Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013

Transkrypt

1 Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013

2 1 PODSTAWY 2 3

3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej (pozornie): podzbiór A X jest zwarty, jeśli dla każdego ciągu {x n } A istnieje podciąg {x nk } taki, że lim x nk = x 0 A. Przykłady. 1. Odcinek ([0, 1], ) jest przestrzenią zwartą. 2. Odcinek (0, 1) nie jest przestrzenią zwartą. 3. (X, d dys ), gdy X jest nieskończony, nie jest przestrzenią zwartą. Gdy X jest skończony, to jest to przestrzeń zwarta.

4 Twierdzenie. Domknięty podzbiór przestrzeni metrycznej zwartej jest zbiorem zwartym. Dowód. Niech A X -domknięty w X i X zwarta. Weźmy ciąg {x n } w A. Ze zwartości X istnieje podciąg {x nk } taki, że lim x nk = x X. Ale wyrazy ciągu są w A, a zatem i granica x A. Twierdzenie. Jeżeli (X, d) jest zwarta, to jest zupełna. Dowód. Weźmy ciąg {x n } X spełniający warunek Cauchy ego. Ze zwartości X możemy wybrać podciąg x nk x 0 X. Udowodnimy, że x n x 0.

5 Weźmy ε > 0 n0 n,m n0 d(x n, x m ) < ε 2 n1 k n1 d(x nk, x 0 ) < ε 2 Wybierzmy n 2 max(n 0, n 1 ). Wtedy dla k, n n 2 mamy n k n i d(x n, x 0 ) d(x n, x nk ) + d(x nk, x 0 ) < ε + ε < ε 2 2

6 Wniosek. Jeśli (X, d) - przestrzeń metryczna i A X pozbiór zwarty, to A jest domknięty w X Twierdzenie. Przestrzeń zwarta jest ograniczona. Dowód. Przypuśćmy, że X nie jest ograniczona. Wybierzmy a 1 X. Wtedy istnieje a 2 X taki, że d(a 1, a 2 ) 1. a3 d(a 1, a 3 ) 1, i d(a 2, a 3 ) 1. itd... Dostajemy ciąg nieskończony {a n } taki, że d(a i, a j ) 1 gdy i j. Z tego ciągu nie da się wybrać podciągu zbieżnego, bo żaden podciąg nie spełnia warunku Cauchy ego.

7 Definicja. Zbiór A (X, d) nazywamy ε-siecią, jeśli x X p A d(x, p) < ε. Lemat. Jeśli (X, d) jest zwarta, to dla każdego ε > 0 istnieje w X skończona ε-sieć. Dowód. Ustalmy ε > 0. Niech p 1 X. Punkt p 2 wybieramy tak, by d(p 1, p 2 ) ε. Jeśli takiego nie ma, to dowód jest zakończony: A = {p 1 }. Punkt p 3 wybieramy tak, by d(p 1, p 3 ) ε, d(p 2, p 3 ) ε. Jeśli takiego nie ma, to dowód jest zakończony: A = {p 1, p 2 }.

8 itd: Punkt p n wybieramy tak, by m<n d(p n, p m ) ε. Jeśli takiego nie ma, to dowód jest zakończony: A = {p 1, p 2,..., p n 1 }. Jeśli ten algorytm można kontynuować w nieskończoność, to otrzymamy ciąg {p n }, z którego nie da się wybrać podciągu zbieżnego. Zatem X nie mogłaby być zwarta. Stąd N A = {p 1, p 2,..., p N } jest ε-siecią.

9 Twierdzenie. Przestrzeń zwarta jest ośrodkowa. Dowód. Stosujemy lemat dla ε = 1 n A 1/n. Niech B := A 1 A 1/2... A 1/n... otrzymując zbiór Każdy ze zbiorów A 1/n jest skończony, zatem B jest przeliczalny. Weźmy x X. n bn b n A 1/n B d(x, b n ) < 1 n. Wtedy lim b n = x (z tw. o trzech ciągach), czyli x B. Zatem X = B, czyli B jest ośrodkiem.

10 Twierdzenie. Jeżeli f : X Y ciągła, i A X zwarty, to f (A) Y jest zwarty. Dowód. Rozważmy ciąg {y n } f (A). n xn A f (x n ) = y n. Ale A jest zwarty, stąd istnieje podciąg zbieżny x nk x 0. Zatem z ciągłości f mamy lim f (x nk ) = f (x 0 ). Ale f (x nk ) = y nk, czyli y n ma podciąg zbieżny w f (A). Wniosek 1. Jeśli h : X Y jest homeomorfizmem, to X jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy Y jest zwarta.

11 Wniosek 2 (Tw. uogólnione Weierstrassa). Jeżeli (X, d) jest zwarta i f : X R ciągła, to f jest ograniczona i przyjmuje wartość najmniejszą i najmniejszą. Dowód. f (X ) R jest zwarty, a zatem domknięty i ograniczony. Zatem istnieją a = inf x f (x), b = sup x f (x) oraz f (X ) [a, b] Z definicji kresu ε>0 x a f (x) < a + ε. Stosując to dla ε = 1/n dostajemy ciąg x n taki, że f (x n ) a. Ale z x n można wybrać podciąg zbieżny (zwartość!) x nk x 0. Z definicji Heine go ciągłości f (x nk ) f (x 0 ), więc f (x 0 ) = a. Analogicznie dla kresu górnego.

12 Twierdzenie (uogólnione Heine go). Jeśli f : X Y ciągła i X jest zwarta, to f jest jednostajnie ciągła. Dowód. Przypuśćmy, że f nie jest jednostajnie ciągła : ε>0 δ>0 x,x d(x, x ) < δ i d(f (x), f (x )) ε. Przy ustalonym ε > 0 bierzemy δ = 1/n : n d(x n, x n) < 1 n i d(f (x n ), f (x n)) ε. Z ciągu x n można wybrać podciąg zbieżny x nk x. Wtedy również x n k x. Stąd lim f (x nk ) = f (x) = lim f (x n k ), Ale d(f (x nk ), f (x n k )) ε > 0. Sprzeczność.

13 Twierdzenie Heine go - Borela. Podzbiór A (R k, d e ) jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony. Dowód. Implikacja jest prawdziwa w dowolnej przestrzeni metrycznej. Niech X n = (x 1 n, x 2 n,..., x k n ) A Ponieważ A jest ograniczony, to każdy z ciągów współrzędnych jest ograniczony. Zatem możemy wybrać taki podciąg X nk, aby pierwsze współrzędne x 1 n k x 1. Z tego podciągu wybieramy podciąg taki, aby także ciąg drugich wspórzędnych był zbieżny

14 x 2 n kl x 2, x 1 n k x 1 itd... po k takich krokach otrzymujemy nieskończony podciąg X ns, który jest zbieżny po współrzędnych do punktu (x 1, x 2,..., x k ). Jest to zbieżność w metryce euklidesowej. Z domkniętości A wynika, że (x 1, x 2,..., x k ) A. Przykład. Zbiór Cantora C. To zbiór liczb dających się zapisać w postaci gdzie t n {0, 2}. t = t t t n 3 n +...

15 np. liczba 1 3 C: 1 = = (0, ) 3 Ale np. 1 2 / C. Geometryczna konstrukcja: C 0 = [0, 1], C 1 = [0, 1] \ (1/3, 2/3), itd... Każdy z odcinków w C n dzielimy na trzy równe odcinki i usuwamy wszystkie środkowe części (otwarte), otrzymując nowy zbiór domknięty C n+1 C n. C := C n. n=0 ( ) C jest zwarty, bo jest domknięty i ograniczony w R.

16 Definicja. Rodzinę zbiorów {U t } t T nazywamy pokryciem X, gdy U t = X. t T Jeżeli wszystkie zbiory U t są otwarte w X, to mówimy o pokryciu otwartym. Jeśli wyróżnimy podzbiór indeksów S T, to rodzinę {U t } t S nazywamy podpokryciem {U t } t T, gdy U t = X. t S Twierdzenie Lindelöfa. Jeśli (X, d) jest przestrzenią metryczną ośrodkową, to z każdego jej pokrycia otwartego można wybrać podpokrycie przeliczalne.

17 Dowód. Niech A = {a j } będzie ośrodkiem w X. Wtedy rodzina kul {K(a j, 1 ); j N, n N} jest przeliczalnym n pokryciem X. Niech {U t } t T będzie pokryciem otwartym. Wtedy x t x U t Również istnieje n N takie, że K(x, 1 n ) U t. Niech a j A taki, że d(x, a j ) < 1 4n. Wtedy x K(a j, 1 4n ) K(x, 1 n ) U t 1 Pokrycie {K(a j, 4n j )} j N jest przeliczalne. Dla każdego j 1 wybieramy jedno t j takie, że K(a j, 4n j ) U tj.

18 Stąd X = 1 K(a j, ) 4n j j=1 U tj, j=1 czyli {U tj } j=1 jest szukanym podpokryciem. Definicja. Rodzina zbiorów {A s } s S jest scentrowana, jeśli k N s1,s 2,...,s k A s1 A s2 A sk. Twierdzenie. Równoważne są warunki: 1 Z każdego pokrycia otwartego przestrzeni X można wybrać podpokrycie skończone. 2 Dla każdej scentrowanej rodziny {F s } s S zbiorów domkniętych s S F s.

19 Dowód. 1 2 Niech {F s } s S -rodzina zbiorów domkniętych taka, że F s =. s S Wtedy X = X \ F s = (X \ F s ) = U s, s S s S s S gdzie zbiory U s = X \ F s są otwarte. Zatem z 1 k X = U s1 U s2 U sk = X \ F si. i=1 Zatem nasza rodzina nie jest scentrowana.

20 Dowód. 2 1 Weźmy pokrycie otwarte: X = U s S s. Przypuśćmy, że nie da się wybrać podpokrycia skończonego. Określamy zbiory domknięte F s = X \ U s. Dla dowolnego skończonego zbioru indeksów X \ k U si = i=1 k (X \ U si ) = i=1 k F si. i=1 Zatem rodzina {F s } s S F s S s. Stąd jest scentrowana. Z 2 mamy X X \ s S F s = s S (X \ F s ) = s S U s. Czyli {U s } s S nie jest pokryciem.

21 Twierdzenie. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy z każdego pokrycia otwartego X można wybrać podpokrycie skończone. Dowód. Załóżmy, że X nie jest zwarta, czyli istnieje ciąg {x n }, z którego nie da się wybrać podciągu zbieżnego. Niech F k := {x k, x k+1, x k+2,...}. Wtedy F k są domknięte. Rodzina {F k } k N jest zstępująca, a zatem scentrowana: l F ki = F kl. Ale i=1 F k =. k=1 Z poprzedniego twierdzenia zbiory U k = X \ F k tworzą pokrycie otwarte, z którego nie da się wybrać podpokrycia skończonego.

22 Dowód. Niech {U s } s S - pokrycie otwarte. Na mocy Tw. Lindelöfa możemy wybrać podpokrycie przeliczalne: X = i=1 U s i. Przypuśćmy, że n X \ n i=1 U s i. Wybieram ciąg: x n F n = X \ n i=1 U s i. Z założenia istnieje podciąg x nk x 0. Zauważmy, że dla każdego ustalonego n 0 N mamy nk n 0 x nk F n0. Zatem x 0 F n0 n0. Czyli x 0 F i = (X \ U si ) = X \ i=1 i=1 Sprzeczność kończy dowód. i=1 U si =

23 Twierdzenie Lebesgue a o pokryciu. Jeśli (X, d) jest zwarta, {U t } t T -pokrycie otwarte, to istnieje takie ε > 0, że dla każdego x X istnieje t T K (x, ε) U t. Dowód. Dla każdego x wybierzmy ε x > 0 takie, że K(x, 2ε x ) U t dla pewnego t T. Z pokrycia {K(x, ε x )} x X wybieramy podpokrycie skończone K ε1,..., K εk. Niech ε := min{ε x1, ε x2,..., ε xk }. Weźmy y K(x, ε). Wtedy xj d(x, x j ) < ε xj. d(y, x j ) d(y, x) + d(x, x j ) < ε + ε xj 2ε xj. Zatem y K(x j, ε xj ) U t dla pewnego t T.

24 Liczbę ε z poprzedniego twierdzenia nazywa się liczbą Lebesgue a pokrycia U. Twierdzenie (Hausdorff). Jeśli f : X Y ciągła, X zwarta, to f jednostajnie ciągła. Dowód (nowy). Niech ε > 0. Rozważmy otwarte pokrycie X : A := {f 1 (K(y, ε )} y Y. 2 Określamy δ > 0 jako liczbę Lebesgue a tego pokrycia. Niech d(x, x ) < δ. Stąd y Y x K(x, δ) f 1 (K(y, ε 2 ). f (x), f (x ) K(y, ε 2 ) d(f (x), f (x )) < ε.

25 Twierdzenie. Jeśli (X, d) zwarta i f : X Y spełnia lokalnie warunek Lipschitza, to spełnia warunek Lipschitza globalnie. Dowód. x X Ux x Lx y,z Ux d Y (f (y), f (z)) L x d(y, z) Rodzina {U x } x X jest otwartym pokryciem X. Wybieramy skończone podpokrycie {U x1, U x2,..., U xk }. Niech M i,j = d Y (f (x i ), f (x j )) d(x i, x j ) Wtedy jest stałą Lipschitza dla f. L = 3 max{l xi, M ij } i,j

26 Jeśli mamy ciąg przestrzeni metrycznych (X i, d i ), i = 1, 2, 3,..., to w produkcie kartezjańskim X = X 1 X 2 X 3... metrykę zadaje wzór d((x 1, x 2,...), (y 1, y 2,...)) := i=1 1 2 i d i (x i, y i ) 1 + d i (x i, y i ). Twierdzenie. Jeśli wszystkie X i są zwarte, to ich produkt kartezjański X z powyższą metryką jest przestrzenią zwartą. Uwaga Dowód podaliśmy dla skończonego ciągu przestrzeni. Przykład Kostka Hilberta: X = [0, 1] [0, 1] [0, 1]... z powyższą metryką jest zwarta.