Wstęp do topologii Ćwiczenia
|
|
- Milena Małecka
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wstęp do topologii Ćwiczenia Spis treści Przestrzeń metryczna, metryka 2 Kule w przestrzeni metrycznej 2 3 Zbieżność w przestrzeniach metrycznych 4 4 Domknięcie, wnętrze i brzeg 6 5 Zbiory gęste, brzegowe i nigdzie gęste 7 6 Funkcje ciągłe 8 7 Przestrzeń ośrodkowa 9 8 Przestrzeń zupełna 0 9 Przestrzeń zwarta
2 Zestaw. Przestrzeń metryczna, metryka Zadanie.. Udowodnić, że z warunków metryki wynika jej nieujemność. Zadanie.2. Niech X oznacza dowolny niepusty zbiór. Czy funkcja d 0 : X X R określona wzorem d 0 (x, y) = gdy x y jest metryką w X? Zadanie.3. Czy podane funkcje są metrykami w zbiorze X = R? d 3 (x, y) = 3x y d 2 (x, y) = 2 x 2 y d (x, y) = minx, y} d 4 (x, y) = x + y d 5 (x, y) = x 2 + y 2 gdy x y x y gdy x, y Q x, y / Q d 6 (x, y) = x + y w przeciwnym przypadku Zadanie.4. Czy podane funkcje są metrykami w zbiorze X = R 2? d((x, y ), (x 2, y 2 )) = x x 2 + y + y 2 d e ((x, y ), (x 2, y 2 )) = (x x 2 ) 2 + (y y 2 ) 2 d((x, y ), (x 2, y 2 )) = x x 2 + y y 2 d max ((x, y ), (x 2, y 2 )) = max x x 2, y y 2 } 0 gdy (x, y ) = (x 2, y 2 ) d p ((x, y ), (x 2, y 2 )) = x + y + x 2 + y 2 gdy (x, y ) (x 2, y 2 ) Renata Wiertelak
3 Zestaw 2. Kule w przestrzeni metrycznej Zadanie 2.. Niech X oznacza dowolny niepusty zbiór. Jakiej postaci są kule w przestrzeni (X, d 0 )?, jeśli d 0 funkcją określoną wzorem d 0 (x, y) = gdy x y. Zadanie 2.2. Czy funkcja określona wzorem d(n, k) = n k jest metryką w N? Jeśli jest, to narysuj kule K(, 2), K(5, 2), K(2, /5), K(3, 6 ). Zadanie 2.3. Jeśli (N, d) jest przestrzenią metryczną, gdy d(n, k) = + n+k gdy x y, to narysuj kule K(, 2), K(5, 2), K(2, /5), K(3, 6 ). Zadanie 2.4. Jeśli podane funkcje są metrykami w zbiorze X = R, to narysuj kule K(0, ), K(, 2), K(2, /5), K(3, 6 ). d nat (x, y) = x y x 2y 2 x 2 y ln( + x y ) maxx, y} x + y gdy x y x 2 + y 2 gdy x y x y gdy x, y Q x, y / Q x + y w przeciwnym przypadku Zadanie 2.5. Jeśli podane funkcje są metrykami w zbiorze X = R 2, to narysuj kule K((0, 2), ), K((0, 2), 3), K((2, ), 3), K((, 2), 3). d((x, y ), (x 2, y 2 )) = x x 2 + y + y 2 d((x, y ), (x 2, y 2 )) = 2 x x y + 3 y 2 d e ((x, y ), (x 2, y 2 )) = (x x 2 ) 2 + (y y 2 ) 2 Renata Wiertelak 2
4 d((x, y ), (x 2, y 2 )) = x x 2 + y y 2 d((x, y ), (x 2, y 2 )) = 3 x x y y 2 d max ((x, y ), (x 2, y 2 )) = max x x 2, y y 2 } d((x, y ), (x 2, y 2 )) = max2 x x 2, 3 y y 2 } y y 2 gdy x = x 2 d rz ((x, y ), (x 2, y 2 )) = y + x x 2 + y 2 gdy x x 2 0 gdy (x, y ) = (x 2, y 2 ) d p ((x, y ), (x 2, y 2 )) = x + y + x 2 + y 2 gdy (x, y ) (x 2, y 2 ) Zadanie 2.6. Jeśli X = [0, ] z funkcją d: X X R określoną wzorem x y gdy x y Q 2 gdy x y / Q jest przestrzenią metryczną, to wyznacz kule K(0, ), K( 2, 4 ), K(, 2 )? Zadanie 2.7. Jeśli X = [0, ] z funkcją d: X X R określoną wzorem x y gdy x y / Q 2 gdy x y Q jest przestrzenią metryczną, to wyznacz kule K(0, ), K( 2, 4 ), K(, 2 )? Renata Wiertelak 3
5 Zestaw 3. Zbieżność w przestrzeniach metrycznych Zadanie 3.. Udowodnij, że ciąg zbieżny posiada dokładnie jedną granicę. Zadanie 3.2. Udowodnij, że jeśli ciąg (x n ) n N jest zbieżny do x 0, to każdy jego podciąg jest zbieżny do x 0. Zadanie 3.3. Udowodnij, że jeśli ciąg (x n ) n N x, y, x 2, y 2,... jest zbieżny do x 0 w metryce d. d n x 0 oraz (y n ) n N Zadanie 3.4. Udowodnij, że każdy ciąg zbieżny jest ograniczony. Zadanie 3.5. Udowodnij, że każdy ciąg Cauchy ego jest ograniczony. Zadanie 3.6. Niech X = N. Czy funkcja d: X X R określona wzorem d((n, m) = n m d n x 0, to ciąg jest metryką w X? Jeśli jest, to narysuj kule K(5, 2), K(2, /5), K(3, /3). Jak wygląda zbieżność w tej metryce? Zadanie 3.7. Podać przykład takiego ciągu (x n ) n N, który nie jest ciągiem Cauchy ego oraz spełnia warunek: a) d(x n, x 3n ) 0 b) d(x n, x n+ ) 0 c) d(x n, x n+k ) 0 n n k N n Zadanie 3.8. Wyznacz d nat (0, A), d nat (2, A), d 0 (0, A), d 0 (2, A), d nat (B, A), d 0 (B, A), gdy A = (5, 7), B = [0, ]. Zadanie 3.9. Udowodnij, że jeśli ciąg (x n ) n N d(a, x n ) d n d(a, x 0). d n x 0, oraz A X, to Zadanie 3.0. Czy z tego, że A (B C) wynika, że δ(a) δ(b) + δ(c)? Zadanie 3.. Która z podanych nierówności jest prawdziwa? Kiedy są one prawdziwe? d(a B) d(a) + d(b) d(a B) d(a) + d(b) Zadanie 3.2. Udowodnij, że dla dowolnych A, B zachodzi d(a B) d(a) + d(b) + dist(a, B). Renata Wiertelak 4
6 Zadanie 3.3. x + y gdy x y Czy podane ciągi są zbieżne w (R, d)? Czy są ciągami Cauchy ego w (R, d)? Jeśli są zbieżne, to podaj ich granicę. a)x n = 3n, b) x n = 3 n, c) x n = 2n n +, d) x n = 5 + n, e) x n = n + n Zadanie 3.4. x y gdy x, y Q x, y / Q x + y w przeciwnym przypadku Czy podane ciągi są zbieżne w (R, d)? Czy są ciągami Cauchy ego w (R, d)? Jeśli są zbieżne, to podaj ich granicę. a)x n = 2 3n, b) x n = 3, c) x n n = 2n n +, d) x n = n, e) x n = n Zadanie 3.5. d((x, y ), (x 2, y 2 )) = 0 gdy (x, y ) = (x 2, y 2 ) x + y + x 2 + y 2 gdy (x, y ) (x 2, y 2 ) Czy podane ciągi są zbieżne w (R 2, d)? Czy są ciągami Cauchy ego w (R 2, d)? Jeśli są zbieżne, to podaj( ich granicę. a)(x n, y n ) = 3n, ) ( 2n, b) (x 3 n n, y n ) = n +, 5 + ), n ( c) (x n, y n ) = n, n + ) ( ) 5 d) (x n, y n ) = 3 n n, 4n Zadanie 3.6. d((x, y ), (x 2, y 2 )) = y y 2 gdy x = x 2 y + x x 2 + y 2 gdy x x 2 Czy podane ciągi są zbieżne w (R 2, d)? Czy są ciągami Cauchy ego w (R 2, d)? Jeśli są zbieżne, to podaj ich granicę. a)(x n, y n ) = (, ) (, b) (x n n, y n ) = 3 n, ), c) (x n, y n ) = ( 0, n + ) n d) (x n, y n ) = 2n ) ( n, 2 3n Renata Wiertelak 5
7 Zestaw 4. Domknięcie, wnętrze i brzeg Zadanie 4.. W (R, d nat ) wyznacz domknięcia, wnętrza oraz brzegi następujących zbiorów A = [0, ) 2} C = [ n N 4n, ] 4n E = n : n N} B = (, ) Q D = ( n N 2n, ) 2n F = E 0} Zadanie 4.2. W (R 2, d e ) wyznacz domknięcia, wnętrza oraz brzegi następujących zbiorów A = [0, ) (, 2] C = (/n, y): n N, y (0, )} B = (x, y): y = x 2 } D = (x, y): y x Q}. Zadanie 4.3. Niech X = [0, ] oraz w X X będzie dana funkcja: x y gdy x, y Q lub x, y / Q d((x, y) = x + y w przeciwnym wypadku. Wyznacz domknięcie, wnętrze oraz brzeg zbiorów: Q, [0, ] \ Q w (X, d). Czy są to zbiory otwarte? domknięte? Zadanie 4.4. Niech X = [0, ] oraz w X X będzie dana funkcja: x y gdy x y Q lub x, y / Q d((x, y) = 2 gdy x y / Q. Wyznacz domknięcie, wnętrze oraz brzeg zbiorów: Q [0, ), [0, ] \ Q w (X, d). Czy są to zbiory otwarte? domknięte? Zadanie 4.5. W (R, d nat ) wyznacz A, Int(A), IntA,Int(A), jeśli Zadanie 4.6. Udowodnij, że A = ([0, ) Q) 2} (3, 4) (4, 5) x F r(a) ε>0 K(x, ε) A K(x, ε) \A Zadanie 4.7. Jakie relacje (,, =) zachodzą pomiędzy zbiorami: a) A B i A B d) IntA IntB i IntA B b)a B i A B e) IntA IntB i IntA B c) A \ B i A \ B f) IntA \ IntB i IntA \ B Renata Wiertelak 6
8 Zestaw 5. Zbiory gęste, brzegowe i nigdzie gęste Zadanie 5.. Udowodnić, że zbiór nigdzie gęsty jest brzegowy; zbiór domknięty i brzegowy jest nigdzie gęsty; suma dwóch zbiorów nigdzie gęstych jest zbiorem nigdzie gęstym; suma zbioru brzegowego i nigdzie gęstego jest zbiorem brzegowym; Zadanie 5.2. Czy suma dwóch zbiorów brzegowych jest zbiorem brzegowym? Zadanie 5.3. Czy brzeg zbioru jest zbiorem brzegowym? Zadanie 5.4. W (R, d nat ) wyznacz domknięcie wnętrze następujących zbiorów, a następnie podaj czy są to zbiory domknięte, otwarte, gęste, brzegowe, nigdzie gęste. A = (, ) 2} B = [ n N 3n, ] 3n C = n : n N} D = (, ) Q E = n N ( 2n, 2n G = (, ) \ Q H = N ( 2n, 2n ) ) F = C 0} I = C } J = ((, ) Q) ((, ) \ Q) K = 2 + 2n : n N} (, 2) Zadanie 5.5. W (R, d 0 ) wyznacz domknięcie wnętrze następujących zbiorów, a następnie podaj czy są to zbiory domknięte, otwarte, gęste, brzegowe, nigdzie gęste. A = (, ) 2} B = [ n N 3n, ] 3n C = n : n N} D = (, ) Q E = n N ( 2n, 2n G = (, ) \ Q H = N ( 2n, 2n ) ) F = C 0} I = C } Zadanie 5.6. W (R 2, d e ) wyznacz domknięcia, wnętrza następujących zbiorów, a następnie podaj czy są to zbiory domknięte, otwarte, gęste, brzegowe, nigdzie gęste. A = [0, ] [, 2] B = (x, y): 0} /n: n N}, y [0, ]} C = (0, ) (, 2) D = (x, y): n N, y R} E = (x, y): y x Q} F = (x, y): max x, y } < 4} G = (x, y): y = x 2 } H = ([0, ] Q) ([, 2] \ Q). Zadanie 5.7. W (R 2, d 0 ) wyznacz domknięcia, wnętrza następujących zbiorów, a następnie podaj czy są to zbiory domknięte, otwarte, gęste, brzegowe, nigdzie gęste. A = [0, ] [, 2] B = (x, y): 0} /n: n N}, y [0, ]} C = (0, ) (, 2) D = (x, y): n N, y R} E = (x, y): y = x 2 } F = ([0, ] Q) ([, 2] \ Q). Renata Wiertelak 7
9 Zestaw 6. Funkcje ciągłe Zadanie 6.. Czy f : N R określona wzorem f(n) = ( ) n jest ciągła, jeśli: a) d X = d Y = d nat, b) d X = d nat, d Y = d 0 c) d X = d 0, d Y = d nat? Zadanie 6.2. Niech funkcja f : R R będzie określona wzorem x + gdy x > 0 f(x) = x gdy x 0 Czy jest ona ciągła, jeśli: a) d X = d Y = d nat, b) d X = d nat, d Y = d 0 c) d X = d Y = d 0, d)d X = d 0, d Y = d nat Zadanie 6.3. Niech funkcja f : R R będzie określona wzorem x gdy x Q f(x) = x gdy x / Q Podaj zbiór punktów ciągłości funkcji f, jeśli: a) d X = d Y = d nat, b) d X = d nat, d Y = d 0 c) d X = d Y = d 0, d)d X = d 0, d Y = d nat Zadanie 6.4. Czy funkcja f : R R określona wzorem f(x) = x jest ciągła, jeśli d X = d nat oraz d X (x, y) = x + y gdy x y? Podaj również zbiór punktów ciągłości funkcji f. Zadanie 6.5. Czy funkcja f : R R określona wzorem f(x) = x jest ciągła, jeśli d Y = d nat oraz d X (x, y) = x + y gdy x y? Podaj również zbiór punktów ciągłości funkcji f. Zadanie 6.6. Czy funkcja f : R R określona wzorem f(x) = 2x jest ciągła, jeśli d X = d nat oraz d Y (x, y) = 3 gdy x y? Podaj również zbiór punktów ciągłości funkcji f. Zadanie 6.7. Czy funkcja f : R R określona wzorem f(x) = 2x jest ciągła, jeśli d Y = d nat oraz d X (x, y) == 3 gdy x y? Podaj również zbiór punktów ciągłości funkcji f. Renata Wiertelak 8
10 Zestaw 7. Przestrzeń ośrodkowa Zadanie 7.. Udowodnij, że jeżeli (X, d X ) jest przestrzenią ośrodkową oraz funkcja f : (X, d X ) (Y, d Y ) jest funkcją ciągła i "na", to (Y, d Y ) jest przestrzenią ośrodkową. Zadanie 7.2. Udowodnij, że jeśli w przestrzeni metrycznej (X, d) istnieje nieprzeliczalny zbiór A oraz t > 0 takie, że to przestrzeń ta nie jest ośrodkowa. x,y A x y d(x, y) > t, Zadanie 7.3. Udowodnij, że przestrzeń metryczna (X, d) jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby r > 0 przestrzeń X jest sumą co najwyżej przeliczalnej ilości kul o promieniu r. Zadanie 7.4. Czy zbiór X = R \ Q z funkcją x + y jest przestrzenią metryczną? Jeśli tak, to czy jest ona ośrodkowa? Zadanie 7.5. Czy zbiór X = [0, ] z funkcją x y gdy x, y Q lub x, y / Q x + y w przeciwnym wypadku. jest przestrzenią metryczną? Jeśli tak, to czy jest ona ośrodkowa? Zadanie 7.6. Niech będzie dana funkcja f : [0, ) [0, ) spełniająca warunki: f(t) = 0 t = 0; f jest niemalejąca; f(t + s) f(t) + f(s). Czy jeśli (X, d)) jest przestrzenią metryczną ośrodkową, to dla d (x, y) = f(d(x, y)) przestrzeń (X, d ) też jest przestrzenią metryczną ośrodkową? Od czego to zależy? Zadanie 7.7. Niech (X, d X ), (Y, d Y ) będą przestrzeniami metrycznymi ośrodkowymi. Czy przestrzeń (X Y, d ), gdzie d ((x, y ), (x 2, y 2 )) = d X (x, x 2 ) + d Y (y, y 2 ) też jest przestrzenią metryczną ośrodkową? Renata Wiertelak 9
11 Zestaw 8. Przestrzeń zupełna Zadanie 8.. Czy jeżeli (X, d X ) jest przestrzenią zupełną oraz funkcja f : (X, d X ) (Y, d Y ) jest funkcją ciągłą i "na", to (Y, d Y ) jest przestrzenią zupełną? Zadanie 8.2. Czy jeżeli (X, d X ) jest przestrzenią zupełną oraz funkcja f : (X, d X ) (Y, d Y ) jest ciągłą funkcją różnowartościową i "na", to (Y, d Y ) jest przestrzenią zupełną? Zadanie 8.3. Niech X = R \ Q oraz x + y gdy x y Czy (X, d) jest przestrzenią zupełną? Zadanie 8.4. Czy zbiór X = [0, ] z funkcją x y gdy x, y Q lub x, y / Q x + y w przeciwnym wypadku. jest przestrzenią metryczną zupełną? Zadanie 8.5. Czy jeżeli (X, d X ) jest przestrzenią zupełną oraz d (x, y) = maxd(x, y), } to (X, d ) jest przestrzenią metryczną? Jeśli jest, to czy jest przestrzenią zupełną? Zadanie 8.6. Czy jeżeli (X, d X ) jest przestrzenią zupełną, a jest ustalonym elementem X, X zawiera przynajmniej 2 różne elementy oraz d (x, y) = d(x, a) + d(a, y) to (X, d ) jest przestrzenią metryczną? Jeśli jest, to czy jest przestrzenią zupełną? Zadanie 8.7. Niech (X, d X ), (Y, d Y ) będą przestrzeniami metrycznymi zupełnymi. Czy przestrzeń (X Y, d ), gdzie d ((x, y ), (x 2, y 2 )) = maxd X (x, x 2 ), d Y (y, y 2 )} też jest przestrzenią metryczną? Jeśli jest, to czy jest przestrzenią zupełną? Zadanie 8.8. Niech (X, d X ), (Y, d Y ) będą przestrzeniami metrycznymi zupełnymi. Czy przestrzeń (X Y, d ), gdzie d ((x, y ), (x 2, y 2 )) = (d X (x, x 2 )) 2 + (d Y (y, y 2 )) 2 też jest przestrzenią metryczną? Jeśli jest, to czy jest przestrzenią zupełną? Renata Wiertelak 0
12 Zestaw 9. Przestrzeń zwarta Zadanie 9.. Czy jeżeli (X, d X ) jest przestrzenią zwartą oraz funkcja f : (X, d X ) (Y, d Y ) jest funkcją ciągłą i "na", to (Y, d Y ) jest przestrzenią zwartą? Zadanie 9.2. Czy jeżeli (X, d X ) jest przestrzenią zwartą oraz funkcja f : (X, d X ) (Y, d Y ) jest ciągłą funkcją różnowartościową i "na", to (Y, d Y ) jest przestrzenią zwartą? Zadanie 9.3. Niech X = R \ Q oraz x + y gdy x y Czy (X, d) jest przestrzenią zwartą? Zadanie 9.4. Czy zbiór X = [0, ] z funkcją x y gdy x, y Q lub x, y / Q x + y w przeciwnym wypadku. jest przestrzenią metryczną zwartą? Zadanie 9.5. Czy jeżeli (X, d X ) jest przestrzenią zwartą oraz d (x, y) = maxd(x, y), } to (X, d ) jest przestrzenią metryczną? Jeśli jest, to czy jest przestrzenią zwartą? Zadanie 9.6. Czy jeżeli (X, d X ) jest przestrzenią zwartą, a jest ustalonym elementem X, X zawiera przynajmniej 2 różne elementy oraz d(x, a) + d(a, y) gdy x y d (x, y) = to (X, d ) jest przestrzenią metryczną? Jeśli jest, to czy jest przestrzenią zwartą? Zadanie 9.7. Niech (X, d X ), (Y, d Y ) będą przestrzeniami metrycznymi zwartymi. Czy przestrzeń (X Y, d ), gdzie d ((x, y ), (x 2, y 2 )) = d X (x, x 2 ) + d Y (y, y 2 ) też jest przestrzenią metryczną? Jeśli jest, to czy jest przestrzenią zwartą? Zadanie 9.8. Niech (X, d X ), (Y, d Y ) będą przestrzeniami metrycznymi zwartymi. Czy przestrzeń (X Y, d 0 ) też jest przestrzenią metryczną? Jeśli jest, to czy jest przestrzenią zwartą? Renata Wiertelak
Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii
Zjazd 2 Przestrzenia metryczna (X, d) nazywamy parę złożona ze zbioru X i funkcji d : X X R, taka, że 1 d(x, y) 0 oraz d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 2 d(x, y) = d(y, x), 3 d(x, z) d(x, y)
Bardziej szczegółowoZdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013
Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoAnaliza Funkcjonalna - Zadania
Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i
Bardziej szczegółowoRozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone
Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy
Bardziej szczegółowoTEST A. A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
TEST A A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Ile różnych zbiorów otwartych
Bardziej szczegółowoA-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty
A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Wyprowadź z aksjomatów topologii
Bardziej szczegółowozbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy
5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowoWeronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x))
Weronika Siwek, Metryki i topologie 1 Definicja 1. Załóżmy, że X, ρ: X X [0, ). Funkcja ρ spełnia następujące warunki: 1. x,y X (ρ(x, y) = 0 x = y) 2. 3. (ρ(x, y) = ρ(y, x)) x,y X (ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z,
Bardziej szczegółowo1 Elementy analizy funkcjonalnej
M. Beśka, Dodatek 1 1 Elementy analizy funkcjonalnej 1.1 Twierdzenia o reprezentacji Zaczniemy od znanego twierdzenia Riesza Twierdzenie 1.1 (Riesz) Niech będzie zwartą przestrzenią metryczną i załóżmy,
Bardziej szczegółowo1,5 1,5. WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Analiza matematyczna M1 2. Wstęp do logiki i teorii mnogości
WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim TOPOLOGIA Nazwa w języku angielskim TOPOLOGY Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Matematyka Specjalność (jeśli dotyczy): Matematyka
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoTopologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk).
Topologia I*, jesień 2012 Zadania omawiane na ćwiczeniach lub zadanych jako prace domowe, grupa 1 (prowadzący H. Toruńczyk). Zadania w dużej mierze pochodzą z zestawu zadań w rozdziale 8 skryptu autorów
Bardziej szczegółowoPRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Topologia Topology Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia Semestr: IV Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Liczba godzin/tydzień:
Bardziej szczegółowo(b) Suma skończonej ilości oraz przekrój przeliczalnej ilości zbiorów typu G α
FUNKCJE BORELOWSKIE Rodzinę F podzbiorów zbioru X (tzn. F X) będziemy nazywali ciałem gdy spełnione są warunki: (1) Jeśli zbiór Y F, to dopełnienie X \ Y też należy do rodziny F. (2) Jeśli S F jest skończoną
Bardziej szczegółowoUniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki Krzysztof Frączek Analiza Matematyczna II Wykład dla studentów II roku kierunku informatyka Toruń 2009 Spis treści 1 Przestrzenie
Bardziej szczegółowoEliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013
Eliza Wajch Wykłady i ćwiczenia z geometrii analitycznej z elementami topologii w UPH w Siedlcach w semestrze zimowym roku akad. 2012/2013. Literatura podstawowa: 1. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria
Bardziej szczegółowoMetoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych
Metoda kategorii Baire a w przestrzeniach metrycznych zupełnych Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 8 IX AD MMXIII Streszczenie Celem pracy jest zaprezentowanie jednej z metod dowodzenia istnienia
Bardziej szczegółowoZastosowania twierdzeń o punktach stałych
16 kwietnia 2016 Abstrakt Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Ustalmy odwzorowanie ciągłe f : X X. Twierdzeniem o punkcie stałym nazywamy prawdę matematyczną postulującą pod pewnymi warunkami istnienie
Bardziej szczegółowoNotatki do wykładu Analiza 4
Instytut Matematyczny Uniwersytetu Wrocławskiego Grzegorz Plebanek Notatki do wykładu Analiza 4 Rozdział I: Funkcje na przestrzeniach metrycznych Wrocław 2004 O skrypcie Skrypt ten, traktowany łącznie
Bardziej szczegółowoMetryzowalne przestrzenie topologiczne.
I-1 H. Toruńczyk, Wykład z Topologii I, jesień 2013. Notatki te są uzupełnieniem wykładu. Układ materiału i jego ujęcie są bliskie skryptowi [BCPP], osiągalnemu pod http://duch.mimuw.edu.pl/~betley/wyklad1/,
Bardziej szczegółowo3. Funkcje wielu zmiennych
3 Funkcje wielu zmiennych 31 Ciagłość Zanim podamy definicję ciagłości dla funkcji wielu zmiennych wprowadzimy bardzo ogólne i abstrakcyjne pojęcie przestrzeni metrycznej Przestrzeń metryczna Metryka w
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoT O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8. Wroc law, 21 kwietnia D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a.
T O P O L O G I A WPPT I, sem. letni WYK LAD 8 Zwartość D E F I N I C J E Niech (X, d) oznacza przestrzeń metryczn a. Wroc law, 1 kwietnia 008 Definicja 1. (X, d) jest ca lkowicie ograniczona jeśli dla
Bardziej szczegółowoStanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I. wykłady i zadania
Stanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I wykłady i zadania WSTĘP. Materiał w skrypcie odpowiada programowi zajęć z Topologii I w trzecim semestrze studiów na Wydziale MIM Uniwersytetu
Bardziej szczegółowoStanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I. wykłady i zadania. luty 2013
Stanisław Betley, Józef Chaber, Elżbieta Pol i Roman Pol TOPOLOGIA I wykłady i zadania luty 2013 WSTĘP. Materiał w skrypcie odpowiada programowi zajęć z Topologii I w trzecim semestrze studiów na Wydziale
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń
Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,
Bardziej szczegółowoTopologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski
Topologia - Zadanie do opracowania Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski 5 grudnia 2013 Zadanie 1. (Topologie na płaszczyźnie) Na płaszczyźnie R 2 rozważmy następujące topologie: a) Euklidesową
Bardziej szczegółowoDefinicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem
Definicja kuli w R n ulą o promieniu r>0 r R i o środku w punkcie p R n nazywamy zbiór {x R n : ρ(xp)
Bardziej szczegółowo1. Zbiory domknięte, otwarte, ograniczone, zwarte. Domknięcie, wnętrze, brzeg.
Zbiory i funkcje wypukłe, 2005/06 1. Zbiory domknięte, otwarte, ograniczone, zwarte. Domknięcie, wnętrze, brzeg. Oznaczenia, definicje, twierdzonka. Wszystkie rozważania prowadzone są w przestrzeni euklidesowej
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)
. Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny
Bardziej szczegółowoTemperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie metryczne
1 Przestrzenie metryczne Definicja 1.1 (metryka) Niech będzie niepustym zbiorem. Funkcję d: R + nazywamy metryką, jeśli spełnia warunki: 1 o d(x, y) = d(y, x) (symetria) 2 o d(x, y) + d(y, z) d(x, z) (nierówność
Bardziej szczegółowo1 Ciągłe operatory liniowe
1 Ciągłe operatory liniowe Załóżmy, że E, F są przestrzeniami unormowanymi. Definicja 1.1. Operator liniowy T : E F nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór T (B) F jest ograniczony dla dowolnego zbioru ograniczonego
Bardziej szczegółowoOśrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,
Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoWstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii
Wstęp do przestrzeni metrycznych i topologicznych oraz ich zastosowań w ekonomii Mirosław Sobolewski 25 maja 2010 Definicja. Przestrzenią metryczną nazywamy zbiór X z funkcją ρ : X X R przyporządkowującą
Bardziej szczegółowoDekompozycje prostej rzeczywistej
Dekompozycje prostej rzeczywistej Michał Czapek michal@czapek.pl www.czapek.pl 26 X AD MMXV Streszczenie Celem pracy jest zwrócenie uwagi na ciekawą różnicę pomiędzy klasami zbiorów pierwszej kategorii
Bardziej szczegółowoAnaliza I.2*, lato 2018
Analiza I.2*, lato 218 Marcin Kotowski 14 czerwca 218 Zadanie 1. Niech x (, 1) ma rozwinięcie binarne.x 1 x 2.... Niech dla x, 1: oraz f() = f(1) =. Pokaż, że f: f(x) = lim sup n (a) przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoPrzedmowa. Zielona Góra, lipiec 2001.
rzedmowa Książka jest zbiorem zadań z analizy matematycznej przeznaczonym dla studentów pierwszego roku matematyki. otrzebne do rozwiązania podanych zadań definicje twierdzenia komentarze i oznaczenia
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna I. Ryszard Szwarc
Analiza funkcjonalna I Ryszard Szwarc Wrocław 2010 2 Spis treści 1 Przestrzenie unormowane 3 1.1 Dodatek.............................. 13 2 Operatory liniowe 15 3 Przestrzenie Hilberta 26 3.1 Podstawowe
Bardziej szczegółowoW. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach, część I i II
Zalecane podręczniki W. Krysicki, L. Włodarski naliza matematyczna w zadaniach, część I i II c Ł. Pawelec G. M. Fichtenholz Rachunek różniczkowy i całkowy, tom I i II S. Dorosiewicz, J. Kłopotowski, D.
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk
Analiza Matematyczna Szeregi liczbowe Alexander Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk
Bardziej szczegółowoZbiory liczbowe widziane oczami topologa
Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Aleksander Błaszczyk Instytut Matematyki Uniwersytetu Ślaskiego Brenna, 25 wrzesień 2018 Aleksander Błaszczyk (UŚ) Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Brenna,
Bardziej szczegółowoFunkcje rzeczywiste jednej. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Funkcje rzeczywiste jednej zmiennej rzeczywistej Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Definicje Funkcją (odwzorowaniem) f, odwzorowującą zbiór D w zbiór P nazywamy
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. 1. Ciągi
Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe
Wykłady z matematyki inżynierskiej Funkcje dwóch zmiennych, pochodne cząstkowe JJ, IMiF UTP 17 f (x, y) DEFINICJA. Funkcja dwóch zmiennych określona w zbiorze D R 2, to przyporządkowanie każdemu punktowi
Bardziej szczegółowoZadania zadane jako prace domowe i niektóre spośród omawianych na ćwiczeniach.
Topologia I*, jesień 2013 (prowadzący H. Toruńczyk). Zadania zadane jako prace domowe i niektóre spośród omawianych na ćwiczeniach. Zadania w dużej mierze pochodzą z zestawu zadań w rozdziale 8 skryptu
Bardziej szczegółowoPodstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia
Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Kwantyfikatory. 5 6 Relacje 7
Bardziej szczegółowoO pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
Bardziej szczegółowosa dzie metryka z euklidesowa, to znaczy wyznaczaja ca cki, Wojciech Suwiński)
Zadanie 1 Pokazać, że dowolne dwie kule w R z metryka sa homeomorficzne Niech ρ be dzie metryka równoważna z, to znaczy wyznaczaja ca topologie na R Czy wynika z tego, że dowolne dwie kule w metryce ρ
Bardziej szczegółowoO zastosowaniach twierdzeń o punktach stałych
O zastosowaniach twierdzeń o punktach stałych Marcin Borkowski Streszczenie Wszyscy znamy twierdzenie Banacha o kontrakcji czy twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. Stosunkowo rzadko jednak mamy okazję
Bardziej szczegółowogranicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N W symbolicznym zapicie fakt, że f jest granicą ciągu funkcyjnego (f n ) n N możemy wyrazić następująco: ε>0 N N
14. Określenie ciągu i szeregu funkcyjnego, zbieżność punktowa i jednostajna. Własności zbieżności jednostajnej. Kryterium zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. 1 Definicja Ciąg funkcyjny Niech
Bardziej szczegółowoCiągłość i topologia. Rozdział Ciągłość funkcji wg. Cauchy
Rozdział 1 Ciągłość i topologia Nadanie precyzyjnego sensu intiucyjnemu pojęciu ciągłości jest jednym z głównych tematów dziedziny matematyki, zwanej topologią. Definicja funkcji ciągłej znana z podstawowego
Bardziej szczegółowoZadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1
Zadania z Analizy Funkcjonalnej I* - 1 1. Która z następujących przestrzeni jest przestrzenią Banacha w normie supremum: C(R); C ogr (R) przestrzeń funkcji ciągłych ograniczonych; C zw (R) przestrzeń funkcji
Bardziej szczegółowo1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.
Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp
Bardziej szczegółowoRobert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki
Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące
Bardziej szczegółowo1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.
WRAiT 2 #1 1. Dla jakich a C ciągi o wyrazach na n, a n 1 + a n, an /n, są zbieżne? 2. Wykaż zbieżność i znajdź granice ciągów n a k, a n 1 + a 2n ( a < 1), a n 1 + a 2n ( a > 1), 1 n 3. Dla danego ϕ R
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoTeoria miary i całki
Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 7: STRUKTURY TOPOLOGICZNE
MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI WYKŁAD 7: STRUKTURY TOPOLOGICZNE KOGNITYWISTYKA UAM, 2016 2017 JERZY POGONOWSKI Zakład Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl Topologia jest stosunkowo młodą
Bardziej szczegółowoKARTA PRZEDMIOTU. w języku polskim Analiza Matematyczna 1 w języku angielskim Mathematical Analysis 1 USYTUOWANIE PRZEDMIOTU W SYSTEMIE STUDIÓW
Kod przedmiotu Nazwa przedmiotu KARTA PRZEDMIOTU AM1_M w języku polskim Analiza Matematyczna 1 w języku angielskim Mathematical Analysis 1 USYTUOWANIE PRZEDMIOTU W SYSTEMIE STUDIÓW Kierunek studiów Forma
Bardziej szczegółowo7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne.
7. Miara, zbiory mierzalne oraz funkcje mierzalne. Funkcję rzeczywistą µ nieujemną określoną na ciele zbiorów S będziemy nazywali miarą, gdy dla dowolnego ciągu A 0, A 1,... zbiorów rozłącznych należących
Bardziej szczegółowoPochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
Bardziej szczegółowoTOPOLOGIA I* Pomocnik studenta Notatki do wykładu na Wydziale MIM UW Semestr zimowy r. akad. 2016/17.
TOPOLOGIA I* Pomocnik studenta Notatki do wykładu na Wydziale MIM UW Semestr zimowy r. akad. 2016/17 Stefan.Jackowski@mimuw.edu.pl 23 kwietnia 2018 2 Spis treści Wstęp i 1 Ciągłość i topologia 1 1.1 Ciągłość
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ
Bardziej szczegółowoDefinicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady
Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)
Bardziej szczegółowoPodstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia
Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Iloczyn kartezjański 5 6 Kwantyfikatory.
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna Wykłady
Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.. Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Analiza funkcjonalna
Bardziej szczegółowoEgzamin z Analizy Matematycznej I dla Informatyków, 28 I 2017 Część I
Egzamin z Analizy Matematycznej I dla Informatyków, 28 I 2017 Część I Czas na rozwiązanie zadań cz. I: 2 godz. Do zdobycia: 60 pkt. Nie wolno korzystać z notatek, kalkulatorów, telefonów, pomocy sąsiadów,
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie metryczne
Topologia I Notatki do wyk ladu LITERATURA UZUPE LNIAJA CA R. Duda, Wprowadzenie do topologii, czȩść I. R. Engelking, Topologia ogólna. R. Engelking, K. Sieklucki, Wstȩp do topologii. W. Rudin, Podstawy
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna Ćwiczenia
Analiza Matematyczna Ćwiczenia Spis treści Ciągi i ich własności Granica ciągu Granica funkcji 4 4 Ciągłość funkcji 6 Szeregi 8 6 Pochodna funkcji 7 Zastosowania pochodnej funkcji 8 Badanie przebiegu zmienności
Bardziej szczegółowoZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE.
ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. 1. Niech (X, ρ) będzie przestrzeią metryczą zaś a liczbą rzeczywistą dodatią. Wykaż, że fukcja σ: X X R określoa wzorem σ(x, y) = mi {ρ(x, y), a} jest metryką
Bardziej szczegółowoFunkcje. Granica i ciągłość.
Ćwiczenia 10.1.01: zad. 344-380 Kolokwium nr 9, 11.1.01: materiał z zad. 1-380 Ćwiczenia 17.1.01: zad. 381-400 Kolokwium nr 10, 18.1.01: materiał z zad. 1-400 Konw. 10,17.1.01: zad. 401-44 Funkcje. Granica
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE WÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH efinicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą d
Bardziej szczegółowoLogika i teoria mnogości Ćwiczenia
Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Algebra zbiorów 3 3 Różnica symetryczna 4 4 Iloczyn kartezjański. Kwantyfikatory. 5 5 Kwantyfikatory. 6 6 Relacje 7 7 Relacje
Bardziej szczegółowoEGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R. R n
EGZAMIN PISEMNY Z ANALIZY I R Instrukcja obsługi. Za każde zadanie można dostać 4 punkty. Rozwiązanie każdego zadania należy napisać na osobnej kartce starannie i czytelnie. W nagłówku rozwiązania należy
Bardziej szczegółowoKonstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych
Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,
Bardziej szczegółowoElementy Teorii Miary i Całki
Elementy Teorii Miary i Całki c Lech Drewnowski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. dama Mickiewicza w Poznaniu Poznań 2008 http://main2.amu.edu.pl/ drewlech/dydaktyka.html http://main2.amu.edu.pl/
Bardziej szczegółowoSZEREGI LICZBOWE I FUNKCYJNE
Mając dowolny ciąg można z niego utworzyć nowy ciąg sum częściowych: Ten nowy rodzaj ciągu nazywamy szeregiem liczbowym, a jeśli to mamy do czynienia z nieskończonym szeregiem liczbowym, który oznaczany
Bardziej szczegółowoLogika i teoria mnogości Ćwiczenia
Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Iloczyn kartezjański 5 6 Kwantyfikatory.
Bardziej szczegółowo(c) Wykazać, że (X, ϱ) jest spójna wtedy i tylko wtedy, gdy (X j, ϱ j ) jest spójna, j = 1,..., N.
1. Przestrzenie metryczne Zadanie 1.1. Czy może się zdarzyć, że B(a, r) B(a, r)? Zadanie 1.2. Czy może się zdarzyć, że kula nie jest zbiorem spójnym? Zadanie 1.3. Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowo