WYCENA ENTROPOWA NA RYNKU ŁĄCZONYM

Transkrypt

1 tuda Ekonomczne Zeszyty Naukowe Unwesytetu Ekonomcznego w Katowcach IN N 3 6 zkoła Główna Handlowa w aszawe Kolegum Analz Ekonomcznych Kateda Matematyk Ekonom Matematycznej jutkn@sghwawpl YCENA ENTROPOA NA RYNKU ŁĄCZONYM teszczene: Model ynku łączonego [Utkn a] jest nezupełny pozbawony możlwośc abtażu ystępują w nm wypłaty neosągalne O le wypłata osągalna ma jedną watość wyceny bezabtażowej to zbó watośc wyceny bezabtażowej wypłaty neosągalnej jest pzedzałem otwatym Na początku pzeanalzowano wypłaty na ynku łączonym pod względem osągalnośc Główny cel atykułu to wyznaczene ceny entopowej dowolnej wypłaty na ynku łączonym Po wyażenu względnej entop jako funkcj paametu ozkładu pawdopodobeństwa matyngałowego otzymano ównane paametu mnmalzującego entopę będące ównanem lnowym lub kwadatowym Za pomocą optymalnego paametu wyznaczono ozkład pawdopodobeństwa matyngałowego mnmalzujący entopę a następne cenę entopową Ponadto na ynku łączonym ozważono waunkową mnmalzację entop uzyskano zwązek mnożnków Lagange a z potfelem maksymalzującym oczekwaną wykładnczą użyteczność wypłaty tosując chaakteystykę mnmalnej entop [Fttell ] wyznaczono optymalny potfel ozwązując pewen układ ównań lnowych łowa kluczowe: względna entopa ynek łączony JEL Classfcaton: C6 powadzene Rynek kaptałowy utwozony pzez połączene dwóch ynków o dwupunktowym ozkładze pawdopodobeństwa na pzykład ynku akcj oblgacj długotemnowej o wspólnej stope pocentowej jest pzedstawony w pacy Autok [Utkn a] Otzymany tam model ynku jest pozbawony możlwośc abtażu jest nezupełny Na takm ynku wycena bezabtażowa ma jednoznaczne okeśloną watość jedyne dla wypłaty osągalnej Dla wypłaty neosągalnej wa-

2 ycena entopowa na ynku łączonym 9 tośc wyceny bezabtażowej należą do otwatego pzedzału o końcach ównych cene kupna cene spzedaży tej wypłaty [Dana Jeanblanc 3] tutze [996] zapoponował oentacyjną wycenę wypłaty neosągalnej za pomocą takego ozkładu pawdopodobeństwa matyngałowego któy mnmalzuje jego entopę względem ozkładu pawdopodobeństwa zeczywstego Rozwązane ogólnego poblemu mnmalzacj względnej entop któy ne ogancza sę do poblemu stacjonanego na ynku skończonym znajduje sę w pacy Fttellego [] Udowodnł on stnene dokładne jednego optymalnego ozkładu pawdopodobeństwa matyngałowego ównoważnego ozkładow pawdopodobeństwa zeczywstego a następne wykazał zgodność otzymanego ozwązana z ozwązanem pewnego zadana beznakładowej maksymalzacj oczekwanej użytecznośc majątku Ponadto na ynku skończonym auto ten zbudował pzykład śwadczący o baku ównoważnośc ozkładów pawdopodobeństwa zeczywstego matyngałowego mnmalzującego waancję nnejszym atykule w celu opsu zbou wyceny wypłat neosągalnych na ynku łączonym zbadamy zbó wycenę wypłat osągalnych Pzepowadzmy maksymalzację entop ozkładu pawdopodobeństwa matyngałowego względem ozkładu pawdopodobeństwa zeczywstego co pozwol wyznaczyć wycenę entopową dowolnej wypłaty na ynku łączonym Nawążemy ponadto do poblemu maksymalzacj oczekwanej użytecznośc wykładnczej majątku ównoważnego ogólnemu poblemow mnmalzacj entop Dla znanego ozkładu pawdopodobeństwa matyngałowego mnmalzującego entopę oblczymy skład potfela maksymalzującego oczekwaną użyteczność skąd otzymamy mnożnk Lagange a występujące w ozwązanu optymalnym zagadnena waunkowej mnmalzacj entop Rozkłady pawdopodobeństwa zeczywstego matyngałowego Rynek łączony pzedstawony w pacy Autok [Utkn a] jest utwozony z dwóch ynków o dwupunktowych ozkładach pawdopodobeństwa Dla ustalena uwag ynk składowe były nazwane ynkem akcj ynkem oblgacj oba ozpatywane w chwlach t t t ynek składowy pzyjmuje jeden z dwóch stanów: stan oznacza hossę a stan bessę ceny odpowednego nstumentu yzykownego Na ynku akcj występują dwa nstumenty fnansowe: stopa pocentowa bezpecznego konta bankowego > oaz jeden odzaj akcj Cenę akcj w chwl t oznaczamy pzez t Cena jest daną dodatną lczbą zaś jest zmenną losową o watoścach pzy czym cena temnowa akcj

3 3 jest wększa od mnejsza od chwl t stan jest pzyjmowany z pawdopodobeństwem p s dla pewnego danego p s Z neównośc nałożonych na ceny akcj wynka że stneje dokładne jedno pawdopodobeństwo matyngałowe q s wzostu ceny akcj powyżej jej ceny temnowej ówne: q Na ynku oblgacj stopa zwotu bezpecznego nstumentu fnansowego mus być ówna Za tak nstument można uznać -okesową oblgację zeokuponową któa w chwl t jest wykupywana po cene ównej a w t kosztuje / Ryzykownym nstumentem fnansowym jest oblgacja zeokuponowa pzewdzana do wykupu po cene ównej na konec danego welookesowego pzedzału czasu Cenę tej oblgacj w chwl t oznaczamy pzez t Zakładamy że cena temnowa oblgacj jest wększa od mnejsza od Założenem specyfcznym dla ynku oblgacj jest wymóg pzynależnośc powyższych cen do pzedzału chwl t stan jest pzyjmowany z pawdopodobeństwem p gdze p jest dane Z neównośc nałożonej na ceny oblgacj wynka stnene dokładne jednego pawdopodobeństwa matyngałowego q wzostu ceny oblgacj welookesowej powyżej jej ceny temnowej któe jest ówne: q Model ynku łączonego zawea tzy odzaje nstumentów fnansowych ą to: bezpeczna stopa pocentowa akcje oblgacje welookesowe tany ynku łączonego w chwl t są wyznaczone pzez cztey pay watośc dwuwymaowej zmennej losowej pzy założenu znajomośc ozkładów bzegowych okeślonych za pomocą p p Cztey stany na ynku łączonym upoządkowano ze względu na hossę bessę na ynkach składowych w następujący k n sposób atość zmennej w stane defnujemy jako gdze dla 3 wskaźnk k n są ówne: k k k3 k 3 n n n3 n Rozkłady pawdopodobeństwa na ynku łączonym jak ówneż wypłaty losowe można wówczas potaktować jako wektoy kolumny z pzestzen R [Dana Jeanblanc 3] Rozkład pawdopodobeństwa zeczywstego na ynku łączonym P wyznaczony za pomocą ozkładów bzegowych [Utkn a] ma postać:

4 ycena entopowa na ynku łączonym 3 P T a p a p a p p a gdze paamet pawdopodobeństwa jednoczesnej hossy waloów yzykownych a spełna ostą neówność Fecheta [Cheubn Lucano Vecchato s ]: max{p p } < a < mn{p p } 5 Obecność paametu a pozwala wykozystać dodatkową nfomację o cenach akcj oblgacj Jeżel k jest danym współczynnkem koelacj cen to zachodz zwązek: a k 6 Ne dla wszystkch jednak k paamet 6 spełna oganczene 5 [Utkn a] dalszym cągu zakładamy że dla łączonych pzez nas ynków składowych można wyznaczyć paamet a spełnający neówność 5 Można zauważyć że na płaszczyźne cztey watośc zmennej losowej są wezchołkam postokąta o bokach ównoległych do os współzędnych Posta egesj lnowej ma zatem położene pozome co wskazywałoby na zeowe skoelowane cen akcj oblgacj Należy węc wyodębnć ważny pzypadek gdy k a wtedy z ównana 6 wynka że: a p 7 w konsekwencj otzymujemy: T P 8 dalszym cągu ozważań pzyjmujemy że paamet a ma daną watość Pzy założenu stnena ozkładu pawdopodobeństwa zeczywstego P spełnającego 5 na ynku łączonym stneją ozkłady pawdopodobeństwa matyngałowego Q ównoważne ozkładow P co zostało wykazane w pacy Autok [Utkn a] Zbó ozkładów pawdopodobeństwa matyngałowego M ma postać: T M { Q : Q b b q b q b b < b < b } 9 gdze: b maxq q b mnq q Zbó M jest odcnkem w pzestzen R nezaweającym końców Końcam tego odcnka są Q Q gdze: Q T j b j q b j q b j q q b j j zaś b j są dane za pomocą Istnene welu ozkładów pawdopodobeństwa matyngałowego śwadczy o tym że ynek łączony jest nezupełny pozbawony możlwośc abtażu [Dana Jeanblanc 3; Plska 5]

5 3 ypłaty osągalne neosągalne ypłaty na ozważanym ynku łączonym są epezentowane pzez wektoy z R Tak jak na każdym ynku nezupełnym stneją na nm wypłaty neosągalne Aby wskazać wypłaty neosągalne wyznaczymy zbó wypłat osągalnych ypłata gdze R jest zgodne z defncją osągalną gdy stneje potfel o składze: kwota χ R na bezpecznym konce bankowym χ akcj χ oblgacj któy w chwl wypłaca czyl w każdym stane końcowym spełna ównane: k n χ R χ χ 3 Powyższy układ czteech ównań lnowych z tzema newadomym χ R χ χ ma w waunkach pewotnego chaakteu waloów twozących ynek [Utkn a] ząd macezy współczynnków ówny 3 aunek koneczny wystaczający nespzecznośc ównana polegający na zachowanu ządu pzez macez ozszezoną układu możemy zatem pzedstawć za pomocą ównana: det 3 3 Lewa stona 3 jest ówna loczynow 3 Pzy założenach dotyczących cen akcj oblgacj waunek osągalnośc 3 spowadza sę do następującego ównana: 3 Zwązek watośc losowej wypłaty w czteech stanach ynku łączonego decyduje o osągalnośc Zwązek jest ównanem pewnej hpepłaszczyzny w pzestzen R ypłaty leżące poza tą hpepłaszczyzną są neosągalne nosek Na ynku łączonym wszystke wypłaty dla któych 3 są neosągalne Innym kyteum osągalnośc wypłaty ównoważnym stnenu ozwązana ównana jest stałość wyceny bezabtażowej Q T / dla wszystkch Q M [Plska 5 s 9] tałość tej fomy lnowej zmennej we względnym wnętzu odcnka o końcach Q Q jest ównoważna ównośc watośc na jego końcach [Utkn b] czyl: T T Q Q 5

6 ycena entopowa na ynku łączonym 33 Neosągalna wypłata ne spełna ównana 5 Zbó watośc jej wyceny bezabtażowej Q T / gdze Q M jest pzedzałem otwatym o końcach Q T / Q T / Dla wypłaty R defnuje sę cenę kupna cenę spzedaży [Dana Jeanblanc 3] pzypadku ynku łączonego są to odpowedno lczby: T T mn Q Q 6 T T max Q Q gdze Q Q są okeślone za pomocą wzou nosek Na ynku łączonym zbó watośc wyceny bezabtażowej wypłaty neosągalnej jest pzedzałem Podsumowując dołączymy następującą oczywstą uwagę Uwaga ypłata jest osągalna wtedy tylko wtedy gdy pzypadku wypłaty osągalnej składnk fomy lnowej Q T zaweającej b edukują sę Jeżel manowce Q jest zgodne z 9 a z wzou wyznaczymy 3 to watość tej fomy lnowej jest ówna: T 3 Q q q 7 Dążene do wskazana oentacyjnej lecz jednoznaczne okeślonej wyceny bezabtażowej każdej wypłaty neosągalnej polega na szukanu ozkładu pawdopodobeństwa matyngałowego któy na danym ynku byłby najlepej dopasowany do ozkładu pawdopodobeństwa zeczywstego lteatuze pzedmotu [Cheubn Lucano Vecchato s ] jest pzywołana metoda wybou elementu zbou ozkładów pawdopodobeństwa matyngałowego mnmalzującego waancję Fttell zbudował jednak pzykład modelu ynku skończonego śwadczący o baku ównoważnośc ozkładów pawdopodobeństwa: zeczywstego matyngałowego mnmalzującego waancję [Fttell s 5] 3 Mnmalzacja względnej entop ybó ozkładu pawdopodobeństwa matyngałowego pzydatnego do oentacyjnej wyceny na nezupełnym ynku skończonym któy został zapoponowany pzez tutzea [996] opea sę na mnmalzacj entop ozkładu pawdopodobeństwa matyngałowego względem ozkładu pawdopodobeństwa zeczywstego

7 3 modelu ynku o óżnych stanach końcowych entopa ozkładu pawdopodobeństwa Q względem ozkładu pawdopodobeństwa P jest okeślona wzoem [np Utkn s 69]: Q H Q / P Q ln 8 P pzypadku ozkładów pawdopodobeństwa danych za pomocą względna entopa 8 jest funkcją zmennej b paamet a ma daną watość manowce: HQ/P fb b < b < b gdze b b są okeślone za pomocą zaś: 9 b b q b f b bln b ln q b ln a a a q b q b ln a Rozwązanu ogólnego poblemu mnmalzacj względnej entop któy ne jest oganczony do jednookesowego modelu ynku skończonego jest pośwęcona paca Fttellego Dla modelu jednookesowego udowodnł on stnene dokładne jednego optymalnego ozkładu pawdopodobeństwa matyngałowego ównoważnego ozkładow pawdopodobeństwa zeczywstego [Fttell s ] ynka stąd że funkcja w pzedzale b b osąga mnmum w dokładne jednym punkce Oznaczając ten punkt pzez b e możemy napsać: be ag mn f b b b b pzedzale b b funkcja jest óżnczkowalna Poneważ b a a q b f ' b ln a b q b a węc ównane: f ' b można pzedstawć w postac: nb mb l 3 gdze: n a m a q a q 5 l a q a 6 Pewastek ównana 3 wyznacza sę ozwązując ównane pewszego lub dugego stopna

8 ycena entopowa na ynku łączonym 35 ważnym pzypadku k zachodz 7 tedy 3 edukuje sę do odpowednego ównana lnowego skąd otzymujemy: b e q q 7 Jeśl natomast we wzoze 6 występuje k to 3 jest ównanem kwadatowym w któym wyaz stały ma znak ujemny tedy 3 ma dwa pewastk Z twedzena Fttellego wynka że dokładne jeden z nch spełna waunek Po oblczenu b e wyznaczamy zgodne z 9 szukany element zbou M nosek 3 Na ynku łączonym ozkładem pawdopodobeństwa matyngałowego mnmalzującym względną entopę jest wekto Q e gdze: T Q e be be q be q be 8 Po wyznaczenu ozkładu pawdopodobeństwa matyngałowego Q e możemy okeślć cenę entopową dowolnej wypłaty na ynku łączonym Oznaczając cenę entopową wypłaty pzez Π otzymujemy następujący wzó: T Π Qe 9 Oczywśce Π aunkowa mnmalzacja entop Ogólna metoda poszukwana ozkładu Q e na ynku skończonym polega na ozwązanu zadana waunkowej mnmalzacj entop w któym wykozystuje sę mnożnk Lagange a pzypadku ynku łączonego waunk stanową układ ównań okeślających zbó 9 [Utkn a] zboze szukamy zatem wektoa Q któy jest ozwązanem zadana: mnhq/p 3 pzy waunkach: Q k Q Q n adomo że powyższy poblem optymalzacyjny ma dokładne jedno ozwązane Q e yazmy je za pomocą mnożnków Lagange a wyznaczymy ównana potzebne do oblczena tych mnożnków Nech αβγ oznaczają

9 36 mnożnk Lagange a odpowadające kolejnym ównanom Po pzyównanu do zea pochodnej cząstkowej funkcj Lagange a po Q otzymujemy ównane któe zapsujemy w postac wykładnczej: k n Qe P exp α exp β γ 3 3 Kozystając z 3 elmnujemy z 3 mnożnk α co powadz do ównana: k n P exp β γ Q e 3 35 j k j n j P exp β γ j Po podstawenu 35 do 333 otzymujemy układ ównań na mnożnk β γ manowce: k k n P exp β γ 36 P n k n exp β γ 37 Oblczene β γ na podstawe ównań wymaga zastosowana metod numeycznych Mnożnk te wyznaczymy w następnym punkce kozystając z twedzena o mnmalnej entop z własnośc wypłat osągalnych na ynku łączonym 5 Konsekwencje twedzena o chaakteystyce mnmalnej entop Z twedzena o chaakteystyce mnmalnej entop [Fttell s 3] wynka że w modelu jednookesowym o czteech stanach końcowych ozkład pawdopodobeństwa matyngałowego Q e mnmalzuje względną entopę wtedy tylko wtedy gdy stneją R c > spełnające układ ównań: Q cp exp 3 38 e Q e 39 Idąc śladem sugest ównoważnośc mnmalzacj entop beznakładowej maksymalzacj oczekwanej użytecznośc wykładnczej poszukamy optymalnego potfela pzypadku wykładnczej funkcj użytecznośc twedzene o ozkładze pawdopodobeństwa matyngałowego geneowanego pzez wypłatę maksymalzującą oczekwaną użyteczność majątku [Plska 5 s ] pozostaje pawdzwe gdy dzedzna jest zboem lczb zeczywstych potfel ma cenę ówną zeo

10 ycena entopowa na ynku łączonym 37 Hpotetyczny nwesto ma zeowy budżet funkcję użytecznośc: ux d gexpx x R gdze d R g > są dane Inwesto dzałający na ynku łączonym szuka potfela o składze χ R χ χ któy ma cenę ówną zeo czyl spełna ównane: χ R χ χ ypłata potfela w stane pzyjmuje po uwzględnenu postać: k n χ χ 3 Użyteczność wypłaty jest ówna: k n u d g exp χ χ 3 Inwesto szuka zatem potfela χ R χ χ spełnającego oaz ozwązującego zadane: maxp u gdze użyteczność wypłaty jest okeślona wzoem 3 Pzyównując do zea pochodne cząstkowe poχ po χ funkcj celu z zadana otzymujemy po zamane zmennych: χ β χ γ 5 ównana Po zamane 5 ównane ma postać: χ R β γ 6 ypłata optymalna geneuje wówczas ozkład pawdopodobeństwa matyngałowego okeślony za pomocą ównana [Plska 5 s ] któe zapsane pzy użycu zmennych 5 spowadza sę do: Q Q e 7 gdze Q e jest okeślone pzez 35 nosek Rozkład pawdopodobeństwa matyngałowego Q e mnmalzujący względną entopę na ynku łączonym jest ówny ozkładow pawdopodobeństwa matyngałowego geneowanemu pzez wypłatę potfela o składze 5 6 maksymalzującą oczekwaną użyteczność wykładnczą majątku Uwaga Zakładamy że β γ są oblczone na podstawe tedy wypłata występująca w jest wypłatą optymalną okeśloną za pomocą 5 6 tałą c możemy wyazć wzoem: j k j n j c exp β γ P exp β γ j Twedzene o chaakteystyce mnmalnej entop w połączenu z ezultatem punktu 3 może być zastosowane do analtycznego wyznaczena lośc akcj oblgacj welookesowych w potfelu optymalnym ypłata spełnająca ównana ma w stane watość ówną:

11 38 3 ln / P Q P Q H e e Jeżel Q e jest oblczone według metody pzedstawonej w punkce 3 to wypłata optymalna 8 jest znana tedy po podstawenu 5 8 do otzymujemy układ czteech ównań lnowych z dwema newadomym β γ: 3 n k γ β ypłata każdego potfela jest osągalna węc jako wypłata osągalna na ynku łączonym spełna ównane Ponadto cena wypłaty jest ówna zeo węc z ównana 7 otzymujemy: 3 q q q q Dodając zatem do obu ston ównana układu 9 ównane odejmując ównane 3 ównane otzymujemy tożsamość Podobne dodając do obu ston pomnożonych pzez q 3 ównana układu 9 ównane pomnożone pzez q q ównane pomnożone pzez q oaz uwzględnając zwązk otzymujemy tożsamość Ostateczne układ 9 spowadza sę do dwóch ównań: γ β γ β skąd otzymujemy: γ β nosek 5 Optymalny potfel zawea: [ β ] [ ] / akcj / γ oblgacj welookesowych oaz kwotę ówną β γ na konce bankowym Podsumowane Okazało sę że złożony poblem mnmalzacj względnej entop w pzypadku modelu łączonego [Utkn a] znaczne sę upaszcza zględna entopa jest taką funkcją jednej zmennej któej mnmum wyznacza sę ozwązując ównane pewszego lub dugego stopna tąd otzymuje sę optymalny ozkład pawdopodobeństwa matyngałowego wykozystywany we wzoze

12 ycena entopowa na ynku łączonym 39 ceny entopowej Ogólna waunkowa mnmalzacja względnej entop któa jest ównoważna maksymalzacj oczekwanej użytecznośc wykładnczej majątku powadz natomast do dość skomplkowanych ównań na mnożnk Lagange a ntepetowane jako nwestycje w akcje w oblgacje długotemnowe w potfelu optymalnym Na podstawe znanego wcześnej optymalnego ozkładu pawdopodobeństwa matyngałowego oaz twedzena Fttellego o chaakteystyce mnmalnej entop mnożnk Lagange a wyznacza sę z układu dwóch ównań lnowych Lteatua Cheubn U Lucano E Vecchato Copula Methods n Fnance J ley Chcheste Dana R-A Jeanblanc M 3 Fnancal Makets n Contnuous Tme pnge New Yok Fttell M The Mnmal Entopy Matngale Measue and the Valuaton Poblem n Incomplete Makets Mathematcal Fnance Vol Plska 5 powadzene do matematyk fnansowej NT aszawa tutze M 996 A mple Nonpaametc Appoach to Devatve ecuty Valuaton Jounal of Fnance Vol 5 Utkn J tatyczne may yzyka staty w skończonych modelach stuktuy temnowej Ofcyna ydawncza GH aszawa Utkn J a Łączene model o dwupunktowym ozkładze pawdopodobeństwa Konfeencja Metody w śle Utkn J b Metoda wyznaczana stateg uogólnonej osłony kwantylowej na skończonym ynku nezupełnym tuda Ekonomczne Zeszyty Naukowe ydzałowe UE w Katowcach n 7 ENTROPY PRICE IN THE JOINED MARKET MODEL ummay: The joned maket model [Utkn a] s an ncomplete one and has no abtage oppotuntes It contans the non-attanable payoffs hle the attanable payoff has one pce the set of pces of the non-attanable payoff s thee an open nteval Fst we analyse the attanablty of the payoffs n the joned maket The man am of ths pape s to detemne the entopy as a functon of the vaable and to fnd ts mnmum as a soluton of one o two degee equaton Usng ths soluton we detemne the optmal matngale pobablty dstbuton and we fomulate the entopy pce Moeove n case of the joned maket we consde the condtonal entopy mnmzaton and we obtan the elatons between the Lagange multples and the potfolo maxmzng expected exponental utlty of the payoff Applyng the mnmal entopy chaacteza-

13 ton of mnmal entopy [Fttell ] we detemne the optmal potfolo by solvng a lnea equatons system Keywods: elatve entopy joned maket