Wielokryterialne problemy decyzyjne. Część I - problemy wielocelowe. Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1

Transkrypt

1 Wielokryterialne problemy decyyjne Cęść I - problemy wielocelowe Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

2 Plan: decyje a sterowanie sterowanie a automatyka i wspomaganie decyji agadnienia wielokryterialne wspomagania decyji rodaje agadnienia wielocelowe jak można je rowiąać Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

3 Decyja: pojęcie popularne w nasym jęyku... decydowałem się będę studiował automatykę... arąd pryjął plan strategicnego rowoju firmy Decyja: pojęcie klucowe w wielu naukach... teoria decyji... optymaliacja decyji... decyje wielokryterialne... decyje w warunkach ryyka i niepewności Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3

4 Oblica decyji? * decyja sędiego na boisku był faul? rut wolny? żółta kartka? cerwona kartka? * decyja Trybunału Konstytucyjnego akt prawny godny Konstytucją? cęściowo godny? * decyja akochanego? wiąć ślub? * decyja sefa firmy dobry projekt marketingowy? sfinansować w całości? dobry projekt nowego wyrobu? dobry program produkcji? * decyja rady miasta dobry projekt budżetu? o ile mniejsyć wydatki? co usunąć? Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4

5 Oblica decyji? c.d. * decyja dowódcy na polu walki atakować? wycofać się? bronić się? którędy atakować, aby askocyć wroga? * decyja kierowcy w samochodie którędy jechać, aby najsybciej dotreć do celu? * decyja robota domowego? sprątać? włącyć ogrewanie? * decyja espołu robotów jak porusać się w terenie, aby raem najsybciej dotreć do celu? * decyja regulatora ile gau do pieca, aby osiągnąć pożądaną temperaturę? Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

6 Co łący wymienione sytuacje decyyjne? - istnieje jednostka dostregająca potrebę dążenia do określonego celu lub mająca wskaany określony cel do jakiego ma dążyć i będąca na poycji umożliwiającej jej podjecie decyji co robić, aby ten cel osiągnąć mówimy ISTNIEJE DECYDENT mający cel i możliwości diałania dla jego osiągnięcia - istnieje możliwość diałania w różny sposób mówimy ISTNIEJĄ OPCJE DECYZYJNE - diałania mogą być oceniane mówimy ISTNIEJĄ KRYTERIA OCENY Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6

7 Co różni wymienione sytuacje decyyjne? - roważane diałanie może być skierowane na samego decydenta obiekty otocenia osoba, ludie, urądenie, espół urądeń, środowisko naturalne,. - Decydentem może być: pojedynca osoba cłowiek, grupa osób urądenie, grupa urądeń Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7

8 Decydent jednostka, która podejmuje decyję wskaując jedną opcji do realiowania Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8

9 Podsumowując sytuacja decyyjna: Istnieje jednostka mająca określony cel/cele diałania, możliwość wyboru i realiacji sposobu jego osiągnięcia i możliwości oceny możliwych do podjęcia diałań Sterowanie jaki jest wiąek tego pojęcia pojęciem sytuacji decyyjnej? Sterowanie jaka jest jego istota? Sterowanie to celowe oddiaływanie cegoś/kogoś na coś/kogoś Decyja jest wyborem sterowania Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9

10 Krótka analia pojęcia sterowanie Sterowanie to celowe oddiaływanie cegoś/kogoś na coś/ kogoś Celowe oddiaływanie??? KTOŚ KTOŚ??? COŚ Celowe oddiaływanie SSiWD COŚ Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 0

11 Dwie płascyny inżynierii sterowania Automatycne sterowanie (celowe oddiaływanie cegoś na coś) jest diediną wiedy, która ajmuje się możliwościami (proponowanie struktur sterowania, proponowanie metod sterowania, komputerowa realiacja struktur i metod) eliminowania udiału cłowieka procesów sterowania różnorodnymi obiektami bądź środowiskiem Wspomaganie decyji (celowe oddiaływanie kogoś na coś) jest diediną wiedy, która ajmuje się możliwościami (proponowanie modeli decyyjnych typowych problemów decyyjnych, proponowanie metod najdowania opcji spełniających preferencje decydenta, komputerowa realiacja systemów wspomagania decyji) pomagania cłowiekowi w procesach podejmowania różnorodnych decyji wiąanych oddiaływaniem na obiekty bądź środowisko Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

12 Coś co celowo oddiałuje układ/system sterujący Coś na co wywierane jest celowe oddiaływanie obiekt/system sterowany Połącenie - układ/system sterujący ora obiekt/system sterowany twory układ/system sterowania System/obiekt sterowany System/układ sterujący DECYDENT Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

13 Urądenia i grupy urądeń jako decydenci automatycne sterowanie, automatyka Cłowiek i grupy ludi jako decydenci wspomaganie decyji Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3

14 Automatyka (w naceniu sterowanie automatycne) jest diediną wiedy, która ajmuje się możliwościami ogranicania udiału lub eliminowania udiału cłowieka w sterowaniu różnorodnymi obiektami bądź środowiskiem Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4

15 Wspomaganie decyji jest diediną wiedy, która ajmuje się możliwościami pomagania cłowiekowi w sterowaniu różnorodnymi obiektami bądź środowiskiem, w sterowaniu w którym jest on istotnie aangażowany, a pomaganie skupione jest na procesie podejmowania decyji Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

16 Cy awse będiemy mówić o wspomaganiu decyji charakter decyji? Cy powinienem kupić nowy komputer? Cy powinienem tej jesieni podróżować samolotami? Jaki jest najbardiej odpowiedni profil produkcji fabryki? Który rynek powinien być najbardiej dochodowy? Jaką terapię astosować? Jak preciwdiałać skutkom ataku terrorystycnego? Jak monitorować środowisko preciw skażeniom? Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6

17 Roróżnienie: decyje indywidualne (osobnice) decyje instytucjonalne Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7

18 Kiedy pojawia się decyja? Decyja pojawia się jako wynik procesu naywanego procesem decyyjnym Terminy tożsame: proces decyyjny proces podejmowania decyji podejmowanie decyji Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8

19 Cym jest proces podejmowania decyji, w scaególności instytucjonalnej? Podejmowanie decyji to każdy ciąg operacji o charaktere mentalnym i obliceniowych tworących proces pretwarania, w który włącone są informacja, wieda, preferencje, a którego celem jest podjęcie decyji Po podjęciu decyji mówimy rowiąaliśmy problem decyyjny Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9

20 Cym jest proces podejmowania decyji instytucjonalnej? Podejmowanie decyji to każdy ciąg operacji o charaktere mentalnym i obliceniowych tworących proces pretwarania, w który włącone są informacja, wieda, preferencje, a którego celem jest podjęcie decyji Po podjęciu decyji mówimy rowiąaliśmy problem decyyjny Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 0

21 Cy tylko decydent ucestnicy w procesie decyyjnym? - w procesie decyyjnym występują różni jego ucestnicy; na dwóch wracamy uwagę decydent i analityk - decydent - D (Decision Maker DM) jest tym ucestnikiem procesu podejmowania decyji PPD (Decision Making Prosess DMP), do którego adresowane jest wspomaganie decyji (osoba, ciało kolegialne, biorowość); krótko, ten, któremu pomagamy - analityk A jest tym ucestnikiem procesu podejmowania decyji, który ajmuje się wspomaganiem decyji; krótko, ten, który pomaga decydentowi Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

22 W procesie decyyjnym można wyróżnić umownie kilka kolejnych fa. identyfikacja sytuacji decyyjnej. sformułowanie problemu decyyjnego 3. budowanie modelu decyyjnego 4. wynacenie różnych podbiorów bioru opcji (dopuscalnych, adowalających, optymalnych,...) 5. podjęcie/wybór decyji Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

23 Jak można określić poscególne tych fa? Sytuacja decyyjna określana jest pre estaw wsystkich cynników, które mają wpływ na decyję, jakiej dokona decydent Sformułowanie problemu decyyjnego powinno definiować:. decydenta,. opcje decyyjne, 3. cynniki ogranicające prestreń decyyjną, 4. cynniki kstałtujące ocenę opcji decyyjnych Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3

24 Dwie pierwse fay procesu decyyjnego (podejmowania decyji) mają na ogół charakter opisowy. Charakteru takiego nie ma kolejna faa tego procesu budowanie modelu decyyjnego Model decyyjny to wyrażona najcęściej w jęyku matematyki repreentacja roważanego problemu decyyjnego. Z pomocą modelu powinno być możliwe określenie elementów bioru dopuscalnych opcji decyyjnych a także wskaanie opcji optymalnych Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4

25 Wynacenie różnych podbiorów bioru opcji opiera się na stosowaniu różnorodnych metod metod optymaliacji jednokryterialnych metod optymaliacji wielokryterialnych metod klasyfikacji metod porądkowania... Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

26 W prypadku decyji instytucjonalnych pojawiają się: Systemy wspomagania decyji - SWD (Decision Support System - DSS) są klasą skomputeryowanych systemów informacyjnych, które wspomagają diałalność podejmowania decyji Dwa obsary: podejmowanie decyji, systemy informacyjne Płascyna spotkania: technika komputerowa Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6

27 Wielokryterialne problemy decyyjne Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7

28 Problemy podejmowania decyji akwalifikowane do dwóch kategorii: wielokryterialnych mogą być ogólnie problemy decyji wieloatrybutowych (Multiple Attribute Decision Problem - MADP) problemy decyji wielocelowych (Multiple Objective Decision Problem - MODP) Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8

29 Problemy decyji wieloatrybutowych Cechą wyróżniającą problemy decyji wieloatrybutowych MADP jest to, że istnieje ogranicona (i prelicalnie mała) licba ustalonych wceśniej opcji decyyjnych. Każda opcja posiada określony, wiąany nią, poiom osiągnięcia unanych a istotne pre decydenta atrybutów/cech (które niekoniecnie musą być kwantyfikowalne) i na których podstawie podejmowana jest decyja Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9

30 Zagadnienie wieloatrybutowe prykład (Problem wyboru samolotów myśliwskich) Pewne państwo decydowało się akupić flotę odrutowych myśliwców w USA. Urędnicy Pentagonu predstawili informację o właściwościach cterech modeli, które mogą być spredane do tego kraju. Zespół analityków Sił Powietrnych ainteresowanego kraju godił się, że należy roważać seść charakterystyk (atrybutów). Są to: maksymalna prędkość (A), asięg latania (A), maksymalny ładunek użytecny (A3), kost akupu (A4), nieawodność (A5), manewrowalność (A6). Wartości tych atrybutów ostały predstawione w tablicy Myśliwiec Atrybut A A A3 A4 A5 A6 M średnia b. wysoka M niska średnia M wysoka wysoka M średnia średnia Który samolotów powinien wybrać ainteresowany kraj, jeżeli chciałby mieć samolot jak najsybsy, o jak najwięksym asięgu, jak najwięksej ładowności, jak najtańsy, jak najbardiej nieawodny i jak najwyżsych dolnościach manewrowych? Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30

31 Problemy decyji wielocelowych W prypadku problemów decyji wielocelowych MODP nie określana jest wceśniej licba opcji wartościami właściwych dla problemu atrybutów. Zamiast tego problemy te posiadają: () biór kwantyfikowalnych celów na podstawie których podejmowana jest decyja o wybore określonej opcji decyyjnej; () biór dobre określonych ograniceń na wartości różnorakich cynników kstałtujących możliwości wyboru możliwych opcji (miennych decyyjnych) Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3

32 Zadanie, które posłuży do ilustrowania różnych podejść optymaliacji wielocelowej Firma produkuje dwa produkty. Zarąd wyraił życenie, aby naleźć program produkcji, który: maksymaliuje całkowity ysk, maksymaliuje spodiewaną,,prechwytywaną cęść rynku (udiały na rynku), spełnia ogranicenia procesu produkcji (tn. dostępności surowców), nie doprowada do nasycenia rynku (tn. mamy możliwość spredania całej wytworonej produkcji). Ponadto wiadomo: jedna jednostka produktu. apewnia dochód w wysokości 3 jednostek pieniężnych (jp.), a jedna jednostka produktu. - jp.; osacowano, że każda spredana jednostka produktu. powięksy rynek o dwie jednostki udiału na rynku, a jedna jednostka produktu. - o 3 jednostki; wytworenie jednostki produktu. wymaga użycia jednostek surowca, a jednostki produktu. - jednostki; tylko 50 jednostek surowca jest dostępnych w roważanym okresie casu; badania rynku wskaują, że nie więcej niż 0 jednostek produktu pierwsego i nie więcej niż 30 jednostek produktu drugiego. Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3

33 Analitycne sformułowanie agadnienia: Onacmy: - licba wyprodukowanych jednostek produktu - licba wyprodukowanych jednostek produktu Znaleźć wartości i takie, które: maksymaliują 3 3 maksymaliują (cyli całkowity ysk w roważanym okresie casu) (cyli prechwycone w roważanym okresie casu udiały w rynku) spełniając: , 0 0 (ogranicenie dostępności surowca) (ogranicenie nasycenia rynku produktu.) (ogranicenie nasycenia rynku produktu.) (warunki nieujemności) Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33

34 Graficne rowiąanie agadnienia Punkty wierchołkowe: D A C B A B C D Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34

35 Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35 Ogólne sformułowanie wielocelowego agadnienia programowania liniowego; k - fukncji celu, m - ograniceń C T Δ imaliowac min 0 b A, : X speln iajac n Δ gdie T k T i T T k T i T k i, c c c C c c c

36 Wielość funkcji celu Nie będą nas interesowały prypadki, kiedy możliwe jest naleienie całkowicie optymalnego rowiąania Np. jeżeli dla prykładowego agadnienia 4 Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36

37 Wielość funkcji celu Rowiąanie całkowicie optymalne (prypadek minimaliacji) Mówi się, że jest rowiąaniem całkowicie optymalnym, wtedy i tylko wtedy, jeżeli istnieje X takie, że i,k, X : i i Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 37

38 Optymaliacja jedną funkcją celu (jednocelowa) Funkcja celu odworowuje punkty prestreni decyyjnej w R n w wartość skalarną w R W R istnieje naturalny kanonicny porądek Konsekwencja: Zdefiniowanie optymalnego rowiąania np. minimaliacji jest proste X R n jest optyma ln e X : Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 38

39 Optymaliacja wieloma funkcjami celu (wielocelowa) Funkcja celu =[,,..., K ] odworowuje punkty prestreni decyyjnej w R n w wartość wektorową w R K, K> Problem: W R K nie istnieje naturalny kanonicny porądek Konsekwencja: Istnieją różne pojęcia optymalności, które ależą od wybranego w R K porądku Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 39

40 Wielość funkcji celu Weźmy prykład dwucelowe agadnienie programowania liniowego minimaliowac 3 speln iajac , Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 40

41 Predstawienie w prestreni opcji decyyjnych (w prestreni decyji) minimaliowac speln iajac , Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4

42 Transformacja Prestreń decyji Prestreń celów Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4

43 minimaliowac speln iajac , 5 D(-0,6) Predstawienie w prestreni kryteriów (w prestreni celów) E(-9,9) C(-7.5,6.5) B(-5,5) A(0,0) Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 43

44 Optymaliacja wieloma funkcjami celu (wielocelowa) Wybór porądku ależy od problemu decyyjnego Jeżeli można podać ranking funkcji celu np. jest ważniejsa niż, wybrany ostanie porądek leksykograficny i m : L m 0 : i i m m Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 44

45 Optymaliacja wieloma funkcjami celu (wielocelowa) Jeżeli interesują nas rowiąania dla których poprawienie wartości jednej funkcji np. nie może się odbyć be pogorsenia co najmniej jednej poostałych, wybrany ostanie porądek Pareto P i : i i Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 45

46 Optymaliacja wieloma funkcjami celu (wielocelowa) Ilustracja nierówności Pareto * Stożki nierówności Pareto Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 46

47 Graficne wynacenie bioru Pareto dla roważanego prykładu a) w prestreni decyji minimaliowac 3 speln iajac , Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 47

48 b) w prestreni celów Z, : X minimaliowac 3 speln iajac , Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 48

49 Alternatywy postępowania porądek Pareto I. Wykorystanie klasycnych metod optymaliacji jednocelowej operujących na pojedyncych punktach prestreni decyyjnej posukiwany jest jeden punkt bioru Pareto wyrażenie preferencji decydenta odbywa się pred optymaliacją II. Wykorystanie metod optymaliacji operujących na populacjach punktów prestreni decyyjnej (np.. algorytmy genetycne) posukiwanie bioru punktów Pareto wyrażenie preferencji decydenta odbywa się po optymaliacji Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 49

50 Wybrane metody posukiwania rowiąań wielocelowych agadnień liniowych. Sprowadenie do jedno-celowego agadnienia liniowego popre amianę wsystkich funkcji celu poa jedną w ogranicenia Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 50

51 Prykład Pryjmiemy całkowity ysk jako pojedyncy cel i będiemy traktować powięksenie udiału na rynku jako ogranicenie. To ostatnie prekstałcenie możemy realiować pre pryjęcie pewnego akceptowalnego lub pożądanego powięksenia udiału na rynku. Prykładowo pryjmijmy, że takim pożądanym powiękseniem udiału na rynku jest 00. Model nasego prykładowego problemu będie miał wówcas postać 3 Znaleźć wartości i taki, które: maksymaliują spełniając: , (cyli całkowity ysk w roważanym okresie casu) (pożądane powięksenie udiału na rynku) (ogranicenie dostępności surowca) (ogranicenie nasycenia rynku produktu.) (ogranicenie nasycenia rynku produktu.) (warunki nieujemności) Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

52 Punkty wierchołkowe Graficne rowiąanie E A F D E A F * F. 5, 5 Rowiąanie optymalne * 6 5 *., B C Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5

53 Zalety Możemy bepośrednio astosować istniejące algorytmy lub oprogramowanie PL do rowiąania aproponowanego modelu. Wady Jeżeli nie jesteśmy ostrożni (i/lub scęśliwi), konwersja celu w (twarde) ogranicenie może prowadić do modelu, który jest matematycnie niedopuscalny (np. w nasym prykładie, jeżeli użylibyśmy wartości 0 amiast 00 dla PS ogranicenia powięksenia udiałów na rynku, nas model byłby matematycnie niedopuscalny) Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 53

54 Wady Pretworony cel, lub cele, są traktowane jako twarde ogranicenia pre algorytmy PL. Zatem jeżeli nawet bylibyśmy skłonni pogodić się udiałem mniejsym niż 00 w roważanym okresie, rowiąanie takie nie ostanie wygenerowane pre algorytmy PL Ma miejsce duża subiektywność w wybore pojedyncego celu, który będie wykorystany w pretransformowanym modelu - wynik może różnić się istotnie w ależności od wyboru Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 54

55 Graficna ilustracja D A Znaleione rowiąanie 0 0 C B Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 55

56 Pokaaliśmy graficnie na jednym prykładie, że metoda sprowadenia do jedno-celowego agadnienia liniowego popre transformację cęści funkcji celu prowadi do naleienia/wybrania jednego rowiąań Pareto optymalnych Cy ten wynik ma cechy ogólności? Będiemy roważaną metodę skalaryacji naywali metodą ogranicenia (MO) (ang. constraint method) lub metodą Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 56

57 Sformułowanie oryginalne (WCPL) min imaliowac speln iajac Δ,,,, Δ n X : A b, 0 i k T Sformułowanie metody ogranicenia minimaliowac j spe ln iajac i X i ; i,k,i j X Niech będie optymalnym rowiąaniem agadnienia metody ogranicenia (MO) Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 57

58 Twierdenie MO Jeżeli X jest unikatowym rowiąaniem optymalnym agadnienia MO, dla pewnych wartości to ;i,k,i j i jest rowiąaniem Pareto optymalnym agadnienia WCPL Jeżeli unikatowość rowiąania agadnienia MO nie jest gwarantowana, wówcas jedynie słabe rowiąanie Pareto optymalne jest gwarantowane X Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 58

59 Twierdenie MO Jeżeli X jest jest rowiąaniem Pareto optymalnym agadnienia WCPL, to jest optymalnym rowiąaniem agadniena MO, dla pewnych wartości i ;i,k,i j Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 59

60 Prykład: minimaliowac speln iajac , Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 60

61 Wybrane metody posukiwania rowiąań wielocelowych agadnień liniowych. Sprowadenie do jedno-celowego agadnienia liniowego popre agregację funkcji celu (metoda ważenia (ang. weighting method)) Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6

62 Prykład Jeden cel mierony jest w dolarach (ysk) a drugi w uyskiwanym udiale na rynku (np. pewna miara,,lojalności" kupujących dany produkt prejawiająca się w więksym prawdopodobieństwie powtórenia akupu danego towaru). Jeżeli można pretworyć jeden nich, powiedmy poyskane udiały na rynku, w dolary ysku (lub alternatywnie, dolary ysku w jednostki udiału na rynku), to będiemy mogli łożyć obydwa cele w jeden, który będie mierony w jednakowych jednostkach Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6

63 Załóżmy, że jesteśmy w stanie, dla nasego prykładu, wybrać wagi: dla pierwsego celu 0.6, a dla drugiego, 0.4. Uyskamy wówcas następujący model nasego agadnienia: Znaleźć wartości i takie, które: maksymaliują spełniając: , 0 0 (agregowane funkcje celu w wybranych jednostkach użytecności) (ogranicenie dostępności surowca) (ogranicenie nasycenia rynku produktu.) (ogranicenie nasycenia rynku produktu.) (warunki nieujemności) Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 63

64 Graficne rowiąanie A B C D D A * A Rowiąanie optymalne 0 *, 3 30 * * 80, 60, 0, 0 B 3 0 C Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 64

65 Zalety Możemy bepośrednio astosować istniejące algorytmy lub oprogramowanie PL do rowiąania aproponowanego modelu. Wady Istotny cas i ostrożność są potrebne dla określenia odpowiednich wag Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 65

66 Graficna ilustracja D A Znaleione rowiąanie 0 0 C B Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 66

67 Podobnie jak poprednio, pokaaliśmy graficnie na jednym prykładie, że metoda sprowadenia do jedno-celowego agadnienia liniowego popre aproponowanie agregowanej ważonej funkcji celu prowadi do naleienia/wybrania jednego rowiąań Pareto optymalnych Cy ten wynik ma cechy ogólności? Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 67

68 Sformułowanie oryginalne (WCPL) min imaliowac speln iajac Δ,,,, Δ n X : A b, 0 i k T Sformułowanie metody ważenia (MW) X Niech metody ważenia k Δ T w wi i i spelniajac X gdie w w i 0 minimaliowac w będie optymalnym rowiąaniem agadnienia w k Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 68

69 Twierdenie MW Jeżeli X jest rowiąaniem optymalnym agadnienia MW, dla pewnych wartości to w i 0;i,k jest rowiąaniem Pareto optymalnym agadnienia WCPL Warunek twierdenia może być amieniony innym brmiącym: unikatowym rowiąaniem optymalnym agadnienia MW, dla pewnych wartości w i 0;i,k Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 69

70 Jeżeli Twierdenie MW X jest jest rowiąaniem Pareto optymalnym agadnienia WCPL, to jest optymalnym rowiąaniem agadnienia MW, dla pewnych wartości w T w w 0 i wk Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 70

71 Diękuję a uwagę Zaprasam na kolejny wykład Kaimier Duinkiewic, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7