1. Pojęcie równania różniczkowego jest to pewne równanie funkcyjne, które zapisać można w postaci ogólnej

Transkrypt

1 1 Równania różnickowe pojęcie 1 Pojęcie równania różnickowego jest to pewne równanie funkcyjne, które apisać można w postaci ogólnej "! (1) lub w postaci normalnej #%$ & ' () (2) Rąd najwyżsej pochodnej występującej w równaniu określa rąd równania różnickowego 2 Rowiąania równania różnickowego Niech dane jest równanie różnickowe w postaci normalnej +$, &-' $ $ 0/2143 Niech funkcja jest ciągła i jest definiowana następująco Rowiąaniem równania różnickowego w prediale jest funkcja określona i różnickowalna w tym prediale, gdy spełnia dwa warunki <;=?> > / BC / tn, że wykres funkcji musi być awarty w obsare, <;=?> %$E FG tn że funkcja spełnia adane równanie różnickowe na całym prediale 5 87@9 Rowiąanie takie naywa się całką ogólna lub rowiąaniem ogólnym równania różnickowego 3 Prypadki rowiąań równań różnickowych Rowiąania równań różnickowych mogą być recywiste, urojone, może ich nie być lub może być ich nieskońcenie wiele Prykład równania różnickowego, które nie ma rowiąań recywistych JI L +! 1 L #CQR Jego rowiąaniem jest funkcja Rówanie różnickowe, które nie ma rowiąań +! 1 STVU TW ON P "X(YZ![ Najcęściej mamy do cynienia sytuacja w której istnieje nieskońcenie wiele rowiąań równania różnickowego są to całki ogólne, np równanie G \] ma rowiąanie postaci ^ ^ Ì ba'ced&fg, gdie > 3 Funkcja taka stanowi Wartości jakie może pryjąć parametr jest nieskońcenie wiele, a więc i rowiąań można budować nieskońcenie wiele Dlatego mówi się, że rowiąaniem r r jest cała rodina krywych Powyżse r r jest równaniem pierwsego rędu i jego rowiąanie ależy jak widać od jednego parametru recywistego Rowiąanie r r drugiego rędu jest ależne od dwóch parametrów, np rowiąanie równania nieależnie od wartości parametru _ > 3 " ji I\_ Ik, gdie _ Fh Jego rowiąaniem jest funkcja > 3 Otrymujemy w tym miejscu dwa parametry, bo do rowiąania takiego równania należało preprowadić dwa całkowania, a w każdym nich pojawiła się stała całkowania 1

2 4 Jeśli rowiąanie r r można wynacyć pre wykonanie skońconej licby całkowań, to mówi się, że jest to rowiąanie pre kwadraturę Nie wsystkie r r można rowiąać pre kwadraturę Np równania Bessela etodą ich rowiąywania jest wówcas postulowanie wyniki w postaci seregu 5 Całki scególne Całki ogólne to rowiąania r r spełniające to równanie w ogólności Zagadnieniem pocątkowym Cauchy ego dla r r rędu pierwsego naywa się agadnienie polegające na wynaceniu całej ml rodiny rowiąań (całki ogólnej) jednego rowiąania spełniającego adany warunek l l l, gdie > / Innymi słowy, agadnienie mlnol to sprowada się / do wysukania rowiąania prechodącego pre adany punkt należący do obsaru Zagadnienie Cauchy ego łożone jest równania różnickowego i warunku pocątkowego (interpretacja geometrycna!) Tak naleione rowiąanie r r naywane jest całką scególną 2 Podstawowe typy równań różnickowych 21 Najprostsym typem równania różnickowego jest równanie, które w postaci normalnej można apisać następująco +$, ' $+p$, gdie jest pewną ciągłą funkcją argumentu $, (miennej nieależnej) Rowiąanie takiego równania uyskuje się popre całkowanie funkcji, tn qor2$, Is_ 22 Inny prosty typ równania różnickowego, to rówanie postaci tu vw [ Iy B - które można sprowadić do nieco cytelniejsej postaci I tu vy [ B [ G!j {+![ lub równoważnie I V} [#G!j (3) które dla } [ ~ staje się równaniem liniowym jednorodnym Rówanie powyżsej postaci można apisać w postaci równoważnej } [ P ' a jego rowiąanie w postaci uwikłanej r } [ F`P r & Recą istotną w równaniu (3) jest ilocyn funkcji R} [ tn możliwość roseparowania od siebie funkcji miennej nieależnej ora funkcji miennej ależnej Jeśli taka separacja nie jest mołiwa, 2

3 r nie jest bepośrednio możliwe rowiąanie podane powyżej Jeśli w równaniu (3) funkcji miennych i nie uda sie roseparować, cyli gdy będie miało ono postać I &-V} & [#+![ i nie będie można go apisać w postaci (3) I V} [#G!j to próba naiwnego rowiąania doprowadi do równania np & [ B`P r } &[ & w którym dochodi do całkowania funkcji % wględem miennej (cyli do całkowania funkcji niewiadomej celem rowiąania równania różnickowego jest jej naleienie) lub całkowania wględem W takich prypadkach należy różnymi sposobami, adekwatnymi do postaci równania, próbować równanie to sprowadić do równania o miennych rodielonych (3) 23 Równania o postaci sprowadalnej do równań o miennych rodielonych 24 Równanie postaci gdie & [ są funkcjami jednorodnymi tego samego stopnia, można sprowadić do równania i } & [ &[ które rowiąuje się pre podstawienie 25 I } [ F+![ %$ q ƒ = = Wiadomo jak rowiąywać równania o miennych rodielonych, ale jak postepować innymi, na poór wiele bardiej łożonymi równaniami? Weźmy pod uwagę równanie różnickowe postaci naturalnej lub jego postać scególną +$ I 7 I a I 7 I a [ I 7 I a I 7 I a Wsystkie roważania ropatrymy tera dla tej postaci równania, ale tylko e wględów dydaktycnych Wnioski jakie się pojawią mogą być stosowane w ogólności do wsystkich równań różnickowych postaci (4) Jak poradić a sobie równaniem (5)? Widać, że podstawienie = ƒ na nic się tu nie da e wględu na stałe a i, które spowodują, że podielenie mianownika i licnika pre wygeneruje wyray postaci ˆ = ora ˆRŠ = Nie tędy więc droga W takim raie dokonajmy amiany miennych Zapostulujmy wprowadenie nowych miennych postaci GŒ Iw?"Ž Iw (4) (5) () 3

4 Ž Œ Ž Œ P 7 & Warto podkreślić, że we współrędnych, pełni rolę miennej nieależnej, natomiast miennej ależnej, Ž\ Ž Œ tn W Œ-Ž nowym Œ układie współrędnych, podobną rolę pełnią odpowiednio ora, natomiast i są stałymi Równanie (5) wyrażone popre nowe mienne pryjmuje postać CŽ Œ I I 7 Ž I 7 I a Œ I I 7 Ž I 7 I a Œ I 7 Ž I I 7 I a Œ I 7 Ž I I 7 I a (7) Widać, że to równanie ma postać sprowadalną do postaci równania o miennych rodielonych, ale pod warunkiem, że swobodne wyray stałe występujący w wyrażeniu powyżej będą równe ero, tn Wówcas równanie (7) pryjmuje postać "Ž I 7 I a G! I 7 I a "!j Œ I 7 Ž Œ I 7 Œq I 7 - I 7 (8) które łatwo rowiąać stosując podstawienie #še œš- Podany sposób sprowadenia równania postaci (4) możliwy jest tylko w prypadku gdy wynacnik ž žžž 7 žžžžÿ +![ Gdy warunek ten nie jest spełniony wówcas układ równań (8) jest sprecny (co natychmiast implikuje, że stałe w mianowniku i licniku nie mogą być jednoceśnie równe ero) W takim prypadku należy auważyć rec następującą erowanie się powyżsego wynacnika jest równoważne równaniu którego wynika Wówcas u ora 7 u ! "a'ced&fg 7 i dokonywanie podstawienia () nie jest koniecne, ponieważ równanie (5) można apisać w postaci i równanie łatwo rowiąać pre podstawienie 2 I 7 I a I 7 I a q I 7 Warto w tym miejscu auważyć, że do do postaci równania o miennych rodielonych łatwo sprowadić równanie o postaci Dokonuje się tego pre podstawienie G$, # I 7 I a I 7 I a 4

5 3 Równania różnickowe liniowe i sprowadalne do nich 31 Równania różnickowe liniowe 311 etoda redukcji równania etoda ta polega na sprowadeniu równania liniowego I B+$, (9) do postaci równania +$, ' którego sposób rowiąania (całkowanie) jest bardo dobre nany Warto auważyć, że pomnożenie prowadi do równania równania (9) pre funkcję So & = = S = = I V S = = G$, S = = Lewa strona tego równania może być apisana jako pochodna, tn S = = I V S = = S = = (10) w wówcas całe równanie pryjmuje postać #+$, S = = œ -ª«( # S & = = i dalej q" S & = = Or2$, S = = 312 etoda umiennienia stałej Proces rowiąywania tą metodą podielić można na dwa etapy Etap pierwsy to rowiąanie równania I V{"! I jednorodnego Etap drugi, to postulowanie rowiąania równania niejednorodnego `$, w oparciu o rowiąanie równania jednorodnego, które to rowiąanie ostało uyskane w pierwsym etapie Rowiąanie równania jednorodnego Łatwo auważyć, że równanie jednorodne to równanie o miennych rodielonych `P ' którego rowiąanie jest ocywiście postaci _ XY BP r 1 B _ S ) = = (11) Postulowanie rowiąania równania niejednorodnego Dysponując (11) rowiąanie równania niejednorodnego można apostulować w postaci # _ S ) = = (12) _ cyli dokonując tw operacji umiennienia stałej występującej w rowiąaniu ogólnym równania jednorodnego Warto w tym miejscu auważyć, że postulując rowiąanie w takiej postaci nie traci się nic na ogólności tego rowiąania Na tym etapie można wcale nie akładać, by 5

6 rowiąanie równania niejednorodnego było w jakikolwiek sposób wiąane rowiąaniem równania jednorodnego I taką właśnie dowolność apewnia odpowiednia postać funkcji _ Na tym etapie funkcja _ jest niewiadomą, którą należy oblicyć Skoro funkcja (12) ma stanowić rowiąanie równania niejedorodnego, to równanie to musi być dla niej spełnione Należy więc rowiąanie postulowane wstawić do równania niejednorodnego i na tej podstawie oblicyć _ i dalej _ _ J+$, S = = (13) a tego _ J r $, Se = Is_ (14) Wówcas rowiąanie równania niejednorodnego ma postać F _ S ) = = I S ) = = r $, S = = #še nš- Sposób postulowania rowiąania równania różnickowego w określonej postaci jest w ogólności całkowicie poprawny Problem jaki może się pojawić w tym miejscu polega jednak na rowiąaniu równania różnickowego po wstawieniu do niego rowiąania postulowanego W prypadku gdy rowiąanie będie miało postać rowiąania równania jednorodnego umiennioną stałą, równaniem wynikowym będie równanie o miennych rodielonych W ogólności nie otrymuje się takiego równania otrymać można natomiast równanie, którego nie można w łatwy sposób scałkować 32 Równania Bernoulliego Równanie Bernoulliego można w ogólności apisać w postaci - I F%$, -ō gdie > 3²±³![ o Równanie to różni się od równania liniowego które wiadomo jak rowiąywać jedynie funkcją występującą po prawej stronie (1) Spróbujmy więc równanie Bernoulliego (1) sprowadić do ) postaci równania różnickowego liniowego Pomnóżmy równanie (1) pre, tak aby wyra niknąl po prawej stronie tego równania W efekcie uyskujemy nowe równanie postaci +$, ) I ) G$, 1 ) µ IJ - ) µ Równanie to nie prypomina na raie równania liniowego Warto jednak w tym miejscu auważyć, że podkreślone klamrą wyray wiąane są e sobą różnicką w sposób następujący ) ¹ P ` ) V ) Natychmiast widać, że podstawienie spowoduje, że równanie (17) będie miało postać równania różnickowego liniowego Dokonujemy więc podstawienia, otrymując w efekcie równanie P I %$, ' które po prostym prekstałceniu widać, że jest równaniem liniowym #še œš- I P ` P $, 'º P J"aced&fg Powyżsa analia obowiąuje jedynie dla prypadku > 3²±³!j o (1) staje się równaniem liniowym niejednorodnym, a gdy "! (15) (1) (17) (18), ponieważ gdy rówanie równaniem liniowym jednorodnym

7 »»»»»» 33 Równania upełne Różnicka upełna pewnej funkcji dwóch miennych» gdie» ½» I» &[q2»? &- &[ ¾B & [q½» I { &[ ma postać &- cego wynika, że funkcje &[ 4 B [ ora są funkcjami, które uyskuje się popre wlgędem odpowiednio i Poa tym należy auważyć, że w ogólności różnickowanie funkcji» achodi (twierdenie o pochodnej miesanej)» µe À =Á ƒ » µ ' =oá ƒ cego bepośrednio wynika, że dla każdej rónicki upełnej funkcji dwóch miennych, różnicki postaci (19) achodi [# B & [' nay- Równania różnickowe, których lewa strona jest różnicką upełną pewnej funkcji» wane są równaniami różnickowymi upełnymi» &- I B &- {"!j & [ (19) (20) (21) (22) (23) Rowiąaniem takiego równania jest rodina wsystkich krywych & [q _ (24) co bepośrednio wynika postaci równania (23) Dla takich równań warunek (22) musi być ocywiście spełniony Sprawdenie tego warunku stanowi cęsto najsybsą drogę określenia cy adane równanie różnickowe jest równaniem upełnym 331 etoda rowiąywania równań upełnych &-J _ Jak ostało powiediane powyżej, rowiąaniem takiego równania różnickowego jest rodina krywych» Rowiąanie sprowada się więc do wynacenia funkcji» Jedną metod jej wynacenia jest rowiąanie układu równań (20) określających tę funkcję Z pierwsego równań (20) otrymuje się, gdie _ > 3 &[q%r &[ Isà [ à [ Występująca powyżej funkcja pełni rolę stałej całkowania wględem miennej Funkcję» & [ niewiadomą Än ƒ à [ funkcją wstawia się następnie do drugiego równań (20) cego wylicyć można pochodną ƒ à [ à à - à [ funkcji, a tego pre całkowanie samą funkcję Wstawienie do (25) określa rowiąanie równania upełnego #še œš- Wprowadana klasyfikacja równań różnickowych służy międy innymi sformaliowaniu metod ich rowiąywania Prynależność danego równania różnickowego do danego typu równań nie wykluca prynależności do innego typu Innymi słowy, na prykład równanie różnickowe upełne może być na prykład równaniem różnickowym o miennych rodielonych Równanie takie można [ (25) 7

8 ƒ ƒ ƒ Ò Ô r Ò wówcas rowiąać jedną lub drugą metodą, traktując je jako równanie o miennych rodielonych lub równanie upełne Å Æ(ÇÈœÉÊËšLÌ Równanie można je apisać w postaci którym & [ może skrócić proces rowiąywania = I X(YZ Í! jest równaniem o miennych rodielonych, ponieważ ÎP =Ï Ð= Jednoceśnie jest to równanie różnickowe upełne, w = { &[ ~X(Y, a Wybranie odpowiedniej drogi rowiąania takiego równania 332 Sprowadanie określonych równań różnickowych do postaci równań upełnych cynnik całkujący W określonych prypadkach istnieje możliwość sprowadenia równania różnickowego do postaci równania różnickowego upełnego Prypuśćmy, że równanie nie jest upełne Funkcja &[ [ [ &- > _ I I B [ F+! (2) jest tw cynnikiem całkującym równania (2) gdy równanie [ { &[ BpÒ [ I B [ Ò BG! jest równaniem różnickowym upełnym W takiej sytuacji spełnione jest równanie &- B [ które prekstałcić można do postaci (pry pominięciu jawnej ależności od argumentów i ) PÓ ÕÔ P Ö i dalej P Ostatnie równanie, wykorystując ależności prepisać można w postaci X(Y X(Y PO XY `2 X(Y O½ PO PO (27) (28) (29) Równanie różnickowe na cynnik całkujący nacnie się uprasca, gdy ropatryć dwa prypadki scególne Załóżmy, że jest funkcją tylko miennej, tym samym równanie (29) ma postać Ô Jego całkowanie prowadi do cynnika całkującego J" Ø P Ö PO postaci (30) Ö (31) 8

9 À Û Û ƒ Û Û ƒ Û Û Ô r Ü Ü Załóżmy, że #še œš- [ jest funkcją tylko miennej W tym prypadku równanie (29) ma postać Ô PO ÙÖ Całkowanie tego równania prowadi do cynnika całkującego [q" -Ø PO [ postaci (32) Ö (33) Wyrażenia (31) ora (33) awierają jednoceśnie warunki określające warunek istnienia cynnika całkującego postaci odpowiednio i Cynnik istnieje wówcas gdy funkcja podcałkowa argumentu funkcji eksponencjalnej w wyrażeniu (31) jest funkcją tylko miennej Gdy funkcja podcałkowa argumentu funkcji eksponencjalnej w (33) jest funkcja jedynie miennej wówcas - Cynnik całkujący wynacyć też można nie cyniąc żadnego ałożenia co do jego ależności od tylko jednej miennej wówcas wynacyć można postać ogólną cynnika całkującego W tym celu pryjmijmy, że jest funkcją dwóch miennych i, ale jest to ależność pośrednia, tn [ & [, gdie Wykorystując następujące ależności równanie (28) określające cynnik całkujący można prepisać w postaci a po uprosceniu X(Y ÛÜ = P P P ÛÜ= ` [ P +B &[#"Ý [ +ÝB ' Rowiąanie powyżsego równania prowadi do cynnika całkującego X(Y #OruÝB 1 # S ßÞ & [ Ponieważ postać jest nana, tym samym nana jest jawna postać cynnika całkującego & [ 34 Równania Lagrange a i Clairaut Równania Lagrange a 1 i Clairaut 2 są do siebie podobne, ale ich sposób rowiąania różni się od siebie Z tego właśnie powodu klasyfikuje się je jako dwa różne równania różnickowe 2 Lagrange Joseph Louis de wybitny francuski matematyk i fiyk teoretyk yjący w latach Jego najwybitniejse osiągnięcia to sformułowanie równań mechaniki teoretycnej (równania Lagrange a), rowinięcie mechaniki nieba Zajmował się badaniem ruchu siężyca, Jowisa, Saturna ora badaniem orbit komet W obsare jego wielu ainteresowań nalała się też pewna klasa równań różnickowych równania Lagrange a Napoleon I, w imię asług, mianował Lagrange a Wielkim Oficerem Legii onorowej, senatorem ora sięciem Cesarstwa Po jego śmierci, mowę pożegnalną na jego ceść wygłosił Pierre Simon Laplace 2 Clairaut Aleis Claude francuski matematyk i astronom żyjący w latach Prowadił badania w akresie rachunku całkowego i różnickowego Wprowadił do matematyki takie pojęcia jak całka krywoliniowa, różnicka upełna, całka ogólna i osobliwa równania różnickowego & [ (34) 9

10 ç 341 Równanie Lagrange a Równanie Lagrange a to równanie, które można apisać w postaci? à V Iwà à " Ÿ Cechą odróżniającą równanie Lagrange a (ora Clairaut) od równań omówionych wceśniej jest występowanie w równaniu nieliniowych funkcji pochodnej niewiadomej funkcji Dla naleienia rowiąań równania (35) sprowada się je do postaci równania różnickowego liniowego niejednorodnego, którego sposób rowiąywania jest już nany W tym celu równanie (35) różnickuje się wględem miennej nieależnej co prowadi do równania à R -áv- â Isà -Ë Iwà -(- które stosując podstawienie ma postać P à #" à Iyà i dalej, po niewielkich prekstałceniach P à à V IÓà Ostatnie równanie jak widać jest trudne do całkowania (nie jest to na prykład równanie o miennych rodielonych lub o postaci sprowadalnej do równania o miennych rodielonych), ale łatwo auważyć, że jego odwrócenie prowadi do równania liniowego à P à I à P à 1 P à P à à P à w którym niewiadomą jest funkcja ã Ostatnie równanie rowiąać można dowolną metodą odpowiednią dla równania liniowego niejednorodnego, np pre umiennienie stałej Rowiąanie tego równania daje funkcję postaci +äå _CIyæ ' _ Ga'ced&fg (37) (35) (3) gdie funkcje äå i æ są funkcjami ależnymi od Ã, à ora à i są nane dla konkretnego równania różnickowego postaci (35) Należy w tym miejscu auważyć, że rowiąaniem wyjściowego równania, a więc równania Lagrange a, jest funkcja?g, a nie funkcja C Aby należć postać funkcji rowiąanie (37) należy wstawić do równania (35) otrymując? à äå _GIyà æ IÓà Samo powyżse wyrażenie nie może stanowić rowiąania równania wyjściowego ponieważ w równaniu wyjściowym funkcja nie ależy od parametru Rowiąaniem równania wyjściowego (35) jest dopiero para F à äå _GIsà æ Iwà "ä² _GIwæ (38) która stanowi tw rowiąanie parametrycne, gdie parametrem jest Rowiąanie wględem parametru drugiego tych równań?" i wstawienie tak uyskanego rowiąania do równania pierwsego, daje jawną postać funkcji #še œš- Rowiąanie P à G! Ÿ ogólne (w postaci parametrycnej) równania Lagrange a wyprowadane à jest pry ałożeniu (patr wór (3)) Ropatrenie prypadku odwrotnego, tn gdy prowadi do rowiąań osobliwych równania (tn takich, których nie można wyprowadić rowiąa- nia ogólnego) Aby należć rowiąania osobliwe należy rowiąania równania równania wyjściowego (35) uyskując F IÓà m gdie d jest ilością pierwiastków recywistych równania à à wstawić do (39) 10

11 342 Równanie Clairaut Równanie Clairaut jest prypadkiem scególnym ogólniejsego równania Lagrange a, i jest postaci BCj- IÓà -Ë (40) cego wynika, że równanie Lagrange a staje się równaniem Clairaut dla à #C Różnickowanie równania (40) wględem miennej nieależnej prowadi do równania postaci -mg- I m- IÓà -á- Wykorystując podstawienie powyżse równanie można prepisać w postaci Iwà G![ które jest spełnione gdy "! lub Iwà qg! Ropatrmy te dwa prypadki G!! Równanie jest _ równaniem różnickowym określającym funkcję a jego rowiąaniem jest " Należy w _ tym miejscu prypomnieć, że godnie wceśniej pryjętym onaceniem, atem F _ cego wynika, że Ik_ W ten sposób uyskane ostało pewne rowiąanie ogólne równania Clairaut Jeśli jest to rowiąanie, powinno ono spełniać równanie wyjściowe (40) Wstawienie takiego rowiąania do (40) prowadi do rów- à _, cyli do wyrażenia jednej e stałych jako funkcji drugiej stałej Tym samym _ nania rowiąanie ogólne równania Clairaut ma postać funkcji liniowej F _ Iwà _ ' IÓà q+! W tym prypadku `bp à Wstawienie takiej postaci funkcji ã do równania wyjściowego (40) prowadi do funkcji postaci FP à?ióà która sama nie może stanowić rowiąania równania wyjściowego Rowiąaniem jest dopiero para ç BP à?iwà êp à (42) Najcęściej jest to rowiąanie osobliwe równania Clairaut (41) 11

12 ñ ø ø I 35 Równania rędu drugiego Równanie różnickowe liniowe rędu d -tego o I ) ) I I I l?+$, g B" g (43) jest równaniem niejednorodnym Równanie to staje się jednorodne gdy $, g qëg! Wprowadając onacenia G G " ^ " C ì " ) C ) (44) otrymujemy układ d równań rędu pierwsego îîîí ï ðîîî " " " ^ " G G o `P ) ) I I I lbp ) I I l (45) Stosując notację wektorową można apisać ñ óòô ôôõ ö óòô ñ ôôõ ö Równanie liniowe niejednornodne w apisie macierowym ma wówcas postać mgù\ g ñ Iyú g (4) natomiast równanie jednorodne ñ +ùk g ñ (47) Wiadomo, że rowiąanie równania różnickowego jednorodnego (43) ma postać g #%û _J Q, 'd gdie są rowiąaniami scególnymi tego równania Popre analogię, rowiąanie dla ü -tego równania w (47) można apisać jako [ý û _ -ý ñ W scególności dla ü ostatniego wyrażenia otrymuję %û _ ñ +û _ " cyli rowiąanie równania jednorodnego (43) Podobnie dla np ü G Oû _þ +û _þ Rowiąanie równania (4) otrymać można metodą umiennienia stałych rowiąania równania jednorodnego Tym samym rowiąanie ü -tego równania niejednorodnego pryjmuje postać [ý û _ g -ý g ' Gé (48) 12

13 Ô û û Ö žžžžžžžž Ô û ý Ö žžžžžžžž Ô Ö Różnickowanie rowiąania wględem miennej nieależnej g daje ý Oû _ g V[ý g I û _ g ý g ' (49) Ponieważ (48) jest rowiąaniem równania niejednorodnego dlatego równanie jest dla niego spełnione Wstawienie wyrażeń (48) ora (49) do ü -tego równania układu (4) prowadi do wyrażenia _ g V[ý g I û _ g ý g J"äEý û _ g V[ý g I $ý g i po ocywistym prekstałceniu _ g V-ý g I û _ g V ý g,p<äeý û _ g V-ý g #G$ýn g (50) ä ý gdie jest ü ùk g -tym wiersem maciery Nietrudno auważyć, że drugie i trecie wyrażenie po lewej stronie powyżsej równości daje się apisać jako _ g ý g,p<ä ý ý g Is_ g g ßPÿä ý ý g I Is_ g ý g ßPÿä ý ý g "!j (51) Ostatnia równość staje się ocywista d jý Q 'd gdy auważyć, że funkcje są całkami scególnymi równania jednorodnego rędu (bo precież ý jýõ _ -ý g ¹ä ý ý jest całką ogólną równania jednorodnego), a tym samym spełniają równania postaci, cyli wyrażenia w nawiasach równania (51) Uwględnienie tych faktów powala apisać równanie (50) następująco _ g -ý g #+$ýn g ' ' d Warto w tym miejscu prypomnieć, że funkcje są niewiadomymi funkcjami występującymi w proponowanym rowiąaniu równania niejednorodnego, a ich wynacenie jest koniecne do _þ QE określenia d rowiąań d równania niejednorodnego (w pryjętej metodie umiennienia stałych) Układ _þ g (52) równań niewiadomymi stanowi układ którego można wynacyć postać funkcji _ g V g I Is_ g V g # _ g g I Iy_ g V g qg! oén îîîí ï ðîîî _ g V g I Is_ g V g # _ g g I Iy_ g V g qg! _ g V n g I Iy_ g V g # _ g V ) I Iy_ g V ) +$, g Dość długa analia wykaała, że rowiąaniem równania różnickowego liniowego niejednorodnego rędu d jest funkcja postaci F (52) (53) _þ g V g g, gdie są całkami scególnymi równania jednorodnego (sprężonego równaniem niejednorodnym) natomiast funkcje _ spełniają układ (53) 351 Wrońskian d d d Równanie różnickowe -tego rędu posiada różnych rowiąań Układ rowiąań scególnych ' równania liniowego jednorodnego jest tw układem baowym lub układem fundamentalnym w prypadku gdy wynacnik Wrońskiego (wrońskian) spełnia warunek #še œš- u g þ g g g g () g Íp ) g Ÿ G!j ; Á (54) 13

14 g! g! Nie każdy układ całek - e scególnych równania różnickowego stanowi jego układ baowy Z własności wynacnika wynika, że jest on równy eru gdy jego dwa wierse lub dwie kolumny są liniowo ależne, tym samym (54) wynika, że układem baowym może być jedynie układ liniowo nieależnych całek scególnych równania różnickowego występujący w (54) jest prediałem na którym całki są liniowo nieależne Rowiąanie ³ ogólne d równania jednorodnego -tego rędu ma postać B _ jedynie w prypadku gdy jest układem baowym całek równania na prediale 87' Układ ³ jest układem baowym lub fundamentalnym w tym sensie, że stanowi baę dla wsystkich rowiąań równania różnickowego, lub inacej ropina całą prestreń rowiąań równania różnickowego 352 Równanie charakterystycne równania różnickowego d Dla danego równania różnickowego liniowego jednorodnego rędu I ) () I I równaniem charakterystycnym jest równanie postaci I ) -) I I I W scególności, dla równania rędu drugiego I I lf+! lbg! lõ+![ (55) równanie charakterysytcne jest równaniem kwadratowym I I lõ+![ Ogranicając analię jedynie do równania charakterystycnego równania różnickowego rędu drugiego (wnioski są prawdiwe w ogólności) można auważyć, że równanie to ma 1 dwa różne pierwiastki > 3 ml 2 jeden podwójny pierwiastek recywisty > 3 3 dwa różne pierwiastki espolone I Q 8, gdy wyróżnik, gdy wyróżnik, I Q >, gdy wyróżnik Rowiąania równania charakterystycnego (pierwiastki charakterystycne) determinują postać całek scególnych równania jednorodnego na ich podstawie wynacyć można układ baowy całek równania różnickowego, a tym samym określić rowiąanie ogólne tego równania I tak, dla poscególnych prypadków wymienionych wyżej, całki scególne równania jednorodnego mają postać 1 g J S!, g q S! Š, 2 g J S! #" g #"g S! #", 3 g J S!$ &%')( g, S!$ &( «(Y g, ^ S!$ Š %+')(, G!, i S!$ &( Š «(Y Wymienione całki stanowią odpowiednie układy baowe całek równania różnickowego Notatki mają charakter nieformalny Informacje na temat błędów merytorycnych i poamerytorycnych,-0/ #9;=<?> 2=@A) A#8!B =@!1 14