gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download ". 0 0... 1 0. 0 0 0 0 1 gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n"

Transkrypt

1 GAL II A. Strojnowski str.45 Wykªad 20 Denicja 20.1 Przeksztaªcenie aniczne f : H H anicznej przestrzeni euklidesowej nazywamy izometri gdy przeksztaªcenie pochodne f : T (H) T (H) jest izometri liniow. Stwierdzenie 20.2 Przesuni cie w anicznej przestrzeni euklidesowej jest izometri. Denicja 20.3 Symetri wzgl dem hiperpªaszczyzny A nazywamy symetri przestrzeni E(R n ) wzgl dem podprzestrzeni A wymiaru n 1 wzdªu» A. Macierz symetrii wzgl dem hiperpªaszczyzny w ukªadzie bazowym A = (p ; α 1, α 2,..., α n ) jest M(f) A A = , gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n i A = p + lin{α 2, α 3,..., α n }. Obrotem w przestrzeni E(R n ) nazywamy tak izometri, która w pewnym ukªadzie bazowym A = (p ; α 1, α 2,..., α n ), gdzie wektory α i tworz baz cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ortonormaln przestrzeni E n, ma macierz M(f) A A = ϕ nazywamy k tem obrotu za± W = p + lin{α 3,..., α n } osi obrotu. Twierdzenie 20.4 Niech f : H H b dzie izometri przestrzeni anicznej. Wówczas f ma punkt staªy lub prost niezmiennicz na której f jest przesuni ciem. Dokªadniej p E(R n ) α S(R n ) f(p) = p k R f(p + kα) = p + kα + α. Dowód: Niech f L(E n ; E n ) b dzie pochodn f. Deniujemy podprzestrze«u = {α E n f (α) = α} oraz W = U. Wówczas E n = U W jest rozkªadem na podprzestrzenie niezmiennicze. Ponadto ker(f id) = U i (f id)(w ) W wi c (f id) jest izomorzmem przestrzeni W. Niech f(θ) = θ + α + β, gdzie α U i β W. Zatem istnieje γ W taki,»e (f id)(γ) = β. Teraz dla punktu p = θ + γ i r R otrzymujemy: f(p + rα) = f(θ + γ + rα) = f(θ) + f (γ + rα) = θ + α + β + (γ β + rα) = θ + γ + (r + 1)α = p + (r + 1)α Je»eli α = θ to p jest punktem staªym za± je»eli α θ to p + lin{α} jest» dan prost..

2 GAL II A. Strojnowski str.46 Lemat 20.5 Niech f b dzie izometri przestrzeni E(R n ) bez punktów staªych. Wówczas istnieje baza ortonormalna A = (α 1,..., α n ) i taki ukªad bazowy B = (p ; α 1,..., α n ) w którym macierz f ma posta 0 A θ T. 0 θ 1 Dowód: Niech p + lin{α} b dzie prost niezmiennicz na której f dziaªa jako przesuni cie o wektor α. Wybieramy tak baz ortonormaln A = (α 1,..., α n ) przestrzeni T (H) by α 1 = 1 α α. Podprzestrze«W = lin{α 2,..., α n } = lin{α 1 } jest f niezmiennicza bo jest prostopadªa do przestrzeni niezmienniczej lin{α 1 }. Teraz, dla a = α mamy f(p) = p + aα 1 i M(f) A A = w bazie (α 2,..., α n ). 0 A θ T 0 θ 1 gdy A jest macierz f W Denicja 20.6 Izometri f przestrzeni E(R n ) nazywamy parzyst, gdy wyznacznik funkcji pochodnej det f = 1 a nieparzyst, gdy wyznacznik funkcji pochodnej det f = 1. Stwierdzenie 20.7 Obrót jest izometri parzyst za± symetria wzgl dem hiperpªaszczyzny jest izometri nieparzyst.

3 GAL II A. Strojnowski str.47 Klasykacja izometrii przestrzeniach anicznych E n dla n 3. Z punktem staªym wymiar parzyste nieparzyste 1 identyczno± symetria ±rodkowa 2 obrót cos ϕ sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ 0 symetria osiowa obrót cos ϕ sin ϕ 0 0 sin ϕ cos ϕ 0 symetria pªaszczyznowa obrót z odbiciem cos ϕ sin ϕ 0 0 sin ϕ cos ϕ 0

4 GAL II A. Strojnowski str.48 Bez punktu staªego n parzyste nieparzyste 1 przesuni cie brak 2 przesuni cie symetria z po±lizgiem obrót z po±lizgiem a 0 cos ϕ sin ϕ 0 0 sin ϕ cos ϕ 0 symetria pªaszczyznowa z po±lizgiem a Wykªad 21 Przestrzenie metryczne. Denicja 21.1 Przestrzeni metryczn nazywamy niepusty zbiór P wraz z funkcj ϱ : P P R + w liczby rzeczywiste nieujemne speªniaj c warunki: 1) p,q P ϱ(p, q) = 0 p = q. 2) p,q P ϱ(p, q) = ϱ(q, p). 3) p,q,s P ϱ(p, q) + ϱ(q, s) ϱ(p, s). Funkcj ϱ nazywamy metryk. Przykªad 21.2 { Niech P b dzie niepustym zbiorem. Okre±lmy funkcj ϱ wzorem: 0 p = q ϱ(p, q) = 1 p q. Wówczas ϱ jest metryk zwan dyskretn. Twierdzenie 21.3 Odlegªo± w przestrzeniach anicznych euklidesowych jest metryk - zwan metryk euklidesow. Przykªad 21.4 Przykªadami metryk na R n s : 1) Metryka miejska, ϱ M ((p 1, p 2,..., p n ), (q 1, q 2,..., q n )) = p 1 q 1 + p 2 q p n q n.

5 GAL II A. Strojnowski str.49 2) Metryka Max M ((p 1, p 2,..., p n ), (q 1, q 2,..., q n )) = Max{ p i q i ; 1 i n}. 3) Metryka w zªa kolejowego. Twierdzenie 21.5 a) Dla dowolnych p, q R n zachodzi: M (p, q) q p ϱ M (p, q) nm (p, q). b) Metryki: euklidesowa, miejska i Max wyznaczaj t sam topologi. c) Metryki: euklidesowa i w zªa kolejowego nie wyznaczaj tej samej topologii. Stwierdzenie 21.6 Podprzestrzenie przestrzeni metrycznych s przestrzeniami metrycznymi. Dokªadniej: Niech {X; ϱ} b dzie przestrzeni metryczn z metryk ϱ za± Y b dzie niepustym podzbiorem X. Wówczas {Y : ϱ Y } wraz z metryk ϱ obci t do Y jest przestrzeni metryczn. Denicja 21.7 Izometri nazywamy przeksztaªcenie mi dzy dwiema przestrzeniami metrycznymi zachowuj ce odlegªo±. Dokªadniej: Je»eli {P 1 ; ϱ 1 } i {P 2 ; ϱ 2 } to f : P 1 P 2 jest izometri gdy p,q P1 ϱ 1 (p, q) = ϱ 2 (f(p), f(q)). Twierdzenie 21.8 Izometrie s przeksztaªceniami ró»nowarto±ciowymi. Twierdzenie 21.9 Zªo»enie izometrii jest izometri. Twierdzenie Izometrie przestrzeni R n z metryk euklidesow s przeksztaªceniami anicznymi. Przykªad Niech X = [A, B] b dzie odcinkiem domkni tym w przestrzeni E(R n ) za± Y = [A, B) X. Wówczas wªo»enie f : Y X jest izometri, nie jest na (nie jest surjekcj ) ale jest epimorzmem w kategorii przestrzeni metrycznych. Dokªadniej: Dla dowolnej przestrzeni metrycznej Z i izometrii g 1, g 2 : X Z zachodzi g 1 f = g 2 f g 1 = g 2. Twierdzenie Izometrie s przeksztaªceniami ci gªymi. Wielomiany n zmiennych Denicja Algebr wielomianów zmiennych x 1, x 2,..., x n o wspóªczynnikach z ciaªa K nazywamy przestrze«liniow K[x 1, x 2,..., x n ] nad ciaªem K o bazie zªo»onej z wyra»e«x i 1 1 x i 2 n, gdzie i 1, i 2,..., i n s liczbami naturalnymi za± jednomian x 0 1x x 0 n = 1 uto»samiamy z jedynk ciaªa K. Wielomianem nazywamy ka»dy wektor czyli sko«czon kombinacj liniow w(x) = w(x 1, x 2,..., x n ) = i 1,i 2,...,i n k i1,i 2,...,i n x i1 1 x i 2 n Iloczynem wielomianów okre±lamy przez iloczyn elementów bazy zgodnie ze wzorem: x i 1 1 x in n x j 1 1 x j x jn n = x i 1+j 1 1 x i 2+j xn in+jn, a nast pnie rozszerzamy na wszystkie wielomiany stosuj c rozdzielno± mno»enia wzgl dem dodawania.

6 GAL II A. Strojnowski str.50 Denicja Stopniem wielomianu w(x) = i 1,i 2,...,i n k i1,i 2,...,i n x i 1 1 x i 2 n nazywamy najwi ksz z liczb i 1 + i i n, dla których wspóªczynnik k i1,i 2,...,i n 0 i oznaczamy st w(x). Je»eli w(x) = θ jest wielomianem zerowym to przyjmujemy st w(x) =. Twierdzenie Niech w(x), v(x) K[x 1, x 2,..., x n ]. Wówczas: 1) st (w(x) + v(x)) max (st w(x), st v(x)). 2) st (w(x) v(x)) = st w(x) + st v(x).

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2011 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2011 1 / 16 Definicja Niech V,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

Strategia czy intuicja?

Strategia czy intuicja? Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK ZBIORÓW 2 A B = B A

RACHUNEK ZBIORÓW 2 A B = B A RCHUNEK ZIORÓW 2 DZIŁNI N ZIORCH Sum (uni ) zbiorów i nazywamy zbiór, którego elementami s wszystkie elementy nale ce do zbioru lub do zbioru. = {x : x x } ZDNIE = = = Wyznacz sumy:,, C, D, E, D E dla

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno

Bardziej szczegółowo

Zadania z matematyki na egzamin wst pny na studia II stopnia

Zadania z matematyki na egzamin wst pny na studia II stopnia Zadania z matematyki na egzamin wst pny na studia II stopnia Wydziaª MIiM UW ostatnie poprawki: 9 maja Spis tre±ci Wst p Analiza Matematyczna i Równania Ró»niczkowe Geometria z Algebr Liniow i Algebra

Bardziej szczegółowo

Teoria mnogo±ci. Twierdzenia podziaªowe. Piotr Zakrzewski. Toru«, 31 sierpnia 2009. Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski

Teoria mnogo±ci. Twierdzenia podziaªowe. Piotr Zakrzewski. Toru«, 31 sierpnia 2009. Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Teoria mnogo±ci Twierdzenia podziaªowe Piotr Zakrzewski Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Toru«, 31 sierpnia 2009 Istota twierdze«podziaªowych Jesli,du»y' zbiór podzielimy na,niewielk ' liczb

Bardziej szczegółowo

Mathematica - podstawy

Mathematica - podstawy Mathematica - podstawy Artur Kalinowski Semestr letni 2011/2012 Artur Kalinowski Mathematica - podstawy 1 / 27 Spis tre±ci Program Mathematica 1 Program Mathematica 2 3 4 5 Artur Kalinowski Mathematica

Bardziej szczegółowo

ciałem F i oznaczamy [L : F ].

ciałem F i oznaczamy [L : F ]. 11. Wykład 11: Baza i stopień rozszerzenia. Elementy algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia algebraiczne i skończone. 11.1. Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga 11.1. Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I

Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 1 listopada 013 1 Odwzorowanie styczne i cofnięcie formy cd: 1.1 Transport pola wektorowego i cofnięcie formy W poprzednim paragrafie

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Obliczenia naukowe Wykład nr 6

Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta

Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Wykład 1. Przestrzeń Hilberta Sygnały. Funkcje (w języku inżynierów - sygnały) które będziemy rozważali na tym wykładzie będą kilku typów Sygnały ciągłe (analogowe). ) L 2 (R) to funkcje na prostej spełniające

Bardziej szczegółowo

Jan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia

Jan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia Procesy z Procesy z Jan Olek Uniwersytet Stefana ardynała Wyszyńskiego 2013 Wzór równania logistycznego: Ṅ(t)=rN(t)(1- N ), gdzie Ṅ(t) - przyrost populacji w czasie t r - rozrodczość netto, (r > 0) N -

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory

Bardziej szczegółowo

Topologia I, Egzamin. II termin, 2013-03-05. Nr albumu: Nazwisko prowadzącego ćwiczenia: Nr grupy:

Topologia I, Egzamin. II termin, 2013-03-05. Nr albumu: Nazwisko prowadzącego ćwiczenia: Nr grupy: Stwierdź czy następujące zdania są prawdziwe, zakreślając właściwą odpowiedź i skreślając pozostałe. 1 Zad. 1. Jeżeli przekształcenie f : (X, T ) (R, T s ) jest ciągłe, to to samo odwzorowanie jest ciągłe

Bardziej szczegółowo

Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera

Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera V 0 V 0 Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera oka»emy,»e orbit planety poruszaj cej si pod dziaªaniem siªy ci»ko±ci ze strony Sªo«ca jest krzywa sto»kowa, w szczególno±ci elipsa. Wektor pr dko±ci planety

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach

Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 5 wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Wartości i wektory własne

Wartości i wektory własne Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Korzystając z wzorów de Morgana zwartość można także określić w terminach zbiorów domkniętych.

Korzystając z wzorów de Morgana zwartość można także określić w terminach zbiorów domkniętych. Rozdział 6 Zwartość 6.1 Przestrzenie zwarte Definicja 6.1.1. Przestrzeń topologiczna (X, T ) nazywa się zwarta jeśli jest przestrzenią Hausdorffa oraz z dowolnego pokrycia przestrzeni X zbiorami otwartymi

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:

Bardziej szczegółowo

Wszystkie warianty kursu. Lista zadań

Wszystkie warianty kursu. Lista zadań ALGEBRA Z GEOMETRI A ANALITYCZN A Wszystkie warianty kursu Zadania z listy oznaczone gwiazdka ( ) sa nieco trudniejsze albo maja charakter teoretyczny Jednak nie wychodza one poza program kursu Odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

Teoria ciała stałego Cz. I

Teoria ciała stałego Cz. I Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3

Bardziej szczegółowo

Eliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013

Eliza Wajch, Geometria z Topologią, wykład 1, 2012/2013 Eliza Wajch Wykłady i ćwiczenia z geometrii analitycznej z elementami topologii w UPH w Siedlcach w semestrze zimowym roku akad. 2012/2013. Literatura podstawowa: 1. K. Kuratowski, A. Mostowski: Teoria

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. Metodyka bada«do±wiadczalnych dr hab. in». Sebastian Skoczypiec Cel wiczenia Zaªo»enia

wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. Metodyka bada«do±wiadczalnych dr hab. in». Sebastian Skoczypiec Cel wiczenia Zaªo»enia wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. wiczenia 1 2 do wiczenia 3 4 Badanie do±wiadczalne 5 pomiarów 6 7 Cel Celem wiczenia jest zapoznanie studentów z etapami przygotowania i

Bardziej szczegółowo

Grupa klas odwzorowań powierzchni

Grupa klas odwzorowań powierzchni Grupa klas odwzorowań powierzchni Błażej Szepietowski Uniwersytet Gdański Horyzonty matematyki 2014 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki 2014 1 / 36 Grupa klas odwzorowań

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1 Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,

Bardziej szczegółowo

x = (x 1, x 2,..., x n ), p = (p 1, p 2,..., p n )

x = (x 1, x 2,..., x n ), p = (p 1, p 2,..., p n ) *** Elementy teorii popytu *** II. Funkcja popytu konsumenta x = (x 1, x 2,..., x n ), p = (p 1, p 2,..., p n ) p, x = p 1 x 1 + p 2 x 2 + + p n x n cena koszyka x Zbiór wszystkich koszyków, na jakie sta

Bardziej szczegółowo

Notatki do wykładu z Analizy Matematycznej dla II roku 1 studiów zawodowych z matematyki

Notatki do wykładu z Analizy Matematycznej dla II roku 1 studiów zawodowych z matematyki Notatki do wykładu z nalizy Matematycznej dla II roku 1 studiów zawodowych z matematyki Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w Białymstoku 23 stycznia 2008 1 c Jarosław Kotowicz 2007 Spis

Bardziej szczegółowo

mgr inż. Grzegorz Kraszewski SYSTEMY MULTIMEDIALNE wykład 6, strona 1. Format JPEG

mgr inż. Grzegorz Kraszewski SYSTEMY MULTIMEDIALNE wykład 6, strona 1. Format JPEG mgr inż. Grzegorz Kraszewski SYSTEMY MULTIMEDIALNE wykład 6, strona 1. Format JPEG Cechy formatu JPEG Schemat blokowy kompresora Transformacja koloru Obniżenie rozdzielczości chrominancji Podział na bloki

Bardziej szczegółowo

Kurs z matematyki - zadania

Kurs z matematyki - zadania Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona

Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisªawa Staszica w Krakowie Wydziaª Fizyki i Informatyki Stosowanej Krzysztof Grz dziel kierunek studiów: informatyka stosowana Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci

Bardziej szczegółowo

ψ x < a/2 2mE ψ x > a/2

ψ x < a/2 2mE ψ x > a/2 Studnia prostok tna - stany zwi zane Szukaj c stanów zwi zanych w studni prostok tnej wygodnie jest umie±ci j symetrycznie wzgl dem x = 0, gdy» wiadomo wtedy,»e funkcje falowe musz by parzyste lub nieparzyste.

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo. Zad. 1: Ze zbioru Z =

Prawdopodobieństwo. Zad. 1: Ze zbioru Z = Prawdopodobieństwo Zad. : Ze zbioru Z x x N i x + x > : losujemy kolejno bez zwracania dwie liczby log log i tworzymy z nich liczbę dwucyfrową, w której cyfrą dziesiątek jest pierwsza z wylosowanych liczb.

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Rozdzia l 1. Przestrzenie wektorowe

Rozdzia l 1. Przestrzenie wektorowe Rozdzia l 1 Przestrzenie wektorowe Materiał tego rozdziału jest, z jednej strony, trudny, bo operuje pojęciami abstrakcyjnymi, a zdrugiej strony łatwy, nie zawiera w sobie istotnych problemów technicznych,

Bardziej szczegółowo

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ ALGEBRA Klasa I 3 godziny tygodniowo Klasa II 4 godziny tygodniowo Klasa III 3 godziny tygodniowo A. Liczby (24) 1. Liczby naturalne i całkowite. a. Własności, kolejność

Bardziej szczegółowo

Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty,

Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty, VII Wojewódzki Konkurs Matematyczny "W ±wiecie Matematyki" im. Prof. Wªodzimierza Krysickiego Etap drugi - 17 lutego 2015 r. Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. 1. Drugi etap Konkursu skªada si

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,

Bardziej szczegółowo

Programowanie funkcyjne. Wykªad 13

Programowanie funkcyjne. Wykªad 13 Programowanie funkcyjne. Wykªad 13 Siªa wyrazu rachunku lambda Zdzisªaw Spªawski Zdzisªaw Spªawski: Programowanie funkcyjne. Wykªad 13, Siªa wyrazu rachunku lambda 1 Wst p Warto±ci logiczne Liczby naturalne

Bardziej szczegółowo

Regulamin ustalania wysoko±ci, przyznawania i wypªacania stypendium za wyniki w nauce dla doktorantów MIMUW v4.3

Regulamin ustalania wysoko±ci, przyznawania i wypªacania stypendium za wyniki w nauce dla doktorantów MIMUW v4.3 Regulamin ustalania wysoko±ci, przyznawania i wypªacania stypendium za wyniki w nauce dla doktorantów MIMUW v4.3 1 grudnia 2007 Komentarze s pisane kursyw. 1. Doktoranci s dzieleni na kategorie pod wzgl

Bardziej szczegółowo

Abstrakcyjne przestrzenie wektorowe

Abstrakcyjne przestrzenie wektorowe Konspekt wykładów AFiW (wydruk 27 października 29 roku) 11 Wykład II(2X29) Abstrakcyjne przestrzenie wektorowe 1.3 Przestrzenie wektorowe i ich podprzestrzenie 1.3.1 Definicja abstrakcyjnej przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Funkcja jest funkcją kwadratową. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f x jest przedział

Zadanie 2. Funkcja jest funkcją kwadratową. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f x jest przedział Zadanie. Na początku roku akademickiego mężczyźni stanowili 40% wszystkich studentów. Na koniec roku liczba wszystkich studentów zmalała o 0% i wówczas okazało się, że mężczyźni stanowią % wszystkich studentów.

Bardziej szczegółowo

Teoria grup. Jan Derezi«ski. Katedra Metod Matematycznych Fizyki Uniwersytet Warszawski Ho»a 74, 00-682, Warszawa e-mail jan.derezinski@fuw.edu.

Teoria grup. Jan Derezi«ski. Katedra Metod Matematycznych Fizyki Uniwersytet Warszawski Ho»a 74, 00-682, Warszawa e-mail jan.derezinski@fuw.edu. Teoria grup Jan Derezi«ski Katedra Metod Matematycznych Fizyki Uniwersytet Warszawski Ho»a 74, 00-682, Warszawa e-mail jan.derezinski@fuw.edu.pl 9 czerwca 2015 rok 2010/11 Spis tre±ci 1 Podstawowe wªasno±ci

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych

Bardziej szczegółowo

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010 Schemat sprawdzianu 25 maja 2010 5 definicji i twierdzeń z listy 12(po 10 punktów) np. 1. Proszę sformułować twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. 2. Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Proszę określić,

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

1/9. CCTV Tester. Instrukcja obsługi ver. 2.2.1.0. Wymagania systemowe: - Windows XP, Windows Vista, Windows 7 - wolny port USB -.NET Framework 3.

1/9. CCTV Tester. Instrukcja obsługi ver. 2.2.1.0. Wymagania systemowe: - Windows XP, Windows Vista, Windows 7 - wolny port USB -.NET Framework 3. 1/9 CCTV Tester Instrukcja obsługi ver. 2.2.1.0 Wymagania systemowe: - Windows XP, Windows Vista, Windows 7 - wolny port USB -.NET Framework 3.5 2/9 CCTV Tester - sposób podłączenia 1.) Podłączyć CCTV

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe metoda sympleks

Programowanie liniowe metoda sympleks Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2012 1 / 12

Bardziej szczegółowo

Dwa do nieskończoności DominikKWIETNIAK,Kraków

Dwa do nieskończoności DominikKWIETNIAK,Kraków Jest to zapis odczytu wygłoszonego na XXXVIII Szkole Matematyki Poglądowej, Nieskończoność, styczeń 2007, i nagrodzonego Medalem Filca. Rys. 1. Wykres przekształcenia namiotowego T. Rys. 2. Odczytanie

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na egzamin dyplomowy Matematyka

Zagadnienia na egzamin dyplomowy Matematyka INSTYTUT MATEMATYKI UNIWERSYTET JANA KOCHANOWSKIEGO w Kielcach Zagadnienia na egzamin dyplomowy Matematyka Pytania kierunkowe Wstęp do matematyki 1. Relacja równoważności, przykłady relacji równoważności.

Bardziej szczegółowo

Matematyka stosowana. Optymalizacja I. Andrzej Strojnowski stroa@mimuw.edu.pl http://www.mimuw.edu.pl/~stroa

Matematyka stosowana. Optymalizacja I. Andrzej Strojnowski stroa@mimuw.edu.pl http://www.mimuw.edu.pl/~stroa Matematyka stosowana Optymalizacja I Andrzej Strojnowski stroa@mimuw.edu.pl http://www.mimuw.edu.pl/~stroa Uniwersytet Warszawski, 2012 Streszczenie. Wykład zajmuje się programowaniem liniowym, w tym całkowitoliczbowym.

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

INSTYTUT MATEMATYCZNY UNIWERSYTETU WROCŁAWSKIEGO. Tadeusz Pytlik ANALIZA FUNKCJONALNA

INSTYTUT MATEMATYCZNY UNIWERSYTETU WROCŁAWSKIEGO. Tadeusz Pytlik ANALIZA FUNKCJONALNA INSTYTUT MATEMATYCZNY UNIWERSYTETU WROCŁAWSKIEGO Tadeusz Pytlik ANALIZA FUNKCJONALNA Wrocław 2 Wstęp Analiza funkcjonalna, to dziedzina matematyki, która już od początku lat 3-tych, gdy powstawała, była

Bardziej szczegółowo

MEODY GRUPOWANIA DANYCH

MEODY GRUPOWANIA DANYCH Sztuczna inteligencja 9999 pages 17 MEODY GRUPOWANIA DANYCH PB 1 CWICZENIE I 1. Ze zbioru danych iris.tab wybra nastepuj ce obiekty: ID SL SW PL PW C 1 5.1 3.5 1.4 0.2 Iris-setosa 2 4.9 3.0 1.4 0.2 Iris-setosa

Bardziej szczegółowo

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a.

1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle a i twierdzenie Lagrange a. Ćwiczenia 3032010 - omówienie zadań 1-4 z egzaminu poprawkowego Konwersatorium 3032010 - omówienie zadań 5-8 z egzaminu poprawkowego Ćwiczenia 4032010 (zad 445-473) Kolokwium nr 1, 10032010 (do zad 473)

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Metody matematyczne fizyki

Metody matematyczne fizyki Metody matematyczne fizyki Tadeusz Lesiak Wykład I Wektory Wektory w geometrii i algebrze Historycznie pierwszy był opis geometryczny: B Wektor = uporządkowana para punktów = ukierunkowany odcinek linii

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

Wymagania z matematyki, poziom podstawowy. nowa podstawa programowa

Wymagania z matematyki, poziom podstawowy. nowa podstawa programowa z matematyki, poziom podstawowy nowa podstawa programowa Nauczyciel matematyki: mgr Joanna Nowaczyk Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory ponad potrafi odróżnić zdanie logiczne od innej wypowiedzi;

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA DLA FIZYKÓW

ANALIZA MATEMATYCZNA DLA FIZYKÓW Lech Górniewicz Roman Stanisław Ingarden ANALIZA MATEMATYCZNA DLA FIZYKÓW Wydanie piąte Toruń 2012 SPIS TREŚCI WSPOMNIENIE O PROFESORZE ROMANIE STANISŁAWIE INGARDENIE (Miłosz Michalski)... ix PRZEDMOWA

Bardziej szczegółowo

LXV OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA

LXV OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA LXV OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA CZ DO WIADCZALNA Za zadanie do±wiadczalne mo»na otrzyma maksymalnie 40 punktów. Zadanie D. Rozgrzane wolframowe wªókno»arówki o temperaturze bezwzgl dnej T emituje

Bardziej szczegółowo

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza 165 1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy 2) Problem chiskiego listonosza 166 Grafy eulerowskie Def. Graf (multigraf, niekoniecznie spójny) jest grafem eulerowskim, jeli zawiera cykl zawierajcy wszystkie

Bardziej szczegółowo

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Pankowski www.put.poznan.pl/~tadeusz.pankowski. Definicja. Definicja

Tadeusz Pankowski www.put.poznan.pl/~tadeusz.pankowski. Definicja. Definicja Plan Zależności funkcyjne 1. Zależności funkcyjne jako klasa ograniczeń semantycznych odwzorowywanego świata rzeczywistego. 2. Schematy relacyjne = typ relacji + zależności funkcyjne. 3. Rozkładalność

Bardziej szczegółowo

PAKIET MathCad - Część III

PAKIET MathCad - Część III Opracowanie: Anna Kluźniak / Jadwiga Matla Ćw3.mcd 1/12 Katedra Informatyki Stosowanej - Studium Podstaw Informatyki PAKIET MathCad - Część III RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ 1. Równania z jedną niewiadomą MathCad

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Definicja gry o sumie zerowej Powiemy, że jest grą o

Bardziej szczegółowo

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,

Bardziej szczegółowo