ZWIĄZEK FUNKCJI OMEGA Z DOMINACJĄ STOCHASTYCZNĄ

Transkrypt

1 Studia konomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwesytetu konomicznego w Katowicach ISSN N Infomatyka i konometia 2 wa Michalska Uniwesytet konomiczny w Katowicach Wydział Infomatyki i Komunikacji Kateda Badań Opeacyjnych ewa.michalska@ue.katowice.pl Renata Dudzińska-Bayła Uniwesytet konomiczny w Katowicach Wydział Infomatyki i Komunikacji Kateda Badań Opeacyjnych enata.dudzinska-bayła@ue.katowice.pl ZWIĄZK UNKCJI OMGA Z DOMINACJĄ STOCHASTCZNĄ Steszczenie: Dominacje stochastyczne są elacjami poządku częściowego w zbioze losowych waiantów decyzyjnych, podobnie jak elacja dominacji opata na zapoponowanej pzez Keatinga i Shadwicka w 22 oku funkcji omega, służącej ocenie i upoządkowaniu waiantów inwestycyjnych pod kątem ich efektywności. Celem atykułu jest zbadanie zgodności poządku względem dominacji stochastycznych i funkcji omega oaz pzedstawienie zależności między tymi kyteiami. Słowa kluczowe: dominacje stochastyczne, funkcja omega, efektywność. Wpowadzenie Konsekwencją stosowania óżnych kyteiów decyzyjnych w ocenie losowych waiantów decyzyjnych jest często ozbieżność wyboów. Wyboy zgodne z zasadami dominacji stochastycznych to wyboy acjonalne. W kyteium dominacji stochastycznej piewszego stopnia czyni się jedynie założenie, że decydent woli posiadać więcej niż mniej. W teoii użyteczności oznacza to, że funkcja użyteczności decydenta jest osnąca. Kyteium dominacji stochastycznej dugiego stopnia wyaża to, że decydent woli posiadać więcej niż mniej i ma awesję do yzyka, co w teoii użyteczności odpowiada sytuacji, gdy funkcja użyteczności decydenta jest osnąca i wklęsła [Kopańska-Bódka, 999]. Relacja dominacji opata na zapoponowanej pzez Keatinga i Shadwicka w 22 oku funkcji omega służy ocenie i poządkowaniu waiantów inwestycyjnych pod kątem ich efektywności. Relacja ta, podobnie jak elacje dominacji

2 Związek funkcji omega z dominacją stochastyczną 7 stochastycznej, jest elacją poządku częściowego. Celem atykułu jest zbadanie zgodności upoządkowań względem kyteiów dominacji stochastycznych piewszego i dugiego stopnia oaz funkcji omega. Wskazane zostaną także zależności pomiędzy tymi kyteiami.. unkcja omega Konstukcja funkcji omega umożliwia uwzględnienie pefeencji inwestoa wyażanych popzez watość pogową np. akceptowaną pzez decydenta stopę zwotu stanowiącą punkt efeencyjny, względem któego wyniki inwestycji są oceniane jako pożądane watości większe od watości pogowej oaz wyniki niepożądane watości mniejsze od watości pogowej [Keating i Shadwick, 22]. unkcja omega jest definiowana jako iloaz watości oczekiwanych zysków i oczekiwanych stat wyznaczanych względem watości : ma{, } ma{, } Dla zmiennej losowej ciągłej o dystybuancie i skończonej watości oczekiwanej, funkcja omega ma postać [Keating i Shadwick, 22]: I 2 I gdzie watości I 2 oaz I są polami powiezchni obszaów zaznaczonych na ys.. Rys.. Intepetacja geometyczna funkcji omega Źódło: Opacowanie własne. W liteatuze funkcja omega jest także pzedstawiana jako iloaz I /I 2.

3 72 wa Michalska, Renata Dudzińska-Bayła W szczególności dla zmiennej losowej skokowej pzyjmującej watości,, 2..., n z pawdopodobieństwami odpowiednio p, p, 2..., pn funkcja omega ma postać: i: i 3 p i: i < p Dla ustalonej watości funkcja omega jest okeślana mianem wskaźnika efektywności. Gdy ma on watość większą od, oznacza to, że w pzypadku ocenianej inwestycji zyski pzewyższają staty i wtedy inwestycja jest postzegana jako efektywna. i i i i 2. unkcja omega a dominacje stochastyczne Dominacje stochastyczne są obiektywnymi, niepaametycznymi zasadami wybou losowych waiantów decyzyjnych. Zasady dominacji stochastycznych piewszego SD i dugiego stopnia SSD fomułuje się w następujący sposób [Hanoch i Levy, 969]: zmienna losowa dominuje w sensie dominacji stochastycznych piewszego stopnia SD, co zapiszemy f SD wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego S zachodzi nieówność y oaz pzynajmniej dla jednej watości S zachodzi < y, zmienna losowa dominuje w sensie dominacji stochastycznych dugiego stopnia SSD, co zapiszemy f SD wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego S zachodzi nieówność oaz pzynajmniej dla jed- nej watości S zachodzi <, gdzie 2, 2. Symbolami i oznaczono dystybuanty zmiennych losowych odpowiednio i, a symbolem S R łączny zbió ealizacji i. omułując zasadę dominacji opatą na funkcji omega, powiemy, że zmienna losowa dominuje, co zapiszemy f wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego S zachodzi nieówność oaz pzynajmniej dla jednej watości S zachodzi >.

4 Związek funkcji omega z dominacją stochastyczną 73 Wzajemne zależności pomiędzy kyteiami SD, SSD i kyteium funkcji ilustuje diagam pzedstawiony na ys. 2. SD SSD Rys. 2. Zależności pomiędzy kyteiami decyzyjnymi SD, SSD i Źódło: Opacowanie własne. Związek pomiędzy dominacją stopnia piewszego i dugiego znajduje potwiedzenie w liteatuze [Levy, 992]. Pozostałe zależności fomułujemy w postaci następujących twiedzeń: Twiedzenie. Jeśli f SD, to f. Twiedzenie 2. Jeśli f SSD, to f. Dowód twiedzenia pzepowadzimy kozystając z własności, że dystybuanty i pzyjmują watości z pzedziału [, ] oaz z zależności wynikających z definicji dominacji stochastycznej stopnia piewszego. Jeśli f SD, to dla każdego S zachodzi nieówność oaz pzynajmniej dla jednej watości S zachodzi <. Pawdziwe są zatem następujące nieówności: oaz: z któych wynika nieówność: 4 5

5 74 wa Michalska, Renata Dudzińska-Bayła Lewa stona tej nieówności jest ówna, zaś pawa, zatem oaz pzynajmniej dla jednej watości S zachodzi >. W dowodzie twiedzenia 2 skozystamy z definicji dominacji stochastycznej stopnia dugiego. Jeśli f, to dla każdego S zachodzi nieówność: SSD oaz pzynajmniej dla jednej watości 6 S zachodzi: < 7 Z faktu, że f SSD, wynika też nieówność dotycząca watości oczekiwanych zmiennych losowych i [Levy, 992]: 8 Ponadto stosując wzó na całkowanie pzez części, otzymujemy następujące pzedstawienie watości oczekiwanych i dla dowolnego R: f + 9 f + pzekształcając dalej: + + Obliczając óżnicę i podstawiając zależności i, otzymujemy:

6 Związek funkcji omega z dominacją stochastyczną Na podstawie nieówności 6-8 ostatnia óżnica jest nieujemna, zatem oaz pzynajmniej dla jednej watości S zachodzi >, co oznacza, że f. Twiedzenia odwotne nie są pawdziwe, co potwiedza następujący pzykład. Pzykład: Rozważmy zmienne losowe oaz o ozkładach dysketnych odpowiednio: 5 4 P /2 /2 P /3 2/3 Dla zmiennej losowej funkcja ma postać: < < zaś dla zmiennej losowej otzymujemy: < <

7 76 wa Michalska, Renata Dudzińska-Bayła Analizując wykesy funkcji i pzedstawione na ys. 3 stwiedzamy, że zmienna losowa dominuje zmienną losową w sensie funkcji omega, tzn. f, ponieważ dla każdego R zachodzi nieówność. Rys. 3. Wykesy funkcji i Źódło: Opacowanie własne. Dystybuanta zmiennej losowej ma postać: 2 a dystybuanta zmiennej losowej to funkcja: 3 < < 5 5 < < 4 4 Rysunek 4 pzedstawia wykesy dystybuant i zmiennych losowych i. Rys. 4. Wykesy dystybuant zmiennych losowych i Źódło: Opacowanie własne.

8 Związek funkcji omega z dominacją stochastyczną 77 Zmienna losowa nie dominuje zmiennej losowej w sensie dominacji stochastycznej stopnia piewszego SD. Ponadto óżnice skumulowanych dystybuant zmiennych losowych i, gdzie: < < 5 5 < < 4 4 pzyjmują watości większe od zea lub mniejsze od zea ys. 5, co oznacza, że dla zmiennych losowych i nie zachodzi także dominacja stochastyczna stopnia dugiego SSD. Rys. 5. Wykes watości óżnic skumulowanych dystybuant zmiennych losowych i Źódło: Opacowanie własne. Upoządkowanie losowych waiantów decyzyjnych względem kyteium dominacji w sensie funkcji omega nie pociąga więc upoządkowania tychże elementów względem kyteiów dominacji stochastycznych piewszego czy dugiego stopnia.

9 78 wa Michalska, Renata Dudzińska-Bayła Podsumowanie unkcja omega znajduje paktyczne zastosowanie w analizach finansowych. Watość funkcji omega dla ustalonej watości pogowej inaczej wskaźnik omega jest miaą efektywności inwestycji, np. funduszy inwestycyjnych. Inną miaą stosowaną w poównywaniu waiantów decyzyjnych waiantów inwestycyjnych są dominacje stochastyczne uznawane za miaę obiektywną. Ustalenie zależności między tymi dwoma kyteiami ma istotne znaczenie dla paktyki. W atykule stwiedzono, że kyteium dominacji stochastycznej i dominacji w sensie funkcji omega nie są ównoważne. Relacja dominacji stochastycznej i elacja dominacji w sensie funkcji omega są elacjami poządku częściowego w zbioze losowych waiantów decyzyjnych. Zatem jedynie w sytuacji, gdy w danym zbioze wszystkie losowe waianty decyzyjne będą upoządkowane względem kyteium dominacji stochastycznej, otzymane poządki będą zgodne. W paktyce oznacza to możliwość stosowania dominacji stochastycznych do poządkowania waiantów inwestycyjnych ze względu na ich efektywność, niezależnie od pzyjętej watości pogowej. Liteatua Hanoch G., Levy H. 969, The fficiency Analysis of Choices Involving Risk, Review conomic Studies, 36. Keating C., Shadwick W. 22, A Univesal Pefomance Measue, Jounal of Pefomance Measuement, 6 3. Kopańska-Bódka D. 999, Optymalne decyzje inwestycyjne, Wydawnictwo Akademii konomicznej, Katowice. Levy H. 992, Stochastic Dominance and pected Utility: Suvey and Analysis, Management Science, 38. RLATIONSHIP BTWN OMGA UNCTION AND STOCHASTIC DOMINANC Summay: Stochastic dominance is a patial ode in the set of andom decision altenatives. Similaly, a patial ode is the elation based on omega function poposed in 22 by Keating and Shadwick, which is used as a pefomance measue fo the valuation and odeing of investment altenatives. The pupose of this aticle is to eamine the consistency between the odeing accoding to stochastic dominance and the odeing accoding to omega function. We also pesent elationships between these citeia. Keywods: stochastic dominance, omega function, pefomance measue.