Fizyka dla Informatyki Stosowanej

Transkrypt

1 Fzyka dla Infomatyk Stosowanej Jacek Golak Semest zmowy 08/09 Wykład n 9

2 Na popzednm wykładze zaczęlśmy zajmować sę elektostatyką. Do tej poy mówlśmy w zasadze o ładunkach w póżn! Najważnejsze elementy ostatnego wykładu to Własnośc ładunku elektycznego Pawo Coulomba Zasada supepozycj Defncja natężena pola elektycznego Wzoy na natężene pola elektycznego pochodzącego od układu ładunków punktowych cągłych ozkładów ładunku Pawo Gaussa

3 Pawo Gaussa: Stumeń natężena pola elektycznego pzez dowolną powezchnę zamknętą, obejmujący dowolny ozkład ładunku jest nezależny od kształtu tej powezchn zależy jedyne od welkośc ładunku położonego wewnątz powezchn. Uwaga: Pawo Gaussa jest zawsze spełnone, ale ne zawsze użyteczne! Aby z pawa Gaussa uzyskać nfomacje o wektoze natężena pola elektycznego, ozkład ładunku mus być odpowedno symetyczny.

4 Pawa Gaussa można wykozystać do znalezena natężena pola elektycznego pochodzącego od: jednoodne naładowanej powezchnowo neskończonej płaszczyzny, jednoodne naładowanego objętoścowo neskończene długego walca o pomenu R na zewnątz wewnątz walca, jednoodne naładowanej powezchnowo powezchn bocznej neskończonego walca o pomenu R na zewnątz wewnątz powezchn walca, jednoodne naładowanej lnowo neskończene długej postolnowej nc, jednoodne naładowanej objętoścowo kul o pomenu R na zewnątz wewnątz kul, jednoodne naładowanej powezchnowo sfey o pomenu R na zewnątz wewnątz sfey, ładunku punktowego gdyby pawo Gaussa było znane pzed pawem Coulomba

5 Pawa Gaussa ne można wykozystać na pzykład do polczena natężena pola elektycznego pochodzącego od jednoodne naładowanego sześcanu, bo ne stneje powezchna Gaussa, na któej spełnony byłby waunek ds const?

6 Wacamy do jednoodne naładowanej objętoścowo kul o pomenu R całkowtym ładunku Q. a Natężene pola elektycznego na zewnątz kul. Otaczamy kulę z ładunkem fkcyjną sfeą o pomenu > R śodku w śodku naładowanej kul. Z symet wynka, że w każdym punkce sfey o pomenu natężene pola elektycznego ma tę samą watość z jest skeowane wzdłuż pomena. Poneważ cały ładunek jest objęty sfeą o pomenu, z pawa Gaussa R dostajemy: ρ > 0 O P Φ S y ds kq 4 4 kq

7 b Natężene pola elektycznego wewnątz kul. Fkcyjna sfea ma teaz pomenu < R śodek w śodku naładowanej kul. Z symet wynka, że w każdym punkce sfey o pomenu natężene pola elektycznego ma tę samą watość jest skeowane wzdłuż pomena. Sfea o pomenu obejmuje tylko część ładunku kul: , R Q R kq k k ds Φ S R ρ O

8 W dalszej częśc wykładu pzydatny będze wzó na natężene pola elektycznego pochodzącego od jednoodne naładowanej powezchnowo neskończonej płaszczyzny. To, że płaszczyzna ozcąga sę we wszystkch keunkach można ną obacać wokół dowolnej os postopadłej do tej płaszczyzny, powadz do wnosku, że natężene pola elektycznego mus być postopadłe do powezchn. Dla dodatnej gęstośc powezchnowej σ > 0 wekto natężena pola elektycznego jest skeowany od płaszczyzny, a dla ujemnej gęstośc powezchnowej σ < 0 wekto natężena pola elektycznego jest skeowany do płaszczyzny. Jak wybać zamknętą powezchnę Gaussa dla tego poblemu? Bezemy dowolny ganastosłup o podstawach ównoległych do płaszczyzny w tak sposób, by płaszczyzna pzecnała go dokładne w połowe wysokośc!

9 Powezchna Gaussa składa sę z tzech częśc: dwóch podstaw ganastosłupa jego powezchn bocznej. Dlatego całkowty stumeń pzez powezchnę zamknętą jest sumą tzech składnków: 3 S Q S S S S d S 3 3 S S d ds S S 0 3 S S 0

10 Ładunek jest ozłożony tylko na płaszczyźne, węc powezchna Gaussa zawea w swom wnętzu ładunek Q= σ S. Kozystając z pawa Gaussa dostajemy: Φ S ds S k 4 k S SI Wynk jest zupełne nezależny od wysokośc ganastosłupa, węc natężene pola elektycznego byłoby po obu stonach płaszczyzny stałym wektoem postopadłym do płaszczyzny! O takm polu wektoowym mówmy, że jest jednoodne. Ten wynk dla neskończonej płaszczyzny jest użyteczny także w pzypadku, gdy jesteśmy blsko jednoodne naładowanej płaskej powezchn o skończonych ozmaach z dala od jej bzegów. kondensato płask 0

11 Twedzene Gaussa jedna z wesj ogólnego twedzena Stokesa Opócz pawa Gaussa stneje matematyczne twedzene, któe pozwala pzy pewnych założenach zastąpć lczene stumena pola wektoowego pzez powezchnę zamknętą całką objętoścową z dywegencj tego pola wektoowego po obszaze objętym powezchną: W ds dvw d S Co to jest dywegencja pola wektoowego?

12 Ne podaję defncj, a tylko zaps we współzędnych katezjańskch W W dv W, y, z, W, y, z, W, y, z W y W y y W z z z pole wektoowe: funkcja, któa jest wektoem zależy od zmennych, y z Dywegencja z pola wektoowego czyn funkcję skalaną, któa zależy od zmennych, y z., y, z wektoowy opeato óżnczkowy nabla dv W W zaps dywegencj w postac loczynu skalanego opeatoa nabla pola wektoowego

13 Pzykład : W, y, z dv W y y z z 3 Dywegencja jest taka sama w każdym punkce pzestzen Lne pola wektoowego W w płaszczyźne y uzyskane w pogame Mathematca pzy pomocy nstukcj SteamPlot

14 Pzykład : dv W W y, y, z y z 3 y y z dv W y 6 z 3 y Lne pola wektoowego W w płaszczyźne y uzyskane w pogame Mathematca pzy pomocy nstukcj SteamPlot

15 Teaz dla wektoa natężena pola elektycznego łączymy pawo Gaussa twedzene Gaussa: S S ds ds dv 4 k dv 4 k,, d y, z pawo Gaussa w postac óżnczkowej y, z d SI pawo Gaussa w postac całkowej, jeśl obsza Ω objęty pzez zamknętą powezchnę S zawea objętoścowy ozkład ładunku twedzene Gaussa, y, z 0 Mamy ówność całek, ale poneważ obsza Ω możemy uczynć dowolne małym, węc ówność mus zachodzć dla funkcj podcałkowych!

16 ' 4 ' 4 ' ' ' ' Q k k Q k Q dv dv Q k Cekawostka: Czy pawo Gaussa w postac óżnczkowej ma sens dla punktowych ładunków? Rozważmy pzypadek jednego ładunku Q, któy znajduje sę w punkce : tójwymaowa funkcja uogólnona dystybucja delta Daca Ten wynk ma sens: gęstość ładunku jest óżna od zea tylko w punkce, a całkowty ładunek wynos Q : Q d Q d R R 3 3 ' 3

17 Jake nne własnośc posada wekto natężene pola elektycznego? pzydadzą sę wadomośc z mechank Gdybyśmy mel jeden ładunek punktowy, to zachodzłoby: dowolny kontu zamknety d 0, gdyż własnośc matematyczne sły wynkającej z pawa powszechnego cążena sły kulombowskej są take same! Poneważ kontu jest dowolny, ne jest ważne, czy ładunek znajduje sę w początku układu. Ważna jest tylko swoboda wybou położena kontuu względem ładunku. Q d

18 Co sę dzeje, gdy pole pochodz od układu ładunków? dowolny kontu zamknety dowolny kontu zamknety Q 5 d Q 4 d dowolny kontu zamknety Q Q 3 Q dowolny kontu zamknety d... d d... 0, poneważ każda całka po zamknętym kontuze wynos zeo.

19 W takm aze znowu możemy skozystać z twedzena Stokesa, bo znkane całk po kontuze zachodz dla dowolne małego kontuu odpowadającej mu powezchn. 0 kontu zamknety d ot kontuze ozpeta powezchn na a ds ot otacja Rotacja natężena pola elektycznego od statycznego ozkładu ładunków wynos zeo! Pzypomnam, jak lczyć otację: 0 ot F F ˆ F yˆ y F y zˆ z F z zaps otacj we współzędnych katezjańskch

20 z y F F y F z F z F y F F F F z y z y F F y z y z z y ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ot Po ozpsanu na składowe Jake są konsekwencje znkana otacj, czyl bezwowośc natężena pola wektoowego? Istnene potencjału! gad

21 3 d k y z P d tójwymaowy obsza z ładunkem Ω O Dla ładunku ozłożonego w obszaze Ω z gęstoścą objętoścową ρ,y,z melśmy:

22 Dla funkcj występującej pod całką występuje następująca zależność: Łatwo to spawdzć, wedząc, że: oaz, na pzykład. 3 gad 3 z y 3

23 W takm aze wzó na natężene pola elektycznego możemy zapsać popzez gadent: d k gad. Funkcję skalaną: nazywamy potencjałem elektycznym. d k

24 Analogczne wyażena na potencjał uzyskamy dla cągłych powezchnowych lnowych ozkładów ładunku elektycznego oaz dla układu ładunków punktowych. W szczególnośc dla pojedynczego ładunku znajdującego sę w początku układu współzędnych: oaz kq 3 k Q C,, gdze zwykle pzyjmujemy C=0, by w neskończonośc potencjał był ówny zeo.

25 Dla N ładunków q, q,, q N ozmeszczonych w pzestzen, natężene pola elektycznego dane jest wzoem: Temu natężenu pola elektycznego odpowada potencjał dany wzoem: N q k 3 N q k

26 Równane Possona Laplace a Połączymy óżnczkowe pawo Gaussa: dv 4 k możlwość zapsana natężena pola elektycznego pzy pomocy potencjału: gad, by dostać ównane na potencjał, dv gad 4 k, zwane ównanem Possona.

27 Zaps pzy pomocy opeatoa nabla: gad dv We współzędnych katezjańskch z y z z y y

28 Opeato nos nazwę laplasjanu lub opeatoa Laplace a. badzo często stosowany zaps y z 4 k SI 0 ównane Possona W obszaze bez gęstośc ładunku ównane Possona pzechodz w ównane Laplace a: 0 ównane Laplace a:

29 Wemy, że natężene pola elektycznego można zapsać pzy pomocy potencjału elektycznego: gad Zwązek mędzy potencjałem elektycznym natężenem pola elektycznego można zapsać także w nnej, ównoważnej postac jako całkę po dowolnej dodze od OS wybanego punktu odnesena, zwykle neskończonośc do punktu P: P dl Ten wzó jest wygodny, gdy będzemy lczyć mnmalną bez nadawana eneg knetycznej pacę sł zewnętznych potzebną do pzenesena ładunku q w statycznym polu elektycznym wytwozonym pzez nne neuchome ładunk. OS

30 A B q dl dl q dl q dl q dl F W A OS B OS B A B A B A zew zew B A Q 5 Q 3 Q Q Q 4 d q A B

31 q W A B A B q W zew B A zew B A Mamy węc ważny zwązek mędzy pacą sł zewnętznych, a óżncą potencjałów: Różnca potencjałów mędzy punktam A B jest ówna pacy pzypadającej na jednostkę ładunku, konecznej do pzesunęca ładunku z punktu A do punktu B. Jeśl punkt odnesena OS wybezemy w neskończonośc, to paca potzebna, by ładunek pzesunąć z neskończonośc do jakegoś punktu P, jest ówna: co potaktujemy jako pzeps na enegę potencjalną, pot!, q q W pot zew P

32 nega układu ładunków punktowych q Chcemy zbudować układ ładunków punktowych, z zadanym odległoścam mędzy ładunkam. Polczymy pacę potzebną na utwozene takego układu, któy powstaje pzez kolejne dokładane ładunków. Na początek do pewszego ładunku pzesuwamy z neskończonośc dug ładunek. q j j W q k q odległość mędzy dwoma ładunkam

33 q q 3 3 q 3 Teaz do stnejącego układu dwóch ładunków dodajemy z neskończonośc tzec ładunek, wykonując pacę: W 3 q 3 k q 3 k q 3 Gdybyśmy do tak zbudowanego układu chcel dosunąć czwaty ładunek, to muselbyśmy wykonać pacę: W 34 q 4 k q 4 k q 4 k q 34 3 I tak dalej

34 Zatzymajmy sę pzy tzech ładunkach. nega takego układu to suma pac W + oaz W +3 3 q k q q 3 k q 3 k q 3 Powyższe wyażene możemy pzekształcć do ównoważnej postac: k kq kq kq kq kq kq q q q , gdze każdy nawas okągły podaje wyażene na potencjał wytwazany pzez dwa ładunk w mejscu, gdze znajduje sę tzec z ładunków.

35 3 q q q 3 3 Ten wynk można łatwo uogólnć dla układu N ładunków. Otzymamy wtedy: N... N q n n n Dlatego dla układu N ładunków, z któych każdy oddzałuje z N- ładunkam, ale ne oddzałuje ze swym własnym polem elektycznym, otzymujemy następujące wyażene na enegę:... N N N k qq j j j

36 Z defncj potencjału:... N q pzez odczuwany N N j j N N j j j N N j j j N N j j j N q q q k q q k q q q k

37 Dla dowolnego cągłego ozkładu ładunku d całka po obszaze, w któym znajduje sę ozkład ładunku Jeśl do popzednego wzou wpowadzmy wyażene na potencjał, to otzymamy całkę sześcokotną: ' k ' ' d d '

38 Możemy także w ównanu d wyazć gęstość ładunku z ównana Possona: d 4 k Kozystając z twedzeń analzy wektoowej dostajemy jeszcze nny wzó: 4 k 3 R d całka po obszaze, w któym ne znka natężene pola elektycznego: najbezpecznej całkować po całej pzestzen

39 Gęstość pzestzenna eneg lość eneg w jednostce objętośc pola elektycznego dana jest węc wzoem: 0 4 SI k w Uwaga: Ta ostatna postać wzou na enegę, jest wygodna na pzykład, gdy ozważamy falę elektomagnetyczną. W tym pzypadku stneje pole elektyczne bez ładunków elektycznych. Ne jest to oczywśce poblem elektostatyczny!, d SI d k R R

40 Dla jednego pzypadku pokażemy ównoważność óżnych sposobów lczena eneg elektostatycznej. Będze to jednoodne naładowana objętoścowo kula o pomenu R całkowtym ładunku Q. Q O ' dq' R dq

41

42

43 II sposób: Lczę enegę, kozystając z wzou na natężene pola elektycznego. Całka jest lczona osobno w dwóch obszaach! O Q R

44 III sposób: Buduję kulę z cenkch wastewek sfeycznych o pomenu gubośc d. nega własna takej wastewk jest zanedbywalna! dq q

45 Jak można zobazować pole wektoowe? Jednym ze sposobów gafcznego pzedstawena pola elektycznego jest wyysowane ln pola. Są to lne o tej własnośc, że wekto natężena pola elektycznego jest styczny do ln pola w każdym jej punkce. Im wększa gęstość ln, tym wększa watość natężena pola elektycznego. Lne pola dla ładunków pojedynczych.

46 Lne pola dla dwóch ładunków o pzecwnych znakach tej samej watośc bezwzględnej. Układ tak nazywamy dpolem elektycznym.

47 Lne pola dla dwóch takch samych ładunków dodatnch. Dla dwóch ównych ujemnych ładunków zwot wszystkch ln byłby pzecwny.

48 Lne pola dla dwóch ładunków pzecwnego znaku o neównej watośc bezwzględnej. Lewy ładunek jest dodatn, bo lne pola z nego wychodzą!

49 Opócz ln pola elektycznego wygodne jest używać także ln lub powezchn stałych watośc potencjału elektycznego, czyl ln lub powezchn ekwpotencjalnych, gdze spełnone jest ównane: Poneważ zachodz,y,z const gad węc lne pola elektycznego są postopadłe do ln lub powezchn ekwpotencjalnych. Podobna dyskusja była na wykładze pzy okazj sł zachowawczych. Najpostszy pzykład to lne pola lne stałego potencjału dla pojedynczego ładunku punktowego:.

50 Polecam notebook ze stony Wolfam Demonstatons Poject: lectcfeldlnesduetoacollectonofpontchages-autho.nb

51 Teaz do póżn wpowadzmy pzewodnk. Idealny pzewodnk to substancja, któa ma neskończony zapas swobodnych ładunków. Wele metal ma własnośc pawe dealnych pzewodnków. Taka posta defncja powadz do welu cekawych wnosków:. Wewnątz pzewodnka 0. Inteesuje nas sytuacja, któa zapanuje, gdy skończy sę pzepływ swobodnych ładunków pod wpływem pola zewnętznego. Ładunk swobodne ustawają sę w tak sposób, by w pzewodnku pole zewnętzne pole pzesunętych ładunków swobodnych dawało znkające pole wypadkowe

52 . Gęstość ładunku wewnątz pzewodnka jest ówna zeo. 0 dv 4 k Neskompensowany ładunek może znajdować sę tylko na powezchn pzewodnka. 4. Potencjał w pzewodnku jest stały B B A dl 0 A 5. W poblżu powezchn pzewodnka natężene pola elektycznego jest postopadłe do powezchn 0

53 6. Ładunek umeszczony na zewnątz nenaładowanego pzewodnka jest pzycągany pzez pzewodnk. q Co sę dzeje, jeśl w cele pzewodnka znajduje sę wnęka? We wnęce bez ładunków ne ma pola, a na ścankach wnęk ne występuje ładunek powezchnowy. kanowane!

54 8. Jeśl we wnęce w cele pzewodnka znajduje sę ładunek elektyczny, to pole w dalszym cągu ne występuje w samym pzewodnku, ale będze nezeowe we wnęce, a także na zewnątz pzewodnka q Cekawostka: Jeśl wewnątz nenaładowanego pzewodnka w kształce kul będze dowolna, neegulana wnęka, a w tej wnęce ładunek, to pole na zewnątz kul będze take, jakby pochodzło od ładunku punktowego znajdującego sę w śodku kul, nezależne od kształtu wnęk położena ładunku we wnęce!

55 9. Zastosujemy teaz pawo Gaussa do małego fagmentu powezchn pzewodnka z ładunkem elektycznym. Tuż pzy powezchn pzewodnka na zewnątz pzewodnka natężene pola elektycznego jest postopadłe do powezchn pzewodnka, a wewnątz pzewodnka 0. Zamknętą powezchnę Gaussa stanow teaz lokalny ganastosłup o podstawach postopadłych do powezchn pzewodnka. Teaz σ może być óżne w óżnych punktach powezchn. Φ ds S S 4 k S 4 k SI 0 =0 Q= ΔS ΔS ΔS Pole elektyczne w poblżu naładowanego pzewodnka ma najwększe natężene w mejscach o dużej gęstośc ładunku!

56 0. Ne jest łatwo wyznaczyć gęstość ładunku na powezchn pzewodnka. Wynk dla elpsody podano w ksążce: W. R. Smythe, Statc and dynamc electcty, Hemsphee, New Yok, 989 [Gffths]: gdze Q jest całkowtym ładunkem elpsody. W opacu o ten wzó można pokazać, że najwęcej ładunku gomadz sę na ostzach w ch poblżu natężene pola elektycznego jest najwększe., c z b y a, 4 / c z b y a abc Q

57 a : b : c : 3: 5 P : P : P3 : 3: 5 P a,0,0 P 0, b,0 P 3 0,0, c W poblżu tego punktu pole mus być najslnejsze obazk elpsody z Wkped

58 Kondensato Układ dwóch pzewodnków o pzecwnych ładunkach, +Q Q. Q Q Poneważ potencjał elektyczny jest stały dla każdego z pzewodnków, można jednoznaczne okeślć óżncę potencjałów mędzy nm: U Czynnk popocjonalnośc: C nazywamy pojemnoścą układu. Jednostką pojemnośc jest faad: Q U czyl kulomb pzez wolt. Pojemność zależy od geomet układu. Mówmy o kondensatoach płaskch, sfeycznych, cylndycznych,, dl F C,

59 Naładowany kondensato jest magazynem eneg elektostatycznej Jaką pacę należy wykonać, by naładować kondensato? Jest to paca zwązana z pzenoszenem ładunku, powedzmy ujemnego z okładk dodatnej na okładkę ujemną. Tzeba pokonywać odpychane ze stony już częścowo naładowanej okładk ujemnej! dq 0 q q dw U q dq q C dq W Q q dq C 0 Q C óżnca potencjałów pzy częścowym naładowanu kondensatoa do ładunku q

60 Kondensato płask to układ dwóch płaskch ównoległych do sebe pzewodnków tzw. okładek o tej samej powezchn S, odległych o d. Na pzewodnkach znajduje sę ładunek całkowty ±Q, ozłożony ównomene. Zanedbując efekty bzegowe, lczymy pole mędzy okładkam tak, jakby pochodzło od neskończonych płaszczyzn, wykozystując pawo Gaussa. Musmy teaz pamętać, że natężene pola elektycznego jest sumą natężena od okładk dodatnej okładk ujemnej! W obszaze poza okładkam te pola sę znoszą, zaś w obszaze mędzy okładkam natężene pola elektycznego jest w każdym punkce takm samym wektoem o długośc Gęstość powezchnowa ładunku wynos: Q S -Q +Q 4 k SI S 0 Q S d 0 Ê

61 Różnca potencjałów mędzy okładkam wynos: U 0 S C d dl d Q d S 0 Q C

62 Teaz ozważymy układ dwóch współśodkowych pzewodzących sfe naładowanych odpowedno ładunkam +Q Q, czyl kondensato kulsty Pole elektyczne w obszaze +Q -Q jest take, jakby pochodzło od punktowego ładunku znajdującego sę we wspólnym śodku obu sfe. Q k SI Q 4 Różncę potencjałów mędzy okładkam polczymy, wybeając tajektoę. wzdłuż pomena. 0

63 C C Q Q Q Q d Q d Q dl U

64 Nekedy ozważana jest pojemność pojedynczego pzewodnka. Oznacza to wtedy, że dug pzewodnk, z ujemnym ładunkem, jest wymagnowana sfea o neskończonym pomenu, otaczająca dany pzewodnk. Taka sfea ne daje wkładu do pola elektycznego. W pzypadku pzewodnka o kształce kul melbyśmy C kula lm Taktując Zemę jak pzewodzącą kulę o pomenu = 6400 km, dostalbyśmy C Zem 7 0 To pownno nam uzmysłowć, jak olbzymą pojemnoścą jest jeden faad! Pzewodząca kula o pojemnośc jednego faada małaby pomeń 6 F F m

65 Łączene kondensatoów Połączene ównoległe +Q -Q C +Q +Q 3 +Q 4 C C 3 C 4 -Q -Q 3 -Q 4 Jakm pojedynczym kondensatoem można zastąpć układ pokazany na ysunku? Pojemność takego zastępczego kondensatoa nazywamy pojemnoścą zastępczą. +Q -Q C Różnca potencjału U = jest taka sama na każdym kondensatoze.

66 Zastępczy kondensato też mus być podłączony do tej samej óżncy potencjałów. Całkowty ładunek na jego okładce mus być sumą ładunków na poszczególnych kondensatoach: Oznacza to, że pzy ównoległym łączenu kondensatoów pojemność zastępcza jest sumą pojemnośc poszczególnych kondensatoów! N N N C C C U UC UC Q

67 Połączene szeegowe C C C 3 C 4 +Q -Q +Q -Q +Q -Q +Q -Q U U U U 3 U 4 U +Q -Q C Ładunk na okładkach kondensatoów połączonych szeegowo są jednakowe. Ładunek Q mus być też ładunkem na okładce zastępczego kondensatoa. Całkowta óżnca potencjałów jest ówna sume óżnc potencjałów mędzy okładkam poszczególnych kondensatoów. U C Q C N N C U N Q C Q N C Odwotność pojemnośc zastępczej jest ówna sume odwotnośc poszczególnych pojemnośc.

68 Wacamy do ównań Possona Laplace a badzo często stosowany zaps opeatoa Laplace a 4 k SI y 0 z ównane Possona W obszaze bez gęstośc ładunku ównane Possona pzechodz w ównane Laplace a: 0

69 Po co nam te ównana, skoo natężene pola elektycznego lub potencjał elektyczny możemy lczyć z zasady supepozycj, znając ozkład ładunku? Odpowedź: Bo musmy sobe adzć z pzewodnkam. W zagadnenach zwązanych z pzewodnkam ozkład gęstośc ładunku często ne jest znany z góy! Pzewodnk są obszaam stałego potencjału, węc wygodnej jest używać ównań cząstkowych z okeślonym waunkam bzegowym. Z baku czasu podam tylko jeden posty pzypadek tzw. twedzena o jednoznacznośc analtyczne ozwązane ównana Laplace a w dwóch wymaach. Równana Possona Laplace a są ozwązywane pzy użycu badzo wyafnowanych nazędz matematycznych np. z użycem własnośc funkcj zmennej zespolonej, szeegów Fouea, funkcj specjalnych óżnoodnych metod numeycznych poczynając od postych teacj, popzez skomplkowane metody elaksacyjne td.

70 W obszaze Ω szukamy funkcj,y,z spełnającej ównane Laplace a Twedzene: Rozwązane ównana Laplace a w pewnym obszaze Ω jest okeślone jednoznaczne, jeśl podana jest watość funkcj na powezchn S będącej bzegem obszau Ω. Funkcja,y,z została zadana na powezchn S

71 Zacznemy od pzykładu podstawowego dla metody obazów Ładunek w poblżu neskończonego płaskego pzewodzącego obszau o potencjale =0. Q? 0 Aby znaleźć natężene pola elektycznego ponad płaszczyzną, zauważamy, że waunek zeowana sę potencjału na płaskej powezchn uzemonego pzewodnka można uzyskać pzez wpowadzene ładunku Q, położonego symetyczne względem powezchn pzewodnka, czyl jakby obazu zwecadlanego dla ładunku +Q.

72 Teaz sytuacja wygląda dużo poścej, bo można lczyć natężene pola elektycznego dodając natężena pochodzące od dwóch ładunków. Oczywśce można też sumować potencjały pochodzące od dwóch ładunków. Q Q 0

73 Pzykład analtyczny podamy dla obszau Ω w postac postokąta. Waunk bzegowe są następujące: na ponowych bokach potencjał wynos zeo. Na dolnym boku opsany jest funkcją ψ, a na gónym funkcją ψ. 0 y b? 0 0 O a

74 Szeeg Fouea! w paktyce suma do n ma, y n [ A n snh n b a y B n snh n y a ], A n n b a snh a a 0 sn n a d, B n n b a snh a a 0 sn n a d

75 Watośc lczbowe a b a 3 a

76 Spawdzene zbeżnośc : Watość bezwzględna óżncy wynków dla n ma =6 n ma =7 Polecam notebook:

77 f f f f f f f f f f f f f ' ' ' Ten ostatn wzó jest poza satką, ale może służyć jako punkt wyjśca dla dugej pochodnej Najpostszy schemat numeyczny Zaczynamy od apoksymacj pochodnych funkcj jednej zmennej na satce o stałym koku

78 Teaz pzechodzmy do funkcj dwóch zmennych opeatoa Laplace a w dwóch wymaach, na płaszczyźne, y y

79 ,,,, 4, 0,,,,,,,, j j j j j j j j j j j j y y y y y y y y y y y y y y Watość w danym punkce jest śedną aytmetyczną watośc w sąsednch punktach satk! W ten sposób dostajemy posty schemat teacyjny.

80 Schemat teacyjny w metodze Jacobego: nowy 4, y, y, y j stay stay, y, y j j stay stay j j Iteujemy, dopók funkcja pzestaje sę zmenać w sposób znaczący w zadanych punktach satk. Uwaga: w kolejnych teacjach watośc w punktach na bzegu obszau Ω, są zawsze zgodne z waunkam bzegowym. Zmane ulegają tylko watośc wewnątz obszau Ω, gdze szukamy.

81 Pzykład: Wyspy nezeowego potencjału w płaskm obszaze postokątnym. Na bzegach postokąta potencjał wynos zeo.

82