gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download ". 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n"

Transkrypt

1 GAL II A. Strojnowski str.45 Wykªad 20 Denicja 20.1 Przeksztaªcenie aniczne f : H H anicznej przestrzeni euklidesowej nazywamy izometri gdy przeksztaªcenie pochodne f : T (H) T (H) jest izometri liniow. Stwierdzenie 20.2 Przesuni cie w anicznej przestrzeni euklidesowej jest izometri. Denicja 20.3 Symetri wzgl dem hiperpªaszczyzny A nazywamy symetri przestrzeni E(R n ) wzgl dem podprzestrzeni A wymiaru n 1 wzdªu» A. Macierz symetrii wzgl dem hiperpªaszczyzny w ukªadzie bazowym A = (p ; α 1, α 2,..., α n ) jest M(f) A A = , gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n i A = p + lin{α 2, α 3,..., α n }. Obrotem w przestrzeni E(R n ) nazywamy tak izometri, która w pewnym ukªadzie bazowym A = (p ; α 1, α 2,..., α n ), gdzie wektory α i tworz baz cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ortonormaln przestrzeni E n, ma macierz M(f) A A = ϕ nazywamy k tem obrotu za± W = p + lin{α 3,..., α n } osi obrotu. Twierdzenie 20.4 Niech f : H H b dzie izometri przestrzeni anicznej. Wówczas f ma punkt staªy lub prost niezmiennicz na której f jest przesuni ciem. Dokªadniej p E(R n ) α S(R n ) f(p) = p k R f(p + kα) = p + kα + α. Dowód: Niech f L(E n ; E n ) b dzie pochodn f. Deniujemy podprzestrze«u = {α E n f (α) = α} oraz W = U. Wówczas E n = U W jest rozkªadem na podprzestrzenie niezmiennicze. Ponadto ker(f id) = U i (f id)(w ) W wi c (f id) jest izomorzmem przestrzeni W. Niech f(θ) = θ + α + β, gdzie α U i β W. Zatem istnieje γ W taki,»e (f id)(γ) = β. Teraz dla punktu p = θ + γ i r R otrzymujemy: f(p + rα) = f(θ + γ + rα) = f(θ) + f (γ + rα) = θ + α + β + (γ β + rα) = θ + γ + (r + 1)α = p + (r + 1)α Je»eli α = θ to p jest punktem staªym za± je»eli α θ to p + lin{α} jest» dan prost..

2 GAL II A. Strojnowski str.46 Lemat 20.5 Niech f b dzie izometri przestrzeni E(R n ) bez punktów staªych. Wówczas istnieje baza ortonormalna A = (α 1,..., α n ) i taki ukªad bazowy B = (p ; α 1,..., α n ) w którym macierz f ma posta 0 A θ T. 0 θ 1 Dowód: Niech p + lin{α} b dzie prost niezmiennicz na której f dziaªa jako przesuni cie o wektor α. Wybieramy tak baz ortonormaln A = (α 1,..., α n ) przestrzeni T (H) by α 1 = 1 α α. Podprzestrze«W = lin{α 2,..., α n } = lin{α 1 } jest f niezmiennicza bo jest prostopadªa do przestrzeni niezmienniczej lin{α 1 }. Teraz, dla a = α mamy f(p) = p + aα 1 i M(f) A A = w bazie (α 2,..., α n ). 0 A θ T 0 θ 1 gdy A jest macierz f W Denicja 20.6 Izometri f przestrzeni E(R n ) nazywamy parzyst, gdy wyznacznik funkcji pochodnej det f = 1 a nieparzyst, gdy wyznacznik funkcji pochodnej det f = 1. Stwierdzenie 20.7 Obrót jest izometri parzyst za± symetria wzgl dem hiperpªaszczyzny jest izometri nieparzyst.

3 GAL II A. Strojnowski str.47 Klasykacja izometrii przestrzeniach anicznych E n dla n 3. Z punktem staªym wymiar parzyste nieparzyste 1 identyczno± symetria ±rodkowa 2 obrót cos ϕ sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ 0 symetria osiowa obrót cos ϕ sin ϕ 0 0 sin ϕ cos ϕ 0 symetria pªaszczyznowa obrót z odbiciem cos ϕ sin ϕ 0 0 sin ϕ cos ϕ 0

4 GAL II A. Strojnowski str.48 Bez punktu staªego n parzyste nieparzyste 1 przesuni cie brak 2 przesuni cie symetria z po±lizgiem obrót z po±lizgiem a 0 cos ϕ sin ϕ 0 0 sin ϕ cos ϕ 0 symetria pªaszczyznowa z po±lizgiem a Wykªad 21 Przestrzenie metryczne. Denicja 21.1 Przestrzeni metryczn nazywamy niepusty zbiór P wraz z funkcj ϱ : P P R + w liczby rzeczywiste nieujemne speªniaj c warunki: 1) p,q P ϱ(p, q) = 0 p = q. 2) p,q P ϱ(p, q) = ϱ(q, p). 3) p,q,s P ϱ(p, q) + ϱ(q, s) ϱ(p, s). Funkcj ϱ nazywamy metryk. Przykªad 21.2 { Niech P b dzie niepustym zbiorem. Okre±lmy funkcj ϱ wzorem: 0 p = q ϱ(p, q) = 1 p q. Wówczas ϱ jest metryk zwan dyskretn. Twierdzenie 21.3 Odlegªo± w przestrzeniach anicznych euklidesowych jest metryk - zwan metryk euklidesow. Przykªad 21.4 Przykªadami metryk na R n s : 1) Metryka miejska, ϱ M ((p 1, p 2,..., p n ), (q 1, q 2,..., q n )) = p 1 q 1 + p 2 q p n q n.

5 GAL II A. Strojnowski str.49 2) Metryka Max M ((p 1, p 2,..., p n ), (q 1, q 2,..., q n )) = Max{ p i q i ; 1 i n}. 3) Metryka w zªa kolejowego. Twierdzenie 21.5 a) Dla dowolnych p, q R n zachodzi: M (p, q) q p ϱ M (p, q) nm (p, q). b) Metryki: euklidesowa, miejska i Max wyznaczaj t sam topologi. c) Metryki: euklidesowa i w zªa kolejowego nie wyznaczaj tej samej topologii. Stwierdzenie 21.6 Podprzestrzenie przestrzeni metrycznych s przestrzeniami metrycznymi. Dokªadniej: Niech {X; ϱ} b dzie przestrzeni metryczn z metryk ϱ za± Y b dzie niepustym podzbiorem X. Wówczas {Y : ϱ Y } wraz z metryk ϱ obci t do Y jest przestrzeni metryczn. Denicja 21.7 Izometri nazywamy przeksztaªcenie mi dzy dwiema przestrzeniami metrycznymi zachowuj ce odlegªo±. Dokªadniej: Je»eli {P 1 ; ϱ 1 } i {P 2 ; ϱ 2 } to f : P 1 P 2 jest izometri gdy p,q P1 ϱ 1 (p, q) = ϱ 2 (f(p), f(q)). Twierdzenie 21.8 Izometrie s przeksztaªceniami ró»nowarto±ciowymi. Twierdzenie 21.9 Zªo»enie izometrii jest izometri. Twierdzenie Izometrie przestrzeni R n z metryk euklidesow s przeksztaªceniami anicznymi. Przykªad Niech X = [A, B] b dzie odcinkiem domkni tym w przestrzeni E(R n ) za± Y = [A, B) X. Wówczas wªo»enie f : Y X jest izometri, nie jest na (nie jest surjekcj ) ale jest epimorzmem w kategorii przestrzeni metrycznych. Dokªadniej: Dla dowolnej przestrzeni metrycznej Z i izometrii g 1, g 2 : X Z zachodzi g 1 f = g 2 f g 1 = g 2. Twierdzenie Izometrie s przeksztaªceniami ci gªymi. Wielomiany n zmiennych Denicja Algebr wielomianów zmiennych x 1, x 2,..., x n o wspóªczynnikach z ciaªa K nazywamy przestrze«liniow K[x 1, x 2,..., x n ] nad ciaªem K o bazie zªo»onej z wyra»e«x i 1 1 x i 2 n, gdzie i 1, i 2,..., i n s liczbami naturalnymi za± jednomian x 0 1x x 0 n = 1 uto»samiamy z jedynk ciaªa K. Wielomianem nazywamy ka»dy wektor czyli sko«czon kombinacj liniow w(x) = w(x 1, x 2,..., x n ) = i 1,i 2,...,i n k i1,i 2,...,i n x i1 1 x i 2 n Iloczynem wielomianów okre±lamy przez iloczyn elementów bazy zgodnie ze wzorem: x i 1 1 x in n x j 1 1 x j x jn n = x i 1+j 1 1 x i 2+j xn in+jn, a nast pnie rozszerzamy na wszystkie wielomiany stosuj c rozdzielno± mno»enia wzgl dem dodawania.

6 GAL II A. Strojnowski str.50 Denicja Stopniem wielomianu w(x) = i 1,i 2,...,i n k i1,i 2,...,i n x i 1 1 x i 2 n nazywamy najwi ksz z liczb i 1 + i i n, dla których wspóªczynnik k i1,i 2,...,i n 0 i oznaczamy st w(x). Je»eli w(x) = θ jest wielomianem zerowym to przyjmujemy st w(x) =. Twierdzenie Niech w(x), v(x) K[x 1, x 2,..., x n ]. Wówczas: 1) st (w(x) + v(x)) max (st w(x), st v(x)). 2) st (w(x) v(x)) = st w(x) + st v(x).

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.

Bardziej szczegółowo

Zbiory i odwzorowania

Zbiory i odwzorowania Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):

Bardziej szczegółowo

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x

Bardziej szczegółowo

Macierz A: macierz problemów liniowych (IIII); Macierz rozszerzona problemów liniowych (IIII): a 11 a 1m b 1 B = a n1 a nm b n

Macierz A: macierz problemów liniowych (IIII); Macierz rozszerzona problemów liniowych (IIII): a 11 a 1m b 1 B = a n1 a nm b n Plan Spis tre±ci 1 Problemy liniowe 1 2 Zadania I 3 3 Formy biliniowe 3 3.1 Odwzorowania wieloliniowe..................... 3 3.2 Formy biliniowe............................ 4 4 Formy kwadratowe 4 1 Problemy

Bardziej szczegółowo

Graka komputerowa Wykªad 3 Geometria pªaszczyzny

Graka komputerowa Wykªad 3 Geometria pªaszczyzny Graka komputerowa Wykªad 3 Geometria pªaszczyzny Instytut Informatyki i Automatyki Pa«stwowa Wy»sza Szkoªa Informatyki i Przedsi biorczo±ci w Šom»y 2 0 0 9 Spis tre±ci Spis tre±ci 1 Przeksztaªcenia pªaszczyzny

Bardziej szczegółowo

f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:

f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi: Pochodna funkcji Def 1 Pochodn wªa±ciw funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granic f (x 0 ) := lim o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa Funkcj f nazywamy wtedy ró»niczkowaln Przy zaªo»eniu,»e f jest ci

Bardziej szczegółowo

Endomorfizmy liniowe

Endomorfizmy liniowe Endomorfizmy liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 8. wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2011 1 / 16 Endomorfizmy

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Przeksztaªcenia liniowe

Przeksztaªcenia liniowe Przeksztaªcenia liniowe Przykªady Pokaza,»e przeksztaªcenie T : R 2 R 2, postaci T (x, y) = (x + y, x 6y) jest przeksztaªceniem liniowym Sprawdzimy najpierw addytywno± przeksztaªcenia T Niech v = (x, y

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy. Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta

Bardziej szczegółowo

1 Granice funkcji wielu zmiennych.

1 Granice funkcji wielu zmiennych. AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica

Bardziej szczegółowo

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X. Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdze«

Metody dowodzenia twierdze« Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

Weronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x))

Weronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x)) Weronika Siwek, Metryki i topologie 1 Definicja 1. Załóżmy, że X, ρ: X X [0, ). Funkcja ρ spełnia następujące warunki: 1. x,y X (ρ(x, y) = 0 x = y) 2. 3. (ρ(x, y) = ρ(y, x)) x,y X (ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z,

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań.

Zestaw zadań 5: Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Baza i wymiar. Rzędy macierzy. Struktura zbioru rozwiązań układu równań. Zestaw zadań : Sumy i sumy proste podprzestrzeni Baza i wymiar Rzędy macierzy Struktura zbioru rozwiązań układu równań () Pokazać, że jeśli U = lin(α, α,, α k ), U = lin(β, β,, β l ), to U + U = lin(α,

Bardziej szczegółowo

1. H.S.M. Coxeter Wst p do geometrii dawnej i nowej. 2. R.Courant, H. Robbins Co to jest matematyka.

1. H.S.M. Coxeter Wst p do geometrii dawnej i nowej. 2. R.Courant, H. Robbins Co to jest matematyka. Literatura: 1. H.S.M. Coxeter Wst p do geometrii dawnej i nowej. 2. R.Courant, H. Robbins Co to jest matematyka. 3. M. Kordos, L.W. Szczerba Geometria dla nauczycieli. 4. M. Stark Geometria analityczna.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

spis treści 1 Zbiory i zdania... 5

spis treści 1 Zbiory i zdania... 5 wstęp 1 i wiadomości wstępne 5 1 Zbiory i zdania............................ 5 Pojęcia pierwotne i podstawowe zasady 5. Zbiory i zdania 6. Operacje logiczne 7. Definicje i twierdzenia 9. Algebra zbiorów

Bardziej szczegółowo

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016 WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,

Bardziej szczegółowo

Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013

Iloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy

Bardziej szczegółowo

Strategia czy intuicja?

Strategia czy intuicja? Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) =

Zestaw zadań 14: Wektory i wartości własne. ) = Zestaw zadań 4: Wektory i wartości własne () Niech V = V V 2 będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, w którym + 0 Znaleźć wszystkie podprzestrzenie niezmiennicze rzutu V na V wzdłuż V 2 oraz symetrii

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Aproksymacja cz. II, wielomiany ortogonalne zastosowania PWSZ Gªogów, 2009 Iloczyn skalarny Funkcja okre±lona na przestrzeni liniowej (, ) R iloczyn skalarny wektorów

Bardziej szczegółowo

2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne

2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne 2 Podstawowe obiety ombinatoryczne Oznaczenia: N {0, 1, 2,... } zbiór liczb naturalnych. Dla n N przyjmujemy [n] {1, 2,..., n}. W szczególno±ci [0] jest zbiorem pustym. Je±li A jest zbiorem so«czonym,

Bardziej szczegółowo

Zadania z matematyki na egzamin wst pny na studia II stopnia

Zadania z matematyki na egzamin wst pny na studia II stopnia Zadania z matematyki na egzamin wst pny na studia II stopnia Wydziaª MIiM UW ostatnie poprawki: 9 maja Spis tre±ci Wst p Analiza Matematyczna i Równania Ró»niczkowe Geometria z Algebr Liniow i Algebra

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno

Bardziej szczegółowo

Teoria mnogo±ci. Twierdzenia podziaªowe. Piotr Zakrzewski. Toru«, 31 sierpnia 2009. Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski

Teoria mnogo±ci. Twierdzenia podziaªowe. Piotr Zakrzewski. Toru«, 31 sierpnia 2009. Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Teoria mnogo±ci Twierdzenia podziaªowe Piotr Zakrzewski Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Toru«, 31 sierpnia 2009 Istota twierdze«podziaªowych Jesli,du»y' zbiór podzielimy na,niewielk ' liczb

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK ZBIORÓW 2 A B = B A

RACHUNEK ZBIORÓW 2 A B = B A RCHUNEK ZIORÓW 2 DZIŁNI N ZIORCH Sum (uni ) zbiorów i nazywamy zbiór, którego elementami s wszystkie elementy nale ce do zbioru lub do zbioru. = {x : x x } ZDNIE = = = Wyznacz sumy:,, C, D, E, D E dla

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Przestrzenie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 2 wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 10 Przestrzenie

Bardziej szczegółowo

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując

Bardziej szczegółowo

Mathematica - podstawy

Mathematica - podstawy Mathematica - podstawy Artur Kalinowski Semestr letni 2011/2012 Artur Kalinowski Mathematica - podstawy 1 / 27 Spis tre±ci Program Mathematica 1 Program Mathematica 2 3 4 5 Artur Kalinowski Mathematica

Bardziej szczegółowo

Pojȩcie przestrzeni metrycznej

Pojȩcie przestrzeni metrycznej ROZDZIA l 1 Pojȩcie przestrzeni metrycznej Definicja 1.1. Dowolny niepusty zbiór X z funkcja ρ : X X [0, ), spe lniaja ca naste puja ce trzy warunki M1: ρ(x, y) = 0 x = y, M2: ρ(x, y) = ρ(y, x), M3: ρ(x,

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja 1 A. Strojnowski 1. 1 Wprowadzenie. Zagadnienie diety. Zagadnienie transportowe:

Optymalizacja 1 A. Strojnowski 1. 1 Wprowadzenie. Zagadnienie diety. Zagadnienie transportowe: Optymalizacja 1 A Strojnowski 1 1 Wprowadzenie Rozpoczniemy od przedstawienia kilku charakterystycznych przykªadów zada«optymalizacji liniowej Zagadnienie diety Jak wymiesza pszenic, soj i m czk rybna

Bardziej szczegółowo

6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych

6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych konspekt wykladu - 2009/10 1 6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych Definicja 6.1. Niech V, U be przestrzeniami liniowymi nad cialem K. Przeksztalcenie F : V W nazywamy przeksztalceniem liniowym (homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie

Bardziej szczegółowo

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 1 listopada 013 1 Odwzorowanie styczne i cofnięcie formy cd: 1.1 Transport pola wektorowego i cofnięcie formy W poprzednim paragrafie

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2006 1 / 7

Bardziej szczegółowo

ciałem F i oznaczamy [L : F ].

ciałem F i oznaczamy [L : F ]. 11. Wykład 11: Baza i stopień rozszerzenia. Elementy algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia algebraiczne i skończone. 11.1. Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga 11.1. Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem

Bardziej szczegółowo

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa

Bardziej szczegółowo

Poni»ej podane s przykªadowe pytania Konstrukcja zbioru liczb rzeczywistych Dowód niewymierno±ci liczby 2.

Poni»ej podane s przykªadowe pytania Konstrukcja zbioru liczb rzeczywistych Dowód niewymierno±ci liczby 2. Pytania na egzaminie magisterskim dotycz gªównie zagadnie«zwi zanych z tematem pracy magisterskiej. Nale»y by przygotowanym równie» na pytania sprawdzaj ce podstawow wiedz ze wszystkich zaliczonych wykªadów.

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:

Bardziej szczegółowo

Grupy, pierścienie i ciała

Grupy, pierścienie i ciała Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.

Bardziej szczegółowo

Metody bioinformatyki (MBI)

Metody bioinformatyki (MBI) Metody bioinformatyki (MBI) Wykªad 9 - mikromacierze DNA, analiza danych wielowymiarowych Robert Nowak 2016Z Metody bioinformatyki (MBI) 1/42 mikromacierze DNA Metoda badawcza, pozwalaj ca bada obecno±

Bardziej szczegółowo

Skrypt z Algebry Liniowej 2

Skrypt z Algebry Liniowej 2 Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki Instytut Matematyczny specjalność: matematyka nauczycielska Barbara Szczepańska Skrypt z Algebry Liniowej 2 Praca magisterska napisana pod kierunkiem

Bardziej szczegółowo

Korzystając z wzorów de Morgana zwartość można także określić w terminach zbiorów domkniętych.

Korzystając z wzorów de Morgana zwartość można także określić w terminach zbiorów domkniętych. Rozdział 6 Zwartość 6.1 Przestrzenie zwarte Definicja 6.1.1. Przestrzeń topologiczna (X, T ) nazywa się zwarta jeśli jest przestrzenią Hausdorffa oraz z dowolnego pokrycia przestrzeni X zbiorami otwartymi

Bardziej szczegółowo

Jan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia

Jan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia Procesy z Procesy z Jan Olek Uniwersytet Stefana ardynała Wyszyńskiego 2013 Wzór równania logistycznego: Ṅ(t)=rN(t)(1- N ), gdzie Ṅ(t) - przyrost populacji w czasie t r - rozrodczość netto, (r > 0) N -

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe

Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe opracował Maciej Grzesiak Przestrzeń liniowa i przekształcenie liniowe W algebrze rozpatruje się zbiory abstrakcyjne Natura elementów zbioru się nie liczy Na elementach rozpatruje się działania spełniające

Bardziej szczegółowo

ZADANIA. Maciej Zakarczemny

ZADANIA. Maciej Zakarczemny ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i

Bardziej szczegółowo

Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera

Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera V 0 V 0 Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera oka»emy,»e orbit planety poruszaj cej si pod dziaªaniem siªy ci»ko±ci ze strony Sªo«ca jest krzywa sto»kowa, w szczególno±ci elipsa. Wektor pr dko±ci planety

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

Topologia I, Egzamin. II termin, 2013-03-05. Nr albumu: Nazwisko prowadzącego ćwiczenia: Nr grupy:

Topologia I, Egzamin. II termin, 2013-03-05. Nr albumu: Nazwisko prowadzącego ćwiczenia: Nr grupy: Stwierdź czy następujące zdania są prawdziwe, zakreślając właściwą odpowiedź i skreślając pozostałe. 1 Zad. 1. Jeżeli przekształcenie f : (X, T ) (R, T s ) jest ciągłe, to to samo odwzorowanie jest ciągłe

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Sumy kwadratów. Twierdzenie Fermata-Eulera. Lemat Minkowskiego

Sumy kwadratów. Twierdzenie Fermata-Eulera. Lemat Minkowskiego Sumy kwadratów TWIERDZENIE LAGRANGE A Każda liczba naturalna da się przedstawić w postaci sumy czterech kwadratów. Twierdzenie Fermata-Eulera Każda liczba pierwsza postaci 4k + 1 daje się przedstawić w

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku

Bardziej szczegółowo

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:

Bardziej szczegółowo

Obliczenia naukowe Wykład nr 6

Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L 2 (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.

1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn. WRAiT 2 #1 1. Dla jakich a C ciągi o wyrazach na n, a n 1 + a n, an /n, są zbieżne? 2. Wykaż zbieżność i znajdź granice ciągów n a k, a n 1 + a 2n ( a < 1), a n 1 + a 2n ( a > 1), 1 n 3. Dla danego ϕ R

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Całki powierzchniowe w R n

Całki powierzchniowe w R n Całki powierzchniowe w R n Na początek małe uzupełnienie z algebry liniowej. Niech R n k oznacza przestrzeń liniową macierzy o n wierszach i k kolumnach. Dla dowolnej macierzy A R n k, gdzie k n, połóżmy

Bardziej szczegółowo

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski

Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Pier±cie«przemienny P nazywamy dziedzin caªkowito±ci (lub po prostu dziedzin ) je±li nie posiada nietrywialnych dzielników zera. Pier±cie«z jedynk nazywamy pier±cieniem

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

mgr inż. Grzegorz Kraszewski SYSTEMY MULTIMEDIALNE wykład 6, strona 1. Format JPEG

mgr inż. Grzegorz Kraszewski SYSTEMY MULTIMEDIALNE wykład 6, strona 1. Format JPEG mgr inż. Grzegorz Kraszewski SYSTEMY MULTIMEDIALNE wykład 6, strona 1. Format JPEG Cechy formatu JPEG Schemat blokowy kompresora Transformacja koloru Obniżenie rozdzielczości chrominancji Podział na bloki

Bardziej szczegółowo

Notatki do wykładu z Analizy Matematycznej dla II roku 1 studiów zawodowych z matematyki

Notatki do wykładu z Analizy Matematycznej dla II roku 1 studiów zawodowych z matematyki Notatki do wykładu z nalizy Matematycznej dla II roku 1 studiów zawodowych z matematyki Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w Białymstoku 23 stycznia 2008 1 c Jarosław Kotowicz 2007 Spis

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwi równanie 3 x 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x 3y 5 Rozwi uk ad równa. x y 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwi nierówno x 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 54. ( pkt) 3 Rozwi

Bardziej szczegółowo