WIELOWYMIAROWA ANALIZA SYTUACJI SPOŁECZNO-DEMOGRAFICZNEJ POLSKI

Transkrypt

1 Studia i Mateiały. Miscellaea Oecoomicae Rok 8, N /04 Wydział Zaządzaia i Admiistacji Uiwesytetu Jaa Kochaowskiego w Kielcach 50 lat kształceia ekoomistów w Kielcach Katazya Budy, Mata Szklaska, Ja Tata 3 WIELOWYMIAROWA ANALIZA SYTUACJI SPOŁECZNO-DEMOGRAFICZNEJ POLSKI Wstęp W szeegu wcześiejszych pac autozy iiejszego opacowaia pzedstawili popozycję owego (odmieego od klasyczego) sposobu opisu oaz aalizy wielowymiaowych ozkładów pawdopodobieństwa oaz wykozystali zapopoowae owe azędzia do modelowaia i badaia tych wielkości, któe mają chaakte wielowymiaowych wektoów losowych. W aspekcie aplikacyjym dotychczasowe badaia dotyczyły zaówo wielowymiaowych wielkości sticte ekoomiczych (w tym: fiasowych), jak i istotych poblemów i zagadień demogaficzych. Pezetowaa obecie paca ówież ależy do utu badań ad wielowymiaowymi chaakteystykami społeczo-demogaficzymi Polski. Z metodologiczego puktu widzeia uzyskae wcześiej owe azędzia pobabilistycze wykozystae zostaą do opisu oaz badaia wybaego fagmetu sytuacji społeczodemogaficzej aszego kaju. Fagmet te zostaie wyodębioy popzez dobó czteech istotych demogaficzie wielkości o chaakteze zmieych losowych. Te zaś potaktowae (zestawioe) łączie utwozą czteowymiaowy 4 wekto losowy (tj. fukcję postaci X : Ω R ) opisujący właśie ów wybay fagmet sytuacji społeczo-demogaficzej Polski. Zasygalizujmy już w tym miejscu, że współzęde badaego wektoa będą astępującymi wskaźikami: zawieaych małżeństw, ozwodów, dzietości oaz zgoów. Dae, któe wykozystamy w części meytoyczej atykułu (p.) dotyczą oku 0 w podziale admiistacyjym Polski a powiaty i pochodzą z publikacji Główego Uzędu Statystyczego. Mg Katazya Budy, asystet, Uiwesytet Ekoomiczy w Kakowie. Mg Mata Szklaska, asystet, Uiwesytet Ekoomiczy w Kakowie. 3 D Ja Tata, staszy wykładowca, Uiwesytet Ekoomiczy w Kakowie. 73

2 W piewszej, metodologiczej części opacowaia (p.) pzypomiamy bez wdawaia się w szczegóły (odsyłamy jedyie do źódłowych pozycji liteatuowych) pobabilistycze i statystycze azędzia, czyli defiicje oaz postaci tych paametów wielowymiaowych ozkładów pawdopodobieństwa, któych oszacowaia (ocey) zostaą wyzaczoe w części meytoyczej.. Estymatoy wybaych paametów ozkładu pawdopodobieństwa wektoa losowego Jedymi z podstawowych chaakteystyk ozkładu zmieej losowej (jedowymiaowej) są momety zwykłe oaz cetale [po. p. Felle, 969; Shao, 003]. W pacy [Tata, 996, 999] wykozystując defiicję potęgi wektoa zapopoowao wielowymiaowe uogólieie tych pojęć. Rozważmy zatem pzestzeń L ( Ω) czyli pzestzeń wektoów losowych całkowalych w tej potędze tj. L ( Ω) = X : Ω > R : X wekto losowy i X dp < +. Ω E X = X dp azywaa jest iekiedy W liteatuze pzedmiotu wielkość [ ] Ω mometem zędu wektoa losowego X i ozaczaa jako [ X ] E [po. Bilodeau i Bee, 999]. W pacy [Tata, 00] atomiast, popzez aalogię do pzypadku jedowymiaowego, wyażeie to okeśloo jako momet absoluty zędu wektoa losowego X i taką defiicję utzymamy w iiejszym opacowaiu. Załóżmy zatem, że X : Ω > R jest wektoem losowym o skończoym momecie absolutym zędu. Defiicja. [Tata, 996, 999] Momet zwykły zędu wektoa losowego X Ω R α = E X. : to wyażeie okeśloe jako [ ] Zauważmy, że momet zwykły zędu piewszego wektoa losowego to wekto watości oczekiwaych jego składowych; czyli α = m EX.,, = Defiicja. [Tata, 996, 999] Mometem cetalym zędu wektoa losowego X : Ω R azywamy wielkość wyażoą jako, [( X EX ) ] µ = E. 74

3 Za pomocą mometów cetalych wektoa losowego zdefiiowae zostały z kolei takie chaakteystyki ozkładu wielowymiaowego wektoa losowego jak współczyik asymetii, czy kutoza. Defiicja 3. [Tata, 000] Współczyik asymetii wektoa losowego X defiiujemy w astępujący sposób, 3, 3, ( µ ) 3 [( X EX ) ] µ E γ = SkewX = =. 3 ( D X ) Defiicja 4. [Budy, 009; Budy i Tata 009] Kutoza wektoa losowego X to wielkość wyażoa jako 4 µ 4, E[ ( X EX ) ] β, = KutX = =. ( µ ), D X ( ) W defiicjach 3 oaz 4 a ozaczeie waiacji wektoa losowego X pzyjęto zaówo symbol µ, jak i D X ; jest to zgode z kowecją stosowaą także w pzypadku zmieych losowych jedowymiaowych. Pzypomijmy [po. Budy, 0], że kutoza wektoa losowego o wielowymiaowym ozkładzie omalym pzyjmuje postać N : Ω R KutN = + i= ( D N ) + i ρij D Ni D N j i, j = i j D N i D N j i, j =, gdzie ρ ij ozacza współczyik koelacji składowych N i oaz N j wektoa N. Uwzględiając powyższą postać kutozy zdefiiowao koleją chaakteystykę ozkładu wielowymiaowego. Defiicja 5. [Budy, 03a] Współczyik ekscesu (eksces) wektoa losowego X = ( X,..., X ): Ω R okeślamy w astępujący sposób 75

4 γ, = Ekscess i= X = Kut X + ( D X ) + i ρij D X i D X i, j i = j D X i D X j i, j = j. W paktyce, badając chaakteystyki opate a defiicji potęgi wektoa w aalizie wielowymiaowych daych empiyczych wykozystuje się (podobie jak to ma miejsce w pzypadku jedowymiaowym) ich odpowiedie estymatoy, czyli oszacowaia uzyskae a podstawie dostępej póby statystyczej. W pacy [Budy, 0b] ustaloo postać mometów zwykłych w póbie wielowymiaowej waz z omówieiem podstawowych ich własości (m.i. zgodość oaz ieobciążoość). Z kolei w opacowaiu [Budy, 03b] zapopoowao postać estymatoów mometów cetalych oaz wykazao, że są oe estymatoami zgodymi i asymptotyczie ieobciążoymi. Pzypomijmy podstawowe defiicje. k Niech X : Ω R,, X : Ω R będzie póbą postą z ozkładu wielowymiaowego. Defiicja 6. [Budy, 0b] Estymatoem mometu zwykłego zędu wektoa losowego (iaczej: mometem zwykłym zędu w póbie wielowymiaowej) azywamy statystykę a k i ( X ) i= =., Defiicja 7. [Budy, 03b] Estymatoem mometu cetalego zędu wektoa losowego (mometem cetalym zędu w póbie wielowymiaowej) azywamy statystykę m k k i ( X X ) i= =., W iiejszym opacowaiu szczególie istotym okaże się estymato mometu cetalego zędu dugiego czyli waiacji całkowitej wektoa losowego a także pewe jego tasfomacje. k 76

5 Defiicja 8. Estymatoem mometu cetalego zędu dugiego (iaczej: mometem cetalym zędu dugiego w póbie wielowymiaowej lub waiacją całkowitą w póbie wielowymiaowej) azywamy zmieą losową (statystykę) postaci k i ( X X ) i= m = sk =.,, k Własość ieobciążoości (ie zaś asymptotyczej ieobciążoości ) posiada z kolei astępujący estymato waiacji s k i ( X X ) i= k, =. k Estymatoy m, oaz s k, są zgodymi estymatoami mometu cetalego zędu dugiego ozkładu wielowymiaowego w populacji geealej.. Wybae aspekty sytuacji społeczo-demogaficzej Polski aaliza W tej części opacowaia wykozystamy pzypomiae w części piewszej paamety wielowymiaowych ozkładów pawdopodobieństwa oaz ich estymatoy do oszacowaia wybaych chaakteystyk koketego wielowymiaowego wektoa losowego. Zgodie z zapowiedzią ze Wstępu będzie to czteowymiaowy wekto opisujący sytuację demogaficzą Polski z puktu widzeia wybaych jej elemetów. Tymi elemetami ( współzędymi ozważaego wektoa) będą: współczyik zawieaych małżeństw ozaczeie: M współczyik ozekaych ozwodów ozaczeie: R współczyik dzietości ozaczeie: D współczyik zgoów ozaczeie: Z. Zaczeie wymieioych wyżej współczyików pzyjmujemy zgodie z defiicjami Główego Uzędu Statystyczego (po. Pzedmiotem badań będzie zatem wekto postaci X = ( M, R, D, Z ) T. Póbę, któą wykozystamy do uzyskaia oce wybaych paametów ozkładu wektoa X staowią dae GUS pobae ze stoy gov.pl/bazademogafia/tables.aspx. Odoszą się oe do oku 0 z uwzględieiem teytoialego podziału Polski a powiaty. W pzypadku ajbadziej ogólego badaia dotyczącego Polski ogółem (p. a) póba jest zatem 379- elemetowa (łącza liczba powiatów). Podobą aalizę jak dla Polski ogółem pzepowadzimy dla wybaych podegioów aszego kaju, z któych każdy obejmuje kilka geogaficzie bliskich sobie województw. Z demogaficzego i socjologiczego puktu widzeia iteesujący podzbió daych ( podpóbkę ) 77

6 staowią te, któe opisują sytuację demogaficzą w powiatach godzkich Polski. Wyiki tego badaia pzedstawimy w ostatim pukcie tej części pacy. Paametami (chaakteystykami) ozkładu wektoa X, któych ocey będziemy wyzaczać są: a) watość oczekiwaa (wekto) b) waiacja łącza (skala) z podziałem a waiacje bzegowe c) maciez kowaiacji d) maciez współczyików koelacji (cząstkowych) e) współczyik asymetii (wekto) oaz jej watość (skala) f) kutoza oaz eksces wektoa X. a. Chaakteystyki wektoa sytuacji demogaficzej w ujęciu Polska ogółem Wykozystując defiicje poszczególych paametów, stosowe estymatoy oaz dae Główego Uzędu Statystyczego otzymujemy astępujące wyiki: a) watość oczekiwaa EX = a, = b) waiacja łącza oaz łącze odchyleie stadadowe D X = m, =.769 ; D X =.664 waiacje bzegowe σ M = 0.58 σ R = 0.07 σ D = 0.09 σ Z =.93 bzegowe odchyleia stadadowe σ M = 0,508, σ R = 0, 455, σ D = 0, 386, σ Z =, 537 c) maciez kowaiacji covx =

7 d) maciez koelacji e) cox = f) asymetia Asym X = ; Asym X = g) kutoza oaz eksces Kut X =.4979 ; Ekscess X = b. Chaakteystyki wektoa sytuacji demogaficzej w egioie półocym W tej części pacy wykozystamy te dae GUS, któe dotyczą powiatów astępujących województw: zachodiopomoskiego, kujawsko pomoskiego, pomoskiego, wamińsko - mazuskiego (z wyłączeiem powiatów godzkich). Otzymujemy w te sposób póbę 7 elemetową (7 powiaty). Szacuki estymowaych paametów są teaz astępujące: a) watość oczekiwaa EX = a, = b) waiacja łącza oaz łącze odchyleie stadadowe D X = m, =.4744 ; D X =. 4 waiacje bzegowe σ M = σ R = σ D = σ Z =.664 bzegowe odchyleia stadadowe σ M = 0, 7084, σ R = 0, 3685, σ D = 0, 37, σ Z =,

8 c) maciez kowaiacji cov X = d) maciez koelacji co X = e) asymetia Asym X = ; Asym X = 0.36 f) kutoza oaz eksces KutX =.4759 ; EkscessX = 0.63 c. Chaakteystyki wektoa sytuacji demogaficzej w egioie wschodim Tym azem do dalszych ozważań wybieamy dae GUS dotyczące powiatów województw: podlaskiego, lubelskiego, podkapackiego, małopolskiego, czyli w większości tej części aszego kaju, któa okeślaa jest miaem ściay wschodiej ; (także teaz ie uwzględiamy powiatów godzkich). Uzyskaa póba liczy 74 elemety (74 powiaty). Oto ezultaty pzepowadzoej estymacji: a) watość oczekiwaa EX = a, =

9 b) waiacja łącza oaz łącze odchyleie stadadowe D X = m, =.8700 ; D X =. 694 waiacje bzegowe M = 0.4 σ R = σ D = σ Z =.5343 bzegowe odchyleia stadadowe σ M = 0,4735 σ R = 0, 3077 σ D = 0, 300 σ Z =, 599 c) maciez kowaiacji cov X = d) maciez koelacji co X = e) asymetia Asym X = ; Asym X = f) kutoza oaz eksces Kut X = ; Ekscess X = d. Chaakteystyki wektoa sytuacji demogaficzej w egioie zachodim Rozważamy dae z powiatów astępujących województw: wielkopolskiego, lubuskiego, dolośląskiego, śląskiego i opolskiego (bez powiatów godzkich). Uzyskaa w te sposób podpóba liczy teaz 97 elemetów (97 powiatów). Stosując odpowiedie estymatoy otzymao astępujące ocey wyóżioych paametów. 8

10 a) watość oczekiwaa EX = a, = b) waiacja łącza oaz łącze odchyleie stadadowe D X = m, =.8058 ; D X = waiacje bzegowe M = σ R = σ D = 0.04 σ Z =.50 bzegowe odchyleia stadadowe σ M = 0,4477 σ R = 0, 300 σ D = 0, 9 σ Z =, 5 c) maciez kowaiacji cov X = d) maciez koelacji co X = e) asymetia Asym X = ; Asym X = f) kutoza oaz eksces Kut X =.793 ; Ekscess X =

11 e. Chaakteystyki wektoa sytuacji demogaficzej w egioie cetalym Ostatim wyodębioy subegio twozą powiaty województw: mazowieckiego, świętokzyskiego, łódzkiego (oczywiście jak dotychczas także bez powiatów godzkich). Otzymujemy póbę 7 elemetową (7 powiaty). Oto wyiki pzepowadzoych obliczeń: a) watość oczekiwaa EX = a, = b) waiacja łącza oaz łącze odchyleie stadadowe D X = m, =.357 ; D X = waiacje bzegowe σ M = σ R = 0.45 σ D = 0.04 σ Z =.8737 bzegowe odchyleia stadadowe σ M = 0,5956, σ R = 0, 3384, σ D = 0, 9, σ Z =, 3688 c) maciez kowaiacji cov X = d) maciez koelacji co X =

12 e) asymetia Asym X = ; Asym X = f) kutoza oaz eksces Kut X =.539 ; Ekscess X = f. Chaakteystyki wektoa sytuacji demogaficzej w powiatach godzkich Pauje dość powszeche pzekoaie, że śodowiska wielkomiejskie oaz aglomeacyje (w tym społeczości zamieszkujące powiaty godzkie) chaakteyzują się swoistą (szczególą) specyfiką zaówo z socjologiczego jak i demogaficzego puktu widzeia. Autozy iiejszego opacowaia postaowili zweyfikować powyższy sąd poddając badaiu ozważae dotychczas chaakteystyki ale wyłączie dla powiatów godzkich. Dyspoujemy zatem póbą 65 elemetową (65 powiatów). Uzyskae w pocesie estymacji szacuki pzedstawiają się astępująco: a) watość oczekiwaa EX = a, = b) waiacja łącza oaz łącze odchyleie stadadowe D X = m, =.98 ; D X =. 767 waiacje bzegowe σ M = σ R = 0.07 σ D = σ Z =.675 bzegowe odchyleia stadadowe σ M = 0,435, σ R = 0, 337, σ D = 0, 0980, σ Z =, 6345 c) maciez kowaiacji cov X =

13 d) maciez koelacji co X = e) asymetia Asym X = ; Asym X = f) kutoza oaz eksces Kut X =.549 ; Ekscess X = Wioski oaz uwagi końcowe. W oku 0 w pzeciętym (w ozumieiu statystyczym) powiecie w Polsce (po. badaie Polska ogółem ; p.a) a każde 000 osób w wieku 5 lat i więcej zawato śedio 5,44 związków małżeńskich, zaówo wyzaiowych jak i cywilych. Jest to poziom zbliżoy do watości tego wskaźika w powiatach egiou cetalego (ok. 5,43). Zdecydowaie ajbadziej kozysta pod tym względem sytuacja miała miejsce w powiatach egiou wschodiego (ok. 5,66), zaś ajmiej kozysta w powiatach godzkich (ok. 5,3).. W pzeciętym polskim powiecie a każde 000 osób w wieku 0 lat i więcej ozeczoo,54 ozwodów. I zowu: ajbadziej kozysta sytuacja z puktu widzeia wskaźika ozwodów miała miejsce w egioie wschodim (,), atomiast ajmiej kozysta w powiatach godzkich (,). 3. W pzeciętym polskim powiecie pzeciętie każda kobieta w wieku ozodczym (wiek od 5 do 49 lat) w oku 0 uodziła ok.,3 dzieci. Także i w tym pzypadku ajmiej kozysta sytuacja miała miejsce w powiatach godzkich (,9). Najwyższy poziom (ok.,38) współczyik dzietości osiągął w powiatach egioów cetalego i półocego. Szacuje się, że dla zagwaatowaia stabilego ozwoju demogaficzego egiou lub kaju wskaźik dzietości powiie pzekaczać poziom,. 4. W pzeciętym polskim powiecie a każde 000 osób w oku 0 zmało ok. 9,99 osób. Najiższą watość wskaźik zgoów osiągął w po- 85

14 wiatach egiou półocego (ok. 9,7), zaś ajwyższą w powiatach egiou cetalego (ok.,8). 5. Rozkład pawdopodobieństwa badaego wektoa sytuacji społeczodemogaficzej w zależości od egiou chaakteyzował się óżym ozposzeiem. Jego miaą jest m.i. łącze odchyleie stadadowe. W pzeciętym polskim powiecie wyosiło oo,66 i było zbliżoe do odchyleia stadadowego w powiatach egiou wschodiego (,69). Największe odchyleie ozkładu badaego wektoa odotowao w powiatach godzkich (,73), zaś ajmiejsze w powiatach egiou półocego (,). W powiatach godzkich zdecydowaie ajwiększy udział w łączym odchyleiu stadadowym miało odchyleie bzegowe wskaźika zgoów. 6. Rozkład badaego wektoa w żadym z egioów ai tez w ujęciu Polska ogółem ie okazał się ozkładem symetyczym. Świadczą o tym wyiki uzyskae w puktach e każdego z badań pzepowadzoych w części meytoyczej pacy. Na bak symetii oaz a wielkość asymetii wskazuje pzede wszystkim oma wektoa asymetii. Pod tym względem ajwiększą asymetię ozkładu dostzegamy w powiatach egiou wschodiego (ok. 0.69) ajmiejszą zaś w powiatach godzkich (ok. 0,4). Więcej ifomacji dostaczają wektoy asymetii ( Asym X ). Dodati wyik a któejkolwiek współzędej wektoa asymetii ozacza mówiąc w zaczym uposzczeiu pzewagę obsewacji o watości większej iż pzecięta ad tymi, któych watość jest miejsza od pzeciętej. W zależości zatem od badaej cechy kozysta jest bądź asymetia ujema bądź asymetia dodatia. W pzypadku współczyika małżeństw oaz współczyika dzietości z oczywistych powodów kozysta byłaby asymetia dodatia, zaś w pzypadku współczyika ozwodów oaz umiealości asymetia ujema. Niestety, w ujęciu Polska ogółem obsewujemy sytuację iemal odwotą: wskaźiki małżeństw oaz dzietości chaakteyzują się asymetią ujemą, atomiast współczyik zgoów zdecydowaą asymetią dodatią. Najmiej kozysta pod tym względem sytuacja w 0 oku miała miejsce w powiatach egioów wschodiego i zachodiego. 7. Na zakończeie ależy jeszcze az podkeślić, że pzyjęty pzez autoów do badaia socjologiczo-demogaficzy wekto losowy jest jedyie jedym z wielu możliwych. Tylko ituicja badacza i cel badawczy będą decydować o jego wymiaze oaz o doboze jego współzędych. Bibliogafia:. Bilodeau M., Bee D. (999), Theoy of Multivaiate Statistics, Spige - Velag, New Yok.. Budy K. (009), Kutoza wektoa losowego, Pace Naukowe Uiwesytetu Ekoomiczego we Wocławiu, 78, seia: Ekoometia, Budy K., Tata J. (009), Kutosis of a adom vecto special types of distibutios, Statistics i Tasito, 0 (3). 86

15 4. Budy K. (0a), Kutoza wektoa losowego o wielowymiaowym ozkładzie omalym, [w:] Zastosowaie metod ilościowych w fiasach i ubezpieczeiach, paca zbioowa pod ed. S. Follicza, CeDeWu, Waszawa. 5. Budy K. (0b), Estymatoy mometów zwykłych wektoa losowego opatych a kocepcji potęgi wektoa, [w:] Spawozdaie z badań statutowych za ok 0 UEK Kaków, [paca iepublikowaa]. 6. Budy K. (03a), Współczyik ekscesu wektoa losowego, Studia Ekoomicze. Zeszyty Naukowe Uiwesytetu Ekoomiczego w Katowicach, [paca złożoa do duku] 7. Budy K. (03b), Estimatio of the cetal momets of a adom vecto based o the defiitio of the powe of a vecto, Statistics i Tasitio- ew seies. 8. Came H. (958), Metody matematycze w statystyce, PWN, Waszawa. 9. Felle W. (969), Wstęp do achuku pawdopodobieństwa. Tom II, PWN, Waszawa. 0. Gee W. H. (993), Ekoometic aalysis, d ed., Macmilla Publishig Compay, New Yok.. Jakubowski J., Sztecel R. (004), Wstęp do achuku pawdopodobieństwa, Scipt, Waszawa.. Shao J. (003), Mathematical statistics, d ed., Spige. 3. Tata J. (996), O iektóych miaach ozposzeia ozkładów pawdopodobieństwa, Pzegląd Statystyczy, Tata J. (999), Momets of a adom vaiable i a Hilbet Space, Pzegląd Statystyczy,. 5. Tata J.(000), Asymetia wielowymiaowych ozkładów pawdopodobieństwa, w: Mateiały z XXXV Kofeecji Statystyków, Ekoometyków i Matematyków Akademii Ekoomiczych Polski Połudiowej, Wydawictwo AE w Kakowie. 6. Tata J. (00), Nieówość Lapuowa dla wielowymiaowych ozkładów pawdopodobieństw, Zeszyty Naukowe Uiwesytetu Ekoomiczego w Kakowie, 549. Abstakt: Autozy atykułu we wcześiejszych pacach pzedstawili owe podejście do opisu i badaia ozkładów pawdopodobieństwa wielowymiaowych wektoów losowych. W iiejszym opacowaiu uzyskae wcześiej owe azędzia wykozystao do badaia wybaego czteowymiaowego wektoa sytuacji społeczodemogaficzej Polski. Uwzględiając admiistacyjy podział kaju a powiaty oaz dae Główego Uzędu Statystyczego za ok 0 wyzaczoo i skometowao istote chaakteystyki wektoa, któego współzędymi są współczyiki: zawieaych małżeństw, ozekaych ozwodów, dzietości oaz zgoów. W uzyskaych wyikach zajduje obiektywe (aukowe) potwiedzeie powszechie fomułowaa teza o iestety złej kodycji społeczo-demogaficzej Polski. Multivaiate aalysis of the socio demogaphic situatio of Polad I the pevious woks the authos have peseted a ew appoach to desciptio ad aalysis of a adom vecto distibutio. I this pape the obtaied ealie ew tools have bee used fo aalysis of the fouth-dimesio vecto of the sociodemogaphic situatio of Polad. Takig ito accout admiistative divisio of 87

16 the couty ito couties ad the data fom the Cetal Statistical Office of Polad, we calculated ad commeted the impotat chaacteistics of the vecto, which coodiates ae: the total maiage ate, the total divoce ate, the total fetility ate ad the total motality ate. The obtaied esults ae objective (scietific) cofimatio of commoly fomulated the thesis of - ufotuately - bad sociodemogaphic coditio of Polad. MBA Katazya Budy, juio lectue, Cacow Uivesity of Ecoomics. MBA Mata Szklaska, juio lectue, Cacow Uivesity of Ecoomics. PhD Ja Tata, seio lectue, Cacow Uivesity of Ecoomics. 88