Koszt literału (literal cost) jest określony liczbą wystąpień literału w wyrażeniu boolowskim realizowanym przez układ.

Transkrypt

1 Elementy cyfrowe i układy logiczne Wykład Legenda Kryterium kosztu realizacji Minimalizacja i optymalizacja Optymalizacja układów dwupoziomowych Tablica (mapa) Karnaugh a Metoda Quine a-mccluskey a

2 Złożoność układu Złożoność cyfrowego układu logicznego, który realizuje funkcję boolowską, jest bezpośrednio związana z wyrażeniem algebraicznym, na podstawie którego ta funkcja została zaimplementowana. Kryterium kosztu realizacji Koszt literału (literal cost) jest określony liczbą wystąpień literału w wyrażeniu boolowskim realizowanym przez układ. F = AB C(D E) F = AB CD CE 5 6 4

3 5 Kryterium kosztu realizacji Koszt wejść bramkowych (gate input cost) określa liczbę wejść bramek logicznych składających się na implementację danego równania lub równań. Dla równań w postaci SOP lub POS jest to suma: wszystkich wystąpień literałów, liczby wyrazów, z wyłączeniem tych, które składają się z pojedynczych literałów, oraz opcjonalnie liczby różnych, zanegowanych, pojedynczych literałów. ( )( )( )( ) A D D C C B B A G ABCD ABCD G = = 8 = 8 4 = Koszt literałów: 8 6 ) ( ) ( ) ( = = = = = Transformacja formuły f = f 4 5 Realizacja funkcji f f Realizacja uproszczonej funkcji f Minimalizacja funkcji boolowskich!!!

4 Minimalizacja Minimalizacja - proces, który pozwala na uzyskanie jak najmniejszej struktury Minimalizacja formalna Doprowadzenie do uzyskania funkcji o jak najmniejszej liczbie zmiennych i działań logicznych. układowa Doprowadzenie do uzyskania minimalnej liczby elementów potrzebnych do maksymalnej użyteczności i niezawodności. 7 Metody minimalizacji Minimalizacja metodą przekształceń opartych na prawach algebry logiki Metoda w znacznej mierze intuicyjna i niezbyt przydatna w praktyce. Minimalizacja metodami algorytmicznymi: - metoda tablic Karnuagha - metoda Quine a- McCluckeya (metoda określania implikantów prostych) - inne (zaawansowane) Metoda i system Espresso (984), Uniwersytet Kalifornijski w Berkeley Pierwsze skuteczne narzędzie do minimalizacji wieloargumentowych i wielowyjściowych funkcji boolowskich 8 4

5 Optymalizacja Optymalizacja - proces, który pozwala na uzyskanie jak najszybszej, najskuteczniejszej struktury. Optymalizacja - wyznaczenie spośród dopuszczalnych rozwiązań danego problemu rozwiązania najlepszego ze względu na przyjęte kryterium (wskaźnik) jakości (np. koszt, zysk, niezawodność). Badaniem metod optymalizacji zajmuje się teoria optymalizacji. 9 Od funkcji do układu f = f f f 5

6 Sens fizyczny f 4 f f Tablica Karnaugh def. Prostokątna tablica dla n zmiennych zawierająca n kratek. Wzdłuż krawędzi tablicy wpisuje się kombinację argumentów funkcji, ale w taki sposób, że nie tworzą one kolejnych liczb naturalnych, lecz sąsiednie kombinacje różnią się tylko na jednej pozycji. Za sąsiednie uważa się także kombinacje kratki pierwszej i ostatniej kolumny oraz pierwszego i ostatniego wiersza. 6

7 Tablica Karnaugh Tablica Karnaugha stanowi diagram złożony z kwadratów przy czym każdy kwadrat reprezentuje jeden minterm funkcji. A v A = A (B v )(B v ) = B Reguły sklejania Zoptymalizowane wyrażenie, utworzone na podstawie tablicy, zawsze jest w postaci sumy iloczynów lub iloczynu sum. Optymalizacja zrealizowana na tablicach daje implementację dwupoziomową Tablica Karnaugh tworzenie grup Grupy tworzymy z możliwie największej liczby kratek sąsiadujących zawierających jedynkę () lub zero (). Łączyć można grupy zawierające n jednakowych symboli. Łączyć można kratki sąsiednie (za sąsiednie uznajemy również skrajne pola). Łączone grupy muszą być symetryczne. 4 7

8 Tablica Karnaugh (DCF, SOP) Funkcja posiada trzy zmienne stąd n = DCF y= v v Liczba kratek = n =8 Tablica będzie zbudowana z 8 kratek 5 Schemat DCF y= v v y 6 8

9 Tablica Karnaugh (CCF, POS) Funkcja posiada trzy zmienne stąd n = CCF y= ( v ) ( v ) ( v ) v v Liczba kratek = n =8 Tablica będzie zbudowana z 8 kratek 7 Schemat CCF y= ( v ) v ( v ) v ( v ) v v y v 8 9

10 Tablica Karnaugh (DCF) 4 DCF y= 4 v v 4 Funkcja posiada cztery zmienne 4 stąd n =4 n = 4 =6 Tablica będzie zbudowana z 6 kratek 9 Tablica Karnaugh (CCF) 4 CCF y= ( v 4 ) v ( v ) v ( v 4 ) Funkcja posiada cztery zmienne 4 stąd n =4 n = 4 =6 Tablica będzie zbudowana z 6 kratek

11 Metoda M.Quinea-McCluskeya Implikant Funkcję boole owską y= g (,,..., n ) nazywamy implikantem funkcji boole owskiej y= f (,,..., n ) jeśli dla dowolnego zestawu wartości zmiennych,,..., n, dla którego wartość funkcji g wynosi, wartość funkcji f również wynosi

12 Implikant prosty To każdy iloczyn elementarny, który jest implikantem i który zmniejszony o dowolną zmienną przestaje nim być Metoda M.Quinea- McCluskey a (część I) ) Należy zapisać funkcję w postaci FDCF ) ) Dla kolejnych zupełnych iloczynów elementarnych zapisujemy odpowiadające im kombinacje zer i jedynek Przepisujemy te kombinacje według liczby jedynek, tworząc grupy 4

13 Metoda M.Quinea- McCluskey a (część I) 4) Porównujemy ze sobą wszystkie kombinacje znajdujące się w dwóch kolejnych grupach. Jeżeli dwie takie kombinacje różnią się tylko jedną pozycją to sklejamy je w nową kombinację (przy wykorzystanych już kombinacjach stawiamy ), a zamiast różniącej je pozycji wpisujemy - Jeżeli w jakiejś grupie są kombinacje, których nie można skleić to są to implikanty proste, oznaczamy je * 5 Metoda M.Quinea- McCluskey a (część I) 5) Kontynuujemy ten proces dla nowych grup powstałych w wyniku sklejania z tym, że można sklejać tylko te kombinacje, które mają - na tych samych pozycjach. W przypadku, gdy nie istnieje możliwość dalszego sklejania wypisujemy wszystkie kombinacje oznaczone *. 6

14 Metoda M.Quinea- McCluskey a (część II) ) Rysujemy siatkę z linii poziomych i pionowych, liniom pionowym przyporządkowane są kombinacje odpowiadające zupełnym iloczynom elementarnym minimalizowanej funkcji, a liniom poziomym kombinacje odpowiadające implikantom prostym otrzymanym w I części algorytmu. 7 Metoda M.Quinea- McCluskey a (część II) ) ) Wstawiamy znak w miejsce przecięcia linii każdego implikantu prostego z zupełnym iloczynem elementarnym pokrywanym przez ten implikant Tworzymy minimalny zbiór tych implikantów prostych pokrywających wszystkie zupełne iloczyny elementarne 8 4

15 Metoda M.Quinea- McCluskey a (przykład) y= v v v v v v v v v 9 Metoda M.Quinea- McCluskey a (przykład) * * * * * 5

16 Metoda M.Quinea- McCluskey a (przykład) y= v v Koniec Dziękuję za uwagę 6