DYNAMIKA UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH

Transkrypt

1 WYKŁAD 3 DYNAMIKA UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH UKŁAD PUNKTÓW MATERIALNYCH zbiór skończoej liczby puktów materialych o zadaej kofiguracji przestrzeej. Obłok Oorta Pas Kupiera Pluto Neptu Ura Satur Jowisz Plaetoidy Mars Księżyc Ziemia Weus Merkury Słońce Układ plaetary, w którym plaety i Słońce moża traktować jak układ puktów materialych 1

2 Układy cząstek ŚRODEK MASY (środek bezwładości) Załóżmy, że układ jest złożoy z puktów materialych o masach:. Środek masy ciała lub układu ciał to pukt, który porusza się tak, jak gdyby była w im skupioa cała masa układu, a wszystkie siły zewętrze były przyłożoe w tym właśie pukcie. Rys. źródło: Położeie puktu ś.m., dae jest wzorem: r S 1 miri i1 M wektor położeia ciała o masie m i (3.1) wektor położeia środka masy układu ciał Masa całego układu M m i i1 (3.2) 2

3 Środek masy układu ciał (przykłady) x s Dae: 22 mk 7,35 10 kg M z 5,98 10 kg 6 10 kg d km RZ 6378,14km x s M mk m Z K d x s 4667, 28km 3

4 Środek masy układu ciał (cd.) Przykład. Cząstka Rys. źródło: D. Holliday, R. Resick, J. Walker, "Podstawy fizyki. 4

5 Środek masy ciało rozciągłe Obiekt o ciągłym rozkładzie masy W przypadku ciała o ciągłym rozkładzie masy dzielimy je w myśli a - małych części o masach dm 1, dm2,..., dm Wzór (3.1) przyjmuje: Gdy liczba części, wtedy r S lim i1 i1 m r i m i i (3.3) Graice sum w powyższym wzorze wyrażają się odpowiedimi całkami ozaczoymi, stąd PROMIEŃ M WODZĄCY ŚRODKA MASY: wektor położeia środka masy daego ciała r S 0 1 M 0 rdm dm M całkowita masa V 0 r dv (3.4) - gęstość ciała. 5

6 Układy cząstek Środek masy ciało rozciągłe. Przykład Stożek jest bryłą symetryczą środek masy leży a osi symetrii. 6

7 Środek masy c.d PĘD UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH przypomieie) Każde ciało moża traktować jako układ puktów materialych. Dlatego pęd ciała możemy obliczyć jako sumę pędów wszystkich - puktów materialych ciała: Pamiętając o wyrażeiu a prędkość: p i1 p i1 m v i i i1 m v i i m i dri d i1 m r i i (3.5) (3.6) Po podstawieiu do wyrażeia (3.6) wzoru (3.1), otrzymamy: Zatem: p sm d dr Mr S S M MvS pęd środka masy układu (3.7) (3.8) Suma pędów układu puktów materialych = Pędowi jego środka masy 7

8 Prędkość i przyspieszeie środka masy (3.9) (3.10) 8

9 II zasada dyamiki Newtoa dla układu cząstek Zał. M całkowita masa układu ie może się zmieiać układ zamkięty. dp Sumując stroami: 1 dp dp F, 2 F, F3,..., i1 dp i i1 F i dp oraz uwzględiając zależość: F i1 dp i dp sm Otrzymujemy rówaie ruchu środka masy układu : dp sm i1 F i (3.11) II zasada dyamiki Newtoa dla układu cząstek Szybkość zmia pędu środka masy układu cząstek jest rówa wypadkowej sił działających a układ i ma kieruek tej siły. 9

10 II zasada dyamiki Newtoa dla układu cząstek c.d. Z rówaia ruchu środka masy układu rówaia wyika, twierdzeie o ruchu środka masy: Środek masy układu puktów materialych porusza się tak, jak pukt materialy, w którym skupioa jest całkowita masa układu, i a który działa siła, rówa wypadkowej sił zewętrzych przyłożoych do układu. Ia postać II zasady dyamiki Newtoa dla układu cząstek : F M wyp a S (3.12) F wyp wypadkowa wszystkich sił zewętrzych, M całkowita masa układu. a s przyspieszeie środka masy 10

11 Czy siły wewętrze mają wpływ a ruch układu? Ze wzoru (3.10) wyika, że a każdy pukt działają siły wewętrze i zewętrze dp i F i F F ( w) ( z) i i (3.13) Oddziaływaia dowolych dwóch ciał w układzie zoszą się wzajemie (III zasada dyamiki), zatem: (3.14) WNIOSKI: Siły wewętrze ie mają wpływu a ruch układu. F ( z) 0 (3.15) Gdy, to przyspieszeie środka masy jest rówe zeru, czyli środek masy albo porusza się ruchem jedostajym prostoliiowym, albo spoczywa. i1 dp i i1 F ( z) i 11

12 3.4. ZASADA ZACHOWANIA PĘDU Dyamika puktu materialego Układ odosobioy (zamkięty, izoloway): jest to układ, a który ie działają żade siły zewętrze (źródła wszystkich sił zajdują się w obrębie samego układu; są to siły oddziaływaia między ciałami układu). Rozpatrzmy układ odosobioy złożoy z ciał o masach m, 1 m2,..., m.ciała te mają prędkości v 1, v2,..., v. Ozaczmy siły (wewętrze!) jakimi ciała działają a siebie jako: Fik siła, jaką ciało k-te działa a ciało i-te. Z II zasady dyamiki Newtoa: Dodając stroami powyższe rówaia: i1 d d d d dp F wyp m1 v1 F12 F13... F1 m2 v2 F21 F23... F2 mv F 1 F 2... F m ivi F12 F21... F 1 F 1 (3.16) 12

13 Z III zasady dyamiki Newtoa mamy: Zasada zachowaia pędu c.d. F ik F ki Podstawiając te waruek do poprzediego rówaia (3.15), otrzymujemy: i1 d d m ivi mivi i1 0 (3.17) Pęd układu rówy jest sumie pędów poszczególych elemetów: Ostateczie, otrzymujemy: ZASADĘ ZACHOWANIA PĘDU p dp p i mivi i1 0 stąd i1 p cost (3.18) (3.19) Jeśli a układ cząstek ie działają siły zewętrze lub ich wypadkowa jest rówa zeru, to całkowity pęd układu ie ulega zmiaie. 13

14 ZASADA ZACHOWANIA PĘDU C.D. Podoby rezultat osiągiemy, gdy rozważymy działaie siły zewętrzej a dokładiej: układ sił zewętrzych, których wypadkową jest ( z). F wyp Wtedy druga zasada dyamiki Newtoa dla układu N puktów materialych: (3.20) Jeżeli ( z) F wyp 0, to p cost (3.21) ZASADA ZACHOWANIA PĘDU: Jeżeli a układ ie działają siły zewętrze lub oddziałujące siły się rówoważą, to pęd układu pozostaje stały. Ia postać sformułowaia zasady zachowaia pędu: Suma pędów wszystkich ciał układu w momecie początkowym rówa się sumie pędów tych ciał w dowolym momecie późiejszym. (Najczęściej stosowaa do zagadieia zderzeń). 14

15 Przykład: rakieta z butelki Zasada zachowaia pędu - kosekwecje Z butelki plastikowej, w połowie wypełioej wodą i odwrócoą do góry dem, wypompowujemy powietrze. Zwolieie spustu umożliwia wytrysk wody w dół, zaś butelka szybuje w górę. Pęd układu pozostaje rówy zeru. 15

16 3.5. DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ POJĘCIE BRYŁY SZTYWNEJ Każde ciało możemy uważać za układ puktów materialych, których suma mas rówa się całkowitej masie ciała: M RUCH OBROTOWY M i1 m i Bryła sztywa,to takie ciało, które pod działaiem sił ie ulega odkształceiom, tz. średie odległości pomiędzy poszczególymi jego elemetami ie zmieiają się, iezależie od działających sił. Dla bryły sztywej obowiązują wszystkie wioski i zależości słusze dla układu puktów materialych. Rodzaje ruchów bryły sztywej: a) ruch postępowy- dowoly odciek łączący dwa dowole pukty bryły pozostaje rówoległy do swoich poprzedich położeń. b) ruch obrotowy wszystkie pukty daego ciała poruszają się po okręgach, których środki zajdują się a jedej prostej osi obrotu. Pierwszym człowiekiem, który opisał śrubę, był grecki uczoy i fizyk -Archimedes (około p..e.). W całym atyczym świecie śruba Archimedesa używaa była do podoszeia poziomu wody. 16

17 RUCH OBROTOWY. MOMENTEM BEZWŁADNOŚCI - wielkość charakterystycza dla daego ciała i określoej osi obrotu: (3.22) W przypadku ciał rzeczywistych, takich dla których masa jest rozłożoa w sposób ciągły stosuje się postać całkową defiicji pozwalającą obliczać rzeczywiste momety bezwładości: POSTAĆ CAŁKOWA: (3.23) gdzie: r 2 - ozacza zmieą określającą odległość elemetu masy dm od osi obrotu. 17

18 RUCH OBROTOWY. Momety bezwładości kilku popularych brył: a) rura b) walec peły c) kula d) pręt (WYPROWADZENIA WZORÓW NA TABLICY) 18

19 RUCH OBROTOWY TWIERDZENIE STEINERA (twierdzeie o osiach rówoległych) O O m Jeżeli momet bezwładości daego ciała względem osi przechodzącej przez środek masy wyosi I 0, to momet bezwładości I liczoy względem iej osi rówoległej do iej i oddaloej od iej o d, wyosi : d I I md 0 2 (3.24) WNIOSKI: * Momet bezwładości zależy od wyboru osi obrotu. *Gdy środek masy ciała oddala się od osi obrotu, to momet bezwładości ciała względem tej osi wzrasta. 19

20 Wielkości charakteryzujące ruch obrotowy (przypomieie) Okres, T (1s)- czas, w którym ciało wykouje jede pełe obrót. 1 Częstotliwość, (1s 1Hz) - liczba obrotów wykoaych przez ciało w czasie jedej sekudy; odwrotość okresu. Częstość kołowa - zwaa też prędkością kątową, i ich wzajeme związki: (3.25) (3.26) przyspieszeie kątowe (3.27) 2 d d 2 (3.28) 20

21 RUCH OBROTOWY MOMENT SIŁY (M. ) względem puktu O. Zdolość siły do wprawiaia ciała w ruch obrotowy zależy ie tylko od wartości składowej styczej, lecz także od tego jak daleko od puktu (osi) obrotu jest oa przyłożoa. M r F (3.29) M r F si r F (3.30). ramię siły 21

22 II ZASADA DYNAMIKI NEWTONA DLA RUCHU OBROTOWEGO Pukt materialy A, porusza się po okręgu o promieiu pod wpływem siły F, styczej do okręgu. wektorowo : I m 2 r skalarie : M rf m a r r r m r 2 a r I (3.31) M I (3.32) Przyspieszeie kątowe bryły sztywej (obracającej się wokół ieruchomej osi) jest wprost proporcjoale do wypadkowego mometu sił zewętrzych działających a ciało a odwrotie proporcjoale do mometu bezwładości tego ciała. 22

23 RUCH OBROTOWY. Przykład. Dla daych: M, R i m, zajdź przyspieszeie układu przedstawioego a rysuku. Pomiń opór powietrza oraz tarcie a osi krążka. M a F w m M w I 23

24 Momet pędu - ciało puktowe RUCH OBROTOWY. (3.31) (3.33) (3.34) Związek między mometem pędu a prędkością kątową Czy wektory mometu pędu i prędkości kątowej bryły sztywej zawsze są rówoległe? 24

25 RUCH OBROTOWY. Momet pędu bryły sztywej (3.35) (3.36) 25

26 DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ Uogólioa II zasada dyamiki Newtoa dla ruchu obrotowego (3.37) Szybkość zmiay mometu pędu ciała względem ieruchomej osi obrotu rówa się wypadkowemu mometowi sił zewętrzych działających a ciało. 26

27 DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ ENERGIA KINETYCZNA RUCHU OBROTOWEGO Eergia kietycza ciała w ruchu obrotowym E K 2 I 2 (3.38) WNIOSEK: Aby zwiększyć eergie kietyczą ciała w ruchu obrotowym trzeba ie tylko adać mu dużą prędkość kątową, ale także uczyić możliwie dużym jego momet bezwładości. Moża to zrealizować zwiększając masę ciała lub poprzez rozmieszczeie masy w możliwie dużej odległości od osi obrotu. 27

28 RUCH OBROTOWY. Całkowita eergia kietycza (3.39) Toczeie złożeie ruchu postępowego i obrotowego. obrót ruch postępowy toczeie 28

29 DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ Przykład. (Rola mometu bezwładości) Dwa walce (rys.) o tej samej masie i średicy staczają się z tej samej rówi pochyłej. Który pierwszy osiągie podstawę? Co jest powodem tej różicy? 29

30 ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU Z zasady dyamiki dla ruchu obrotowego: DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ dl dl M wyika wprost: M 0 0 L costt (3.40) Jeśli działający a układ wypadowy momet sił jest rówy zeru, to całkowity momet pędu układu ie zmieia się iezależie od tego, jakim zmiaom podlega układ. Moża pokazać, że rówież: momet pędu zamkiętego układu ciał względem dowolego uktu ieruchomego jest stały. Podobie: jeśli siły zewętrze dają momet względem ieruchomej osi rówy zeru, to momet pędu ciała względem tej osi ie zmieia się podczas ruchu. (Pokazy: wahadło Oberbecka, żyroskop, stołeczek + hatle, koło rowerowe) 30

31 ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU Z zasady dyamiki dla ruchu obrotowego: DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ dl dl M wyika wprost: M 0 0 L costt (3.41) Jeżeli wypadkowy momet sił zewętrzych względem ieruchomego puktu ciała rówa się zeru, to momet pędu ciała względem tego puktu ie zmieia się w czasie. Moża pokazać, że rówież: momet pędu zamkiętego układu ciał względem dowolego uktu ieruchomego jest stały. Podobie: jeśli siły zewętrze dają momet względem ieruchomej osi rówy zeru, to momet pędu ciała względem tej osi ie zmieia się podczas ruchu. (Pokazy: wahadło Oberbecka, żyroskop, stołeczek + hatle, koło rowerowe) 31

32 RUCH OBROTOWY. Przykład. Zasada zachowaia mometu pędu 32

33 Waruki rówowagi ciała Rówowaga ciała (3.42) (3.43) Środek ciężkości Siła ciężkości działająca a ciało jest efektywie przyłożoa w pukcie, który azywamy środkiem ciężkości. Jeśli dla wszystkich elemetów ciała przyspieszeie g jest jedakowe, to środek ciężkości ciała i jego środek masy zajdują się w tym samym pukcie. 33

34 Rówowaga ciała Przykład dla zaiteresowaych Żuraw wieżowy (rys.) musi być zawsze staraie wyważoy, tak że ie ma żadego mometu obrotowego. Żuraw a placu budowy ma podieść klimatyzator m = 3300 kg. Wymiary żurawia są pokazae a rysuku 2. Przeciwwaga żurawia ma masę M = kg. Zigoruj masę belki. Gdzie ależy umieścić przeciwwagę żurawia, gdy ładuek jest podoszoy z ziemi? (Przeciwwaga jest zazwyczaj przeoszoa automatyczie przez czujiki i siliki, aby precyzyjie kompesować obciążeie). Rys. źródło: 34

35 Dziękuję za uwagę! 35