Podstawy techniki cyfrowej zima Wykład dr inż. Rafał Walkowiak

Transkrypt

1 Podstwy techniki cyfrowej zim 27 Wykłd dr inż. Rfł Wlkowik

2 Litertur. Podstwy Techniki Cyfrowej, Brry Wilkinson, WKiŁ 2 2. Podstwy projektowni ukłdów logicznych i komputerów, M.M.Mno, Ch.R.Kime, WNT Komputerowe projektownie ukłdów cyfrowych, T.Łub, B.Zbierzchowski, WKiŁ, 2 4. Podstwy projektowni ukłdów cyfrowych, Cezry Zieliński, PWN Język VHDL: projektownie progrmowlnych ukłdów logicznych, Kevin Shkill, WNT Ukłdy cyfrowe, Zbiór zdń z rozwiąznimi, J.Tyszer, G.Mruglski, Wydwnictwo PP 7. Ukłdy Sclone TTL w systemch cyfrowych, J. Pienkos, J. Turczyński, WkiŁ, 994 2

3 Zkres przedmiotu Wstęp: rytmetyk binrn, lgebr Boole, kody binrne, BCD, podstwowe funkcje logiczne, sposoby przedstwini funkcji logicznych - postcie knoniczne, minimlizcj funkcji logicznych, łączn minimlizcj funkcji logicznych, hzrd. Technologie CMOS,TTL i ich wpływ n włściwości użytkowe ukłdów, brmki logiczne. Ukłdy kombincyjne: multipleksery i demultipleksery; komprtory, łączenie komprtorów; kodery, dekodery, trnsltory kodów; sumtory: sumtory binrne, dziesiętne. Podstwowe elementy sekwencyjne: ztrzsk RS, ztrzsk D, przerzutniki: D, JK, T; prmetry czsowe, rejestry szeregowe, równoległe, przesuwne, rejestry liczące. Liczniki: synchroniczne i synchroniczne, binrne, dziesiętne; łączenie liczników, syntez liczników, skrcnie liczników, tktownie systemów cyfrowych, częstotliwości mksymlne liczników; Automty synchroniczne: Moor, Melego, grf i tblic przejść utomtu, minimlizcj stnów, kodownie stnów, funkcje przejść i wyjść i implementcj utomtu n przerzutnikch. Język opisu sprzętu VHDL : jednostki projektowe, obiekty, typy, typy rozstrzyglne, instrukcje współbieżne i sekwencyjne, komponenty, strukturlny i behwiorlny opis ukłdów, przykłdowe relizcje ukłdów kombincyjnych, sekwencyjnych, utomtów. Ukłdy progrmowlne: ROM, PLD, PLA, PAL, FPGA. Syntez wyższego poziomu: implementcj ukłdów cyfrowych dl relizcji lgorytmów przetwrzni dnych;, opisy ukłdu: sieć dziłń lgorytmu, digrm synchronicznego ukłdu sekwencyjnego, digrm synchronicznego ukłdu sekwencyjnego ze zintegrowną ścieżką dnych; projekt: schemt strukturlny, opis ukłdu cyfrowego w języku opisu sprzętu. Ukłdy mikroprogrmowlne w sterowniu ukłdmi cyfrowymi. Pmięci: sttyczne i dynmiczne, RAM, CAM, łączenie pmięci, prmetry, cykle zpisu i odczytu. Współprc ukłdów cyfrowych z otoczeniem; wprowdznie i wyprowdznie dnych, wyświetlnie sttyczne i dynmiczne. Sposoby orgnizcji systemów cyfrowych: itercj w czsie i przestrzeni. Automty synchroniczne, minimlizcj liczby stnów i kodownie stnów, przykłdy implementcji. 3

4 Podstwowe informcje orgnizcyjne Zliczenie: 2 sprwdziny n ćwiczenich i egzmin Ocen - średni wżon. Sprwdzin z określonego mteriłu ćwiczeń : n ćwiczenich i n osttnim wykłdzie. Egzmin w sesji egzmin nleży zliczyć. Wrunek konieczny do zwolnieni z egzminu min 8 % obecności n wykłdch ze sprwdzną obecnością. 4

5 Systemy cyfrowe System cyfrowy to ukłd powiąznych ze sobą elementów projektowny w celu relizcji tkich zdń jk: przetwrznie informcji (w tym obliczeni) sterownie urządzenimi i innymi systemmi i obiektmi (np. silniki, zwory, piece itp.) Przetwrzne informcje zpisne są z pomocą wrtości z określonego ogrniczonego zbioru (np. cyfr w różnych systemch liczeni). 5

6 Systemy liczeni * Co już wiemy: [, str 5-22] Pozycyjne systemy liczeni dziesiętny, dwójkowy (NKB), ósemkowy, szesnstkowy Konwersje liczb między systemmi, konwersje liczb ułmkowych Systemy uzupełnieniowe: Uzupełnienie do K - Uzupełnienie liczby N o n cyfrch zpisnej w systemie o podstwie K definiujemy jko liczbę równą: K n N liczb w kodzie Uzupełnienie do K jest reprezentown przez wrtość różnicy K n i N (wyrżoną w systemie o podstwie K) Np. liczb dziesiętn trzy cyfrow K= n=3 liczb z systemu dziesiętnego 345 zpisn w systemie uzupełnieniowym do m postć 655, liczb 345 w systemie dziesiętnym: 345=345 (zer nieznczące) Liczb 345 w systemie uzupełnienie do : 655=99655 (dziewiątki nieznczące) Liczb dwójkow w systemie uzupełnienie do 2 m postć lub (jedynki nieznczące) wrtość 3 uzupełni 5 do 8, wrtość 59 uzupełni 5 do 64 * Litertur: Wilkinson, Strony

7 Reprezentcje liczb binrnych ze znkiem Reprezentcj znk moduł ZM njstrszy bit określ znk liczby, pozostłe bity bez zminy Reprezentcj uzupełnieniow RU to bit znku i zstosownie kodu U2 dl liczb ujemnych bit znku () i moduł liczby dodtniej w NKB, bit znku () i moduł liczby ujemnej w kodzie U2, njbrdziej znczące jedynki możn usunąć z zpisu Przykłd -8, moduł 8 u2(8)= -8= RU()=RU() 8=RU() N ZM(N) RU(N) N2 ZM(N2)=RU(N2)

8 Reprezentcj uzupełnieniow Binrn liczb dodtni jest zpisywn n wystrczjącej liczbie pozycji i uzupełnin zermi n pozycjch brdziej znczących: (3) = () 2 = () 2 Binrn liczb ujemn jest zpisywn: w uzupełnieniu do 2 i poprzedzon n pozycji njstrszej i uzupełnion jedynkmi n pozycjch brdziej znczących: (-3) = () UZ = () UZ Gdy njstrszy bit U2 = jest bitem znku, nie potrzeb umieszczć przed kodem U2-8 D = UZ Notcj uzupełnieniow liczb binrnych pozwl n dodwnie liczb dodtnich i ujemnych relizowne przez sumtor zprojektowny dl liczb wyrżonych w NKB. 8

9 Dodwnie liczb ujemnych wykorzystnie notcji UZ -3 +(-2) () = = () = 2 Przeniesienie jest ignorowne, wynik poprwny gdy przeniesieni: n njstrszy bit i z njstrszego bitu są jednkowe. 9

10 Odejmownie liczb dodwnie liczby przeciwnej (3d) + (-5d) (-2d) (5d) + (-3d) (2d) Binrn liczb ujemn bit znku i liczb binrn w uzupełnieniu do 2 = 22 (d) Wyznczenie liczby w kodzie U2 Medtod : negcj bitów dodnie jedynki = -22 (d) Metod 2: Negcj bitów brdziej znczących -strszych niż njmniej znczący bit równy. -> dodtkowy bit niepotrzebny dl -4 -> konieczny dodtkowy bit dl -5 ->

11 Odejmownie binrne D dodtni U ujemn D U= D+D=D (sprwdzenie przepełnieni) D D2 = D gdy (D>D2) lub U gdy (D<D2) U-D= U + U = U (sprwdzenie przepełnieni)

12 Dodwnie liczb przepełnienie (3d) + (3d) (6d) wynik dodtni poprwnie (-3) + (-3) (-6) wynik ujemny poprwnie (5d) + (5d) (6d) Wynik ujemny - niepoprwny (-5) + (-5) (6) wynik dodtni - niepoprwny Wynik niepoprwny przepełnienie ndmir - gdy przeniesieni n njwyższą pozycję i z njwyższej pozycji są różne. 2

13 Kody dwójkowe niewgowe pozycj binrn nie posid wgi Kod cyfr Z ndmirem 3 Gry Wtts Johnson Wskźników 7 segmentowych

14 Kody dwójkowo-dziesiętne Do reprezentcji cyfr dzisiętnych cyfr dziesiętnych (,,2,3,4,5,6,7,8,9) zkodownych z pomocą ciągu 4 bitów (ciąg ten dostrcz 6 kombincji n 4 bitch) 6 kombincji jest niewykorzystnych. Wrinty kodów dwójkowo-dziesiętnych: Kody wgowe pozycj binrn posid przypisną wgę Kody niewgowe pozycj binrn nie posid wgi 4

15 Kody dwójkowo-dziesiętne wgowe kod Nturlny NKB Aiken Wgi cyfr 842 2*

16 Kody detekcyjne kod z 2 z 5 2 z 7 Bin z Bitem przystości Wgi-> cyfr niewgowy BP Kody z kontrolą przystości i ze stłą liczbą jedynek pozwlją n wykrycie pewnych błędów przy przesyłniu słów kodowych. 6

17 Cyfry dziesiętne kodowne w NKB kod BCD 842 Dziesiętny chrkter informcji lecz kodownie NKB cyfr 2345 ()= (BCD) 4 pozycje cyfr dziesiętnych Dodwnie liczb w kodzie BCD relizowne tk jk dodwnie liczb binrnych, lecz: wystąpienie podczs dodwni liczb przeniesieni n pozycję kolejnej cyfry dziesiętnej (kolejne 4 bity) wymg skorygowni (czyli dodni wrtości 6) n tej pozycji, z której przeniesienie wystąpiło wystąpienie wyniku n 4 bitch (jednj pozycji cyfry dziesiętnej) spoz zkresu (-5) wymg skorygowni wyniku czyli dodni wrtości 6 n tej pozycji cyfry dziesiętnej, któr nie jest poprwn; może wystąpić przeniesienie, które nleży uwzględnić n kolejnej pozycji (le bez korekcji pozycji bieżącej), możliw również propgcj przeniesieni np. dl liczb

18 Dodwnie w kodzie BCD przeniesienie -> korekcj wrtość spoz przedziłu ->korekcj przeniesienie bez konieczności korekcji 8

19 Kody lfnumeryczne Kody służące do kodowni znków w systemch cyfrowych, w urządzenich współprcujących z komputerem, np. drukrki, ekrny lfnumeryczne. Przykłdmi kodów lfnumerycznych są kody: ASCII ISO-7, ISO 8859, Unicode, Windows-25. Kod ASCII ISO-7 7 bitowy pełny zbiór zwier 28 znków, pierwsze 33 znki służą do sterowni systemu drukowni lub wyświetlni, pozostłe znki to: duże i młe litery, cyfry, znki przestnkowe i inne. 9

20 Kod ISO-7 2

21 Algebr Boole * Nrzędzie mtemtyki (lgebr logiki) służąc do opisu i projektowni systemów cyfrowych. Zmienne boolowskie mogą przyjąć jedn z dwóch wrtości lub są to zmienne binrne (jednobitowe) Podstwowe funkcje lgebry Bool Iloczyn logiczny I (AND),,,, (lterntywne oznczeni) Sum logiczn LUB (OR),,+,,,, (lterntywne oznczeni) Negcj NIE (NOT) lini nd zmienną,, (lterntywne oznczeni) Funkcj boolowsk (logiczn, przełączjąc) jest dziłniem n zmiennych boolowskich i przyjmuje wrtości ze zbioru {,}. Algebr Boole jest zgodn z nstępującymi postultmi: * Litertur Wilkinson

22 Notcj: Postulty Huntington () Z = {,} zbiór wrtości, b dowolne zmienne binrne A Domknięcie dziłń: + b Z AB Z A2 Elementy stłe: Istnieją tkie i : += i = A3 Przemienność: +b=b+ b= b A4 Rozdzielność: (b+c)=b+c +(bc)=(+b)(+c) również mnożeni względem dodwni A5 Istnienie negcji: dl istnieje : + = = 22

23 Postulty Huntington (2) Zsd dulności: Wyrżenie dulne powstnie poprzez zminę opertorów binrnych i stłych: +, +,, Wrtościowni (prwd, fłsz) wyrżeni prostego i dulnego jest jednkowe. np wyrżenie proste: (b+c)=b+c Wyrżenie dulne: +(bc)=(+b)(+c) 23

24 Przeksztłcnie funkcji logicznych Dl minimlizcji postci wyrżeń (funkcji) boolowskich służą tożsmości i twierdzeni lgebry boole. Minimlizcj pozwl n uzysknie prostszej, tńszej implementcji funkcji tńsz implementcj m mniej skłdników orz/lub skłdniki prostsze. 24

25 Twierdzeni lgebry Boole Idempotentność (łc. tki sm) +=, = Jednoznczność negcji dl kzdego istnieje tylko jeden element Domincj - dl kżdego = += Podwójn negcj dl kzdego zchodzi Pochłninie - +(b)= (+b)= 25

26 Twierdzeni lgebry Boole Uproszczenie (+b)+ b=+b(+ )=+b Minimlizcj - Łączność (+b)+c=+(b+c) (b) c= (b c) Konsensus (zgod) Wystrczy jedn dl b i c, wystrczy jedno dl b i c b b) ( ) ( b b b b b b ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( c b c b c b c b c b c b 26

27 Prwo de Morgn b c... b c b c... b c... 27

28 Funkcje logiczne dwóch zmiennychi ich wrtości zmienne binrne b Wrtości b b b b Równnie Nzw Skrót rgumentów funkcji funkcji Nzwy Wrtości funkcji b b b b ( b)+(b ) +b (+b) (b)+( b ) b +b +b (b) Stł Zero Iloczyn logiczny Zkz przez b Identyczn z Zkz przez Identyczn z b Sum modulo Sum logiczn Negcj sumy Równowżność Negcj b Implikcj b Implikcj Implikcj b negcj iloczynu Stł AND XOR OR NOR EQU NAND 28

29 Populrne funkcje logiczne Szczególnie populrne AND, OR, NAND, NOR, XOR,NOT XOR wrtość funkcji równ dl różnych rgumentów Zleżności dl XOR (sum wyłczn) i XNOR (równowżność): b= b+b =(+b)( +b ) (b) = b=b =b+ b =( +b)(+b ) = = Różne interpretcje logiczne wielowejściowych brmek XOR/XNOR. Njczęściej brmk wykryw nieprzystą liczbę jedynek (XOR) lub przystą liczbę jedynek XNOR. 29

30 System funkcjonlnie pełny - SFP Zbiór funkcji pozwljący n przedstwienie Wyrżenie kżdej innej funkcji logicznej. 3 przykłdy S.F.P: {NAND}, {OR,AND,NOT}, {NOR} 3

31 Sposoby przedstwini funkcji logicznych Tblic prwdy Nr kombincji x x x 2*** x n- f * * * 2 n - *** *** *** Wrtości funkcji np. nr we wy 2 3 Nr kombincji wejść, wrtości kombincji wejść, odpowidjące wejściu wrtości n wyjściu Zwier wszystkie kombincje zero-jedynkowe zmiennych niezleżnych i odpowidjące im wrtości funkcji 3

32 Sposoby przedstwini funkcji logicznych Tblice Krnugh Kombincji wejść odpowid pole tblicy, w polu umieszczmy włściwą dl kombincji wrtość. Sąsiednie (w poziomie i pionie tkże cyklicznie) pol tblicy Krnugh odpowidją kombincji rgumentów różniącej się jedną wrtością. N rysunku zpisno kombincje wejść nie wrtości b funkcji b c Tblic dl funkcji 2 i 3 zmiennych wejściowych 32

33 Reprezentcj funkcji logicznych z pomocą tblic Krnugh b b dc c b - oznczenie wrtości dowolnej n wyjściu 33

34 Sposoby przedstwini funkcji logicznych Dysjunkcyjn (lterntywn) postć knoniczn: n 2 Y f x, x,..., x n j I j Gdzie: U to sum j I j ozncz minterm - iloczyn zmiennych niezleżnych dl j-tej kombincji zmiennych =; zwier zmienną prostą gdy bit zmiennej jest równy lub zmienną znegowną gdy bit zmiennej jest równy np. zerow kombincj wejść: : minterm - x x x 2 x 3 (wrtość wyrżeni dl tej kombincji wrtości zmiennych wynosi jeden) j wrtość funkcji odpowidjąc j-tej kombincji zmiennych term wyrżenie skłdjące się ze zmiennych i symboli funkcyjnych 34

35 Dysjunkcyjn postć knoniczn przykłd Iloczyny zmiennych bc in S Cout b c in b c in 2 bc in 3 bc in 4 b c in 5 b c in 6 bc in 7 bc in S = b c in + b c in + bc in + bc in +b c in +b c in + bc in +bc in S = b c in + bc in +b c in + bc in S = (,2,4,7) gdzie liczby oznczją numer kolejny iloczynu (mintermu) dl którego wrtość funkcji = (nleży okreslić wgę (,2,4) zmiennej; w przykłdzie: jest njbrdziej znczącym bitem - wg =4) 35

36 Sposoby przedstwini funkcji logicznych Koniunkcyjn (iloczynow) postć knoniczn: Y f,,..., x x j Gdzie: S j ozncz mxterm - sumę zmiennych niezleżnych dl j-tej kombincji zmiennych = ; zwier zmienną prostą gdy bit tej zmiennej jest równy lub zmienną znegowną gdy bit kombincji jest równy Np. zerow kombincj wejść : ; sum dl tej kombincji: x +x +x 2 +x 3, wrtość wyrżeni dl tej kombincji zmiennych wynosi j ozncz wrtość funkcji odpowidjącej j-tej kombincji zmiennych. x n 2 n j S j 36

37 Konjunkcyjn postć knoniczn - przykłd sumy bc in S Cout +b+c in +b+c in 2 +b +c in 3 +b +c in 4 +b+c in 5 +b+c in 6 +b +c in 7 +b +c in S = (+ +b+c in ) (++b+c in )(++b +c in )(++b +c in ) (+ +b+c in )(+ +b+c in )(+ +b +c in )(+ +b +c in ) S = (+b+c in ) (+b +c in )( +b+c in )( +b +c in ) S=(,3,5,6) gdzie liczby oznczją numer kolejny sumy (mxterm) dl której wrtość funkcji = 37

38 Minimlizcj wyrżeń logicznych Postć knoniczn nie jest njprostsz Kryterium kosztu: Redukcj liczby skłdników funkcji (liczb brmek) Redukcj liczby literłów (liczb wejść brmek) Minimlizcj to przeksztłcnie postci knonicznej do postci równowżnej tńszej wg przyjętej funkcji kosztu Przykłd: f(,b,c,d)= (5,7,3,5)= d cb +d cb+dcb +dcb=c Minimlizcj liczby skłdników z 4 do i liczby literłów z 4 do 2 Zpis funkcji f()= (5,7,3,5)+d(,3,4) ozncz brk konkretnego wymgni n wrtość funkcji (dowoln wrtość lub ) dl,3 i 4 kombincji wejść. 38

39 Złożeni: Sitk Krnugh wg zmiennych ustlon np. : od njniższej wgi,b,c,d Dl n zmiennych: Prostokątn tblic zwierjąc 2 n pól, kżde pole reprezentuje jeden minterm (mxterm), mintermy odpowidjące sąsiednim polom różnią się wrtością tylko jednej zmiennej. b b b c 3 2 dc

40 Twierdzenie o minimlizcji b+b =(b+b )= reguł sklejni b c b f(,b)= Σ(,2)= b + b= (b+b )= Uzsdnienie do sklejni sąsiednich pól sitki. Powstjącą grupę opisuje wyrżenie iloczynowe posidjące mniejszą liczbę zmiennych (usuwmy z opisu grupy tę zmienną, któr dl pól przyjmuje różne wrtości b, pozostje ), zmienn, któr dl grupy przyjmuje wrtość pozostje w opisie (iloczynowym) grupy jko zmienn znegown ( zmienn prost) F(,b,c)= Σ (,3,5,7)=c b +c b+cb +cb= c +c= Sklejmy poziomo usuwjąc zmienną b, sklejmy pionowo usuwjąc zmienną c, pozostje tylko dl opisu grupy, - proste gdyż przyjmuje wrtość dl wszystkich pól. 4

41 Twierdzenie o minimlizcji reguł sklejni F(,b) = Π(,)=( +b)(+b)= + b+b+b=b b c b Uzsdnienie do sklejni sąsiednich pól sitki. Powstjącą grupę opisuje wyrżenie sumcyjne posidjące mniejszą liczbę zmiennych (usuwmy z opisu grupy tę zmienną, któr dl sąsiednich pól przyjmuje różne wrtości -, pozostje b=), zmienn, któr dl grupy przyjmuje wrtość pozostje w opisie (sumcyjnym) grupy jko zmienn prost( zmienn znegown) F(,b,c)= Π(,2,4,6)=(+b+c)(+b +c)(+b+c )(+b +c ) = Sklejmy poziomo usuwjąc zmienną b, sklejmy pionowo usuwjąc zmienną c, dl opisu grupy pozostje tylko, proste gdyż przyjmuje wrtość (dl wszystkich pól). 4

42 Minimlizcj sklejeni dl jedynek i zer, funkcj dopełnieniow b dc dc b Funkcj f(,b,c,d)= (,,2,3,8,9,)+d(5,3) f=c d +c +b grup poziom, grup nrożn, grup pionow f=c (d +b + ) 42

43 Metod tblic Krnugh minimlizcji funkcji logicznej TABLICE. Przygotownie tblic dl dnej liczby zmiennych i wpisnie wrtości w polch. W polch w krtórych wrtość jest nieokreslon nleży wpisć symbol nieokresloności np. SKLEJENIA. Nrysowć obwiednie łączące pol tworzące możliwie njwiększe obszry. Obwiednie łączą sąsiednie pol z jedynkmi (dl postci sumcyjnej funkcji) [pol z zermi (dl postci iloczynowej funkcji)]. Sąsiedztwo tkże cykliczne. Obwiednie pokrywją grupy pól tworzące prostokąt (,2,4,8,6 pól). Funkcj. Zpisnie postci minimlnej funkcji w oprciu o wykonne sklejeni (obwiednie), (sum iloczynów- kżd grup wykorzystn do opisu to skłdnik sumy), kżde pole z musi być pokryte przez dowolną grupę uwzględnioną w zpisie. Uwg: Pol ze znkmi nieokreśloności możn łączyć z dowolnymi innymi polmi (jedynek lub zer w zleżności od postci funkcji) dl uzyskni mksymlnych sklejeń. 43

44 Terminologi minimlizcji Impliknt: kżdy minterm (iloczyn) dl którego funkcj jest równ lub grup mintermów z wrtością funkcji lub Ø które możn skleić. Impliknt prosty: impliknt, którego nie możn rozszerzyć przez sklejeni w tblicy Krnugh. Impliknt istotny: impliknt prosty zwierjący ten minterm z wrtoscią funkcji =, który nie występuje w żdnym innym implikncie prostym. 44

45 Terminologi minimlizcji Implicent: kżdy mxterm (sum) dl którego funkcj jest równ lub grup mxtermów z wrtością funkcji lub Ø które możn skleić. Implicent prosty: Implicent, którego nie możn rozszerzyć przez sklejeni w tblicy Krnugh. Implicent istotny: Implicent prosty zwierjący ten mxterm z, który nie występuje w żdnym innym implikncie prostym. 45

46 Metod minimlizcji dwupoziomowej (wersj sum iloczynów). Wygeneruj wszystkie impliknty proste. 2. Utwórz pokrycie funkcji (wrtości z ) z pomocą minimlnej liczby implikntów. Tblic pokryci. Dl określeni postci funkcji nie korzystjącej wyłącznie z implikntów kluczowych nleży wykonć tblicę pokryci. Uwg: Impliknty istotne są koniecznymi elementmi pokryci funkcji. 46

47 Metod minimlizcji dwupoziomowej (wersj iloczyn sum). Wygeneruj wszystkie implicenty proste. 2. Utwórz pokrycie funkcji (wrtości z ) z pomocą minimlnej liczby implicentów. Tblic pokryci. Dl określeni postci funkcji nie korzystjącej wyłącznie z implicentów kluczowych nleży wykonć tblicę pokryci. Uwg: Implicenty istotne są koniecznymi elementmi pokryci funkcji 47

48 Przykłd dc b Impliknty proste: c, dc, db, d Impliknty istotne: c, d,db Impliknty istotne wystrczą do minimlnego pokryci funkcji F(d,c,b,)= c+d +db F(d,c,b,)= (d+c)(+d)( +b) 48

49 Przykłd Relizcj funkcji n brmkch NAND bądź NOR przejście między rodzjmi funkcji - zstosownie prw demorgn F(d,c,b,)= (c+d +db) =((c) (d ) (db) ) F(d,c,b,)= (d+c)(+d)( +b) = ((d+c) +(+d) +( +b) ) 49

50 Metod Quine -McCluskey. Utwórz grupy kombincji zmiennych (z wrtością funkcji =) posidjące jednkow liczbę w ich reprezentcji binrnej. Jest to utworzenie początkowych implikntów. 2. Utwórz wszystkie impliknty przez połączenie implikntów jednej grupy z implikntmi kolejnej grupy jest to możliwe jeżeli reprezentcje binrne kombincji zmiennych różnią się wrtością jednej zmiennej, zzncz wykorzystne do łączeni impliknty (nie będą już dlej wykorzystywne). 3. Powtrzj krok 2 bzując n implikntch uzysknych w poprzedniej itercji 2 kroku. 4. Niewykorzystne w połączenich impliknty tworzą zbiór implikntów prostych. Wybierz minimlny zbiór implikntów prostych z pomocą tblicy pokryci lub funkcji Petric. 5

51 Metod Quine -McCluskey genercj implikntów prostych wygodn dl funkcji wielu zmiennych Funkcj f(,b,c,d)= (,,2,3,8,9,)+d(5,3) , -,2 -,8 -,3 -,5 -,9-2,3-2, - 8,9-8, - 5,3-9,3 -,,2,3,2,8, --,,8,9 --,5,9,3 Impliknty proste d c -- c -- c b -- b 5

52 Metod Quine -McCluskey tblic pokryci mintermów ,,2,3,2,8, --,,8,9 --,5,9,3 W kolumnch tblicy uwzględnimy tylko mintermy z określonymi dl funkcji wrtościmi Impliknty istotne Mintermy pokryte przez impliknty istotne Możliwe wrinty funkcji o minimlnej liczbie implikntów: F=d c +c + c b F=d c +c + b 52

53 Przykłd 2 metod Petrick jeśli tblic pokryci nie wystrcz Pozwl n wyznczenie minimlnego zbioru implikntów prostych (nie dotyczy implikntów istotnych) Przykłd: Jeden impliknt istotny, 5 implikntów prostych możn wykorzystć do pokryci 5 mintermów, Pokrycie wystąpi, gdy zstosujemy impliknty dl których funkcj Petrick przyjmuje wrtość jeden Px w równniu ozncz wykorzystnie impliknt x FP=(P +P )(P + P2 )(P2 + P3 )(P3 + P4 )(P4 + P5 ) = PP3P5+ PP2P4+PP2P4 Zpis czytmy : pokrycie wystąpi gdy użyjemy impliknt ( lub ) i ( lub 2) i (2 lub 3) i (3 lub 4) zpewni to pokrycie odpowiednio 7,5,4, i 2 kombincji 53 z

54 54

55 dc b Minimlizcj funkcji wielowyjściowych F b F2 b F*F2 dc dc Wyznczenie implikntów prostych dl: funkcji optymlizownych i wszystkich iloczynów funkcji - (powyżej 6 implikntów prostych w 3 grupch). Znjdownie pokryci minimlną liczbą spośród wszystkich implikntów (tblic pokryci): impliknt iloczynu dwóch funkcji (zielony) pokryw mintermy obu funkcji 55

56 Komputerowo wspomgnie minimlizcji funkcji logicznych Znlezienie pokryci minimlnego jest problemem NP-trudnym. Ze względu n trudność problemu dl dużych instncji stosowne są metody przybliżone. brk genercji wszystkich implikntów zpewnienie pokryci funkcji przez wybrny zbiór implikntów 56