Symetrie i prawa zachowania Wykład 6
|
|
- Patrycja Michałowska
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Symetrie i prawa zachowania Wykład 6 Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 1/29
2 Rola symetrii Największym problem przy badaniu układów mechanicznych nie jest napisanie równań ruchu, ale ich scałkowanie. Wielkości zachowane występujące w danym układzie pozwalają ograniczyć liczbę niezbędnych całkowań i dostarczają istotnych informacji na temat samego układu. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 2/29
3 Rola symetrii Największym problem przy badaniu układów mechanicznych nie jest napisanie równań ruchu, ale ich scałkowanie. Wielkości zachowane występujące w danym układzie pozwalają ograniczyć liczbę niezbędnych całkowań i dostarczają istotnych informacji na temat samego układu. Np. prawo zachowania energii mówi nam, jaka będzie prędkość wahadła przy przejściu przez najniższy punkt. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 2/29
4 Rola symetrii Największym problem przy badaniu układów mechanicznych nie jest napisanie równań ruchu, ale ich scałkowanie. Wielkości zachowane występujące w danym układzie pozwalają ograniczyć liczbę niezbędnych całkowań i dostarczają istotnych informacji na temat samego układu. Np. prawo zachowania energii mówi nam, jaka będzie prędkość wahadła przy przejściu przez najniższy punkt. Postaramy się znaleźć wzajemny związek pomiędzy wielkościami zachowanymi a symetriami układu fizycznego. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 2/29
5 Rola symetrii Największym problem przy badaniu układów mechanicznych nie jest napisanie równań ruchu, ale ich scałkowanie. Wielkości zachowane występujące w danym układzie pozwalają ograniczyć liczbę niezbędnych całkowań i dostarczają istotnych informacji na temat samego układu. Np. prawo zachowania energii mówi nam, jaka będzie prędkość wahadła przy przejściu przez najniższy punkt. Postaramy się znaleźć wzajemny związek pomiędzy wielkościami zachowanymi a symetriami układu fizycznego. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 2/29
6 Pędy uogólnione Zaczniemy od definicji pędu uogólnionego sprzężonego do współrzędnejq j p j L q j, j =1,2,...,n. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 3/29
7 Pędy uogólnione Zaczniemy od definicji pędu uogólnionego sprzężonego do współrzędnejq j p j L q j, j =1,2,...,n. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 3/29
8 Pędy uogólnione Zaczniemy od definicji pędu uogólnionego sprzężonego do współrzędnejq j p j L q j, j =1,2,...,n. Przykład 1: Znajdźmy pęd uogólniony sprzężony do współrzędnej kartezjańskiejx j swobodnegopunktumaterialnegoporuszającego się w przestrzeni trójwymiarowej. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 3/29
9 Pędy uogólnione Zaczniemy od definicji pędu uogólnionego sprzężonego do współrzędnejq j p j L q j, j =1,2,...,n. Przykład 1: Znajdźmy pęd uogólniony sprzężony do współrzędnej kartezjańskiejx j swobodnegopunktumaterialnegoporuszającego się w przestrzeni trójwymiarowej. Funkcja Lagrange a ma postać L = 1 2 m v2 = 1 ) (ẋ 2 m 1 2 +ẋ2 2 +ẋ3 2 = 1 2 mẋ iẋ i. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 3/29
10 Pędy uogólnione Zaczniemy od definicji pędu uogólnionego sprzężonego do współrzędnejq j p j L q j, j =1,2,...,n. Przykład 1: Znajdźmy pęd uogólniony sprzężony do współrzędnej kartezjańskiejx j swobodnegopunktumaterialnegoporuszającego się w przestrzeni trójwymiarowej. Funkcja Lagrange a ma postać L = 1 2 m v2 = 1 ) (ẋ 2 m 1 2 +ẋ2 2 +ẋ3 2 = 1 2 mẋ iẋ i. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 3/29
11 Pędy uogólnione Pęduogólnionysprzężonydox j p j = L ẋ j = 1 2 m2ẋ i ẋ i ẋ j =mẋ i δ ij =mẋ j, j =1,2,3, jestj-tąskładowązwykłegopędu p =m v. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/29
12 Pędy uogólnione Pęduogólnionysprzężonydox j p j = L ẋ j = 1 2 m2ẋ i ẋ i ẋ j =mẋ i δ ij =mẋ j, j =1,2,3, jestj-tąskładowązwykłegopędu p =m v. Przykład 2: Znajdźmy pęd uogólniony sprzężony do kąta wychylenia ϕ wahadła matematycznego. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/29
13 Pędy uogólnione Pęduogólnionysprzężonydox j p j = L ẋ j = 1 2 m2ẋ i ẋ i ẋ j =mẋ i δ ij =mẋ j, j =1,2,3, jestj-tąskładowązwykłegopędu p =m v. Przykład 2: Znajdźmy pęd uogólniony sprzężony do kąta wychylenia ϕ wahadła matematycznego. y x Funkcja Lagrange a ma postać ϕ l L =T V = 1 2 m (ẋ 2 +ẏ 2) mgh. h m Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/29
14 Pędy uogólnione Pęduogólnionysprzężonydox j p j = L ẋ j = 1 2 m2ẋ i ẋ i ẋ j =mẋ i δ ij =mẋ j, j =1,2,3, jestj-tąskładowązwykłegopędu p =m v. Przykład 2: Znajdźmy pęd uogólniony sprzężony do kąta wychylenia ϕ wahadła matematycznego. y x Funkcja Lagrange a ma postać ϕ l L =T V = 1 2 m (ẋ 2 +ẏ 2) mgh. h m { x =lsinϕ y = lcosϕ {ẋ =l ϕcosϕ ẏ =l ϕsinϕ Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/29
15 Pędy uogólnione Pęduogólnionysprzężonydox j p j = L ẋ j = 1 2 m2ẋ i ẋ i ẋ j =mẋ i δ ij =mẋ j, j =1,2,3, jestj-tąskładowązwykłegopędu p =m v. Przykład 2: Znajdźmy pęd uogólniony sprzężony do kąta wychylenia ϕ wahadła matematycznego. y x Funkcja Lagrange a ma postać ϕ l L =T V = 1 2 m (ẋ 2 +ẏ 2) mgh. h m { x =lsinϕ y = lcosϕ {ẋ =l ϕcosϕ ẏ =l ϕsinϕ Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 4/29
16 Pędy uogólnione Przepiszmy funkcję Lagrange a uwzględniając podane równania transformacyjneiwstawiająch =l lcosϕ L = 1 2 m (ẋ 2 +ẏ 2) mgh = 1 ) (l 2 m 2 ϕ 2 cos 2 ϕ+l 2 ϕ 2 sin 2 ϕ mg (l lcosϕ). Stały wyraz mgl w funkcji Lagrange a jest nieistotny, gdyż zarówno definicja pędu jaki i równania ruchu zawierają tylko pochodne L, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 5/29
17 Pędy uogólnione Przepiszmy funkcję Lagrange a uwzględniając podane równania transformacyjneiwstawiająch =l lcosϕ L = 1 2 m (ẋ 2 +ẏ 2) mgh = 1 ) (l 2 m 2 ϕ 2 cos 2 ϕ+l 2 ϕ 2 sin 2 ϕ mg (l lcosϕ). Stały wyraz mgl w funkcji Lagrange a jest nieistotny, gdyż zarówno definicja pędu jaki i równania ruchu zawierają tylko pochodne L, dlatego możemy go pominąć Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 5/29
18 Pędy uogólnione Przepiszmy funkcję Lagrange a uwzględniając podane równania transformacyjneiwstawiająch =l lcosϕ L = 1 2 m (ẋ 2 +ẏ 2) mgh = 1 ) (l 2 m 2 ϕ 2 cos 2 ϕ+l 2 ϕ 2 sin 2 ϕ mg (l lcosϕ). Stały wyraz mgl w funkcji Lagrange a jest nieistotny, gdyż zarówno definicja pędu jaki i równania ruchu zawierają tylko pochodne L, dlatego możemy go pominąć i po skorzystaniu z jedynki trygonometrycznej rozpatrywać funkcję Lagrange a postaci L = 1 2 ml2 ϕ 2 +mglcosϕ. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 5/29
19 Pędy uogólnione Przepiszmy funkcję Lagrange a uwzględniając podane równania transformacyjneiwstawiająch =l lcosϕ L = 1 2 m (ẋ 2 +ẏ 2) mgh = 1 ) (l 2 m 2 ϕ 2 cos 2 ϕ+l 2 ϕ 2 sin 2 ϕ mg (l lcosϕ). Stały wyraz mgl w funkcji Lagrange a jest nieistotny, gdyż zarówno definicja pędu jaki i równania ruchu zawierają tylko pochodne L, dlatego możemy go pominąć i po skorzystaniu z jedynki trygonometrycznej rozpatrywać funkcję Lagrange a postaci L = 1 2 ml2 ϕ 2 +mglcosϕ. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 5/29
20 Pędy uogólnione Obliczmy pęd uogólniony sprzężony do ϕ p ϕ = L ϕ = ( 1 ϕ 2 ml2 ϕ +mglcosϕ) 2 = 1 2 ml2 2 ϕ =l ml ϕ =l mv ϕ, gdzie w ostatniej równości uwględniliśmy związek pomiędzy prędkością kątową ϕ i prędkością liniową w kierunku kąta ϕ, v ϕ =l ϕ. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 6/29
21 Pędy uogólnione Obliczmy pęd uogólniony sprzężony do ϕ p ϕ = L ϕ = ( 1 ϕ 2 ml2 ϕ +mglcosϕ) 2 = 1 2 ml2 2 ϕ =l ml ϕ =l mv ϕ, gdzie w ostatniej równości uwględniliśmy związek pomiędzy prędkością kątową ϕ i prędkością liniową w kierunku kąta ϕ, v ϕ =l ϕ. Widzimy, że pęd uogólniony sprzężony do kąta ϕ jest momentem pędu wahadła względem punktu zawieszenia nici. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 6/29
22 Pędy uogólnione Obliczmy pęd uogólniony sprzężony do ϕ p ϕ = L ϕ = ( 1 ϕ 2 ml2 ϕ +mglcosϕ) 2 = 1 2 ml2 2 ϕ =l ml ϕ =l mv ϕ, gdzie w ostatniej równości uwględniliśmy związek pomiędzy prędkością kątową ϕ i prędkością liniową w kierunku kąta ϕ, v ϕ =l ϕ. Widzimy, że pęd uogólniony sprzężony do kąta ϕ jest momentem pędu wahadła względem punktu zawieszenia nici. Nadal jest on jednak wielkością czysto mechaniczną. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 6/29
23 Pędy uogólnione Obliczmy pęd uogólniony sprzężony do ϕ p ϕ = L ϕ = ( 1 ϕ 2 ml2 ϕ +mglcosϕ) 2 = 1 2 ml2 2 ϕ =l ml ϕ =l mv ϕ, gdzie w ostatniej równości uwględniliśmy związek pomiędzy prędkością kątową ϕ i prędkością liniową w kierunku kąta ϕ, v ϕ =l ϕ. Widzimy, że pęd uogólniony sprzężony do kąta ϕ jest momentem pędu wahadła względem punktu zawieszenia nici. Nadal jest on jednak wielkością czysto mechaniczną. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 6/29
24 Pędy uogólnione Inaczej będzie w przypadku, gdy fukcja Larange a L zawiera potencjał uogólniony zależny od prędkości, co ilustruje kolejny przykład. Przykład 3: Znajdźmy pęd uogólniony sprzężony do kartezjańskiej współrzędnejx j wektorapołożeniacząstkiomasiemiładunku elektrycznym q znajdującej się w polu elektromagnetycznym o potencjaleskalarnymϕ( r,t)ipotencjalewektorowym A( r,t). Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 7/29
25 Pędy uogólnione Inaczej będzie w przypadku, gdy fukcja Larange a L zawiera potencjał uogólniony zależny od prędkości, co ilustruje kolejny przykład. Przykład 3: Znajdźmy pęd uogólniony sprzężony do kartezjańskiej współrzędnejx j wektorapołożeniacząstkiomasiemiładunku elektrycznym q znajdującej się w polu elektromagnetycznym o potencjaleskalarnymϕ( r,t)ipotencjalewektorowym A( r,t). Jak pokazaliśmy wcześniej(wykład 5) potencjał uogólniony ma w tym przypadku postać ( V ( r, v,t) =q ϕ( r,t) A( r,t) v ). Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 7/29
26 Pędy uogólnione Inaczej będzie w przypadku, gdy fukcja Larange a L zawiera potencjał uogólniony zależny od prędkości, co ilustruje kolejny przykład. Przykład 3: Znajdźmy pęd uogólniony sprzężony do kartezjańskiej współrzędnejx j wektorapołożeniacząstkiomasiemiładunku elektrycznym q znajdującej się w polu elektromagnetycznym o potencjaleskalarnymϕ( r,t)ipotencjalewektorowym A( r,t). Jak pokazaliśmy wcześniej(wykład 5) potencjał uogólniony ma w tym przypadku postać ( V ( r, v,t) =q ϕ( r,t) A( r,t) v ). Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 7/29
27 Pędy uogólnione Funkcja Lagrange a ma postać L =T V = 1 2 mẋ iẋ i q(ϕ A i ẋ i ). Obliczmypęduogólnionysprzężonydox j,j =1,2,3, p j = L = 1 ẋ j 2 m2ẋ ẋ i ẋ i i +qa i =mẋ i δ ij +qa i δ ij =mẋ j +qa j, ẋ j ẋ j Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 8/29
28 Pędy uogólnione Funkcja Lagrange a ma postać L =T V = 1 2 mẋ iẋ i q(ϕ A i ẋ i ). Obliczmypęduogólnionysprzężonydox j,j =1,2,3, p j = L = 1 ẋ j 2 m2ẋ ẋ i ẋ i i +qa i =mẋ i δ ij +qa i δ ij =mẋ j +qa j, ẋ j ẋ j co możemy zapisać wektorowo p =m v +qa. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 8/29
29 Pędy uogólnione Funkcja Lagrange a ma postać L =T V = 1 2 mẋ iẋ i q(ϕ A i ẋ i ). Obliczmypęduogólnionysprzężonydox j,j =1,2,3, p j = L = 1 ẋ j 2 m2ẋ ẋ i ẋ i i +qa i =mẋ i δ ij +qa i δ ij =mẋ j +qa j, ẋ j ẋ j co możemy zapisać wektorowo p =m v +q A. Oprócz części mechanicznej, mamy tu składnik związany z potencjałem wektorowym pola elektromagnetycznego. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 8/29
30 Pędy uogólnione Funkcja Lagrange a ma postać L =T V = 1 2 mẋ iẋ i q(ϕ A i ẋ i ). Obliczmypęduogólnionysprzężonydox j,j =1,2,3, p j = L = 1 ẋ j 2 m2ẋ ẋ i ẋ i i +qa i =mẋ i δ ij +qa i δ ij =mẋ j +qa j, ẋ j ẋ j co możemy zapisać wektorowo p =m v +q A. Oprócz części mechanicznej, mamy tu składnik związany z potencjałem wektorowym pola elektromagnetycznego. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 8/29
31 Współrzędne cykliczne JeślifunkcjaLagrange azależytylkoodprędkości q j,aniezależy ododpowiedniejwspółrzędnejuogólnionejq j,totakąwspółrzędną nazywamy współrzędną cykliczną. Dla współrzędnej cyklicznej z definicji zachodzi L q j =0, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 9/29
32 Współrzędne cykliczne JeślifunkcjaLagrange azależytylkoodprędkości q j,aniezależy ododpowiedniejwspółrzędnejuogólnionejq j,totakąwspółrzędną nazywamy współrzędną cykliczną. Dla współrzędnej cyklicznej z definicji zachodzi L q j =0, a po skorzystaniu z odpowiedniego równania Lagrange a II rodzaju otrzymamy d dt L q j }{{} p j L =0 dp j q j dt =0 p j =const. }{{} 0 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 9/29
33 Współrzędne cykliczne JeślifunkcjaLagrange azależytylkoodprędkości q j,aniezależy ododpowiedniejwspółrzędnejuogólnionejq j,totakąwspółrzędną nazywamy współrzędną cykliczną. Dla współrzędnej cyklicznej z definicji zachodzi L q j =0, a po skorzystaniu z odpowiedniego równania Lagrange a II rodzaju otrzymamy d dt L q j }{{} p j L =0 dp j q j dt =0 p j =const. }{{} 0 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 9/29
34 Współrzędne cykliczne Widzimy, że pęd uogólniony sprzężony do współrzędnej cyklicznej jest zachowany. Postarajmy się powiązać ten fakt z pewną symetrią układu fizycznego opisywanego funkcją Lagrange a L. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 10/29
35 Współrzędne cykliczne Widzimy, że pęd uogólniony sprzężony do współrzędnej cyklicznej jest zachowany. Postarajmy się powiązać ten fakt z pewną symetrią układu fizycznego opisywanego funkcją Lagrange a L. JeślifunkcjaLagrange aniezależyodwspółrzędnejuogólnionejq j, to możemy dokonać dowolnego przesunięcia(translacji) tej współrzędnejostałąwielkośća j q j q j =q j +a j q j = q j Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 10/29
36 Współrzędne cykliczne Widzimy, że pęd uogólniony sprzężony do współrzędnej cyklicznej jest zachowany. Postarajmy się powiązać ten fakt z pewną symetrią układu fizycznego opisywanego funkcją Lagrange a L. JeślifunkcjaLagrange aniezależyodwspółrzędnejuogólnionejq j, to możemy dokonać dowolnego przesunięcia(translacji) tej współrzędnejostałąwielkośća j q j q j =q j +a j q j = q j i funkcja Lagrange a po transformacji będzie miała dokładnie taką samą postać, jak przed transformacją. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 10/29
37 Współrzędne cykliczne Widzimy, że pęd uogólniony sprzężony do współrzędnej cyklicznej jest zachowany. Postarajmy się powiązać ten fakt z pewną symetrią układu fizycznego opisywanego funkcją Lagrange a L. JeślifunkcjaLagrange aniezależyodwspółrzędnejuogólnionejq j, to możemy dokonać dowolnego przesunięcia(translacji) tej współrzędnejostałąwielkośća j q j q j =q j +a j q j = q j i funkcja Lagrange a po transformacji będzie miała dokładnie taką samą postać, jak przed transformacją. Mówimy, że układ ma symetrię translacyjną ze względu na współrzędnąq j. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 10/29
38 Współrzędne cykliczne Widzimy, że pęd uogólniony sprzężony do współrzędnej cyklicznej jest zachowany. Postarajmy się powiązać ten fakt z pewną symetrią układu fizycznego opisywanego funkcją Lagrange a L. JeślifunkcjaLagrange aniezależyodwspółrzędnejuogólnionejq j, to możemy dokonać dowolnego przesunięcia(translacji) tej współrzędnejostałąwielkośća j q j q j =q j +a j q j = q j i funkcja Lagrange a po transformacji będzie miała dokładnie taką samą postać, jak przed transformacją. Mówimy, że układ ma symetrię translacyjną ze względu na współrzędnąq j. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 10/29
39 Współrzędne cykliczne Widzimy, że prawo zachowania pędu w pewnym kierunku możemy dość prosto powiązać z symetrią układu fizycznego ze względu na translacje w tym samym kierunku. Podobnie, niezmienniczość obrotowa układu fizycznego względem pewnej osi symetrii, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 11/29
40 Współrzędne cykliczne Widzimy, że prawo zachowania pędu w pewnym kierunku możemy dość prosto powiązać z symetrią układu fizycznego ze względu na translacje w tym samym kierunku. Podobnie, niezmienniczość obrotowa układu fizycznego względem pewnej osi symetrii, która wiąże się z niezmienniczością względem przesunięć kąta obrotu, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 11/29
41 Współrzędne cykliczne Widzimy, że prawo zachowania pędu w pewnym kierunku możemy dość prosto powiązać z symetrią układu fizycznego ze względu na translacje w tym samym kierunku. Podobnie, niezmienniczość obrotowa układu fizycznego względem pewnej osi symetrii, która wiąże się z niezmienniczością względem przesunięć kąta obrotu, prowadzi do zachowania odpowiedniej składowej momentu pędu. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 11/29
42 Współrzędne cykliczne Widzimy, że prawo zachowania pędu w pewnym kierunku możemy dość prosto powiązać z symetrią układu fizycznego ze względu na translacje w tym samym kierunku. Podobnie, niezmienniczość obrotowa układu fizycznego względem pewnej osi symetrii, która wiąże się z niezmienniczością względem przesunięć kąta obrotu, prowadzi do zachowania odpowiedniej składowej momentu pędu. Ilustruje to następujący, rozpatrywany już wcześniej, przykład. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 11/29
43 Współrzędne cykliczne Widzimy, że prawo zachowania pędu w pewnym kierunku możemy dość prosto powiązać z symetrią układu fizycznego ze względu na translacje w tym samym kierunku. Podobnie, niezmienniczość obrotowa układu fizycznego względem pewnej osi symetrii, która wiąże się z niezmienniczością względem przesunięć kąta obrotu, prowadzi do zachowania odpowiedniej składowej momentu pędu. Ilustruje to następujący, rozpatrywany już wcześniej, przykład. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 11/29
44 Współrzędne cykliczne Przykład4:Punktmaterialnyomasiemporuszasiępo wewnętrznej powierzchni stożka o kącie półrozwartości α. z g α m Funkcja Lagrange a we współrzędnych cylindrycznych ma postać ϕ r y L = 1 2 m [(1+ctgα)ṙ 2 +r 2 ϕ 2] mgrctgα x Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 12/29
45 Współrzędne cykliczne Przykład4:Punktmaterialnyomasiemporuszasiępo wewnętrznej powierzchni stożka o kącie półrozwartości α. z g α m Funkcja Lagrange a we współrzędnych cylindrycznych ma postać ϕ r y L = 1 2 m [(1+ctgα)ṙ 2 +r 2 ϕ 2] mgrctgα x Widzimy, że ϕ jest współrzędną cykliczną. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 12/29
46 Współrzędne cykliczne Przykład4:Punktmaterialnyomasiemporuszasiępo wewnętrznej powierzchni stożka o kącie półrozwartości α. z g α m Funkcja Lagrange a we współrzędnych cylindrycznych ma postać ϕ r y L = 1 2 m [(1+ctgα)ṙ 2 +r 2 ϕ 2] mgrctgα x Widzimy, że ϕ jest współrzędną cykliczną. W takim razie p ϕ = L ϕ =mr2 ϕ =const, ale p ϕ =r mr ϕ }{{} v ϕ =L z =const. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 12/29
47 Współrzędne cykliczne Przykład4:Punktmaterialnyomasiemporuszasiępo wewnętrznej powierzchni stożka o kącie półrozwartości α. z g α m Funkcja Lagrange a we współrzędnych cylindrycznych ma postać ϕ r y L = 1 2 m [(1+ctgα)ṙ 2 +r 2 ϕ 2] mgrctgα x Widzimy, że ϕ jest współrzędną cykliczną. W takim razie p ϕ = L ϕ =mr2 ϕ =const, ale p ϕ =r mr ϕ }{{} v ϕ =L z =const. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 12/29
48 Współrzędne cykliczne Dzięki odpowiedniemu wyborowi układu współrzędnych, niezmienniczość obrotowa rozpatrywanego układu fizycznego względem osi Oz została sprowadzona do niezmienniczości ze względu na przesunięcia kąta ϕ, a równanie Lagrange a d L dt ϕ L ϕ =0, które jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 13/29
49 Współrzędne cykliczne Dzięki odpowiedniemu wyborowi układu współrzędnych, niezmienniczość obrotowa rozpatrywanego układu fizycznego względem osi Oz została sprowadzona do niezmienniczości ze względu na przesunięcia kąta ϕ, a równanie Lagrange a d L dt ϕ L ϕ =0, które jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu, zostało sprowadzone do równania różniczkowego pierwszego rzędu p ϕ =mr 2 ϕ ϕ = p ϕ mr 2. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 13/29
50 Współrzędne cykliczne Dzięki odpowiedniemu wyborowi układu współrzędnych, niezmienniczość obrotowa rozpatrywanego układu fizycznego względem osi Oz została sprowadzona do niezmienniczości ze względu na przesunięcia kąta ϕ, a równanie Lagrange a d L dt ϕ L ϕ =0, które jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu, zostało sprowadzone do równania różniczkowego pierwszego rzędu p ϕ =mr 2 ϕ ϕ = p ϕ mr 2. Tym samym liczba całkowań niezbędnych do rozwiązania równania ruchu została zredukowana o jeden. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 13/29
51 Współrzędne cykliczne Dzięki odpowiedniemu wyborowi układu współrzędnych, niezmienniczość obrotowa rozpatrywanego układu fizycznego względem osi Oz została sprowadzona do niezmienniczości ze względu na przesunięcia kąta ϕ, a równanie Lagrange a d L dt ϕ L ϕ =0, które jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu, zostało sprowadzone do równania różniczkowego pierwszego rzędu p ϕ =mr 2 ϕ ϕ = p ϕ mr 2. Tym samym liczba całkowań niezbędnych do rozwiązania równania ruchu została zredukowana o jeden. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 13/29
52 Twierdzenie Noether Związek pomiędzy prawami zachowania a symetriami układu fizycznego ma charakter uniwersalny, czego dowiodła Emmy Noether( ). Zanim sformułujemy twierdzenie Noether przeanalizujmy sytuację, której ono dotyczy. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 14/29
53 Twierdzenie Noether Związek pomiędzy prawami zachowania a symetriami układu fizycznego ma charakter uniwersalny, czego dowiodła Emmy Noether( ). Zanim sformułujemy twierdzenie Noether przeanalizujmy sytuację, której ono dotyczy. Rozważmy transformację współrzędnych układu o n stopniach swobody q i q i =q i (q 1,q 2,...,q n,t,α), i =1,2,...,n, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 14/29
54 Twierdzenie Noether Związek pomiędzy prawami zachowania a symetriami układu fizycznego ma charakter uniwersalny, czego dowiodła Emmy Noether( ). Zanim sformułujemy twierdzenie Noether przeanalizujmy sytuację, której ono dotyczy. Rozważmy transformację współrzędnych układu o n stopniach swobody q i q i =q i (q 1,q 2,...,q n,t,α), i =1,2,...,n, która jest różniczkowalna w sposób ciągły względem ciągłego parametru α i odwracalna q i q i =q i ( q 1,q 2,...,q n,t,α ), i =1,2,...,n. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 14/29
55 Twierdzenie Noether Związek pomiędzy prawami zachowania a symetriami układu fizycznego ma charakter uniwersalny, czego dowiodła Emmy Noether( ). Zanim sformułujemy twierdzenie Noether przeanalizujmy sytuację, której ono dotyczy. Rozważmy transformację współrzędnych układu o n stopniach swobody q i q i =q i (q 1,q 2,...,q n,t,α), i =1,2,...,n, która jest różniczkowalna w sposób ciągły względem ciągłego parametru α i odwracalna q i q i =q i ( q 1,q 2,...,q n,t,α ), i =1,2,...,n. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 14/29
56 Twierdzenie Noether Ponadto, dla wygody zakładamy, że q i (q 1,q 2,...,q n,t,α) =q i, i =1,2,...,n, α=0 co oznacza, że rozpatrywana transformacja ewoluuje w sposób ciągły wraz z parametrem α od transformacji identycznościowej, któraodpowiadaα =0. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 15/29
57 Twierdzenie Noether Ponadto, dla wygody zakładamy, że q i (q 1,q 2,...,q n,t,α) =q i, i =1,2,...,n, α=0 co oznacza, że rozpatrywana transformacja ewoluuje w sposób ciągły wraz z parametrem α od transformacji identycznościowej, któraodpowiadaα =0. Przykładem takiej transformacji jest translacja punktu materialnego o stały wektor a: r r = r +α a r = r α a, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 15/29
58 Twierdzenie Noether Ponadto, dla wygody zakładamy, że q i (q 1,q 2,...,q n,t,α) =q i, i =1,2,...,n, α=0 co oznacza, że rozpatrywana transformacja ewoluuje w sposób ciągły wraz z parametrem α od transformacji identycznościowej, któraodpowiadaα =0. Przykładem takiej transformacji jest translacja punktu materialnego o stały wektor a: przy czym r r = r +α a r = r α a, r α=0 = r, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 15/29
59 Twierdzenie Noether Ponadto, dla wygody zakładamy, że q i (q 1,q 2,...,q n,t,α) =q i, i =1,2,...,n, α=0 co oznacza, że rozpatrywana transformacja ewoluuje w sposób ciągły wraz z parametrem α od transformacji identycznościowej, któraodpowiadaα =0. Przykładem takiej transformacji jest translacja punktu materialnego o stały wektor a: przy czym r r = r +α a r = r α a, r α=0 = r, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 15/29
60 Twierdzenie Noether y obrót punktu o kąt α względem osi Oz układu kartezjańskiego: y y r α β x r x x { x =rcos(β +α) y =rsin(β +α) { x =rcosβ y =rsinβ x =rcosβcosα rsinβsinα =xcosα ysinα y =rsinβcosα+rcosβsinα =xsinα+ycosα z =z Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 16/29
61 Twierdzenie Noether y obrót punktu o kąt α względem osi Oz układu kartezjańskiego: y y r α β x r x x { x =rcos(β +α) y =rsin(β +α) { x =rcosβ y =rsinβ x =rcosβcosα rsinβsinα =xcosα ysinα y =rsinβcosα+rcosβsinα =xsinα+ycosα z =z Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 16/29
62 Twierdzenie Noether Obrót odwrotny otrzymamy podstawiając α α x =xcosα ysinα y =xsinα+ycosα z =z x =x cosα+y sinα y = x sinα+y cosα z =z Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 17/29
63 Twierdzenie Noether Obrót odwrotny otrzymamy podstawiając α α x =xcosα ysinα y =xsinα+ycosα z =z x =x cosα+y sinα y = x sinα+y cosα z =z a dla α = 0 otrzymamy transformację identycznościową. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 17/29
64 Twierdzenie Noether Obrót odwrotny otrzymamy podstawiając α α x =xcosα ysinα y =xsinα+ycosα z =z x =x cosα+y sinα y = x sinα+y cosα z =z a dla α = 0 otrzymamy transformację identycznościową. Zapiszmy powyższe równania w formie macierzowej: x y = z x y z = cosα sinα 0 sinα cosα cosα sinα 0 sinα cosα x y z x y z r =A r, r =A T r, gdziea T oznaczamacierztransponowanądomacierzya. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 17/29
65 Twierdzenie Noether Obrót odwrotny otrzymamy podstawiając α α x =xcosα ysinα y =xsinα+ycosα z =z x =x cosα+y sinα y = x sinα+y cosα z =z a dla α = 0 otrzymamy transformację identycznościową. Zapiszmy powyższe równania w formie macierzowej: x y = z x y z = cosα sinα 0 sinα cosα cosα sinα 0 sinα cosα x y z x y z r =A r, r =A T r, gdziea T oznaczamacierztransponowanądomacierzya. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 17/29
66 Twierdzenie Noether Funkcja Lagrange a w nowych współrzędnych ma postać L(q, q,t) =L ( q ( q,t,α ), q ( q,t,α ),t ) L ( q, q,t,α ). Obliczmy pochodną L n ( ) L α = q i q i=1 i α + L q i n [ ( d L = q i α dt q i=1 i ) qi α + L d q i dt ] q i, α Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 18/29
67 Twierdzenie Noether Funkcja Lagrange a w nowych współrzędnych ma postać L(q, q,t) =L ( q ( q,t,α ), q ( q,t,α ),t ) L ( q, q,t,α ). Obliczmy pochodną L n ( ) L α = q i q i=1 i α + L q i n [ ( d L = q i α dt q i=1 i ) qi α + L d q i dt gdzie skorzystaliśmy z równań Lagrange a II rodzaju i zamieniliśmy kolejność różniczkowania L = d ( ) L q i, q i dt q i α = d q i dt α. ] q i, α Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 18/29
68 Twierdzenie Noether Funkcja Lagrange a w nowych współrzędnych ma postać L(q, q,t) =L ( q ( q,t,α ), q ( q,t,α ),t ) L ( q, q,t,α ). Obliczmy pochodną L n ( ) L α = q i q i=1 i α + L q i n [ ( d L = q i α dt q i=1 i ) qi α + L d q i dt gdzie skorzystaliśmy z równań Lagrange a II rodzaju i zamieniliśmy kolejność różniczkowania L = d ( ) L q i, q i dt q i α = d q i dt α. Wyrażeniepodsumąpoprawejstroniewzoruna L α jestpochodną iloczynu L n α = i=1 ( ) d L q i = d ( n dt q i α dt i=1 ) L q i. q i α Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 18/29 ] q i, α
69 Twierdzenie Noether Funkcja Lagrange a w nowych współrzędnych ma postać L(q, q,t) =L ( q ( q,t,α ), q ( q,t,α ),t ) L ( q, q,t,α ). Obliczmy pochodną L n ( ) L α = q i q i=1 i α + L q i n [ ( d L = q i α dt q i=1 i ) qi α + L d q i dt gdzie skorzystaliśmy z równań Lagrange a II rodzaju i zamieniliśmy kolejność różniczkowania L = d ( ) L q i, q i dt q i α = d q i dt α. Wyrażeniepodsumąpoprawejstroniewzoruna L α jestpochodną iloczynu L n α = i=1 ( ) d L q i = d ( n dt q i α dt i=1 ) L q i. q i α Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 18/29 ] q i, α
70 Twierdzenie Noether Układ fizyczny ma symetrię ze względu na rozpatrywaną transformację,jeślinowafunkcjalagrange al (q, q,t,α)jest równa wyjściowej funkcji L(q, q, t) wyrażonej przez nowe współrzędne L(q, q,t) =L ( q, q,t,α ) =L ( q, q,t ). Biorąc pod uwagę niezmienniczość cechowania równań Lagrange a II rodzaju, warunek symetrii będzie również spełniony jeśli po prawej stronie tej równości dodamy zupełną pochodną czasową dowolnej różniczkowalnej funkcji współrzędnych, czasu i parametru α L ( q, q,t,α ) =L ( q, q,t ) + d dt F( q,t,α ). Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 19/29
71 Twierdzenie Noether Układ fizyczny ma symetrię ze względu na rozpatrywaną transformację,jeślinowafunkcjalagrange al (q, q,t,α)jest równa wyjściowej funkcji L(q, q, t) wyrażonej przez nowe współrzędne L(q, q,t) =L ( q, q,t,α ) =L ( q, q,t ). Biorąc pod uwagę niezmienniczość cechowania równań Lagrange a II rodzaju, warunek symetrii będzie również spełniony jeśli po prawej stronie tej równości dodamy zupełną pochodną czasową dowolnej różniczkowalnej funkcji współrzędnych, czasu i parametru α L ( q, q,t,α ) =L ( q, q,t ) + d dt F( q,t,α ). Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 19/29
72 Twierdzenie Noether Różniczkując powyższy związek po α otrzymamy α L ( q, q,t,α ) = α L( q, q,t ) + α = d αdt F( q,t,α ), gdyż ze względu na symetrię α L( q, q,t ) = L(q, q,t) =0. α d dt F( q,t,α ) Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 20/29
73 Twierdzenie Noether Różniczkując powyższy związek po α otrzymamy α L ( q, q,t,α ) = α L( q, q,t ) + α = d αdt F( q,t,α ), gdyż ze względu na symetrię α L( q, q,t ) = L(q, q,t) =0. α d dt F( q,t,α ) Zamieniając kolejność różniczkowania otrzymamy następujący warunek symetrii α L ( q, q,t,α ) = d dt α F( q,t,α ). Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 20/29
74 Twierdzenie Noether Różniczkując powyższy związek po α otrzymamy α L ( q, q,t,α ) = α L( q, q,t ) + α = d αdt F( q,t,α ), gdyż ze względu na symetrię α L( q, q,t ) = L(q, q,t) =0. α d dt F( q,t,α ) Zamieniając kolejność różniczkowania otrzymamy następujący warunek symetrii α L ( q, q,t,α ) = d dt α F( q,t,α ). Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 20/29
75 Twierdzenie Noether Wstawmy teraz do warunku symetrii wyprowadzony uprzednio wzór L α = d ( n ) L q i, dt q i=1 i α wówczas otrzymamy równość ( d n ) L q i = d F dt q i=1 i α dt α. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 21/29
76 Twierdzenie Noether Wstawmy teraz do warunku symetrii wyprowadzony uprzednio wzór L α = d ( n ) L q i, dt q i=1 i α wówczas otrzymamy równość ( d n ) L q i = d F dt q i=1 i α dt α. Przenieśmywszystkonalewąstronęrównościiwstawmyα =0 ( d n L q i F ) dt q i=1 i α α =0, α=0 α=0 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 21/29
77 Twierdzenie Noether Wstawmy teraz do warunku symetrii wyprowadzony uprzednio wzór L α = d ( n ) L q i, dt q i=1 i α wówczas otrzymamy równość ( d n ) L q i = d F dt q i=1 i α dt α. Przenieśmywszystkonalewąstronęrównościiwstawmyα =0 ( d n L q i F ) dt q i=1 i α α =0, α=0 α=0 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 21/29
78 Twierdzenie Noether a zatem wyrażenie w nawiasie, które oznaczymy J musi być wielkością stałą J n L q i q i α F α=0 α =const. α=0 i=1 W ten sposób udowodniliśmy twierdzenie Noether, które brzmi następująco. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 22/29
79 Twierdzenie Noether a zatem wyrażenie w nawiasie, które oznaczymy J musi być wielkością stałą J n L q i q i α F α=0 α =const. α=0 i=1 W ten sposób udowodniliśmy twierdzenie Noether, które brzmi następująco. Jeśli funkcja Lagrange a jest niezmiennicza względem różniczkowalnej w sposób ciągły trasformacji współrzędnych q i q i =q i (q 1,q 2,...,q n,t,α), i =1,2,...,n, przyczymq i α=0 =q iisąspełnionerównaniaruchu,towielkość J określona powyżej jest stałą ruchu. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 22/29
80 Twierdzenie Noether a zatem wyrażenie w nawiasie, które oznaczymy J musi być wielkością stałą J n L q i q i α F α=0 α =const. α=0 i=1 W ten sposób udowodniliśmy twierdzenie Noether, które brzmi następująco. Jeśli funkcja Lagrange a jest niezmiennicza względem różniczkowalnej w sposób ciągły trasformacji współrzędnych q i q i =q i (q 1,q 2,...,q n,t,α), i =1,2,...,n, przyczymq i α=0 =q iisąspełnionerównaniaruchu,towielkość J określona powyżej jest stałą ruchu. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 22/29
81 Twierdzenie Noether Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Noether nie jest prawdziwe, tzn., że istnieją wielkości zachowane, którym nie odpowiadają ciągłe przekształcenia symetrii. Na przykład wektor Lenza Λ = p L mα r r, gdzie r jest wektorem położenia ciała względem centrum potencjału, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/29
82 Twierdzenie Noether Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Noether nie jest prawdziwe, tzn., że istnieją wielkości zachowane, którym nie odpowiadają ciągłe przekształcenia symetrii. Na przykład wektor Lenza Λ = p L mα r r, gdzie r jest wektorem położenia ciała względem centrum potencjału, p =m rjegopędem, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/29
83 Twierdzenie Noether Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Noether nie jest prawdziwe, tzn., że istnieją wielkości zachowane, którym nie odpowiadają ciągłe przekształcenia symetrii. Na przykład wektor Lenza Λ = p L mα r r, gdzie r jest wektorem położenia ciała względem centrum potencjału, p =m rjegopędem,a L = r pmomentempędu, Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/29
84 Twierdzenie Noether Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Noether nie jest prawdziwe, tzn., że istnieją wielkości zachowane, którym nie odpowiadają ciągłe przekształcenia symetrii. Na przykład wektor Lenza Λ = p L mα r r, gdzie r jest wektorem położenia ciała względem centrum potencjału, p =m rjegopędem,a L = r pmomentempędu,jest wielkościązachowanąwpotencjalekeplerav(r) = α r,jednaknie odpowiada mu żadne ciągłe przekształcenie symetrii. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/29
85 Twierdzenie Noether Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Noether nie jest prawdziwe, tzn., że istnieją wielkości zachowane, którym nie odpowiadają ciągłe przekształcenia symetrii. Na przykład wektor Lenza Λ = p L mα r r, gdzie r jest wektorem położenia ciała względem centrum potencjału, p =m rjegopędem,a L = r pmomentempędu,jest wielkościązachowanąwpotencjalekeplerav(r) = α r,jednaknie odpowiada mu żadne ciągłe przekształcenie symetrii. Zadanie1:Udowodnić,że Λ =const. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/29
86 Twierdzenie Noether Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Noether nie jest prawdziwe, tzn., że istnieją wielkości zachowane, którym nie odpowiadają ciągłe przekształcenia symetrii. Na przykład wektor Lenza Λ = p L mα r r, gdzie r jest wektorem położenia ciała względem centrum potencjału, p =m rjegopędem,a L = r pmomentempędu,jest wielkościązachowanąwpotencjalekeplerav(r) = α r,jednaknie odpowiada mu żadne ciągłe przekształcenie symetrii. Zadanie1:Udowodnić,że Λ =const. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 23/29
87 Zasada zachowania energii Twierdzenie Noether w wersji przez nas udowodnionej nie obejmuje transformacji czasu. Dlatego rozpatrzymy teraz oddzielnie przypadek symetrii względem translacji czasu t t =t+a, a =const. Funkcja Lagrange a będzie symetryczna względem takich transformacji jeśli L(q, q,t) =L(q, q,t +a) L t =0. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 24/29
88 Zasada zachowania energii Twierdzenie Noether w wersji przez nas udowodnionej nie obejmuje transformacji czasu. Dlatego rozpatrzymy teraz oddzielnie przypadek symetrii względem translacji czasu t t =t+a, a =const. Funkcja Lagrange a będzie symetryczna względem takich transformacji jeśli L(q, q,t) =L(q, q,t +a) L t =0. Obliczmy zupełną pochodną czasową funkcji L ( dl n L dt = q j + L ) q j. q j q j j=1 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 24/29
89 Zasada zachowania energii Twierdzenie Noether w wersji przez nas udowodnionej nie obejmuje transformacji czasu. Dlatego rozpatrzymy teraz oddzielnie przypadek symetrii względem translacji czasu t t =t+a, a =const. Funkcja Lagrange a będzie symetryczna względem takich transformacji jeśli L(q, q,t) =L(q, q,t +a) L t =0. Obliczmy zupełną pochodną czasową funkcji L ( dl n L dt = q j + L ) q j. q j q j j=1 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 24/29
90 Zasada zachowania energii Skorzystajmy z równanń Lagrange a II rodzaju L = d L. q j dt q j Wówczas otrzymamy dl dt = = [ ( ) n d L q j + L ] d q i dt q j=1 j q j dt ( ) n d L q j = d n L q j. dt q j=1 j dt q j=1 j Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 25/29
91 Zasada zachowania energii Skorzystajmy z równanń Lagrange a II rodzaju L = d L. q j dt q j Wówczas otrzymamy dl dt = = [ ( ) n d L q j + L ] d q i dt q j=1 j q j dt ( ) n d L q j = d n L q j. dt q j=1 j dt q j=1 j Skąd wynika, że d n L q j L =0 h dt q j j=1 n j=1 L q j q j L =const. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 25/29
92 Zasada zachowania energii Skorzystajmy z równanń Lagrange a II rodzaju L = d L. q j dt q j Wówczas otrzymamy dl dt = = [ ( ) n d L q j + L ] d q i dt q j=1 j q j dt ( ) n d L q j = d n L q j. dt q j=1 j dt q j=1 j Skąd wynika, że d n L q j L =0 h dt q j j=1 n j=1 L q j q j L =const. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 25/29
93 Zasada zachowania energii Zachowaną wielkość h nazywamy funkcją energii. Dla układów zachowawczych istnieje potencjał, niezależny od prędkości, więc V =0 L = (T V) = T. q j q j q j q j Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 26/29
94 Zasada zachowania energii Zachowaną wielkość h nazywamy funkcją energii. Dla układów zachowawczych istnieje potencjał, niezależny od prędkości, więc V =0 L = (T V) = T. q j q j q j q j Dla więzów skleronomicznych i jeśli nie wykonujemy transformacji do poruszających się układów odniesienia, związki pomiędzy wektorami położenia punktów, i = 1, 2,..., N, a współrzędnymi uogólnionymi mają postać r i = r i (q 1,q 2,...,q n ) r i = n j=1 r i q j q j Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 26/29
95 Zasada zachowania energii Zachowaną wielkość h nazywamy funkcją energii. Dla układów zachowawczych istnieje potencjał, niezależny od prędkości, więc V =0 L = (T V) = T. q j q j q j q j Dla więzów skleronomicznych i jeśli nie wykonujemy transformacji do poruszających się układów odniesienia, związki pomiędzy wektorami położenia punktów, i = 1, 2,..., N, a współrzędnymi uogólnionymi mają postać r i = r i (q 1,q 2,...,q n ) r i = n j=1 r i q j q j Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 26/29
96 Zasada zachowania energii i energia kinetyczna wyraża się wzorem T = = N 1 2 m i r 2 i = i=1 ( n N N i=1 1 2 m i 1 2 m r i r i i q j q l n j=1 ) j,l=1 i=1 }{{} a jl r i q j q j q j q l = n l=1 n j,l=1 r i q l q l a jl q j q l, gdziewspółczynnikia jl niezależąodprędkościuogólnionych. Obliczmy n T n n n ( q q j = a kl q k q l k q l ) q j = a kl q j, q j q j q j j=1 j=1 k,l=1 j,k,l=1 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 27/29
97 Zasada zachowania energii i energia kinetyczna wyraża się wzorem T = = N 1 2 m i r 2 i = i=1 ( n N N i=1 1 2 m i 1 2 m r i r i i q j q l n j=1 ) j,l=1 i=1 }{{} a jl r i q j q j q j q l = n l=1 n j,l=1 r i q l q l a jl q j q l, gdziewspółczynnikia jl niezależąodprędkościuogólnionych. Obliczmy n T n n n ( q q j = a kl q k q l k q l ) q j = a kl q j, q j q j q j j=1 j=1 k,l=1 j,k,l=1 Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 27/29
98 Zasada zachowania energii n j=1 T q j q j = = = n j,k,l=1 n j,k,l=1 n j,l=1 ( ) qk q l a kl q l + q k q j q j q j a kl (δ kj q l + q k δ lj ) q j a jl q l q j + n j,k=1 a kj q k q j =2T. W takim razie znaleziona wcześniej wielkość zachowana h jest równa h = n j=1 L q j q j L = n j=1 T q j q j L =2T (T V) =T +V =E. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 28/29
99 Zasada zachowania energii n j=1 T q j q j = = = n j,k,l=1 n j,k,l=1 n j,l=1 ( ) qk q l a kl q l + q k q j q j q j a kl (δ kj q l + q k δ lj ) q j a jl q l q j + n j,k=1 a kj q k q j =2T. W takim razie znaleziona wcześniej wielkość zachowana h jest równa h = n j=1 L q j q j L = n j=1 T q j q j L =2T (T V) =T +V =E. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 28/29
100 Zasada zachowania energii W ten sposób dowiedliśmy, że funkcja energii h jest wielkością zachowaną jeśli funkcja Lagrange a nie zależy jawnie od czasu, dla układów podlegających siłom zachowawczym i więzom skleronomicznym funkcja energii h jest równa całkowitej energii układu h =E =T +V =const. W przypadku więzów reonomicznych, które mogą wykonywać pracę nad układem, całkowita energia nie musi być zachowana. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 29/29
101 Zasada zachowania energii W ten sposób dowiedliśmy, że funkcja energii h jest wielkością zachowaną jeśli funkcja Lagrange a nie zależy jawnie od czasu, dla układów podlegających siłom zachowawczym i więzom skleronomicznym funkcja energii h jest równa całkowitej energii układu h =E =T +V =const. W przypadku więzów reonomicznych, które mogą wykonywać pracę nad układem, całkowita energia nie musi być zachowana. Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 29/29
Układy fizyczne z więzami Wykład 2
Układy fizyczne z więzami Wykład 2 Karol Kołodziej (przy współpracy Bartosza Dziewita) Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna
Bardziej szczegółowoWięzy i ich klasyfikacja Wykład 2
Więzy i ich klasyfikacja Wykład 2 Karol Kołodziej (przy współpracy Bartosza Dziewita) Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna
Bardziej szczegółowomechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej
mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej ver-28.06.07 współrzędne uogólnione punkt materialny... wektor wodzący: prędkość: przyspieszenie: liczba
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 9 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoModelowanie układów dynamicznych
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 11 Równania Eulera-Lagrange a Rozważmy układ p punktów materialnych o współrzędnych uogólnionych q i i zdefiniujmy lagranżian
Bardziej szczegółowoRównania dla potencjałów zależnych od czasu
Równania dla potencjałów zależnych od czasu Potencjały wektorowy A( r, t i skalarny ϕ( r, t dla zależnych od czasu pola elektrycznego E( r, t i magnetycznego B( r, t definiujemy poprzez następujące zależności
Bardziej szczegółowoDRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu
Ćwiczenie 7 DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Cel ćwiczenia Doświadczalne wyznaczenie częstości drgań własnych układu o dwóch stopniach swobody, pokazanie postaci drgań odpowiadających
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego
MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl
Bardziej szczegółowo21 Symetrie Grupy symetrii Grupa translacji
21 Symetrie 21.1 Grupy symetrii Spróbujmy odpowiedzieć sobie na pytanie, jak zmienia się stan układu kwantowego pod wpływem transformacji układu współrzędnych. Najprostszą taką transformacją jest np. przesunięcie
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej
MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoWstęp do równań różniczkowych
Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoVII.1 Pojęcia podstawowe.
II.1 Pojęcia podstawowe. Jan Królikowski Fizyka IBC 1 Model matematyczny ciała sztywnego Zbiór punktów materialnych takich, że r r = const; i, j= 1,... N i j Ciało sztywne nie ulega odkształceniom w wyniku
Bardziej szczegółowoFizyka 1(mechanika) AF14. Wykład 5
Fizyka 1(mechanika) 1100-1AF14 Wykład 5 Jerzy Łusakowski 30.10.2017 Plan wykładu Ziemia jako układ nieinercjalny Fizyka 1(mechanika) 1100-1AF14 Wykład 5 Dwaj obserwatorzy- związek między mierzonymi współrzędnymi
Bardziej szczegółowoBryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka
Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Moment bezwładności Prawa ruchu Energia ruchu obrotowego Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Przypomnienie Równowaga bryły
Bardziej szczegółowoOpis ruchu obrotowego
Opis ruchu obrotowego Oprócz ruchu translacyjnego ciała obserwujemy w przyrodzie inną jego odmianę: ruch obrotowy Ruch obrotowy jest zawsze względem osi obrotu W ruchu obrotowym wszystkie punkty zakreślają
Bardziej szczegółowoi = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]
Ćwiczenia nr TEMATYKA: Układy współrzędnych: kartezjański, walcowy (cylindryczny), sferyczny (geograficzny), Przekształcenia: izometryczne, nieizometryczne. DEFINICJE: Wektor wodzący: wektorem r, ρ wodzącym
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowo3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA
3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 12 Zasady pracy i energii Prowadzący: dr Krzysztof Polko WEKTOR POLA SIŁ Wektor pola sił możemy zapisać w postaci: (1) Prawa strona jest gradientem funkcji Φ, czyli (2) POTENCJAŁ
Bardziej szczegółowoPodstawy robotyki wykład VI. Dynamika manipulatora
Podstawy robotyki Wykład VI Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska Dynamika opisuje sposób zachowania się manipulatora poddanego wymuszeniu
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowoTadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii
Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą
Bardziej szczegółowoMETODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ
METODY MATEMATYCZNE I STATYSTYCZNE W INŻYNIERII CHEMICZNEJ Wykład 3 Elementy analizy pól skalarnych, wektorowych i tensorowych Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 1 Analiza
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Praca, moc, energia. Wykład Nr 11. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 11 Praca, moc, energia Prowadzący: dr Krzysztof Polko PRACA MECHANICZNA SIŁY STAŁEJ Pracą siły stałej na prostoliniowym przemieszczeniu w kierunku działania siły nazywamy iloczyn
Bardziej szczegółowoZASADY DYNAMIKI. Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał.
ZASADY DYNAMIKI Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał Dynamika klasyczna zbudowana jest na trzech zasadach podanych przez Newtona w 1687 roku I zasada dynamiki Istnieją
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 12 Zasady pracy i energii Prowadzący: dr Krzysztof Polko WEKTOR POLA SIŁ Wektor pola sił możemy zapisać w postaci: (1) Prawa strona jest gradientem funkcji Φ, czyli (2) POTENCJAŁ
Bardziej szczegółowoDynamika manipulatora. Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Cybernetyki Technicznej Politechnika Wrocławska. Podstawy robotyki wykład VI
Podstawy robotyki Wykład VI Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Cybernetyki Technicznej Politechnika Wrocławska Dynamika opisuje sposób zachowania się manipulatora poddanego wymuszeniu w postaci
Bardziej szczegółowoMECHANIKA KLASYCZNA I RELATYWISTYCZNA Cele kursu
MECHANIKA KLASYCZNA I RELATYWISTYCZNA Cele kursu Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl Karol Kołodziej Mechanika klasyczna i relatywistyczna 1/8 Cele kursu Podstawowe
Bardziej szczegółowo6. ZWIĄZKI FIZYCZNE Wstęp
6. ZWIĄZKI FIZYCZN 1 6. 6. ZWIĄZKI FIZYCZN 6.1. Wstęp Aby rozwiązać jakiekolwiek zadanie mechaniki ośrodka ciągłego musimy dysponować 15 niezależnymi równaniami, gdyż tyle mamy niewiadomych: trzy składowe
Bardziej szczegółowoMETODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03
METODY OBLICZENIOWE Projekt nr 3.4 Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 Zadanie Nasze zadanie składało się z dwóch części: 1. Sformułowanie, przy użyciu metody Lagrange a II rodzaju, równania różniczkowego
Bardziej szczegółowoMechanika. Wykład 2. Paweł Staszel
Mechanika Wykład 2 Paweł Staszel 1 Przejście graniczne 0 2 Podstawowe twierdzenia o pochodnych: pochodna funkcji mnożonej przez skalar pochodna sumy funkcji pochodna funkcji złożonej pochodna iloczynu
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ
RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 6 2016/2017, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment
Bardziej szczegółowoWyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba
Wyprowadzenie prawa Gaussa z prawa Coulomba Natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego q, umieszczonego w początku układu współrzędnych (czyli prawo Coulomba): E = Otoczmy ten ładunek dowolną powierzchnią
Bardziej szczegółowoMechanika Analityczna
Mechanika Analityczna Wykład 2 - Zasada prac przygotowanych i ogólne równanie dynamiki Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej 29 lutego 2016 Plan wykładu
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowoMiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki
MiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki 1. Dynamika układów punktów materialnych 2. Elementy mechaniki relatywistycznej 3. Podstawowe prawa elektrodynamiki i magnetyzmu 4. Zasady optyki geometrycznej
Bardziej szczegółowoRUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ
RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 7 2012/2013, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 Wykład 7 Dynamiczne równania ruchu
MECHANIKA 2 Wykład 7 Dynamiczne równania ruchu Prowadzący: dr Krzysztof Polko Dynamiczne równania ruchu Druga zasada dynamiki zapisana w postaci: Jest dynamicznym wektorowym równaniem ruchu. Dynamiczne
Bardziej szczegółowoMECHANIKA STOSOWANA Cele kursu
MECHANIKA STOSOWANA Cele kursu Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl 9 października 2014 Karol Kołodziej Mechanika stosowana 1/6 Cele kursu Podstawowe cele zaprezentowanego
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki wykład 4
Podstawy fizyki wykład 4 Dr Piotr Sitarek Katedra Fizyki Doświadczalnej, W11, PWr Dynamika Obroty wielkości liniowe a kątowe energia kinetyczna w ruchu obrotowym moment bezwładności moment siły II zasada
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO. Wykład Nr 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO Prowadzący: dr Krzysztof Polko WSTĘP z r C C(x C,y C,z C ) r C -r B B(x B,y B,z B ) r C -r A r B r B -r A A(x A,y A,z A ) Ciało sztywne
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia liniowe
Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 8 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoJan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka
Jan Awrejcewicz- Mechanika Techniczna i Teoretyczna. Statyka. Kinematyka SPIS TREŚCI Przedmowa... 7 1. PODSTAWY MECHANIKI... 11 1.1. Pojęcia podstawowe... 11 1.2. Zasada d Alemberta... 18 1.3. Zasada prac
Bardziej szczegółowoCałki krzywoliniowe. SNM - Elementy analizy wektorowej - 1
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki wykład 4
Podstawy fizyki wykład 4 Dr Piotr Sitarek Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska Dynamika Obroty wielkości liniowe a kątowe energia kinetyczna w ruchu obrotowym moment bezwładności moment siły II zasada
Bardziej szczegółowoEGZAMIN Z ANALIZY II R
EGZAMIN Z ANALIZY II R Instrukcja obsługi Za każde zadanie można dostać 4 punkty Rozwiązanie każdego zadania należy napisać na osobnej kartce starannie i czytelnie W nagłówku rozwiązania należy umieścić
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoPole magnetyczne magnesu w kształcie kuli
napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowo1 Rozwiązywanie układów równań. Wyznaczniki. 2 Wektory kilka faktów użytkowych
Rozwiązywanie układów równań. Wyznaczniki. 2 Wektory kilka faktów użytkowych 2. Wektory. 2.. Wektor jako n ka liczb W fizyce mamy do czynienia z pojęciami lub obiektami o różnym charakterze. Są np. wielkości,
Bardziej szczegółowoMechanika Analityczna
Mechanika Analityczna Wykład 1 - Organizacja wykładu (sprawy zaliczeniowe, tematyka). Więzy i ich klasyfikacja Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I 5. Energia, praca, moc Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html ENERGIA, PRACA, MOC Siła to wielkość
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoPodstawy robotyki wykład V. Jakobian manipulatora. Osobliwości
Podstawy robotyki Wykład V Jakobian manipulatora i osobliwości Robert Muszyński Janusz Jakubiak Instytut Informatyki, Automatyki i Robotyki Politechnika Wrocławska Metoda bezpośrednia uzyskania macierzy
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład 10 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lagrange a i Hamiltona... Wykład
Bardziej szczegółowoKinematyka płynów - zadania
Zadanie 1 Zadane jest prawo ruchu w zmiennych Lagrange a x = Xe y = Ye t 0 gdzie, X, Y oznaczają współrzędne materialne dla t = 0. Wyznaczyć opis ruchu w zmiennych Eulera. Znaleźć linię prądu. Pokazać,
Bardziej szczegółowoZasady dynamiki Newtona. Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd
Zasady dynamiki Newtona Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd Zasady dynamiki Newtona I Każde ciało trwa w stanie spoczynku lub porusza się ruchem prostoliniowym i jednostajnym, jeśli siły przyłożone
Bardziej szczegółowoOpis poszczególnych przedmiotów (Sylabus) Fizyka, studia pierwszego stopnia
Opis poszczególnych przedmiotów (Sylabus) Fizyka, studia pierwszego stopnia Nazwa Przedmiotu: Mechanika klasyczna i relatywistyczna Kod przedmiotu: Typ przedmiotu: obowiązkowy Poziom przedmiotu: rok studiów,
Bardziej szczegółowoNotatki do wykładu Geometria Różniczkowa I
Notatki do wykładu Geometria Różniczkowa I Katarzyna Grabowska, KMMF 6 stycznia 014 1 Różniczkowanie pól i form 1.1 Pochodna kowariantna Zobaczmy jak we współrzędnych wyglądać będzie równanie różniczkowe
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Dynamika układu punktów materialnych
MECHANIKA II. Dynamika układu punktów materialnych Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl
Bardziej szczegółowoZasady dynamiki Newtona
Zasady dynamiki Newtona Każde ciało trwa w stanie spoczynku lub porusza się ruchem prostoliniowym i jednostajnym, jeśli siły przyłożone nie zmuszają ciała do zmiany tego stanu Jeżeli na ciało nie działa
Bardziej szczegółowoFizyka 1 (mechanika) AF14. Wykład 9
Fizyka 1 (mechanika) 1100-1AF14 Wykład 9 Jerzy Łusakowski 05.12.2016 Plan wykładu Żyroskopy, bąki, etc. Toczenie się koła Ruch w polu sił centralnych Żyroskopy, bąki, etc. Niezrównoważony żyroskop L m
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, Spis treści
Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, 2010 Spis treści Część I. STATYKA 1. Prawa Newtona. Zasady statyki i reakcje więzów 11 1.1. Prawa Newtona 11 1.2. Jednostki masy i
Bardziej szczegółowo2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Bardziej szczegółowoMECHANIKA OGÓLNA (II)
MECHNIK GÓLN (II) Semestr: II (Mechanika I), III (Mechanika II), rok akad. 2013/2014 Liczba godzin: sem. II *) - wykład 30 godz., ćwiczenia 30 godz. sem. III *) - wykład 30 godz., ćwiczenia 30 godz., ale
Bardziej szczegółowoRównanie Schrödingera
Równanie Schrödingera Maciej J. Mrowiński 29 lutego 2012 Zadanie RS1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = 0 ma następującą postać: A(a Ψ(x,0) = 2 x 2 ) gdy x [ a,a] 0 gdy x / [ a,a]
Bardziej szczegółowoPODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGO
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna)
Bardziej szczegółowoy(t) = y 0 + R sin t, t R. z(t) = h 2π t
SNM - Elementy analizy wektorowej - 1 Całki krzywoliniowe Definicja (funkcja wektorowa jednej zmiennej) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I R 3, gdzie I oznacza przedział na prostej,
Bardziej szczegółowoRówna Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym
Mechanika ogólna Wykład nr 14 Elementy kinematyki i dynamiki 1 Kinematyka Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to
Bardziej szczegółowoTENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY
TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY Stan naprężenia jest niemożliwy do pomiaru, natomiast łatwo zmierzyć stan odkształcenia na powierzchni zewnętrznej badanej konstrukcji. Aby wyznaczyć stan naprężenia trzeba
Bardziej szczegółowoRozwiązanie równania oscylatora harmonicznego
Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego Motywacją do zebrania różnych sposobów rozwiązania równania oscylatora harmonicznego: m d2 x(t) dt 2 = kx(t) (1) jest notorycznie zadawane przez studentów
Bardziej szczegółowoPODSTAWY FIZYKI - WYKŁAD 3 ENERGIA I PRACA SIŁA WYPORU. Piotr Nieżurawski. Wydział Fizyki. Uniwersytet Warszawski
PODSTAWY FIZYKI - WYKŁAD 3 ENERGIA I PRACA SIŁA WYPORU Piotr Nieżurawski pniez@fuw.edu.pl Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski http://www.fuw.edu.pl/~pniez/bioinformatyka/ 1 Co to jest praca? Dla punktu
Bardziej szczegółowoKINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury
KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1.2 Rozwiązanie ogólne............................... 2 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoPrędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie
napisał Michał Wierzbicki Prędkość fazowa i grupowa fali elektromagnetycznej w falowodzie Prędkość grupowa paczki falowej Paczka falowa jest superpozycją fal o różnej częstości biegnących wzdłuż osi z.
Bardziej szczegółowoMECHANIKA II. Drgania wymuszone
MECHANIKA II. Drgania wymuszone Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny Daniel Lewandowski (I-19) MECHANIKA II. Drgania wymuszone 1 / 30 Układ drgajacy o jednym stopniu swobody
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 14 Rachunekwektorowy W celu zdefiniowania wektora a należy podać: kierunek(prostą na której leży wektor)
Bardziej szczegółowoPYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A
PYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY Stan naprężenia jest niemożliwy do pomiaru, natomiast łatwo zmierzyć stan odkształcenia na powierzchni zewnętrznej
Bardziej szczegółowoI. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji.
I. Pochodna i różniczka funkcji jednej zmiennej. 1. Definicja pochodnej funkcji i jej interpretacja fizyczna. Istnienie pochodnej funkcji. Niech x 0 R i niech f będzie funkcją określoną przynajmniej na
Bardziej szczegółowoREZONANSY : IDENTYFIKACJA WŁAŚCIWOŚCI PRZEZ ANALIZĘ FAL PARCJALNYCH, WYKRESY ARGANDA
REZONANSY : IDENTYFIKACJA WŁAŚCIWOŚCI PRZEZ ANALIZĘ FAL PARCJALNYCH, WYKRESY ARGANDA Opis układu cząsteczek w mechanice kwantowej: 1. Funkcja falowa, 2. Wektora stanu ψ. TRANSFORMACJE UKŁADU CZĄSTEK: 1.
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 1 V. Ruch obrotowy 1 (!)
Podstawy fizyki sezon 1 V. Ruch obrotowy 1 (!) Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Kinematyka ruchu
Bardziej szczegółowoZasady dynamiki Isaak Newton (1686 r.)
Zasady dynamiki Isaak Newton (1686 r.) I (zasada bezwładności) Istnieje taki układ odniesienia, w którym ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, jeśli nie działają
Bardziej szczegółowoPierwsze kolokwium z Mechaniki i Przyległości dla nanostudentów (wykład prof. J. Majewskiego)
Pierwsze kolokwium z Mechaniki i Przylełości dla nanostudentów (wykład prof. J. Majewskieo) Zadanie Dane są cztery wektory A, B, C oraz D. Wyrazić liczbę (A B) (C D), przez same iloczyny skalarne tych
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Drgania punktu materialnego. Wykład Nr 8. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 8 Drgania punktu materialnego Prowadzący: dr Krzysztof Polko Wstęp Drgania Okresowe i nieokresowe Swobodne i wymuszone Tłumione i nietłumione Wstęp Drgania okresowe ruch powtarzający
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoĆwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.
Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny
Bardziej szczegółowoFizyka 11. Janusz Andrzejewski
Fizyka 11 Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna
Bardziej szczegółowoGeometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2
Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Inne rozwiązanie zadania 2. (Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 w dowolnym jej punkcie (x 0, y 0 ). ) Przypuśćmy, że krzywa na
Bardziej szczegółowo(U.14) Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym
3.10.2004 35. U.14 Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 131 Rozdział 35 U.14 Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 35.1 Niezmienniczość ze względu na W rozdziale 16 wspominaliśmy jedynie o podstawowych
Bardziej szczegółowoM2. WYZNACZANIE MOMENTU BEZWŁADNOŚCI WAHADŁA OBERBECKA
M WYZNACZANE MOMENTU BEZWŁADNOŚC WAHADŁA OBERBECKA opracowała Bożena Janowska-Dmoch Do opisu ruchu obrotowego ciał stosujemy prawa dynamiki ruchu obrotowego, w których występują wielkości takie jak: prędkość
Bardziej szczegółowoPromieniowanie dipolowe
Promieniowanie dipolowe Potencjały opóźnione φ i A dla promieniowanie punktowego dipola elektrycznego wygodnie jest wyrażać przez wektor Hertza Z φ = ϵ 0 Z, spełniający niejednorodne równanie falowe A
Bardziej szczegółowo