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowo1 Przestrzeń zdarzeń elementarnych
Przestrzeń zdarzeń elementarnych Przestrzeń zdarzeń elementarnych jest pojęciem pierwotnym w teorii prawdopodobieństwa. W zastosowaniach tej teorii zdarzenia elementarne interpretuje się jao możliwe przypadi,
Bardziej szczegółowoZmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015
Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: F(x) = sin(x),
Metody probabilistyczne opracowane notatki 1. Zdefiniuj zmienną losową, rozkład prawdopodobieństwa. Przy jakich założeniach funkcje: Fx sinx, Fx a e x mogą być dystrybuantami?. Podaj twierdzenie Lindeberga
Bardziej szczegółowo1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa
1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa 1.1 Elementy kombinatoryki W rozwiązywaniu pewnych problemów związanych z obliczaniem prawdopodobieństwa o skończonej liczbie zdażeń elementarnych bardzo
Bardziej szczegółowoSygnały stochastyczne
Sygnały stochastyczne Zmienne losowe E zbiór zdarzeń elementarnych (zbiór możliwych wyniów esperymentu) e E zdarzenie elementarne (wyni esperymentu) B zbiór wybranych podzbiorów zbioru E β B zdarzenie
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne Rozwiązania zadań
Metody robabilistyczne Rozwiązania zadań 6. Momenty zmiennych losowych 8.11.2018 Zadanie 1. Poaż, że jeśli X Bn, to EX n. Odowiedź: X rzyjmuje wartości w zbiorze {0, 1,..., n} z rawdoodobieństwami zadanymi
Bardziej szczegółowoRozkłady zmiennych losowych
ZIP 007/008 (zaoczne) Rozłady zmiennych losowych I. X zmienna losowa soowa. Rozład zero jedynowy X rzybiera dwie wartości: i 0 Jeśli P(X ), to (X ) q P gdyż P(X ) P(X ) Rozład zmiennej losowej jest rozładem
Bardziej szczegółowo27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE
27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE 27.1. Wiadomości wstępne Równaniem różniczkowym cząstkowym nazywamy związek w którym występuje funkcja niewiadoma u dwóch lub większej liczby zmiennych niezależnych i
Bardziej szczegółowoInżynieria Środowiska. II stopień ogólnoakademicki. przedmiot podstawowy obowiązkowy polski drugi. semestr zimowy
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../12 z dnia.... 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2017/2018 STATYSTYKA
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoSPIS TEŚCI CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
SPIS TEŚCI PRZEDMOWA...13 CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. ZDARZENIA LOSOWE I PRAWDOPODOBIEŃSTWO...17 1.1. UWAGI WSTĘPNE... 17 1.2. ZDARZENIA LOSOWE... 17 1.3. RELACJE MIĘDZY ZDARZENIAMI... 18 1.4.
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowo12. Przynależność do grupy przedmiotów: Blok przedmiotów matematycznych
(pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 2. Kod przedmiotu: RPiS 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego:
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. Statystyka w 3
Zmienne losowe Statystyka w Zmienna losowa Zmienna losowa jest funkcją, w której każdej wartości R odpowiada pewien podzbiór zbioru będący zdarzeniem losowym. Zmienna losowa powstaje poprzez przyporządkowanie
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Bardziej szczegółowoWykład 14 i 15. Równania różniczkowe. Równanie o zmiennych rozdzielonych. Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie
Wykład 14 i 15 Równania różniczkowe Definicja 1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 (1) gdzie: y = y(x) niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej
Bardziej szczegółowo12. Przynależność do grupy przedmiotów: Blok przedmiotów matematycznych
(pieczęć wydziału) KARTA PRZEDMIOTU Z1-PU7 WYDANIE N1 Strona 1 z 5 1. Nazwa przedmiotu: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 2. Kod przedmiotu: RPiS 3. Karta przedmiotu ważna od roku akademickiego:
Bardziej szczegółowoFunkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoMETODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład 3-4. Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych
METODY BADAŃ NA ZWIERZĘTACH ze STATYSTYKĄ wykład - Parametry i wybrane rozkłady zmiennych losowych Parametry zmiennej losowej EX wartość oczekiwana D X wariancja DX odchylenie standardowe inne, np. kwantyle,
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoZAKRESY NATERIAŁU Z-1:
Załącznik nr 2 do SIWZ Nr postępowania: ZP/47/055/U/13 ZAKRESY NATERIAŁU Z-1: 1) Funkcja rzeczywista jednej zmiennej: ciąg dalszy a) Definicja granicy funkcji, b) Twierdzenie o trzech funkcjach, o granicy
Bardziej szczegółowo1.1 Wstęp Literatura... 1
Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Wstęp................................ 1 1.2 Literatura.............................. 1 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Podstawy..............................
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoBiotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Bardziej szczegółowob) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:
ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład IV. Weryfikacja hipotez statystycznych
Statystyka matematyczna. Wykład IV. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 2 3 Definicja 1 Hipoteza statystyczna jest to przypuszczenie dotyczące rozkładu (wielkości parametru lub rodzaju) zmiennej
Bardziej szczegółowoWSTĘP. Tematy: Regresja liniowa: model regresji liniowej, estymacja nieznanych parametrów. Wykład:30godz., ćwiczenia:15godz., laboratorium:30godz.
Tematy: WSTĘP 1. Wprowadzenie do przedmiotu. Próbkowe odpowiedniki wielkości populacyjnych. Modele statystyczne i przykładowe zadania wnioskowania statystycznego. Statystyki i ich rozkłady. 2. Estymacja
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowoNa A (n) rozważamy rozkład P (n) , który na zbiorach postaci A 1... A n określa się jako P (n) (X n, A (n), P (n)
MODELE STATYSTYCZNE Punktem wyjścia w rozumowaniu statystycznym jest zmienna losowa (cecha) X i jej obserwacje opisujące wyniki doświadczeń bądź pomiarów. Zbiór wartości zmiennej losowej X (zbiór wartości
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA wykład 1. Wanda Olech. Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt
STTYSTYK wykład 1 Wanda Olech Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt Plan wykładów Data WYKŁDY 1.X rachunek prawdopodobieństwa; 8.X zmienna losowa jednowymiarowa, funkcja rozkładu, dystrybuanta 15.X
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoprzedmiot podstawowy obowiązkowy polski drugi
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 07/08 IN--008 STATYSTYKA W INŻYNIERII ŚRODOWISKA Statistics in environmental engineering
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ LISTA ZADAŃ 1 1 Napisać w formie rozwiniętej następujące wyrażenia: 4 (a 2 + b +1 =0 5 a i b j =1 n a i b j =1 n =0 (a nb 4 3 (! + ib i=3 =1 2 Wyorzystując twierdzenie o
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy. Klasa III Technikum ekonomiczne. Kształcenie ogólne w zakresie rozszerzonym
Plan wynikowy lasa III Technikum ekonomiczne. ształcenie ogólne w zakresie rozszerzonym Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoTransport II stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny) Studia stacjonarne (stacjonarne / niestacjonarne)
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../12 z dnia.... 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Metody probabilistyczne w transporcie Nazwa modułu w języku angielskim Probabilistic
Bardziej szczegółowoWynik pomiaru jako zmienna losowa
Wynik pomiaru jako zmienna losowa Wynik pomiaru jako zmienna losowa Zmienne ciągłe i dyskretne Funkcja gęstości i dystrybuanta Wartość oczekiwana Momenty rozkładów Odchylenie standardowe Estymator zmiennej
Bardziej szczegółowoI. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU
I. KARTA PRZEDMIOTU 1. Nazwa przedmiotu: MATEMATYKA 2. Kod przedmiotu: Ma 3. Jednostka prowadząca: Wydział Mechaniczno-Elektryczny 4. Kierunek: Mechanika i budowa maszyn 5. Specjalność: Eksploatacja Siłowni
Bardziej szczegółowo