Szkic do wykładów z mechaniki analitycznej

Transkrypt

1 Szkic do wykładów z mechaiki aalityczej prof. dr hab. Bogda Maruszewski pokój 408 BM bogda.maruszewski@put.poza.pl www: kosultacje: poiedziałek Politechika Pozańska Istytut Mechaiki Stosowaej Zakład Mechaiki Techiczej

2 Więzy Jeśli rozważamy ruch układów ieswobodych, ależy określić ograiczeia ałożoe a ruch, czyli tzw. więzy. Gdy układ puktów jest ograiczoy więzami, wówczas współrzęde prostokąte tych puktów ie są od siebie iezależe i muszą spełiać pewą ilość rówań więzów: f ν (x 1,y 1,z 1,...,x,y,z,t) ><= 0, ν = 1,2,...,k Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 2 / 43

3 Klasyfikacja więzów skleroomicze reoomicze geometrycze kiematycze jedostroe dwustroe holoomicze ieholoomicze ideale Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 3 / 43

4 Współrzęde uogólioe Liczba wszystkich współrzędych puktów jest rówa 3, ograiczeń jest k, więc liczba iezależych współrzędych wyosi s = 3 k liczba stopi swobody Układ liiowo iezależych od siebie współrzędych (parametrów) wystarczających do opisu ruchu azywamy współrzędymi uogólioymi q 1,...,q s. W związku z tym wszystkie współrzęde prostokąte układu puktów możemy przedstawić w postaci x i = x i (q 1,...,q s ), y i = y i (q 1,...,q s ), z i = z i (q 1,...,q s ) Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 4 / 43

5 Przesuięcia przygotowae Rozważmy ieswobody pukt A, który musi pozostawać a pewej ieruchomej powierzchi. Załóżmy pewe pomyślae przesuięcie elemetare tego puktu po powierzchi zgodie z więzami, oczywiście w płaszczyźie styczej do tej powierzchi. Przesuięcie to ie jest rzeczywiste, więc ie możemy go ozaczyć dr. Ozaczamy je przez δ r. Przesuięcie takie azywamy przesuięciem przygotowaym. Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 5 / 43

6 Przesuięcia przygotowae W układzie kartezjańskim δr = δx i + δy j + δz k, gdzie δx, δy, δz to wariacje współrzędych. Wielkości te ie są od siebie iezależe. Niech rówaie więzów ma postać f (x,y,z) = 0. Po przesuięciu przygotowaym pukt będzie miał współrzęde x + δx, y + δy, z + δz Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 6 / 43

7 Przesuięcia przygotowae Poieważ z założeia przesuięcie to jest zgode z więzami (pukt ie opuszcza powierzchi), to muszą być spełioe rówaia oraz Ostatie wyrażeie to δf, czyli lub f (x + δx,y + δy,z + δz) = 0 f (x + δx,y + δy,z + δz) f (x,y,z) = 0. δf = f f f δx + δy + x y z δz = 0 gradf δr = 0. Rówaie to ozacza, że δ r jest zawsze stycze do powierzchi. Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 7 / 43

8 Przesuięcia przygotowae układ puktów Dla układu puktów mamy f ν (x 1,y 1,z 1,...,x,y,z ) = 0, ν = 1,2,...,k lub δr i = [δx i,δy i,δz i ] i = 1,2,..., ( fν δx i + f ν δy i + f ) ν δz i = 0 x i y i z i gradf ν δr i = 0. Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 8 / 43

9 Wzory trasformacyje Jeżeli teraz położeie układu rozpatrywać będziemy we wspórzędych uogólioych, to zgodie z x i = x i (q 1,...,q s ), y i = y i (q 1,...,q s ), z i = z i (q 1,...,q s ) r i = r i (q 1,...,q s ) mamy s przesuięć przygotowaych δq 1,...,δq s, a wzory trasformacyje przyjmują astępującą postać: δx i = s j=1 x i δq j, δy i = s j=1 y i δq j, δz i = s j=1 z i δq j lub δr i = s j=1 r i δq j. Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 9 / 43

10 Praca przygotowaa Załóżmy, że puktowi, a który działa siła P udzielamy przesuięcia δ r. Wówczas pracę tej siły a tym przesuięciu azywamy pracą przygotowaą δl = P δr δl = Pδscosα, δs = δr Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 10 / 43

11 Praca przygotowaa Dla układu puktów i sił mamy δl = δl i = P i δr i = (P ix δx i + P iy δy i + P iz δz i ) Dla układu puktów ieswobodych dochodzi praca reakcji więzów Jeśli więzy są ideale, to R i δr i R i δr i = 0 (R i δr i ) Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 11 / 43

12 Praca przygotowaa Załóżmy teraz, że układ puktów zajduje się w rówowadze. Dla i-tego puktu mamy P i + R i = 0. Stąd a dla układu P i δr i + R i δr i = 0, P i δr i + R i δr i = 0. Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 12 / 43

13 Zasada prac przygotowaych Twierdzeie Warukiem koieczym i wystarczającym istieia rówowagi w układzie jest, by suma prac przygotowaych sił czyych i reakcji więzów a przesuięciach przygotowaych była rówa zeru. Dla więzów idealych mamy P i δr i = 0 Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 13 / 43

14 Zasada prac przygotowaych Przykład P 1 δs 1 P 2 δs 2 = 0 δs 1 = aδϕ, δs 2 = bδϕ Stąd: (P 1 a P 2 b)δϕ = 0 Przy dowolym δϕ 0 mamy P 1 a P 2 b = 0, czyli P 1 P 2 = b a Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 14 / 43

15 Zasada prac przygotowaych Moża wykazać, że zasada prac przygotowaych jest rówoważa statyczym warukom rówowagi. Załóżmy, że przemieszczeie dowolego puktu bryły ma postać czyli δr = δr 0 + δ ϕ r i P i δr i = i (δr 0 + δ ϕ r i ) = δr 0 P i + P δr 0 P i + δ ϕ Poieważ r i i ϕ są dowole, to (r i P i ) = 0 P i (δ ϕ r i ) = 0, P i = 0 oraz (r i P i ) = 0 Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 15 / 43

16 Siły uogólioe Praca przygotowaa sił P 1, P 2,..., P : = ( δl = s P ix j=1 (P ix δx i + P iy δy i + P iz δz i ) = x i δq j + P iy s j=1 y i δq j + P iz s j=1 ) z i δq j Zmieiając kolejość sumowaia, mamy: s ( ) x i δl = P ix j=1[ ] y i z i + P iy + P iz δq j }{{} Q j siła uogólioa δl = s j=1 Q j δq j Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 16 / 43

17 Siły uogólioe Przykład Wahadło fizycze δl = P δr A = Plsiϕδϕ δl = Q ϕ δϕ Q ϕ = Plsiϕ = M z Siła uogólioa jest w tym przypadku mometem siły P względem osi obrotu. Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 17 / 43

18 Zachowawcze pole sił Układ podday więzom idealym zajduje się w zachowawczym polu sił P ix = V x i, P iy = V y i, P iz = V z i. We współrzędych uogólioych ( V x i Q j = + V y i + V ) z i, x i y i z i czyli przy czym Q j = V, V = V(q 1,q 2,...,q s ) Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 18 / 43

19 Rówowaga w zachowawczym polu sił Jeżeli układ ma zajdować się w położeiu rówowagi, to V q 1 = 0, V q 2 = 0,..., V q s = 0. Twierdzeie W położeiu rówowagi układu materialego poddaego więzom idealym i zajdującego się w zachowawczym polu sił eergia potecjala tego układu spełia waruki koiecze do istieia ekstremum. Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 19 / 43

20 Ogóle rówaie dyamiki aalityczej Opierając sie a zasadzie d Alemberta możemy każde zadaie z mechaiki sprowadzić do rówowagi sił czyych i bezwładości. Korzystając z tego i zasady prac przygotowaych, mamy (P i m i a i ) δr i = 0, czyli (P i m i r i ) δr i = 0. Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 20 / 43

21 Ogóle rówaie dyamiki aalityczej W przypadku ieswoobodego układu materialego o więzach idealych suma prac przygotowaych sił czyych i sił bezwładości a dowolym przemieszczeiu przygotowaym tego układu rówa się zeru. Ogóle rówaie dyamiki aalityczej przyjmuje postać: ] [(P ix m i ẍ i )δx i + (P iy m i ÿ i )δy i + (P iz m i z i )δz i = 0 Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 21 / 43

22 Ogóle rówaie dyamiki aalityczej Przykład Wyzaczyć przyspieszeia a 1 i a 2 : Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 22 / 43

23 Poieważ ić jest ierozciągliwa, to a 1 = a 2 = a. Ogóle rówaie dyamiki: (m 1 g m 1 a 1 ) δr 1 + (m 2 g m 2 a 2 ) δr 2 = 0 Ozaczmy δr 1 = δr 2 = δs m 1 g δr 1 = m 1 gδssiα m 1 a 1 δr 1 = m 1 aδs m 2 g δr 2 = m 2 gδssiβ m 2 a 2 δr 2 = m 2 aδs Stąd czyli [(m 1 siα m 2 siβ)g a(m 1 + m 2 )]δs = 0 (m 1 siα m 2 siβ)g a(m 1 + m 2 ) = 0 a = a 1 = a 2 = g m 1 siα m 2 siβ m 1 + m 2 Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 23 / 43

24 Opis ruchu układu ieswobodego Ogóle rówaie dyamiki aalityczej razem z rówaiami więzów pozwala opisać ruch układu ieswobodego, to zaczy (P i m i r i ) δr i = 0 f ν (r i,t) = 0 gradf ν δr i = 0 Po wymożeiu ostatiego rówaia przez λ ν i dodaiu do pierwszego (P i m i r i + λ ν gradf ν ) δr i = 0 Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 24 / 43

25 Rówaia Lagrage a I rodzaju Poieważ δr i są dowole, to m i r i = P i + λ ν gradf ν f ν (r i,t) = 0 λ ν to tzw. ieozaczoe możiki Lagrage a. Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 25 / 43

26 Rówaia Lagrage a II rodzaju Ogóle rówaie dyamiki aalityczej jest spełioe dla więzów idealych (P i m i r i ) δr i = 0 δr i = s j=1 r i δq j. Pamiętamy, że oraz r i = r i (q 1,...,q s,t) q j = q j (t). Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 26 / 43

27 Poieważ δq j są dowole, moża założyć, że tylko jeda wariacja δq j 0. Wówczas δr i = r i δq j. i ogóle rówaie będzie [ ] (P i m i r i ) r i δq j = 0. Poieważ δq j jest dowole, to (P i m i r i ) r i = 0, czyli m r i i r i = P i r i Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 27 / 43

28 Rówaia Lagrage a II rodzaju Oczywiście rówań tych możemy ułożyc tyle, ile jest współrzędych uogólioych. Rozpisując prawą stroę, mamy Stąd P r i i = ( ) x i y i z i P ix + P iy + P iz = Q j. m i r i r i = Q j Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 28 / 43

29 W tym miejscu wprowadzimy dwie tożsamości iezbęde do przekształceia lewej stroy rówaia. Biorąc pod uwagę, że mamy r i = r i (q 1,...,q s,t), ṙ i = v i = r i q r i q s + r i q 1 q s t Wielkości q j azywamy prędkościami uogólioymi. Różiczkując tę rówość względem kokretego q j, otrzymujemy pierwszą z tożsamości: ṙ i q j = r i Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 29 / 43

30 Drugą tożsamość otrzymamy różiczkując r i d dt ( ri względem czasu: ) = 2 r i q r i q s + 2 r i q 1 q s t Z drugiej stroy różiczkując względem q j wyrażeie a ṙ i, mamy Stąd ṙ i = 2 r i q 1 q d dt ( ri 2 r i q s q s + 2 r i t ) = ṙ i Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 30 / 43

31 Wykorzystując otrzymae tożsamości, mamy: m r i i r i = d ( m i ṙ r ) i i m i ṙ d ( ) ri i dt dt m r i i r i = d ( m i ṙ ṙ ) i i m i ṙ ṙ i i = dt q j [ = d dt q j ( mi ṙ 2 i 2 Czyli dla całego układu m r { [ ( i d mi v i r i = 2 i dt q j 2 [ )] = d m i v 2 i dt 2 q j ( )] )] ( mi ṙ 2 i 2 ). ( mi v 2 i 2 ( m i v 2 i 2 )} = ). Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 31 / 43

32 Rówaia Lagrage a II rodzaju Tak więc oraz m r i i r i = d ( ) T T dt q j ( ) d T T = Q j dt q j Eergia kietycza w ogólości jest zatem fukcją T = T(q 1,...,q s, q 1,..., q s,t). Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 32 / 43

33 Rówaia Lagrage a II rodzaju W przypadku ruchu układu w potecjalym polu sił mamy czyli Q j = V, ( ) d T T = V dt q j Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 33 / 43

34 Rówaia Lagrage a II rodzaju Wprowadzając fukcję gdzie mamy czyli L = T V, T = T( q 1,..., q s ), V = V(q 1,...,q s ), d dt ( (T V) q j d dt ( L q j ) (T V) = 0, ) L = 0 Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 34 / 43

35 Rówaia Lagrage a II rodzaju Przykład 1 Wahadło matematycze Ogóla postać rówaia ruchu: ( ) d T T dt ϕ ϕ = V ϕ Eergia kietycza: Stąd T = 1 2 mv2 = 1 2 ml2 ϕ 2 s = 1 q 1 = ϕ T ϕ = ml2 ϕ, d dt T ϕ = 0, ( ) T = ml 2 ϕ ϕ Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 35 / 43

36 Rówaia Lagrage a II rodzaju Przykład 1 Jeżeli przyjmiemy, że w położeiu rówowagi ϕ = 0, to V = mgl(1 cosϕ) oraz V ϕ = mglsiϕ Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 36 / 43

37 Rówaia Lagrage a II rodzaju Przykład 1 Możemy też rozważyć pracę przygotowaą siły ciężkości: ( π ) δl = mgδrcos 2 + ϕ, δr = lδϕ. Stąd czyli δl = mglδϕ siϕ, δl = Qδq = mglsiϕδϕ, Q = mglsiϕ = V ϕ Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 37 / 43

38 Rówaia Lagrage a II rodzaju Przykład 1 Podstawiając do ogólej postaci rówaia Lagrage a II rodzaju, mamy: ml 2 ϕ = mglsiϕ, co ostateczie zapisujemy w postaci ϕ + g l siϕ = 0 Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 38 / 43

39 Rówaia Lagrage a II rodzaju Przykład 2 Położeie i prędkość puktu A w kartezjańskim układzie współrzędych: x = ξ + lsiϕ, y = lcosϕ, ẋ = ξ + l ϕ cosϕ ẏ = l ϕ siϕ Eergia kietycza i potecjala: T = 1 2 m(ẋ2 + ẏ 2 ) = = 1 (l 2 m 2 ϕ 2 + ξ 2 + 2l ϕ ξ ) cosϕ V = mgy cξ 2 = mglcosϕ cξ 2 s = 2 q 1 = ϕ, q 2 = ξ Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 39 / 43

40 Rówaia Lagrage a II rodzaju dla omawiaego układu: ( ) d T T dt ϕ ϕ = V ϕ d dt ( T ξ ) T ξ = V ξ Po obliczeiu poszczególych pochodych fukcji T i V otrzymujemy: { ml 2 ϕ + ml ξ cosϕ + mglsiϕ = 0 m ξ + ml ϕ cosϕ ml ϕ 2 siϕ + cξ = 0 Dla małego wychyleia ϕ mamy cosϕ 1, siϕ ϕ, a rówaia ruchu przyjmują postać ϕ + 1 l ξ + g l ϕ = 0 ξ + l ϕ + c m ξ = 0 Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 40 / 43

41 Eergia kietycza układu materialego Jeśli chcemy stosować rówaia Lagrage a, eergię kietyczą musimy formułować w wielkościach uogólioych. We współrzędych prostokątych, przy zastosowaiu kowecji sumacyjej, eergia kietycza ma postać T = 1 2 m i (ẋ2 i + ẏ 2 i + ż 2 i ), i = 1,..., Współrzęde kartezjańskie są fukcjami q j i t. Stąd różiczkując x i, y i, z i względem t mamy ẋ i = x i q 1 q 1 + x i q 2 q x i q s q s + x i t = x i q j + x i t, ẏ i = y i q 1 q 1 + y i q 2 q y i q s q s + y i t = y i q j + y i t, j = 1,...,s ż i = z i q 1 q 1 + z i q 2 q z i q s q s + z i t = z i q j + z i t. Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 41 / 43

42 Ogóla postać wyrażeia a eergię kietyczą Wstawiając uzyskae składowe prędkości do eergii, otrzymujemy T = 1 2 a kl q k q l + b k q k c 0 gdzie: ( xi x i a kl = a lk = m i + y i y i + z i z i q k q l q k q l q k q l ), ), ( xi x i b k = m i q k t + y i y i q k t + z i z i q k t [ ( xi ) 2 ( ) 2 ( ) ] 2 yi zi c 0 = m i + +, k,l = 1,...,s t t t Z powyższych wzorów wyika, że a kl = a kl (q j,t), b k = b k (q j,t), c 0 = c 0 (q j,t). Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 42 / 43

43 Ogóla postać wyrażeia a eergię kietyczą Gdy więzy, którym podlega układ, są skleroomicze, wówczas x i, y i, z i ie zależą bezpośredio od czasu: x i t = y i t = z i t = 0 oraz b k = 0, c 0 = 0. W takim przypadku T = 1 2 a kl q k q l to zaczy eergia kietycza jest jedorodą formą kwadratową prędkości uogólioych q j. Bogda Maruszewski Mechaika aalitycza 43 / 43