dr inż. Rafał Klaus Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia i ich zastosowań w przemyśle" POKL

Transkrypt

1 Technika cyfrowa w architekturze komputerów materiał do wykładu 2/3 dr inż. Rafał Klaus Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w przemyśle" POKL /

2 George Boole Algebra Boole a jest algebrą z trzema operacjami na dwuwartościowych argumentach, które przyjmują wartości: i. Rezultaty tych operacji są także dwuwartościowe. Te trzy operacje to: - suma logiczna (suma boolowska, alternatywa, dysjunkcja), - iloczyn logiczny (iloczyn boolowski, koniunkcja), - negacja (inwersja).

3 aksjomaty Dla dowolnych elementów A, B, C algebry Boole a zachodzą następujące własności: operacjesumy: operacje iloczynu: ) przemienność 2) łączność 3) rozdzielczość A + B = B + A A B = B A (A + B) + C = A + (B + C) (A B) C = A (B C) A + (B C) = (A + B) (A + C) A (B + C) = A B + A C) 4) tożsamość A = A A + A = A + = A = A A + A = A A A = A 5) Komplementarność A A = + A A = A = A

4 prawa oraz spełniają poniższe prawa: ) prawo de Morgana 2) prawo sklejania 3) prawo pochłaniania A + B = A B A B = A + B A B+ A B = A (A + B) (A+ B) = A B+ B = A + B A

5 Wszystkie funkcje dwóch zmiennych x x f f f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f f f 2 f 3 f 4 f 5 funkcja stała f = funkcja iloczynu AND f 8 = x x funkcja NOR f = x x = x + x funkcja równoważności f 9 = x + x f. iloczynu z negacją x f 2 = x funkcja tożsama ze zmienną x f = = x + x x funkcja negacji x f = 3 = x x + x x funkcja implikacji x przez x f + = x + x + x = x x f. iloczynu z negacją x f 4 = x funkcja tożsama ze zmienną x f = 2 = x + x x funkcja negacji x f. sumy mod 2, EXOR f = 5 = x + x x f 6 = x + x f 7 = x + x + x = x funkcja implikacji x przez x funkcja sumy OR funkcja NAND funkcja stała f 5 = f + 3 = x + x + x = x x f + 4 = x + x + x = x x

6 Sposoby przedstawiania funkcji boolowskich Najczęściej jstosowane są cztery sposoby opisu prostych układów cyfrowych, a tym samym przedstawiania funkcji boolowskich: ) tablica prawdy, 2) algebraiczny zapis funkcji, 3) dziesiętny zapis funkcji, 4) mapa Karnaugha. x 2 x x f y = x + x x 2 + x x x 2 + x x x 2 + x x x 2 x x x 2 y = (x + x + x2)(x + x + x2)(xxx2) y = (,2,5,6,7) 3 y = (,3,4) 3 x 2 x x

7 Tablica prawdy a algebraiczny zapis funkcji x 2 x x f Algebraiczny kanoniczny zapis funkcji wykorzystuje dwie podstawowe postacie zapisu: ) postać sumacyjną (alternatywną), dla 2) postać iloczynową (koniunkcyjną) dla y = (x + x + x2)(x + x + x2)(x + x + x2) y = x + xx2 + xxx2 + x xx2 + xxx2 xxx2

8 Postać dziesiętna n- i L(x n = x 2 x 2 x x f n) i y i= = (2567 (,2,5,6,7) 3 = (,3,4) 3 y

9 mapa Karnaugha x 2 x x f x x x

10 BRAMKA AND A Tablica prawdy B Y=A B Y A B Y Y=A B A B Y

11 BRAMKA OR Tablica prawdy A B Y=A+B Y A B Y Y=A+B A B Y

12 BRAMKA NOT Tablica prawdy A Y=A Y A Y Y=A A Y

13 BRAMKA NAND Tablica prawdy A B Y A B Y=A B Y Y=A B A B Y

14 BRAMKA NOR NOR A Tablica prawdy A B Y B Y=A+B Y Y=A+B A B Y

15 BRAMKA EX EX-OR OR A Tablica prawdy A B Y B Y=A + B Y A B Y=A + B Y=A B + A B Y

16 ablica prawdy A B Y BRAMKA EX EX-NOR NOR A B Y=A B Y A Y=A B Y=A B + A B B Y

17 Systemy funkcjonalnie pełne (SFP) Podstawowym SFP jest zbiór boolowski {OR, AND, NOT}, ale istnieją również inne: a) {OR, NOT}, czyli (LUB,NIE) iloczyn otrzymuje się z prawa de Morgana: x x2 = x + x2 b) {AND, NOT} (I,NIE) (, sumę otrzymuje się również z prawa de Morgana: x + x2 = x x2 c) {NOR} (LUB-NIE), { } zwana również strzałką Peirce a; negację otrzymuje się z sumę otrzymuje się z iloczyn otrzymuje się z x x = x x x2 = x + x2 x x2 = x x2 d) {NAND} (I-NIE), { } zwana również kreską Sheffera; negację otrzymuje się z sumę otrzymuje się z iloczyn otrzymuje się z x x = x x x2 x + x2 x x = 2 = x x2

18 Systemy funkcjonalnie pełne Realizacje bramek sumy (a), iloczynu (b), i negacji (c) za pomocą bramek NAND. Realizacje bramek sumy (a), iloczynu (b), i negacji (c) za pomocą bramek NOR.

19 Bramki logiczne sieci logiczne, układy scalone Układ logiczny: drklaus.pl

20 Minimalizacja metodą Karnaugha x 3 x 2 x x 3 2 (A + B) (A+ B) = A A B+ A B = A 8 9 Wartości dziesiętne pól

21 Minimalizacja metodą Karnaugha -PRZYKŁAD Zaprojektować układ kombinacyjny realizujący funkcję boolowską czterech zmiennych daną w postaci dziesiętnej y= Σ (, 3, 6, 9,, 2, 3, 4). Mapa Karnaugha podanej funkcji Wyszukiwanie grup jedynek podanej funkcji y = x + 2 x + x 2 x x x 3 x 2 x drklaus.pl

22 Realizacja sieci logicznej drklaus.pl

23 Zadanie Zrealizuj funkcję f(abcd)= f(a,b,c,d) U(247834) U(,2,4,7,8,,3,4) A B Y Y=A + B Y=A B + A B AB A B Y Y=A B Y=A B + A B

24 Zadanie x 3 x 2 x x Nie ma żadnych sklejeń ani Nie można zastosować reguły sklejania? f(a,b,c,d) = U(,2,4,7,8,,3,4) = =AB C D +A BC D +A B CD +ABCD + +A B C D+ABC D+AB CD+A BCD= CD+A BCD= =A C (BD +B D) + AC(BD +B D) + +A C(B D +BD) + AC (B D +BD)= =A C (B D) + AC(B D) + +A C(BΘD) + AC (BΘD)

25 odpowiedz x x A C (B D) + AC(B D) + x 3 x 2 +A C(B Θ D) + AC (B Θ D) A B C D A B C D

26 Przerzutniki asynchroniczne

27 Przerzutniki synchroniczne

28 rejestry

29 liczniki

30 MUX i DMX

31 Dziękuję za uwagę