1. Wprowadzenie. Zygmunt Lech Warsza. Serhii Zabolotnii. Pomiary Automatyka Robotyka, ISSN , R. 22, Nr 1/2018, DOI: 10.

Transkrypt

1 Pomiay Automatyka Robotyka, ISSN 47-96, R., N /08, DOI: 0.433/PAR_7/49 Zygmut Lech Wasza Sehii Zabolotii Steszczeie: Pzedstawioo sposób wyzaczaia estymatoów watości i iepewości mezuadu iekowecjoalą metodą maksymalizacji wielomiau stochastyczego (PMM) dla póbki daych pomiaowych pobaych z populacji modelowaej zmieą losową o ozkładzie iesymetyczym. W metodzie PMM stosuje się statystykę wyższego zędu i opis z użyciem mometów lub kumulatów. Wyzaczoo wyażeia aalitycze dla estymatoów watości i iepewości stadadowej typu A mezuadu za pomocą wielomiau stopia =. Niepewość stadadowa watości mezuadu otzymaa metodą PPM zależy od skośości i kutozy ozkładu. Jest oa miejsza od śediej aytmetyczej wyzaczaej wg pzewodika GUM i bliższa watości teoetyczej dla ozkładu populacji daych. Jeśli ozkład te jest iezay, to estymatoy mometów i kumulatów wyzacza się z daych pomiaowych póbki. Spawdzoo skuteczość metody PMM dla kilku podstawowych ozkładów.. Wpowadzeie Poces wyzaczaia ezultatu pomiaów obejmuje statystycze szacowaie watości i ozszezoej iepewości mezuadu. Oceia się je a podstawie póbki zawieającej dae obsewacji pomiaowych pobae z ich populacji o losowym ozzucie watości. Rozzut te moża modelować okeśloym ozkładem pawdopodobieństwa. W większości stosuje się jedomodale ozkłady symetycze, w tym główie ozkład omaly (Gaussa) oaz ozkłady: ówomiey, tójkąty, tapezowe, Laplace i ie []. W pzewodiku GUM [], taktowaym jak oma międzyaodowa, zaleca się by ozzut daych pomiaowych opisywać iepewością typu A wyiku pomiau i szacować ją idetyczie, jak dla ozkładu omalego. Sposób te jest jedak iepopawy pzy koieczości modelowaia ozzutu daych pomiaowych ozkładami iegaussowskimi. Z idetyfikacji i aalizy daych pomiaowych występujących w paktyce pomiaowej wyika, że w iektóych pzypadkach tzeba też stosować ozkłady iesymetycze wskutek występowaia asymetyczych błędów pzypadkowych [3 6]. Powstają oe pzy ieliiowym ówaiu pomiau, skoelowaiu toów pomiaowych oaz istieiu zaówo stałych jak i zmieiających się detemiistyczie w takcie pomiaów iezidetyfikowaych, a więc i ieusuiętych błędów systematyczych. Jedą z ostatio popoowaych zmia w zaleceiach GUM jest stosowaie podejścia Bayesa [7, 8] waz z metodą ajwiększej wiaygodości. Do pawidłowego dobou metody pomiau oaz obliczeia iepewości pomiaów iezbęda jest wstępa idetyfikacja i pzybliżeie ozzutu daych odpowiedim dla daego zadaia pomiaowego ozkładem pawdopodobieństwa [9]. Realizuje się to zaówo metodami aalityczymi [0], jak i pzy pomocy modelowaia statystyczego metodą Mote Calo [, Supl. ], [5]. Podejście Bayesa wymaga jedak ifomacji a pioi o fukcji ozkładu daych pomiaowych. Cechuje je także potecjalie wysoki stopień złożoości pzy aalizie paametów. W pacy [] i w moogafii [4 ozdz. 9] pzedstawioo podejście alteatywe, któe ie wymaga idetyfikacji ozkładu. Polegała oa a ozmożeiu daych póbki pomiaowej metodą bootstap i spawdzeiu, któy ze zbiou jedo- i kilkuelemetowych estymatoów ma dla tych daych ajmiejszą waiację. Poiżej omawia się ie podejście alteatywe o azwie Metoda Maksymalizacji Wielomiau i akoimie PMM utwozoym od agielskiej wesji tej azwy. Metodę tę zapopoował Kucheko [5, 6]. Umożliwia oa twozeie modeli 49

2 opatych a statystyce wyższego zędu dla óżych fukcji zmieych losowych. Wzoy stają się postsze, gdy w opisie używa się kumulatów, któe łatwo wyzacza się umeyczie za pośedictwem mometów. Metodę PMM moża stosować jako azędzie matematycze do pzetwazaia daych statystyczych w takich dziedziach jak: ozpozawaie obazów fukcji [7], idetyfikacja puktu wystąpieia zmia statystyczych paametów sygału (ag. chage poit) [8, 9], wykywaie i estymacja paametów sygałów a tle iegaussowskich zakłóceń [0] oaz wielu iych. Autozy badają możliwości zastosowaia metody PMM w metologii i techice pomiaowej, w tym do wyzaczaia oce watości i iepewości pomiaów. Badaia te wykazały już, że metoda ta (w połączeiu z opacowaiem modeli pobabilistyczych opatych a statystyce wyższych zędów i ich opisem pzez momety i kumulaty) ma szeeg zalet. Upaszcza się poces sytezy i moża ówocześie uwzględić pobabilistycze właściwości kilku paametów. Popawia się szacowaie dokładości pomiaów, gdyż waiacje estymowaych paametów są wówczas miejsze. Miejsze też jest pawdopodobieństwo błędych decyzji. Opis óżych ozkładów pawdopodobieństwa pzez kumulaty wykozystuje się dotąd badzo zadko w paktyce pomiaowej. Jest o miej zay iż z użyciem mometów ozkładu, mimo że wzoy używae w aalizie zmieych losowych są postsze. Na pzykład ozkład omaly ma ieskończeie wiele mometów pazystych, zaś wszystkie jego kumulaty zędu > są ówe zeu. Omówimy kótko podstawowe właściwości kumulatów. Kumulaty są współczyikami ozwiięcia w szeeg Tayloa- -MacLauia logaytmu chaakteystyczej fukcji f ξ (u) zmieej losowej ξ []. Opisują to wzoy: κ = j d l f ( u) ξ du 0 u = jux f u = π p x e dx, ξ ( ) ξ ( ) gdzie: k kumulat zędu, p ξ (x) fukcja gęstości pawdopodobieństwa (PDF). W aalizie statystyczej używa się też bezwymiaowych współczyików kumulatów γ = κκ /. Najbadziej zae są: współczyik kumulata asymetii g 3 oaz współczyik kumulata kutozy g 4. Zalety użycia kumulatów [] są astępujące: są to odębe paamety statystycze ozkładów zmieej losowej, alteatywe do mometów i w pewym stopiu iezależe od siebie; kumulaty wyzacza się badzo posto z mometów póbki (tabela koluma lewa); pewą liczbą kumulatów wyższego zędu (lub ich współczyikami) moża schaakteyzować w posty sposób stopień iegaussowości zmieej losowej; badzo ważą właściwością kumulatów jest ich iezależość (iwaiatość) a pzesuięcie agumetu i zmiay skali zmieych losowych (tab. koluma pawa), właaddytywości, tj. kumulat i-tego zędu dla sumy iezależych statystyczie zmieych losowych jest sumą kumulatów wszystkich składowych tego zędu. Pzykładem zastosowaia tego opisu właściwości zmieej losowej w metologii jest zapopoowaa w [] metoda kutozy do wyzaczaia błędu pomiau sumy zmieych losowych o óżych ozkładach. Jedak zakes stosowaia algoytmu tej metody ogaicza się do składowych losowych opisywaych symetyczymi ozkładami PDF (fukcja gęstości pawdopodobieństwa), a jej aalityczo-gaficzy sposób ealizacji jest tudy do automatyzacji. W pacy [3], za pomocą kumulatów wykoao aalizę modeli układów pomiaowych z addytywymi i multiplikatywymi błędami pzypadkowymi w toach pzetwazaia sygałów. Zaś w [4] zbadao szczegółowo olę współczyika kumulata zędu 4 (kutozy) jako istotego paametu ozkładów symetyczych. Zależości piewszych czteech kumulatów póbki od jej mometów początkowych oaz podstawowe opeacje a kumulatach podao w tabeli. Wzoy dla k i astępych upaszczają się jeśli a = 0, czyli gdy wyaża się je pzez momety cetale póbki. Zastosowaie metody maksymalizacji wielomiau stochastyczego PMM jako iekowecjoalego azędzia matematyczego do wyzaczaia paametów wyiku pomiaów wielokotych o watościach daych pobaych losowo z ozkładu symetyczego autozy omówili w [3]. Poiżej pzedstawi się zastosowaie metody PMM dla póbek daych pomiaowych z ozkładów asymetyczych. Celem tej pacy jest: zastosowaie metody maksymalizacji wielomiau (o agielskim akoimie PMM) do sytezy algoytmów estymacji paametów mezuadu dla modeli ozkładu błędów asymetyczych opisaych kumulatami, aaliza teoetycza dokładości estymatoów paametów wielomiau, zbadaie skuteczości powyższych algoytmów modelowaia statystyczego. Rozpatywać będziemy pomiay stałej watości oczekiwaej q pojedyczej wielkości miezoej jako szczególy pzypadek istumetalego badaia mezuadu. Wyik pomiau wyzacza się a podstawie szeegu powtózoych obsewacji pomiaowych tej wielkości, lub zależego od iej sygału x. Wskutek wielu óżych oddziaływań zewętzych i wewętzych oaz iedoskoałości istumetaium (pzyządy, system pomiaowy) watości pozyskaych obsewacji, czyli suowe dae pomiaowe podlegają ozzutowi. Są oe obaczoe występowaiem iepożądaych składowych, tj. błędami pomiaowymi o chaakteze zdetemiowaym (błędy systematycze o watościach: stałych i zmieych, dyft oaz zakłóceia oscylacyje) oaz losowym Tabela. Wzoy łączące kumulaty i momety początkowe oaz podstawowe właściwości kumulatów Table. Pattes coectig cumulats ad iitial momets ad basic popeties of cumulats Wyzaczaie kumulatów z mometów początkowych Podstawowe właściwości kumulatów ówoważość iwaiatość jedoodość addytywość 50 P O M I A R Y A U T O M A T Y K A R O B O T Y K A NR /08

3 Zygmut Lech Wasza, Sehii Zabolotii (błędy pzypadkowe, outliey). Suowe dae ależy oczyścić z błędów systematyczych o watościach zaych a pioi, lub wykytych w pocesie pomiaowym [4 ozdz.]. Dae pomiaowe koyguje się popzez popawki, a wpływy o iezaych watościach, ale o pzewidywaych zakesach ich zmia, adomizuje i opisuje się iepewością typu B []. Ze skoygowaych ekspeymetalych daych póbki, jako wyik pomiaów wyzacza się metodami statystyczymi estymato watości mezuadu θˆ oaz ozkład iepewości typu A i jej watość stadadową u A. Niepewość ozszezoą U, czyli pzedział, w któym może zajdować się wyik pomiaów z okeśloym pawdopodobieństwem P, otzymuje się bądź ze splotu ozkładów iepewości typu A i B wyzaczoy metodą Mote Calo (MC) [ Supl.], bądź z geometyczej sumy ich iepewości stadadowych U = k u + u P k P współczyik ozszezeia zależy od ozkładu splotu i P. Dalszy tekst dotyczy zastosowaia statystyczej metody wielomiaowej PMM do wyzaczaia watości i iepewości wyiku pomiaów. Zbió uzyskaych i skoygowaych pzez popawki watości obsewacji pomiaowych staowi póbkę daych { z z } z =,,... z pobaych z populacji geealej jako zbiou wszystkich możliwych ich watości. Populacja ta składa się z iezależych i jedolicie ozposzoych losowo elemetów opisaych modelem x = q + h. W pomiaach q = cost jest watością miezoą, a h dowolie ozłożoą, w tym i asymetyczie, zmieą losową opisującą właściwości pobabilistycze pzypadkowych błędów pomiau w postaci ozkładu pawdopodobieństwa, bądź pzez sekwecję kumulatów i ich współczyików. W takim modelu matematyczym kumulat populacji piewszego zędu k jest watością miezoą waz z pzesuięciem o iewyelimioway błąd systematyczy, kumulat dugiej zędu k okeśla waiację składowej losowej, a współczyiki kumulatów wyższych zędów g 3, g 4,... opisują stopień odchyleia daego ozkładu od ozkładu Gaussa. Natomiast za pomocą kumulatów obliczoych ze skoygowaych daych pomiaowych póbki wyzacza się wyik pomiau jako estymato watości miezoej q oaz jego iepewość typu A. (PMM) Według metody PMM podaej pzez Kuchekę [5], oszacowaia czyli estymatoy paametów statystyczych wielkości miezoej q wyzacza się ozwiązując ówaie stochastycze [3, 4 ozdz.0] A B ( θ )[ α α ( θ )] = 0 h () ˆ i i i= i θ = ˆ θ gdzie: jest stopiem wielomiau użytego do estymacji paa- metów, a i (q), i i = x v v= ˆα i-tego zędu momety począt- kowe: teoetyczy, tj. dla populacji oaz dla póbki o daych pomiaowych. Współczyiki h i (q) dla i =, są ozwiązaiami układu algebaiczych ówań liiowych zędu dla wauków miimalizacji waiacji estymatoa q, tj.: d h i( θ ) Fi, j ( θ ) = α j ( θ ), j =, s () i= dθ gdzie: F i,j (q) = a i+j (q) a i (q)a j (q) Układ ówań () ozwiązuje się aalityczie metodą Kamea: gdzie: D = F i,j ; ( i, j =, ) wyzaczik główy układu ówań () o wymiaze, D i wyzaczik otzymay z D po zastąpieiu i-tej kolumy pzez kolumę wyazów wolych układu ówań (). D = F i,j ; W pacach [5, 6] Kuczeko wykazał, że ocey wielomiaowe θˆ będące ozwiązaiami układu ówań stochastyczych o postaci () są spóje i asymptotyczie ieobciążoe. Do wyzaczeia oce iepewości pomiau tzeba okeślić ilość wydobytej ifomacji o szacowaej wielkości q, opisaej ogólie ówaiem, (3) Ses statystyczy fukcji J,(q) jest taki sam, jak w klasyczej kocepcji Fischea o ilości ifomacji. Jeżeli, to jej odwotość dąży do waiacji estymatoa q, tj.: σ θ θ ( = limj ), ( ). (4) Wyażeia aalitycze staą się postsze po dokoaiu stadayzacji daych oygialej póbki pomiaowej, tj.: ( z v κ ) κ x, dla v, v = (5) x =,...x. Jest oa zbioem zomalizowaych daych pomiaowych o watości oczekiwaej takiej, jak estymato watości paametu q, ale o waiacji ówej. Z podstawowego wzou () dla metody PMM wyika, że pzy szacowaiu z użyciem wielomiau stopia =, watość estymatoa θˆ wielkości q jest ozwiązaiem ówaia: Otzymuje się uomowaą póbkę { x,x } ( θ )[ ˆ α θ ] 0 h, (6) = θ =θˆ Z postaci wyażeia (6) wyika, że pzy dowolej watości czyika h (q) 0 moża je pzekształcić w statystykę liiową. Estymato paametu q jest wówczas śedią aytmetyczą: ˆ θ () = x v (6a) v= Estymato o postaci (6a) jest też oszacowaiem watości oczekiwaej zmieej losowej wyzaczaym klasyczą metodą mometów (MM). Estymato o postaci (6a) ma ajmiejszą waiację dla daych pomiaowych póbki tylko wtedy, gdy zmiea losowa ma ozkład Gaussa i poadto jej pobae losowo watości x = { x, x,... x } ie są skoelowae [, 4 ozdz. 3]. Jeśli ozkład daych pomiaowych jest iy iż omaly, to do wyzaczeia estymatoów o iepewości miejszej iż dla watości śediej ależy stosować metody alteatywe. Należy też do ich iekowecjoaly sposób szacowaia estymatoów ieliiowych metodą PMM, któa wykozystuje optymalizację wielomiaów stochastyczych. Według metody PMM z wielomiaem stopia = (i pzy uomowaiu daych póbki) estymatoem paametu q jest ozwiązaie ówaia: 5

4 ( θ )[ ˆ α θ ] + h ( θ )[ ˆ α ( θ + ) ] 0 h (7) = θ =θˆ gdzie: h (q) i h (q) współczyiki optymale. Współczyiki h (q) i h (q) dla = miimalizują watość poszukiwaego estymatoa paametu q. Zajduje się je ozwiązując układ dwóch ówań liiowych o postaci () h (q) + h (q)[q + g 3 ] = h (q)[q + g 3 ] + h (q)[4q + 4qg 3 + ( + g 4 )] = q Otzymuje się wyażeia: θγ + γ 3 3 h ( θ ) = +, (8a) γ + γ 3 4 γ 3 h ( θ ) = (8b) γ + γ 3 4 Po wstawieiu tych współczyików do (), ówaie służące do oszacowaia paametu q pzyjmuje postać: ( ) ( ) θ= θ γθ γα + γ θ + γ α + γ α ˆ ˆ ˆ = 0 (9) ˆ Z aalizy wyażeia (9) wyika, że dla ozkładu symetyczego (g 3 = 0), to kwadatowe ówaie pzekształca się w liiowe o jedym tylko ozwiązaiu, takim samym jak dla ówaia (6). Jeśli g 3 0, to ówaie (9) ma dwa piewiastki: + γ γ ˆ + θ = α ± α ( ) ( α 4 4 ˆ ˆ ˆ ) +, γ γ 3 3 (0) Pzy stosowaiu metody wielomiaowej PMM, jeśli istieje kilka możliwych ozwiązań ówaia (6), to ależy wybać piewiastek będący liczbą zeczywistą. Według wzou (3) pozyska się wówczas maksymalą ilość ifomacji J (q) i ajmiejszą watość waiacji. W pzedstawiaych tu badaiach dotyczących zastosowaia metody PPM w aalizie pomiaów, zasadę wybou piewiastka ówaia (0) jako optymalego estymatoa paametu q okeśla pukt zmiay zaku współczyika asymetii, tj. dla g 3 = 0. Tak więc oszacowaiem paametu q, wyzaczoym za pomocą wielomiau stopia =, jest estymato θˆ ( ) () Jest to stosuek waiacji odchyleń od estymatoa paametu q, wyzaczoego metodą PMM () oaz waiacji odchyleń od estymatoa liiowego opisaego wzoem (6a) i szacowaego metodą PMM () z wielomiaem stopia = (czyli tak samo, jak metodą mometów MM). Estymato liiowy o postaci (6a) jest ieobciążoy (o watości początkowej ówej zeu) i zgody []. Jego waiacja ie zależy od watości szacowaego paametu, ale wyłączie od waiacji składowej losowej daych pomiaowych (kumulat dugiego zędu k = m ) i od ich liczby w póbce: (3) Z wyażeia (8) opisującego optymale współczyiki metody PMM oaz w opaciu o wzó ogóly (3) moża otzymać ilość ifomacji o estymatoach paametu q, któą uzyskuje się z póbki o wielkości za pomocą wielomiaów stochastyczych stopia = : + γ 4 J =, ( θ ) κ γ + γ 3 4 Asymptota waiacji σ ( θ ) jest odwotością J (θ), tj. σ ( θ ) κ γ = + γ 4 3 Współczyik zmiejszeia waiacji wyiesie wówczas (4) γ 3 g ( θ ) = (5) + γ Jest o fukcją współczyików g 3 i g 4 kumulatów skośości i kutozy i ie zależy od liczby daych póbki. Współczyiki kumulatów wyższych zędów ie mogą pzyjmować watości dowolych i ich gaice są ze sobą powiązae [5]. Pzykładem jest powiązaie gaic watości współczyików kumulatów g 3 i g 4. Z aalizy wzou (5) wyika, że bezwymiaowy współczyik edukcji (zmiejszaia) waiacji g (θ) ma zakes (0; ], zaś dopuszczale watości współczyików kumulatów ogaicza ieówość γ + γ ˆ θ = ( ) ˆ θ + ( ) δ ( ), () o współczyiku koekcyjym δ ( ) w postaci ozwiiętej δ + γ = γ 3 4 ( ) + sig ( γ 3) (a) + γ 4 xv x + v = = γ v v 3 Metodą wielomiaową PMM i paamety wyzaczae z daych póbki za pomocą wielomiau -tego stopia ozaczać się będzie dalej w tekście dolym ideksem (). Niepewość pomiau wg metody PMM () popouje się oceiać ilościowo za pomocą współczyika edukcji waiacji Rys.. Zależości współczyika edukcji waiacji g (q) = s (q) /s estymatoa watości mezuadu według metody (q) PMM () (z wielomiaem stopia ) od współczyików kumulata g 3, g 4 Fig. Depedece of the vaiace eductio coefficiet g (q) = s (q) /s (q) calculated by the d ode polyomial method PMM() fom cumulative coefficiets g 3, g 4 5 P O M I A R Y A U T O M A T Y K A R O B O T Y K A NR /08

5 Zygmut Lech Wasza, Sehii Zabolotii Na ysuku pzedstawioo zależości współczyika g (θ) od współczyika asymetii g 3 dla kilku stałych watości współczyika kutozy g 4 jako paametu. Kzywe z ysuku wykazują, że waiacja estymatoa wg metody PMM (), tj. z wielomiaem dugiego stopia zacząco maleje ze wzostem asymetii ozkładu (watości bezwzględe g 3 współczyików asymetii i osiąga zeo a bzegach obszau dopuszczalych watości g 3, któe wzastają waz z g 4. PMM Na podstawie pzepowadzoych ozważań opacowao pakiet opogamowaia w śodowisku pogamowym MATLAB. Pzy asymetyczie ozposzoych daych pomiaowych pakiet te umożliwia pzepowadzaie modelowaia statystyczego iezbędego do wyzaczeia estymatoa mezuadu popoowaą wielomiaową metodą PMM opatą a statystykach wyższego zędu i kumulatach. Podstawą algoytmu pakietu jest wiele ekspeymetów symulowaych metodą Mote Calo. Umożliwia o aalizę poówawczą dokładości óżych algoytmów estymacji statystyczej, a także zbadaie właściwości pobabilistyczych estymatoów wielomiaowych. Otzymywaa empiyczie watość współczyika ( θ ) g wg wzou (), wyaża względe zmiejszeie waiacji estymatoa i może staowić kyteium poówawcze skuteczości metody PMM w stosuku do sposobu wyzaczaia iepewości typu A wg GUM. Współczyik g( θ ) oblicza się a podstawie M-kotych ekspeymetów symulacyjych o tych samych początkowych watościach obsewacji pomiaowych paametów modelu. Estymato współczyika gˆ ( θ ) twozy się jako stosuek empiyczie oszacowaych waiacji ˆ σ ( θ ) estymowaego paametu (obliczoych metodą PMM z wykozystaiem wielomiau. stopia) i waiacji ˆ σ ( θ ) liiowego estymatoa tego paametu wg wzou (6). Wiaygodość wyików symulacji uzyskiwaych za pomocą algoytmów estymacji statystyczej zależy od dwóch czyików: liczby elemetów wektoa wejściowego, tj. watości obsewacji pomiaowych estymowaego paametu, liczby ekspeymetów M, pzepowadzaych z tymi samymi waukami początkowymi (watości skośości i kutozy opisujące pobabilistycze właściwości modelu). Wykoao po M = 0 4 obliczeń metodą Mote Calo dla kilku odzajów asymetyczych ozkładów daych pomiaowych. Uzyskao z ich śedie watości ekspeymetalego (tj. wyzaczoego z daych póbki pomiaowej) współczyika edukcji waiacji g ˆ( θ ). W obliczeiach estymatoów paametu q () wielomiaową metodą PMM ie bao pod uwagę ifomacji a pioi o odzaju ozkładu, a tylko watości jego współczyików kumulata jako paametów modelu. Wyzaczao je z wyażeń aalityczych wiążących momety i kumulaty ozkładu (Tabela ). W paktyce wstępują też sytuacje, gdy ifomacja o ozkładzie badaych paametów ie jest dostępa a pioi. Potzebe w aalizie estymatoy mometów moża wówczas uzyskać z daych póbki, lub w sposób algoytmiczy pzez poceduy teigowe z wykozystaiem elacji asymptotyczych: gdzie: m m 3, ( ) ˆ γ = ˆ ˆ ˆ γ = mˆ m ˆ 3 (6) mˆ i momet cetaly póbki i-tego zędu mˆ = x x i k k ( v ) v = i (7) Estymatoy o postaciach (6) i (7) są zgode i asymptotyczie ieobciążoe. Metodę obliczaia liczby k pób teigowych iezbędych do uzyskaia okeśloej watości względego błędu oszacowaia współczyików kumulata g 3 i g 4 podao w []. Zestaw wyików uzyskaych metodą Mote Calo podao w tabeli. Aaliza daych pzedstawioych w tej tabeli wykazuje zbieżość między wyikami obliczeń aalityczych i modelowaiem statystyczym. Wzasta oa waz z liczbą elemetów póbki. W szczególości óżica między ekspeymetalymi i teoetyczymi watościami współczyika edukcji waiacji g ˆ ( θ ) maleje waz ze wzostem liczby elemetów póbki (p. gdy = 0 to óżica ta ie pzekacza 5%, a gdy = 50 to óżica ta jest już miejsza od 5%). Wyiki te potwiedzają właściwość asymptotyczą (4) dotyczącą watości pozyskaej ifomacji o estymowaych paametach. Wzó (3) umożliwia użycie tej ifomacji do wyzaczeia waiacji estymatoów wielomiaową metody PMM jako ozwiązań ówaia ogólego (). Pzykłady otzymaych empiyczie metodą Mote Calo oszacowań śediej aytmetyczej i jej iepewości typu A wg GUM [] oaz estymatoa watości mezuadu według metody PMM () i jego odchyleia stadadowego (dla óżych asymetyczych ozkładów daych) ys.. Pzykłady te dotyczą symulacji Mote Calo o M = 0 4 ekspeymetach i liczbie = 50 daych obsewacji pomiaowych w póbce. Na wykesach a) b) c) d) Rys.. Wykesy pudełkowe oszacowań watości mezuadu otzymaych empiyczie metodą Mote Calo (M = 0 4 ) dla póbki o = 50 daych z populacji o ozkładach: a) wykładiczym; b) gamma (α = ); c) log-omalym; d) Weibulla Fig.. Box-plot gaphs empiically obtaied by Mote Calo method (M = 0 4 ) estimatos of measuad fo sample with = 50 data taked fom populatio of asymmetic pdf-s: a) expoetial; b) gamma (α = ); c) log-omal; d) Weibull 53

6 Tabela. Wyiki estymacji paametów uzyskae metodą Mote Calo Table. Results of estimated paametes by Mote-Calo simulatio Gamma x fx () x e, x > 0 m... Expoetial Gamma dla = f ( x ) x e, x > 0 Rozkład Teoetycze watości paametów 3 4 g Symulacje Mote Calo g = 0 = 50 = 00 = 0,5,83 0,43 0,47 0,46 0,43 =,4 3 0,6 0,63 0,6 0,6 = 4,5 0,7 0,74 0,7 0,7 = 6 0,5 0,58 0,5 0,5 m! Logomal fx () e x x 0, m e Weibull b x fx () aa x > 0, m l x b b x a e a b = 0, = a = b =,86 0,74 0,76 0,075 0,74 0,63 0,5 0,8 0,84 0,83 0,8 Tabela 3. Wyiki badaia adekwatości liiowego modelu ozkładu (fukcja Gaussa, = ) i ieliiowego wielomiaowego ( = ), oszacowae według testu Lilliefosa Table 3. Results of testig the adequacy of the Gaussia distibutio model fo liea ( = ) ad polyomial ( = ) estimates o the basis of Lilliefos test Rozkład Paametey wyjściowe testu Lilliefosa LSTAT = 0 = 50 = 00 = = = = = = Gamma = 0,5 0,045 0,036 0,08 0,0 0,08 0,009 Expoetial = 0,034 0,07 0,03 0,03 0,0 0,008 Gamma = 0,0 0,07 0,03 0,0 0,009 0,007 = 4 0,0 0,07 0,0 0,0 0,008 0,007 Logomal = 0,, µ = 0,06 0,04 0,0 0,0 0,008 0,007 Weibull a =, b = 0,03 0,07 0,0 0,0 0,006 0,004 typu pudełkowego (ag. box-plot), pole w śodkowej części zawiea 50% pzedziału ufości estymatoa, a ozaczeia dolej i góej gaicy odpowiadają,5% i 97,5%. Wykesy te potwiedzają, że metodą PMM uzyska się lepszy ezultat iż metodą klasyczą wg zaleceń GUM, gdyż awet dla małych póbek o = 0, g ( ) < θ, czyli ich waiacje są istotie miejsze. CV 0,009 Autozy zachęcają Czytelików do samodzielego spawdzeia metodą Mote Calo wyików estymacji PPM iteesujących ich ozkładów asymetyczych, iych iż podae w tabeli i do opacowaia szczegółowych wiosków o zbadaych ozkładach. Iym ważym ezultatem modelowaia statystyczego jest spawdzeie założeia, że waz ze wzostem liczby pozyskaych daych ozkłady estymatoów paametów wielkości miezoej q, obliczoe metodą PMM według wzou (), dążą asymptotyczie do fukcji Gaussa. Popawość tej hipotezy dla estymatoów wyzaczaych metodą wielomiaową PMM zbadao za pomocą testu Lilliefosa opatego a statystyce Kołmogoowa-Smiowa []. Test te jest wbudoway w opogamowaie MATLAB. W tabeli 3 pzedstawioo wyiki badaia w postaci testu Lilliefosa. LSTAT to watości póbki badaej statystyczie, CV kytycza 54 P O M I A R Y A U T O M A T Y K A R O B O T Y K A NR /08

7 Zygmut Lech Wasza, Sehii Zabolotii watość statystyki testu. Jeżeli LSTAT < CV, to hipoteza zeowa jest waża pzy zadaym poziomie kytyczym. Wyiki pzedstawioe w tabeli 3 uzyskao wykoując M = 0 4 ekspeymetów statystyczych MC dla każdego z kilku podstawowych asymetyczych ozkładów populacji daych pomiaowych i óżej liczby daych póbki x oaz pzy stałym poziomie istotości a 0 = 0,05 hipotezy zeowej (ozkład Gaussa). Pzyjęte kyteium CV = 0,009 spełiają tylko ielicze pogubioe w tabeli 3 wyiki dla liczby daych w póbce = 00. Dla miejszych ie moża ozzutu watości estymatoów mezuadu taktować jako podlegającego ozkładowi Gaussa. Wyzaczaie estymatoa waiacji mezuadu metodą wielomiaową PMM stopia ależy popzedzić podaym w pukcie 4 uomowaiem oygialych daych pomiaowych, by otzymać póbkę x. Do oszacowaia iepewości ozszezoej wyiku pomiaów a podstawie wyażeń aalityczych dla waiacji, p. takich jak otzymae w pukcie 5 dla =, potzeba jest ifomacja a pioi o odzaju ozkładów dla okeśloej liczby współczyików kumulata opisujących jej właściwości pobabilistycze. Nie atafiliśmy jeszcze w liteatuze a zależości aalitycze współczyików ozszezeia iepewości stadadowej dla óżych paametów ozkładów iegaussowskich i pzy óżej liczbie daych. Dla okeśloego ozkładu i małej liczby daych póbki moża je wyzaczać umeyczie metodą MC. Jedyie dla dużych moża pzyjąć, że są to ozkłady omale. Wato też zauważyć, że addytywe właściwości fukcji opisującej kumulaty umożliwiają w posty sposób uwzględiać składowe iepewości geeowae pzez wiele źódeł i o óżych właściwościach pobabilistyczych. Łącza aaliza wyików ozważań teoetyczych i ekspeymetów statystyczych umożliwia sfomułowaie ogólego wiosku o możliwości wykozystaia azędzia matematyczego zapopoowaego pzez Kucheko, czyli metody maksymalizacji wielomiaów stochastyczych o akoimie PPM z opisem za pomocą kumulatów. Metodę tę moża użyć w kostuowaiu algoytmów do wyzaczaia ieliiowych estymatoów watości i iepewości mezuadu dla daych pomiaowych ozposzoych losowo zaówo symetyczie [3, 4], jak i asymetyczie oaz opisaych modelem iegaussowskim. Omówioe w tej pacy badaia metodą Mote Calo wykazały w szczególości, że estymacja paametów mezuadu a podstawie daych póbki z ozkładu asymetyczego, już pzy zastosowaiu wielomiau stopia = daje większą dokładość (miejszą waiację) iż estymacja liiowa zalecaa w GUM [], tj. wyzaczaie śediej aytmetyczej i jej iepewości typu A. Zwiększeie dokładości, czyli zmiejszeie waiacji i iepewości stadadowej estymatoów osiągięto dla iegaussowskich iesymetyczych ozkładów daych pomiaowych pzez wykozystaie dodatkowej ifomacji o ich właściwościach w postaci kumulatów zędów >. Ifomacja ta zależy od watości i liczby kumulatów baych pod uwagę. W tej pacy wyażoo ją pzez bezwzględe watości współczyików kumulatów skośości i kutozy. Takie szacowaie wydaje się o wiele postsze w poówaiu do wybou odzaju ozkładu i wyzaczeia paametów jego fukcji dla daej póbki o ozposzoych daych pomiaowych. To postępowaie oaz spawdzeia adekwatości obu wyboów jest jedak iezbęde do oszacowaia iepewości. Poadto dla małych i awet śedich póbek ( < 50) ie moża jedozaczie dokoać ajlepszego wybou ozkładu. Wśód wielu możliwych kieuków dalszych badań, jako pioytetowe ależy wymieić astępujące zadaia: zwiększeie stopia wielomiau stochastyczego, gdy tzeba uzyskać badziej skutecze ozwiązaia; aaliza wpływu dokładości kumulatów ozkładu iegaussowskiego a stabilość wielomiaowej estymacji paametów mezuadu; syteza i aaliza właściwości ekuecyjych algoytmów dla estymacji wielomiaową metodą PMM paametów mezuadów wektoowych.. Novickij P.V., Zogaf I.A., ceka pogeshostiej esultatov izmieeii (Estimatio of the measuemet esult eos), Eegoatomizdat, Leigad,99 (i Russia).. Guide to the Expessio of Ucetaity i Measuemet, GUM (008) with Supplemet Evaluatio of measuemet data Popagatio of distibutios usig a Mote Calo method., JCGM 0: 008. OIML Geeva, Switzelad. 3. Doksum K., Measues of Locatio ad Asymmety. Scadiavia Joual of Statistics, Vol., No., 975,. 4. Schmellig M., Aveagig Measuemets with Hidde Coelatios ad Asymmetic Eos, MPI, (), 000, [ axiv.og/abs/hep-ex/ ]. 5. Balow R., Asymmetic Statistical Eos, axiv, 004, [ 6. Dailov A.A., Shumaova S.A., O the asymmety of the pobability desity fuctio of the eo of the esults of measuemets obtaied by meas of the complex measuemet chaels of measuemet systems, Measuemet Techiques, Vol. 55, No., 03), DOI: 0.007/s z. 7. Bich W., Cox M., Michotte C., Towads a ew GUM-a update. Metologia, Vol. 53, No. 5, 06, Cox M., Shioo K., Ifomative Bayesia type A ucetaity evaluatio, especially applicable to a small umbe of obsevatios. Metologia, Vol. 54, No. 5, 07, Levi S.F., The Idetificatio of Pobability Distibutios. Measuemet Techiques, Vol. 48, No., 005, 0, DOI: 0.007/s Casella G., Bege R.L., Statistical ifeece. Pacific Gove, CA: Duxbuy 00.. Galovska M., Wasza Z.L., The ways of effective estimatio of measuad. Pomiay Automatyka Komputey w Gospodace i Ochoie Śodowiska, N, 00, Täubet P., Abschätzug de Geauigkeit vo Messegebisse. Velag Techik, Kuzetsov B.F., Boodki D.K., Lebedeva L.V., Cumulat models of additioal eos. Sovemeye tekhologii. Sistemyi aaliz. Modeliovaie, No. (37), 03, De Calo L.T., O the meaig ad use of kutosis. Psychological methods, Vol., No. 3, 997, DOI: 0.037/08-989X Kucheko Y., Polyomial Paamete Estimatios of Close to Gaussia Radom vaiables. Gemay, Aache: Shake Velag Kucheko Y., Stochastic polyomials, Kiev: Nauk. dumka, , (i Russia). 7. Chetov O., Slipets T., Kucheko s polyomials fo template matchig, 8th IEEE Iteatioal Cofeece o Systems, Sigals ad Image Pocessig (IWSSIP), Saajevo, 6 8 Jue Zabolotii S.V., Wasza Z.L., Semi-paametic polyomial method fo etospective estimatio of the chage-poit of paametes of No-Gaussia sequeces, Advaced Mathematical ad Computatioal Tools i Metology ad Testig X. 05, DOI: 0.4/ _ Zabolotii S.W., Wasza Z.L., Semi-paametic polyomial modificatio of CUSUM algoithms fo chage-poit detec- 55

8 tio of o-gaussia sequeces. Electoic Poceedigs of XXI IMEKO Wold Cogess Measuemet i Reseach ad Idusty August 30,Septembe 4, 05, Pague, Czech Republic, Palahi V., Juh J., Joit sigal paamete estimatio i No Gaussia oise by the method of polyomial maximizatio, Joual of Electical Egieeig, Vol. 67, No. 3, 06, 7. DOI: 0.55/jee Camé H., Mathematical Methods of Statistics (PMS-9), Vol. 9, Piceto Uivesity Pess Lilliefos H.W., O the Kolmogoov-Smiov test fo omality with mea ad vaiace ukow. Joual of the Ameica Statistical Associatio, Vol. 6, No. 38, 967, , DOI: 0.307/ Wasza Z.L., Zabolotii S.W., A polyomial estimatio of measuad paametes fo samples of o-gaussia symmetically distibuted data. [i:] R. Szewczyk et all (eds.): Iovatios i Automatio, Robotics ad Measuemet Techiques. Poccedigs of Automatio-07. Seies: Advaces i Itelliget Systems ad Computig, Vol Spige It. l Publ. AG 07, , DOI: 0.007/ _ Wasza Z.L., ów. Oficya Wydawicza PIAP, Waszawa 06. Abstact: The o-stadad method fo evaluatig estimatos of the value ad ucetaity type A fo measuemet data sampled fom asymmetical distibuted with a pioi patial desciptio (ukow PDF) is peseted. This method of statistical estimatio is based o the mathematical appaatus of stochastic polyomials maximizatio ad uses the highe-ode statistics (momet & cumulat desciptio) of adom vaiables. The aalytical expessios fo fidig estimates ad aalyze thei accuacy to the degee of the polyomial = ae obtaied. It is show that the ucetaity of estimates eceived fo polyomial is geeally less tha the ucetaity of estimates obtaied based o the mea (aithmetic aveage) accodig iteatioal guide GUM. Reducig the ucetaity of measuemet depeds o the skewess ad kutosis. O the basis of the Mote Calo method caied out statistical modellig. Thei esults cofim the effectiveess of the poposed appoach. Keywods Pof. D Tech. Sc., El. Eg. Sehii V. Zabolotii 56 P O M I A R Y A U T O M A T Y K A R O B O T Y K A NR /08