WYKŁAD 11: CAŁKOWANIE

Transkrypt

1 MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI WYKŁAD 11: CAŁKOWANIE KOGNITYWISTYKA UAM, JERZY POGONOWSKI Zkłd Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@mu.edu.pl Początki systemtycznego rchunku różniczkowego i cłkowego dtuje się n wiek XVII. Z twórców tego rchunku uwż się Izk Newton ( ) orz Gottfried Wilhelm Leibniz ( ). Wrto jednk pmiętć, że już Archimedes ( ) posługiwł się metodmi, które uczyniły go prekursorem tego rchunku. Rozwżni dotyczące szeregów nieskończonych prowdzone były też przez mtemtyków hinduskich, dw stuleci przed Newtonem i Leibnizem. Z poprzednich dwóch wykłdów słuchcze mogli wynieść rudymentrne widomości dotyczące różniczkowni funkcji. Opercj cłkowni, którą omówimy w propedeutycznym skrócie n dzisiejszym wykłdzie jest opercją odwrotną do różniczkowni. 1 Uwgi o mierzeniu Jk widzieliśmy w poprzednim wykłdzie, pochodn funkcji m prostą interpretcję geometryczną, związną ze styczną do krzywej. Cłk (oznczon, w przedzile [, b]) funkcji f(x) tkże m prostą interpretcję geometryczną: jej wrtość liczbow równ jest polu powierzchni ogrniczonej osią odciętych, krzywą f(x) orz prostymi o równnich x = i x = b. Oczywiście, by w poprwny i precyzyjny sposób mówić o polch figur ogrniczonych dowolnymi krzywymi, trzeb dysponowć pojęciem miry. Podobnie rzeczy się mją z tkimi pojęcimi, jk: długość (dowolnej krzywej), pole (dowolnej powierzchni) orz objętość (dowolnej bryły). Słuchcze pmiętją ze szkoły, jk oblicz się długość odcink lub długość łmnej, złożonej z odcinków. Pmiętją tkże, w jki sposób oblicz się pol powierzchni, ogrniczonych odcinkmi orz objętość (i pole powierzchni) brył prostopdłościennych. Do elementrnego wyksztłceni ogólnego nleży tkże znjomość wzorów dotyczących długości, pól powierzchni orz objętości pewnych wybrnych tworów geometrycznych (okrąg, koło, stożek, wlec). Sposobów uz- 1

2 sdnieni tych wzorów nie trktuje się jednk z reguły jko nleżących do owego ogólnego wyksztłceni. Uwżmy, że nleży co njmniej być świdomym, że wzory te nie są przyjmowne w mtemtyce jko dogmty, lecz że możn je uzsdnić n drodze dedukcyjnej, odwołując się do pojęć dotyczących funkcji, grnic, metryki, miry (orz, oczywiście do ksjomtów rytmetyki i teorii mnogości). W przypdku zbiorów skończonych mir związn może być bezpośrednio z liczb elementów tkich zbiorów. Inczej rzecz m się jednk z dowolnymi zbiormi, w tym ze zbiormi nieskończonymi. Wprowdzone zostje nowe pojęcie: zbioru mierzlnego (w określonym sensie, np. w mierze Jordn lub w mierze Lebesgue ). Zbiory mierzlne są wtedy porzdnymi zbiormi tkimi, którym możn włśnie przypisć stosowną wielkość liczbową, będącą ich mir. Gdy rozwżmy np. przestrzenie euklidesowe, to intuicyjnie mówiąc porządne są m.in. przedziły, kostki, skończone sumy przedziłów orz kostek. Z pewnych względów (związnych z ddytywności miry) z porządne uwżmy też przeliczlne sumy zbiorów porządnych. Dobrze określon mir obejmuje, jko przypdki szczególne, przypisywnie wielkości liczbowych obiektom mtemtycznym chrkteryzują one długość, pole, objętość, mirę kąt, prwdopodobieństwo zdrzeń, itd. Mir ztem rozumin jest jko pewn funkcj, któr wybrnym (tym porządnym ) podzbiorom ustlonej przestrzeni X przypisuje liczbę (np. rzeczywistą dodtnią lub ), chrkteryzującą wielkość tych zbiorów. Dl oddni intuicji dotyczących mierzeni orz dl zchowni zgodności z innymi strukturmi obecnymi w przestrzeni X zkłd się, że funkcj t m określone włsności. Bez wdwni się w szczegółowe komentrze podmy dwie definicje: σ-cił podzbiorów rozwżnej przestrzeni X (formlny odpowiednik zbiorów porządnych, którym możn przypisć mirę) orz funkcji miry, określonej dl tych zbiorów. Mówimy, że rodzin B podzbiorów zbioru X jest σ-ciłem zbiorów w X (lub: σ-lgebr w X), gdy: 1. B. 2. B jest domknięt n opercję dopełnieni (w X): jeśli A B, to X A B. 3. B jest domknięt n przeliczlne sumy: jeśli {A i : i N} B, to A i B. i N Dl dowolnej rodziny A podzbiorów zbioru X istnieje njmniejsz (względem inkluzji) σ-lgebr w X, do której nleżą wszystkie zbiory z rodziny A: nzywmy ją σ-lgebr podzbiorów X generown przez rodzinę A. Tk więc, σ-lgebr generown przez rodzinę A jest njmniejszą rodziną podzbiorów zbioru X, które 2

3 możn otrzymć z elementów rodziny A poprzez opercje: brni dopełnieni orz brni przeliczlnych sum ( więc również przeliczlnych iloczynów). Prę (X, B) złożoną ze zbioru X orz σ-lgebry jego podzbiorów B nzywmy przestrzeni mierzln. Niech (X, B) będzie przestrzenią mierzlną. Mówimy, że funkcj µ jest mir w tej przestrzeni, gdy: 1. Dziedziną funkcji µ jest rodzin B. 2. Funkcj µ przyjmuje wrtości rzeczywiste nieujemne lub wrtość. 3. µ( ) = Dl dowolnej rodziny {A i : i N} B zbiorów prmi rozłącznych (czyli tkich, że A i A j = dl i j) zchodzi: µ( i N A i ) = µ(a i ). i=0 Przestrzeni z mir nzywmy dowolną trójkę uporządkowną (X, B, µ), gdzie (X, B) jest przestrzenią mierzlną, µ jest mirą w tej przestrzeni. PRZYKŁADY. 1. Niech A będzie rodziną wszystkich przedziłów otwrtych o końcch wymiernych zwrtych w R. Wtedy σ-lgebr generown przez rodzinę A jest rodziną wszystkich tzw. borelowskich podzbiorów R. 2. Niech Ω będzie przestrzenią zdrzeń elementrnych. Funkcj prwdopodobieństw zdrzeń, rozuminych jko podzbiory zbioru Ω zostnie dobrze określon, jeśli zdecydujemy, którym podzbiorom zbioru Ω chcemy przypisć ich prwdopodobieństwo, rozumine jko liczb rzeczywist nleżąc do przedziłu domkniętego [0, 1], czyli gdy ustlimy przestrzeń B zdrzeń losowych. Zkłd się przy tym, że funkcj t jest mirą w przestrzeni mierzlnej (Ω, B) orz że jej wrtość n zbiorze Ω równ jest 1. W znnym słuchczom ze szkoły przypdku, gdy Ω jest zbiorem skończonym sprw jest prost rodziną zdrzeń losowych jest po prostu rodziną (Ω) wszystkich podzbiorów zbioru Ω. W powżniejszych zstosownich (które słuchcze poznją n wykłdch ze sttystyki) prwdopodobieństwo jest funkcją miry, określoną w stosownie dobrnej przestrzeni mierzlnej. 3

4 3. Jeśli (X, B, µ) jest przestrzenią z mirą, to µ( ) = 0, zgodnie z definicją. Mirę równą 0 mogą mieć jednk tkże niepuste podzbiory zbioru X: byłyby to ztem zbiory młe w sensie rozwżnej miry. Z kolei te zbiory, których dopełnieni mją mirę równą 0 trktowne mogą być jko duże w sensie rozwżnej miry. Uzyskujemy w ten sposób możliwość precyzyjnego mówieni o tym, że dn włsność zchodzi prwie wszędzie (dl prwie wszystkich rozwżnych obiektów czyli dl wszystkich, oprócz zbioru o mierze 0). 4. Niech (X, B, µ) będzie przestrzenią z mirą. Mówimy, że mir µ jest zupełn, jeśli kżdy podzbiór zbioru miry 0 jest mierzlny: dl dowolnego A B, jeśli µ(a) = 0 orz B A, to B B. Mówiąc metforycznie, jeśli (X, B, µ) jest przestrzenią z mirą zupełną, to zniedbywlnie młe zbiory nie kryją w swoich wnętrzch zbiorów-potworów, którym nie możn w tej przestrzeni przypisć miry. Mir to ztem nowy rodzj struktury, dotąd nie omwiny w tych wykłdch. Odwołując się jedynie do widomości z edukcji szkolnej czsem trudno jest uświdomić sobie, że posługujemy się tylom różnego rodzju strukturmi: lgebriczną (np. dziłni rytmetyczne), porządkową (m.in. kresy górne i dolne zbiorów uporządkownych), topologiczną (np. pojęci: zbieżności, grnicy, metryki), do których dochodzą jeszcze struktury różniczkowe (np. pojęcie pochodnej) orz struktury związne z mirą (np. cłk). W przypdku przestrzeni R liczb rzeczywistych (orz produktów tej przestrzeni) wszystkie te typy struktur spełniją określone wrunki zgodności, np.: porządek zgodny jest z opercjmi rytmetycznymi, bezwzględn wrtość wykorzystywn jest w definicji metryki orz pochodnej, itp. Sądzimy, że rzeczą niezwykle frpującą dl studentów kognitywistyki jest to, że umysł potrfi bdć tk różne struktury nkłdne n uniwers obiektów mtemtycznych. Zchęcmy ewentulnie zinteresownych tym słuchczy do poczytni o dziejch mtemtyki, o drogch wiodących do ustnowieni wyżej wspomninych rodzjów struktur. 2 Cłk nieoznczon W niniejszym usługowym kursie ogrniczymy się do podni definicji cłki (nieoznczonej i oznczonej) orz kilku dość oczywistych wzorów. Jk słuchcze pmiętją, różniczkownie dowolnych funkcji poległo n stosowniu kilku prostych przepisów. W przypdku cłkowni sytucj jest nieco inn. Oblicznie cłek w ogólności nie jest łtwe, wymgn jest przy tym zrówno pewn pomysłowość, jk i korzystnie z procedur specjlnie do tego przeznczonych. Sądzimy, 4

5 że studentom kognitywistyki wystrczy rozumienie smego pojęci cłki, wrz z przykłdmi ilustrującymi zstosowni cłek. 2.1 Definicj Niech funkcj f będzie określon w przedzile (, b). Funkcj pierwotn funkcji f nzywmy kżdą funkcję F określoną w przedzile (, b) i różniczkowlną w kżdym punkcie przedziłu (, b), któr dl wszystkich x (, b) spełni wrunek: F (x) = f(x). Jeśli dl funkcji f istnieje jej funkcj pierwotn w (, b), to mówimy, że f jest cłkowln w (, b). Gdy chcemy rozwżć cłkowlność funkcji w przedzile domkniętym, to w punktch końcowych tkiego przedziłu rozwżmy pochodne jednostronne funkcji pierwotnej. Wprost z definicji wynik, że funkcj pierwotn funkcji f cłkowlnej w (, b) jest określon z dokłdnością do stłej: 1. Jeśli F jest funkcją pierwotną funkcji f, to F +c tkże jest funkcją pierwotną funkcji f, dl dowolnej C R. 2. Jeśli F i G są funkcjmi pierwotnymi funkcji f, to istnieje C R tk, że F = G + C. Cłk nieoznczon funkcji f nzywmy rodzinę wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f. Powszechnie przyjętym oznczeniem dl cłki nieoznczonej funkcji f jest f(x)dx. Tk więc, jeśli F (x) = f(x), to F (x)dx = F (x) + C. Słuchcze zechcą trktowć występujący tu symbol dx jko swoisty znk interpunkcyjny, wskzujący względem jkiej zmiennej odbyw się cłkownie. Powszechnie przyjętym zwyczjem jest tkże opuszcznie stłej C przy zpisie cłki nieoznczonej, o ile nie prowdzi to do nieporozumień. Wprost ze znnych już wzorów n pochodne funkcji otrzymujemy wzory dotyczące niektórych cłek nieoznczonych: PRZYKŁADY. 1. x α dx = xα+1 α+1, dl α 1, x > 0 (jeśli α N, to wzór zchodzi dl x 0) 2. dx x 3. e x dx = e x = ln x, dl x 0 4. x dx = x ln, gdzie > 0, 1 5

6 5. sin xdx = cos x 6. cos xdx = sin x 7. 1 cos 2 x dx = tg x, dl x n π + π 2, n Z 8. 1 dx = ctg x, dl x n π, n Z sin 2 x 2.2 Wybrne włsności WYBRANE WŁASNOŚCI. 1. Kżd funkcj ciągł w [, b] m w [, b] cłkę nieoznczoną. 2. Kżd funkcj ciągł w (, b) m w (, b) cłkę nieoznczoną. 3. Dziłni rytmetyczne. Jeśli funkcje f i g są cłkowlne w przedzile I (otwrtym lub domkniętym), c R, to cłkowlne w I są również funkcje f + g, f g, c f orz zchodzą wzory: () (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx (b) (f(x) g(x))dx = f(x)dx g(x)dx (c) c f(x)dx = c f(x)dx. 4. Cłkownie przez części. Jeśli funkcje f i g mją ciągłe pochodne f i g w przedzile I (otwrtym lub domkniętym), to: f(x) g (x)dx = f(x) g(x) f (x) g(x)dx. 5. Cłkownie przez podstwienie. Złóżmy, że f jest ciągł w przedzile (, b), g m ciągłą pochodną w przedzile (c, d), przy czym < g(t) < b dl t (c, d). Wtedy dl t (c, d): f(x)dx = f(g(t)) g (t)dt. 6. Złóżmy, że g m ciągłą pochodną w przedzile (, b) orz g(t) 0 dl t (, b). Wtedy dl t (, b): g (t) dt = ln g(t). g(t) Zuwżmy, że ten (użyteczny w zstosownich) wzór wynik z twierdzeni o cłkowniu przez podstwienie (wystrczy przyjąć f(x) = 1 x w złożenich tego twierdzeni). 6

7 PRZYKŁADY. 1. Rozwżmy cłkę x e x dx. Skorzystmy z metody cłkowni przez części, przyjmując: f(x) = x orz g(x) = e x. Poniewż (e x ) = e x, więc: x e x dx = x e x (x) e x dx = x e x e x = (x 1) e x. 2. Rozwżmy cłkę 3 4 x 1 dx. Dokonujemy podstwieni: t = 4 x 1. Wtedy x = t+1 4 = g(t), czyli g (t) = 1 4. Korzystmy z wzoru n oblicznie cłki przez podstwienie: 3 4 x 1 dx = 3 t 1 4 dt = t dt = t ln 3 = x 1. ln 3 3. Rozwżmy cłkę 1 sin xdx dl x n π, n Z. Wykorzystjmy njpierw znne fkty trygonometryczne: Pmiętmy, że: Otrzymujemy ztem: 1 sin x = 1 2 sin x 2 cos x 2 = (tg x 2 ) = (tg x sin x dx = tg x 2 2 ) 1 cos 2 x cos 2 x 2 tg x. 2. dx = ln tg x 2, w kżdym z przedziłów (n π, (n + 1) π), n Z. Oprcowno wiele dlszych metod obliczni cłek nieoznczonych, m.in.: wzory rekurencyjne, rozkłd (funkcji wymiernych) n ułmki proste, wzory n oblicznie cłek złożonych funkcji niewymiernych orz trygonometrycznych, itd. 3 Cłk oznczon Powiedzieliśmy we wstępie, że cłk funkcji f(x) w przedzile [, b] m związek z polem powierzchni ogrniczonej osią odciętych, krzywą f(x) orz prostymi o równnich x = i x = b. Rozwżmy njpierw dw proste przypdki. 7

8 1. Niech wykresem funkcji f(x) w przedzile [, b] będzie prost o równniu y = m x + n. Wtedy obszr ogrniczony odcinkiem [, b], krzywą y = m x + n orz prostymi o równnich x = i x = b jest trpezem. Pole tego obszru dne jest ztem wzorem: 1 (m ( + b) + n) (b ). 2 Jki jest związek tego pol z cłką nieoznczoną F (x) = (m x + n)dx? Po pierwsze: F (x) = 1 2 m x2 + n x + C, gdzie C jest stłą cłkowni. Po drugie: () F () = 1 2 m 2 + n + C (b) F (b) = 1 2 m b2 + n b + C Wreszcie, po trzecie: F (b) F () = 1 2 (m ( + b) + n) (b ), co wykzujemy prostym rchunkiem. Tk więc, rozwżne pole jest równe różnicy wrtości funkcji pierwotnej dl funkcji f(x) = m x+n, brnych n końcch przedziłu [, b]. 2. Niech f(x) będzie funkcją łmną w przedzile [, b]. Wtedy obszr ogrniczony krzywą f(x), odcinkiem [, b] orz prostymi o równnich x = i x = b jest sumą trpezów. Jeśli bowiem punkty x i [, b] są tkie, że = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b, że funkcj f(x) jest liniow w kżdym z przedziłów [x i 1, x i ], dl 0 < i n, to n mocy obliczeń wykonnych w poprzednim punkcie dl dowolnej funkcji F (x) pierwotnej dl f(x) pole tego obszru jest równe: n (F (x i ) F (x i 1 )) = F (x n ) F (x 0 ) = F (b) F (). i=1 A ztem również w tym przypdku rozwżne pole jest równe różnicy wrtości funkcji pierwotnej dl funkcji f(x), brnych n końcch przedziłu [, b]. Te przykłdy mogą służyć z punkt wyjści do nstępującej definicji. Niech F będzie funkcją pierwotną dl funkcji f ciągłej w przedzile [, b]. Cłk oznczon z funkcji f w przedzile [, b] nzywmy liczbę: f(x)dx = F (b) F (). 8

9 Liczby orz b nzywmy wtedy, odpowiednio, doln orz górną grnicą cłkowni. Powszechnie używ się również skrótu: [F (x)] b = F (b) F (). Dociekliwi słuchcze mogą ( włściwie nwet powinni) zpytć: czy w przypdku dowolnej funkcji f(x) określonej w przedzile [, b] pole obszru ogrniczonego odcinkiem [, b], krzywą f(x) orz prostymi o równnich x = i x = b równe jest F (b) F (), gdzie F jest funkcją pierwotną dl funkcji f? Odpowiedzi n to pytnie dostrczją różne propozycje zdefiniowni wielkości f(x)dx tk, by był on równ F (b) F () orz istotnie odpowidł on mierze rozwżnego obszru. Drugi z rozwżnych wyżej przykłdów powinien podsunąć słuchczom pomysł, by mirę rozwżnego obszru obliczć (przybliżć) jko sumę mir jkichś prostszych jego obszrów skłdowych. Owe obszry skłdowe powinny być przy tym stosownie młe, by sum ich mir był dowolnie blisk mierze cłego rozwżnego obszru. Czujemy ztem, że z chwilę pojwi się jkieś przejście grniczne: mir cłego obszru będzie określn jko grnic sum obszrów skłdowych. Zuwżmy też, że obszr pod dowolną krzywą f(x) w przedzile [, b] może być przybliżny summi obszrów prostokątnych n dw sposoby: 1. Możemy dzielić przedził [, b] (czyli dziedzinę funkcji), otrzymując prostokątne pionowe pski, których sum przybliż rozwżny obszr. Ten pomysł prowdzi do cłki Riemnn. 2. Możemy dzielić przedził [f(), f(b)] (czyli przeciwdziedzinę funkcji), otrzymując inne prostokątne pski, których sum przybliż rozwżny obszr. Ten pomysł prowdzi do cłki Lebesgue. Z chwilę podmy konstrukcję cłki Riemnn. Przedtem jednk wyliczymy, bez podwni dowodów, niektóre wżne włsności cłki oznczonej. 3.1 Wybrne włsności Dowody poniżej sformułownych twierdzeń znjdą zinteresowni słuchcze np. w podręczniku Musielk, Musielk 2004, Tom I, część 2, strony WYBRANE WŁASNOŚCI. 1. Włsności rytmetyczne. Złóżmy, że f i g są funkcjmi ciągłymi w przedzile [, b]. Wtedy: () (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx. 9

10 (b) c f(x)dx = c f(x)dx. (c) Jeśli f(x) g(x) dl x [, b], to (d) Jeśli f(x) 0 dl x [, b], to (e) f(x)dx f(x) dx f(x)dx f(x)dx 0. g(x)dx. (f) Jeśli 0 < h b, to istnieje t (0, 1) tk, że: h f( + t h). +h W konsekwencji: f(x)dx (b ) mx f(x). x b x (g) Jeśli F (x) = f(t)dt dl x [, b], to F (x) = f(x) w [, b]. f(x)dx = x W konsekwencji, jeśli F m ciągłą pochodną F w [, b], to F (x)dx = F (x) F (). 2. Cłkownie przez części. Złóżmy, że funkcje f i g mją ciągłe pochodne f i g w przedzile [, b]. Wtedy: f(x) g (x)dx = [f(x) g(x)] b gdzie [f(x) g(x)] b = f(b) g(b) f() g(). f (x) g(x)dx, 3. Cłkownie przez podstwienie. Złóżmy, że f jest ciągł w [, b] orz że g m ciągłą pochodną g w [c, d], przy czym g(t) b dl t [c, d] orz g(c) =, g(d) = b. Wtedy: f(x)dx = d c f(g(t)) g (t)dt. 4. Pierwsze twierdzenie o wrtości średniej. Złóżmy, że f i g są funkcjmi ciągłymi w przedzile [, b] orz że g m stły znk w [, b]. Istnieje wtedy liczb t [, b] tk, że: 10

11 f(x) g(x)dx = f(t) g(x)dx. 5. Drugie twierdzenie o wrtości średniej.złóżmy, że f i g są funkcjmi ciągłymi w przedzile [, b] orz że g jest monotoniczn i m ciągłą pochodną w [, b]. Istnieje wtedy liczb t [, b] tk, że: t f(x) g(x)dx = g() f(x)dx + g(b) t f(x)dx. Podne wyżej włsności wykorzystywne są przy obliczniu cłek oznczonych. 3.2 Cłk Riemnn: definicj Niech = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b. Kżdy tki ciąg nzywmy podziłem odcink [, b]. Poszczególne przedziły [x i, x i+1 ] (0 i < n) nzywmy wtedy podprzedziłmi tego podziłu. Średnic tkiego podziłu nzywmy liczbę mx (x i+1 x i ). Średnicę podziłu Π oznczmy przez δ(π). Normlnym ci- 0 i<n giem podziłów (odcink [, b]) nzywmy kżdy tki ciąg Π m podziłów tego odcink, których średnic dąży do zer, czyli tki, iż: lim δ(π m) = 0. m Niech f będzie funkcją ogrniczoną w przedzile [, b] i niech Π będzie podziłem tego przedziłu, wyznczonym przez punkty: = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b. Pondto, niech t i [x i 1, x i ] dl wszystkich 1 i n. Niech T będzie zbiorem wszystkich tych punktów pośrednich t i. Sum Riemnn funkcji f dl podziłu Π przy wyborze punktów pośrednich w zbiorze T nzywmy liczbę: n R(Π) = f(t i ) (x i x i 1 ). i=1 Słuchcze nie powinni mieć trudności z interpretcją geometryczną sum Riemnn. Zchodzi nstępujący fkt, który wiąże sumy Riemnn z podną wcześniej definicją cłki oznczonej: TWIERDZENIE. Złóżmy, że funkcj f jest cigł w przedzile [, b]. Wtedy: 11

12 1. Dl kżdej liczby ε > 0 istnieje liczb δ > 0 tk, że dl kżdego podziłu Π odcink [, b]: jeśli δ(π) < δ, to R(Π) f(x)dx < ε. 2. Dl kżdego normlnego cigu (Π m ) podziłów odcink [, b] zchodzi równość: lim R(Π m) = f(x)dx. m DOWÓD 1. Niech ε > 0. Pmiętmy, że funkcj ciągł w przedzile domkniętym jest w nim jednostjnie ciągł. Tk więc, istnieje liczb δ > 0 tk, że: jeśli x y < δ, to f(x) f(y) < ε 2 (b ). Niech Π: = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b będzie dowolnym podziłem przedziłu [, b] o średnicy δ(π) < δ. Gdy punkty t i orz x nleżą do przedziłu [x i 1, x i ], to oczywiście spełniony jest wrunek t i x < δ. W konsekwencji, mmy wtedy: f(t i ) f(x) < ε 2 (b ). Tk więc, mmy kolejno: 1. R(Π) f(x)dx = n f(t i ) (x i x i 1 ) n i=1 i=1 x i n x i x i ( f(t i )dx f(x)dx) = x i 1 x i 1 i=1 n i=1 x i x i 1 (f(t i ) f(x))dx x i 1 f(x)dx = n i=1 n x i x i 1 (f(t i ) f(x)) dx x i i=1x i 1 ε 2 (b ) dx = 7. ε n 2 (b ) i=1 x i x i 1 dx = 12

13 8. ε 2 (b ) i=1 n (x i x i 1 ) = 9. ε 2 (b ) (x n x 0 ) = ε (b ) (b ) = 11. ε Poniewż ε b 2 < ε, więc mmy osttecznie: R(Π) f(x)dx < ε. DOWÓD 2. Niech (Π m ) będzie normlnym ciągiem podziłów przedziłu [, b]. Ozncz to, że: lim m δ(π m) = 0. N mocy pierwszej części twierdzeni, dl ε > 0 możemy znleźć δ > 0 tk, by dl δ(π m ) < δ zchodził nierówność: R(Π m ) f(x)dx < ε. Wybierzmy indeks N tki, by δ(π m ) < δ dl m > N. Wtedy: R(Π m ) dl wszystkich m > N. To ozncz, że: lim R(Π m) = m f(x)dx < ε f(x)dx. Udowodnione przed chwilą twierdzenie uzsdni poprwność nstępującej definicji. Złóżmy, że f jest funkcją ogrniczoną w przedzile [, b]. Mówimy, że f jest funkcją cłkowln w sensie Riemnn w [, b], gdy dl kżdego normlnego ciągu podziłów (Π m ) przedziłu [, b] orz przy dowolnym wyborze punktów pośrednich z podprzedziłów tego przedziłu ciąg sum Riemnn (R(Π m )) jest zbieżny. Grnicę lim R(Π m) nzywmy wtedy cłk Riemnn z funkcji f w przedzile m [, b] i oznczmy przez UWAGI. f(x)dx. 13

14 1. Dl funkcji ciągłych cłk Riemnn jest równ cłce oznczonej. 2. Istnieją funkcje ogrniczone nieciągłe ( nwet nie posidjące funkcji pierwotnej), które są cłkowlne w sensie Riemnn. Tk jest np. funkcj f określon w przedzile [0, 1] nstępująco: f(x) = 1 dl x [0, 1 2 ), f(x) = 0 dl x [ 1 2, 1]. Możn wykzć (zob. np. Musielk, Musielk 2004, Tom I, część 2, str. 189), że dl kżdego normlnego ciągu podziłów odcink [0, 1] ciąg jego sum Riemnn jest zbieżny do Istnieją jednk tkże funkcje ogrniczone, które nie są cłkowlne w sensie Riemnn tk jest np. funkcj Dirichlet (funkcj chrkterystyczn zbioru liczb wymiernych). 4. Zdefiniujmy jeszcze: m i = inf f(x) orz M i = sup f(x). Używmy nstępujących x i 1 x x i x i 1 x x i terminów: () R(Π) = n m i (x i x i 1 ): sum doln dl podziłu Π i=1 (b) R(Π) = n M i (x i x i 1 ): sum górn dl podziłu Π. i=1 Tego typu sumy służyć mogą do zdefiniowni tzw. dolnych i górnych cłek Drboux funkcji f w przedzile [, b]: () Cłk doln Drboux: f(x)dx = sup R(Π). Π (b) Cłk górn Drboux: f(x)dx = inf R(Π). Π Dowodzi się, że funkcj ogrniczon w [, b] jest cłkowln w sensie Riemnn wtedy i tylko wtedy, gdy jej doln cłk Drboux równ jest jej górnej cłce Drboux. Cłk Riemnn jest przyjznym obiektem mtemtycznym, jeśli chodzi np. o jej wlory dydktyczne. Pewnych jej mnkmentów teoretycznych (np. dotyczących przejść grnicznych) możn pozbyć się, przechodząc do ogólniejszego pojęci cłki. Ze smutkiem stwierdzmy, że ogrniczone rmy czsowe tego usługowego kursu nie pozwlją nm n omówienie tej problemtyki. 14

15 3.3 Zstosowni geometryczne W podnych niżej przykłdch ogrniczmy się do funkcji jednej zmiennej. PRZYKŁADY. 1. Długość łuku krzywej. Jeżeli funkcj f m ciągłą pochodną w przedzile [, b], to długość łuku krzywej Lo równniu y = f(x), gdzie x [, b], wynosi: L = 1 + (f (x)) 2 dx. 2. Pole powierzchni figury płskiej. Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w przedzile [, b] i spełniją w nim wrunek g(x) f(x), to pole obszru P, ogrniczonego krzywymi y = f(x), y = g(x) orz prostymi x = i x = b, jest równe: P = (f(x) g(x))dx. 3. Pole powierzchni bryły obrotowej. Jeżeli funkcj f m ciągłą pochodną w przedzile [, b], to pole powierzchni bryły obrotowej S, powstłej przez obrót wokół osi odciętych wykresu funkcji y = f(x), dl x [, b], wynosi: S = 2 π f(x) 1 + (f (x)) 2 dx. 4. Objętość bryły obrotowej. Jeżeli funkcj f jest ciągł w przedzile [, b], to objętość bryły obrotowej V powstłej przez obrót wokół osi odciętych wykresu funkcji y = f(x), dl x [, b], wynosi: V = π f 2 (x)dx. Dodjmy jeszcze, że w przypdku prmetrycznego opisu krzywych (n płszczyźnie lub w przestrzeni) tkże możemy wykorzystć stosowne wzory n oblicznie długości tkich krzywych. Dl przykłdu, jeśli krzyw płsk C jest określon 15

16 równnimi prmetrycznymi x = x(t) orz y = y(t), przy czym funkcje x(t) orz y(t) mją ciągłe pochodne w [, b], to długość C podje wzór: C = (x (t)) 2 + (y (t)) 2. Przy podnych złożenich możn udowodnić, że C jest prostowln (rektyfikowln), co ozncz mówiąc intuicyjnie że ciąg długości łmnych corz dokłdniej przybliżjących C jest ogrniczony z góry. Wyprowdzenie wszystkich powyżej podnych wzorów znjdą zinteresowni słuchcze np. w podręczniku Musielk, Musielk 2004, Tom I, część 2, strony Jk być może domyślją się słuchcze, we wszystkich tych przypdkch wychodzimy od stosownego ciągu normlnego podziłów, wyznczmy sumy Riemnn i otrzymujemy podne wzory poprzez przejści grniczne. 3.4 Zstosowni fizyczne i ekonomiczne W podnych niżej przykłdch ogrniczmy się do funkcji jednej zmiennej. PRZYKŁADY. 1. Drog w ruchu o zmiennej prędkości. Jeśli punkt mterilny porusz się ruchem prostoliniowym ze zmienną w czsie prędkością v(t), to drog s przebyt przez ten punkt w przedzile czsowym [t 1, t 2 ] wyrż się wzorem: s = t 2 t 1 v(t)dt. 2. Prc. Jeżeli równolegle do osi odciętych dził zmienn sił F, to prc wykonn przez tę siłę n drodze od punktu do punktu b wyrż się wzorem: W = F (x)dx. 3. Energi. Jeżeli u orz i oznczją odpowiednio wrtości chwilowe npięci i ntężeni prądu zmiennego, to cłkowit energi pobrn w czsie t ze źródł tego prądu wynosi: 16

17 t E = 0 u(t) i(t)dt. 4. Środek msy. Podmy informcje, jk ustlć środek msy dl pewnych obiektów jedno- dwu- orz trójwymirowych. Złóżmy, że pręt o końcch w punktch i b m msę m orz że funkcj gęstości msy ρ jest nieujemną funkcją cłkowlną w sensie Riemnn tką, że dl kżdego przedziłu [c, d] [, b] ms części pręt n odcinku [c, d] d jest równ ρ(x)dx. Środek msy pręt to punkt t [, b] tki, że: c t = x ρ(x)dx. ρ(x)dx Jeśli gęstość pręt jest stł (czyli pręt jest jednorodny), to: t = 1 xdx = + b b 2. Jeśli ntomist gęstość pręt wyrż się funkcją ρ(x) = 1 x (im dlej od początku tym mniejsz gęstość) orz np. = 1, b = 2, to korzystjąc z powyższego wzoru otrzymujemy, iż środek msy pręt równy jest w tym przypdku t = 1 ln 2. Podobnie określmy środek msy dl obszru P ogrniczonego krzywymi y = f(x) i y = f(x) orz prostymi o równnich x = i x = b ( więc obszru o osi symetrii zwierjącej przedził [, b], przy złożeniu, że ms jest rozłożon w sposób jednorodny w tym obszrze): t = x f(x)dx. f(x)dx Wreszcie, środek msy bryły jednorodnej V, otrzymnej przez obrót obszru P dookoł osi odciętych, dl x b, gdzie n osi symetrii obszru P 17

18 rozkłdmy msę o gęstości π f 2 (x), określmy wzorem: t = x f 2 (x)dx. f(x)dx 5. Moment bezwłdności. Podmy informcje, jk ustlć moment bezwłdności dl pewnych obiektów jedno- dwu- orz trójwymirowych, poruszjących się ruchem obrotowym. Jk być może pmiętją słuchcze z edukcji szkolnej, momentem bezwłdności punktu mterilnego o msie m względem osi obrotu l jest iloczyn kwdrtu odległości tego punktu od osi l przez msę tego punktu. Z moment bezwłdności skończonego ukłdu punktów mterilnych względem osi obrotu l uwżmy sumę momentów bezwłdności względem osi obrotu l wszystkich punktów tego ukłdu. Gdy rozwżmy obiekty z ciągłym rozkłdem msy, zmist sumowni wykorzystujemy cłkownie. Słuchcze pmiętją też zpewne, że moment bezwłdności w ruchu obrotowym spełni podobną rolę jk ms w ruchu prostoliniowym. Jeśli I jest momentem bezwłdności w obrocie dookoł pewnej osi z prędkością kątową ω, to energi kinetyczn tk obrcjącego się cił wyrż się wzorem: E = 1 2 I ω2. Złóżmy, że pręt o końcch w punktch i b m msę m orz że ρ jest nieujemną cłkowlną w sensie Riemnn funkcją gęstości msy rozłożonej n tym pręcie. Wtedy moment bezwłdności I tego pręt względem prostej l określmy wzorem: I = x 2 ρ(x)dx. W szczególności, gdy pręt o msie m jest jednorodny (czyli ρ jest stł: ρ = ), to otrzymujemy: I = m (b ) x 2 ρdx = ρ b3 3 3 = m (b ) (b ) (2 + b+b 2 ) 3 = m (2 + b+b 2 ) 3. Gdy oś obrotu przechodzi przez środek pręt (odcink [, b]), czyli dl = r, b = r, otrzymujemy (znny ze szkoły?) wzór: I = 1 3 r2 m. Podjmy jeszcze moment bezwłdności dl trczy kołowej o promieniu r orz msie m: I = 1 2 r2 m. 18

19 Wreszcie, moment bezwłdności jednorodnej bryły obrotowej V o cłkowitej msie m otrzymnej przez obrót zbioru punktów (x, y), dl których 0 y f(x), x b, gdzie f jest nieujemną funkcją cłkowlną w sensie Riemnn w przedzile [, b] wyrż się wzorem: I = 1 2 m f 4 (x)dx. f 2 (x)dx W szczególności, moment bezwłdności jednorodnej kuli o promieniu r i msie m obrcjącej się względem swojej średnicy (w tym przypdku obrcn krzyw m postć f(x) = r 2 x 2, = r, b = r) dny jest wzorem: I = 1 2 m r r r r (r 2 x 2 ) 2 dx (r 2 x 2 )dx = 2 5 r2 m. Wyprowdzenie wszystkich tych wzorów dotyczących momentów bezwłdności ( tkże podnych wyżej wzorów dotyczących środk msy) znjdą zinteresowni słuchcze np. w podręczniku Musielk, Musielk 2004, Tom I, część 2, strony Jk być może domyślją się słuchcze, we wszystkich tych przypdkch wychodzimy od stosownego ciągu normlnego podziłów, wyznczmy sumy Riemnn i otrzymujemy podne wzory poprzez przejści grniczne. 6. Zps towru. Złóżmy, że funkcj cłkowln f(t) określ intensywność npływu towru do mgzynu w zleżności od czsu t [0, T ]. Wtedy wielkość zgromdzonego po upływie czsu T w mgzynie towru jest równ T f(t)dt. Wielkość zpsów zgromdzonych od chwili t 1 do chwili t 2 (gdzie 0 t 2 0 < t 1 < t 2 < T ) równ jest f(t)dt. Wreszcie, średni wielkość zpsów t 1 zgromdzonych w okresie od t 1 do t 2 jest równ: 1 t 2 t 1 t 2 t 1 f(t)dt. 19

20 7. Relny zysk. Zysk z(t) otrzymny z eksplotcji jkiegoś urządzeni (np. gilotyny) obliczmy odejmując od dochodu D(t) z eksplotcji koszty K(t) utrzymni tego urządzeni: z(t) = D(t) K(t). Przedziłem opłclności urzdzeni nzywmy przedził czsowy [0, T ], gdzie T jest njwiększą liczbą t, dl której z(t) 0. Relny zysk uzyskny z eksplotcji urządzeni w czsie od t 1 do t 2 (gdzie 0 < t 1 < t 2 < T ) jest równy: Z = t 2 t 1 z(t)dt. 8. Kpitł. Niech K(t) ozncz zsób kpitłu w chwili t. Wtedy oczywiście K (t) ozncz prędkość wzrostu kpitłu. Przyrost kpitłu w chwili t jest równy wrtości strumieni inwestycji netto I(t) w chwili t. Tk więc: K (t) = I(t). Otrzymujemy ztem: K(t) = I(t)dt. Wielkość kpitłu w przedzile czsowym [t 1, t 2 ] równ jest: t 2 t 1 I(t)dt = K(t 2 ) K(t 1 ). 9. Modele wzrostu. W mkroekonomii proponuje się różne modele mtemtyczne, opisujące zleżności między tkimi czynnikmi, jk np. dochód nrodowy, konsumpcj, kpitł, produkcj, stn technologii, itd. To, n ile modele te trfnie oddją zleżności ekonomiczne zleży m.in. od przyjmownych złożeń n temt gospodrowni. Wzrost gospodrczy opisywno m.in. modelmi: Hrrod-Domr, Solow-Swn, Rmsey. Jest dość oczywiste, że mtemtyczne spekty tkich rozwżń uwzględnić muszą pojęci związne z rchunkiem różniczkowym i cłkowym ( tkże z, m.in.: rchunkiem wricyjnym, teorią równń różniczkowych, lgebrą liniową, progrmowniem, itd.). Rozwżmy w chrkterze dydktycznego przykłdu (nieco już dziś przestrzły) model wzrostu Hrrod-Domr (zob. np. Ostrowski 2004, str ). Przyjmuje się w nim nstępujące złożeni (tu r orz s są stosownie dobrnymi prmetrmi): () Dochód D(t) w chwili t jest proporcjonlny do zngżownego w tej chwili kpitłu K(t), czyli: D(t) = r K(t). (b) W kżdym momencie t n inwestycje I(t) przezncz się stłą część kpitłu: I(t) = s D(t). (c) Inwestycje w chwili t to przyrost kpitłu w tej chwili, czyli: I(t) = K (t). 20

21 N mocy tych złożeń mmy kolejno (słuchcze zechcą zwrócić uwgę n zstosownie szczególnego przypdku cłkowni przez podstwienie, omówionego wcześniej w niniejszym wykłdzie): () I(t) = r s K(t) (b) I (t) = r s K (t) (c) I (t) = r s I(t) (d) I (t) I(t) = r s (e) I (t) I(t) dt = r sdt (f) ln I(t) = r s t + C 1, gdzie C 1 jest stłą cłkowni (g) I(t) = C 2 e r s t, gdzie C 2 = e C 1. 4 Zchęt do refleksji 1. Czy cłkownie jest procesem lgorytmicznym? 2. Jk obliczmy pole powierzchni zkrzywionej? 3. Jk obliczmy objętość bryły ogrniczonej tkim zkrzywionymi powierzchnimi? 4. Jk obliczmy długość krzywej n tkiej zkrzywionej powierzchni? 5 Podsumownie To, co nleży zpmiętć z niniejszego wykłdu: 1. Cłk nieoznczon: definicj, cłkownie przez części i przez podstwienie. 2. Cłk oznczon: definicj i interpretcj geometryczn. 3. Cłk Riemnn: definicj i interpretcj geometryczn. 6 Wybrne pozycje bibliogrficzne Musielk, H., Musielk, J Anliz mtemtyczn. Wydwnictwo Nukowe UAM, Poznń. Ostrowski, A Mtemtyk z przykłdmi zstosowń w nukch ekonomicznych. Wydwnictwo Uniwersytetu Opolskiego, Opole. 21

22 7 Dodtek W niniejszym dodtku w sposób brutlnie zwięzły podjemy grstkę informcji uzupełnijących dotychczsowe skromne wprowdzenie w podstwy nlizy mtemtycznej. Celem tego dodtku nie jest więc dokłdne przedstwienie podnych treści, le rczej wskznie słuchczom, że w przypdku powżniejszych zstosowń mtemtyki (w tym przypdku: nlizy mtemtycznej) w nukch kognitywnych trzeb wyjść poz cłkiem elementrne widomości zwrte w dzisiejszym wykłdzie. 7.1 Cłkownie cigów i szeregów funkcyjnych Wżne zrówno ze względów teoretycznych, jk i prktycznych jest to, jkie wrunki zgodności zchodzą między opercją cłkowni opercjmi tworzeni grnicy ciągu funkcyjnego orz sumy szeregu funkcyjnego. Podmy jedynie sformułowni dwóch twierdzeń dotyczących tych zgdnień: 1. Jeśli ciąg (f n ) funkcji ciągłych w przedzile [, b] jest zbieżny jednostjnie w przedzile [, b], to: lim f n (x)dx = lim f n(x)dx. n n 2. Jeśli szereg f n (x) funkcji f n ciągłych w przedzile [, b] jest zbieżny n=0 jednostjnie w przedzile [, b], to: n=0 f n (x)dx = f n (x)dx. Złożenie jednostjnej zbieżności jest w obu przypdkch istotne. Student nuk kognitywnych może zpytć: dlczego powyżej podne fkty miłyby być dl mnie interesujące? Ogrniczymy się w odpowiedzi do stwierdzeni, że niezwykle często korzyst się z reprezentcji złożonych funkcji rzeczywistych przez odpowidjące im szeregi funkcyjne. Jest to istotne np. w proksymcji pól ogrniczonych skomplikownymi krzywymi poprzez sumy pól określonych dl stosownych ciągów prostszych funkcji. n=0 22

23 7.2 Cłki niewłściwe Dotychczs rozwżliśmy przypdki, gdy zrówno cłk funkcji ciągłej, jk i cłk Riemnn definiowne były dl ogrniczonych przedziłów dziedziny funkcji orz funkcji ogrniczonych. Dociekliwy student nuk kognitywnych może zpytć: co z pozostłymi przypdkmi gdy bądź rozwżn funkcj jest nieogrniczon bądź jej dziedzin jest nieogrniczon? W tkich przypdkch określmy różne rodzje cłek niewłściwych (te rozwżne dotychczs nzywjąc cłkmi włściwymi). Podmy jedynie niezbędne definicje, dl zspokojeni ciekwości tkich dociekliwych słuchczy. 1. Złóżmy, że funkcj f jest określon, ciągł orz nieogrniczon w przedzile (, b]. Jeśli istnieje skończon grnic: lim ε 0 +ε f(x)dx, to nzywmy ją cłk niewłściw pierwszego rodzju z funkcji f w przedzile (, b] i oznczmy przez f(x)dx. 2. Złóżmy, że funkcj f jest określon, ciągł orz nieogrniczon w przedzile [, b). Jeśli istnieje skończon grnic: lim ε 0 b ε f(x)dx, to nzywmy ją cłk niewłściw pierwszego rodzju z funkcji f w przedzile [, b) i oznczmy przez f(x)dx. 3. Gdy grnice, o których mow w powyższych punktch są równe + lub, to mówimy, że cłk lub. f(x)dx jest rozbieżn do, odpowiednio, + Gdy ob końce przedziłu [, b] są punktmi nieogrniczoności funkcji f ciągłej w (, b), to wybierjąc punkt c (, b) możemy sprowdzić ten przypdek do wyżej omówionych (pomijmy pewne szczegóły). Podobnie postępujemy, gdy funkcj f m skończoną liczbę punktów nieogrniczoności w (, b) (pozostwimy szczegóły refleksji słuchczy). 23

24 4. Złóżmy, że funkcj f jest określon i ciągł w przedzile [, ). Jeśli istnieje skończon grnic: lim f(x)dx, b to nzywmy ją cłk niewłściw drugiego rodzju z funkcji f w przedzile [, ) i oznczmy przez f(x)dx. 5. Złóżmy, że funkcj f jest określon i ciągł w przedzile (, b]. Jeśli istnieje skończon grnic: lim f(x)dx, to nzywmy ją cłk niewłściw drugiego rodzju z funkcji f w przedzile (, b] i oznczmy przez f(x)dx. 6. Gdy grnice, o których mow w dwóch powyższych punktch są równe + lub, to mówimy, że cłk f(x)dx (lub cłk f(x)dx) jest rozbieżn do, odpowiednio, + lub. 7. Złóżmy, że funkcj f jest określon i ciągł w (, + ) orz niech c c R. Jeśli obie cłki niewłściwe f(x)dx orz f(x)dx istnieją i są skończone, to liczbę: c f(x)dx = c f(x)dx + f(x)dx c nzywmy cłk niewłściw drugiego rodzju z funkcji f w (, + ). W tkim przypdku mówimy, że cłk f(x)dx jest zbieżn. Jeśli ntomist jedn z cłek c c f(x)dx orz f(x)dx nie jest skończon lub obydwie są równe + (bądź ), to mówimy, że cłk f(x)dx jest rozbieżn. 24

25 8. Uwżni słuchcze domyślją się już, że pozostje do rozwżeni przypdek funkcji, które w przedziłch [, ) lub (, b] lub (, + ) są ciągłe oprócz pewnej skończonej liczby punktów wewnątrz tych przedziłów. Tki przypdek (tzw. cłki niewłściwe trzeciego rodzju) sprowdzmy do trzech omówionych przed chwilą w oczywisty sposób, rozwżjąc cłki z funkcji ciągłych określonych n przedziłch między owymi punktmi nieciągłości. Dociekliwi słuchcze mogli zuwżyć, że cłki niewłściwe pierwszego i drugiego rodzju są jkoś podobne do szeregów nieskończonych. Jest tk istotnie dowodzi się wrunków koniecznych i wystrczjących zbieżności tego typu cłek, które są podobne do odnośnych wrunków formułownych dl szeregów nieskończonych (tzw. kryterium cłkowe zbieżności szeregów). Słuchcze spotkją się z cłkmi niewłściwymi np. w wykłdch ze sttystyki. W tym miejscu zchęcmy słuchczy do refleksji nd intuicyjnie mówiąc oswjniem nieskończoności pojwijącej się przy omwiniu cłek niewłściwych poprzez stosownie dobrne przejści grniczne. 7.3 Jeszcze o pojęciu miry: mir Lebesgue Jk wspomnino we wstępie do niniejszego wykłdu, pojęcie miry wiążemy z pewnymi szczególnymi rodzinmi zbiorów: σ-lgebrmi. Funkcję miry definiujemy dopiero wtedy, gdy wybrn zostł już tk rodzin, czyli gdy podejmiemy decyzję, które zbiory uwżmy z mierzlne. Przykłdem rodziny zbiorów mierzlnych w R jest rodzin B(R) wszystkich zbiorów borelowskich w R, wspomnin n początku tego wykłdu. N mrginesie dodjmy, że zbiory borelowskie określć możemy nie tylko w R lub R n, le również w nieco szerszej klsie przestrzeni. W przypdku R zbiory borelowskie generowne były przez przedziły otwrte. W przypdku R n w nturlny sposób określmy przedziły n-wymirowe, jko produkty krtezjńskie zwykłych przedziłów w R. Przypuśćmy, że nszym celem jest określenie zbiorów mierzlnych w R (lub w R n ) w tki sposób, by kls t był możliwie jk njobszerniejsz orz żeby zdefiniown dl tych zbiorów mir pokrywł się z wrtościmi, które chrkteryzują długość, pole powierzchni orz objętość w znnych ze szkoły, dobrze oswojonych przypdkch. Dobrym rozwiązniem tego problemu jest tzw. mir Lebesgue. Nie przedstwimy jej konstrukcji w sposób dokłdny, ogrniczjąc się jedynie do przekzni słuchczom pewnych intuicji. W przestrzeni mierzlnej (R, B(R)) możn określić mirę µ n różne sposoby. Wyróżnionym sposobem jest przyjęcie, że µ((, b]) = b (wtedy również µ((, b)) = µ([, b]) = µ([, b)) = b ). Nzwijmy tę mirę mir borelow- 25

26 sk. Możn tego typu mirę określić oczywiście również w dowolnej przestrzeni (R n, B(R n )). Dl dowolnego zbioru A R jego zewnętrzn mir Lebesgue λ (A) zdefiniown jest nstępująco: λ (A) = inf{ µ(i k ) : (I k ) k N+ jest ciągiem przedziłów tkim, że A k=1 I k }. Słuchcze nie powinni mieć trudności z interpretcją geometryczną tej konstrukcji: zewnętrzn mir Lebesgue zbioru A to kres dolny sum mir borelowskich rodzin przedziłów tkich, że sum (teoriomnogościow) kżdej tkiej rodziny pokryw cłkowicie (zwier) zbiór A. Tk więc, przybliżmy wielkość zbioru A przez pokryci tego zbioru przedziłmi (dl których mmy już dobrze określoną mirę borelowską). Sum tkiej rodziny przedziłów może nie pokrywć się ze zbiorem A, chcemy więc zgwrntowć jeszcze, że sumryczn mir tkiej rodziny różni się dowolnie mło od wielkości, którą chcemy przypisć zbiorowi A jko jego mirę. Określmy rodzinę L zbiorów mierzlnych w sensie Lebesgue nstępująco. A L wtedy i tylko wtedy, gdy dl dowolnego zbioru X R: λ (A) λ (A X) + λ (A (R X)). Intuicyjny sens tego wrunku postrjmy się wyrzić nstępująco. A L wtedy i tylko wtedy, gdy jkkolwiek podzielimy zbiór A n dw rozłączne podzbiory, to sum ich zewnętrznych mir Lebesque nie przekroczy zewnętrznej miry Lebesgue cłego zbioru A. Możn udowodnić, że wrunek ten gwrntuje to włśnie, czego pożądliśmy: zewnętrzn mir Lebesgue zbioru A L wystrczjąco dobrze chrkteryzuje wielkość zbioru A, intuicyjnie mówiąc. Dowodzi się, że L jest σ-lgebrą, ztem (R, L) jest przestrzenią mierzlną. Dl zbiorów A L określmy ich mirę Lebesgue λ(a) w sposób nstępujący: λ(a) = λ (A). Łtwo sprwdzić, że λ istotnie jest mirą w przestrzeni (R, L). Wyliczmy, bez podwni szczegółów, niektóre włsności tej miry: 1. Wprost z definicji miry Lebesgue wynik, że wszystkie zbiory borelowskie są mierzlne w sensie Lebesgue. Dl A B(R) zchodzi równość: µ(a) = λ(a). Ozncz to, między innymi, że wrtości miry Lebesgue pokrywją się z wrtościmi, które chrkteryzują długość, pole powierzchni orz objętość w znnych ze szkoły, dobrze oswojonych przypdkch. k=1 26

27 2. Mir borelowsk jest niezmiennicz ze względu n przesunięci. Nie jest jednk mir zupełn. Mir Lebesgue jest niezmiennicz ze względu n przesunięci, pondto jest mirą zupełną. 3. Niech N będzie rodziną wszystkich podzbiorów R, których mir Lebesgue wynosi 0. Dowodzi się, że: kżdy zbiór mierzlny w sensie Lebesgue jest sumą zbioru borelowskiego i zbioru miry 0 Lebesgue. Inczej mówiąc: zbiory mierzlne w sensie Lebesgue różnią się zniedbywlnie mło od zbiorów borelowskich. 4. Kżdy skończony lub przeliczlny podzbiór zbioru R m mirę Lebesgue równą 0. W szczególności, λ(q) = 0, czyli zbiór wszystkich liczb wymiernych m mirę Lebesgue równą 0. Słuchcze zechcą zuwżyć, że wyrźnie jest w tym przypdku widoczn różnic między pewnymi włsnościmi topologicznymi (zbiór Q jest gęsty w R, czyli duży topologicznie), włsnościmi mirowymi (zbiór Q jest mły w sensie miry Lebesgue ). 5. Przy złożeniu ksjomtu wyboru w teorii mnogości możn udowodnić, że istnieją zbiory liczb rzeczywistych, które nie są mierzlne w sensie Lebesgue. W twierdzeniu Bnch-Trskiego (o prdokslnym rozkłdzie kuli w przestrzeni trójwymirowej) wykorzystuje się włśnie tego typu zbiory. Zbiory Vitlego, o których wspominliśmy w jednym z poprzednich wykłdów nie są mierzlne w sensie Lebesgue. Jeśli rozwżmy teorię mnogości Zermelo-Frenkl bez ksjomtu wyboru, to nie możn w niej udowodnić istnieni zbiorów niemierzlnych w sensie Lebesgue. Mirę Lebesgue określić możn oczywiście tkże w kżdej z przestrzeni (R n, B(R n )) ( nwet dl brdziej ogólnych przestrzeni). Mir Lebesgue jest obecnie njbrdziej powszechnie używną mirą. Uwżmy, że studenci nuk kognitywnych powinni o niej usłyszeć, by nie byli bezbronni intelektulnie studiując różnorkie modele proponowne w nukch kognitywnych, wykorzystujące tę mirę. 7.4 Cłk Lebesgue Możemy pozbyć się pewnych mnkmentów cłkowni w sensie Riemnn przechodząc do ogólniejszego pojęci cłki, wykorzystującego omówioną przed chwilą mirę Lebesgue. Słuchcze pmiętją, że w przypdku cłki Riemnn funkcji f w przedzile [, b] mierzyliśmy dziedzinę tej funkcji brliśmy pod uwgę podziły przedziłu [, b], wrtości funkcji f w punktch pośrednich i cłk Riemnn określon był 27

28 jko grnic sum Riemnn. Intuicyjnie mówiąc, cłk t rozumin ztem był jko grnic sum mir prostokątnych pionowych psków pokrywjących obszr pod wykresem funkcji f w przedzile [, b]. Obecnie postąpimy w inny sposób. Intuicyjnie mówiąc, będziemy przybliżć mirę omwinego obszru przez innego rodzju prostokątne pski powstjące przez podził przeciwdziedziny funkcji f. Dl uproszczeni, przyjmiemy, że przeciwdziedzin rozwżnej funkcji zwrt jest w przedzile [0, b]. Dzielimy ten przedził n rozłączne podprzedziły o końcch: 0 = 0 < 1 < 2 <... < n = b. Wybiermy punkty pośrednie t i [ i, i+1 ] dl 0 i < n. Rozwżmy terz przeciwobrzy przedziłów A i = ( i, i+1 ], czyli zbiory: f 1 [( i, i+1 ]]. Obszry A i [0, c i ] są prmi rozłączne. Ich sum teoriomnogościow przybliż obszr pod wykresem funkcji f. Mir kżdego tkiego obszru jest równ iloczynowi c i przez mirę zbioru A i, zleży on ztem od tego, jką funkcję miry weźmiemy pod uwgę. W konstrukcji cłki Lebesgue bierzemy pod uwgę, jk domyślją się słuchcze, mirę Lebesgue. Rozwżmy przestrzeń (R, L, λ). Mówimy, że funkcj f : R R jest funkcją mierzln (w sensie Lebesgue ), gdy przeciwobrz kżdego przedziłu niewłściwego (c, ) jest zbiorem mierzlnym w sensie Lebesgue, czyli gdy f 1 [(c, )] L. Możn udowodnić, że ten wrunek jest równowżny żądniu, by przeciwobrz kżdego zbioru borelowskiego był mierzlny w sensie Lebesgue. Dowodzi się również, że zbiór funkcji mierzlnych jest domknięty n podstwowe opercje lgebriczne orz różnego rodzju grnice punktowe ciągów funkcyjnych. Zkłdmy, że słuchcze pmiętją definicję funkcji chrkterystycznej χ X zbioru X (zob. wykłd trzeci), czyli funkcji określonej wrunkmi: χ X (x) = 1, gdy x X orz χ X (x) = 0, gdy x / X. Funkcję f : R R nzywmy funkcj prost, gdy: 1. jej przeciwdziedzin jest zbiorem skończonym (czyli gdy f przyjmuje tylko skończenie wiele wrtości) orz 2. dl kżdej liczby c i będącej wrtością funkcji f przeciwobrz A i = f 1 (c i ) jest zbiorem mierzlnym w sensie Lebesgue, czyli gdy f 1 (c i ) L. Tk więc, kżdą funkcję prostą f możn przedstwić jko kombincję liniową funkcji chrkterystycznych zbiorów mierzlnych w sensie Lebesgue : f(x) = c i χ Ai (x), 28

29 gdzie sumownie bierzemy po (skończonym) zbiorze wszystkich wrtości c i funkcji f, gdzie A i = f 1 (c i ) orz A i L. Wygodne będzie zstosownie nstępujących oznczeń. Jeśli f jest funkcją określoną n zbiorze mierzlnym w sensie Lebesgue (o wrtościch w R {, + }) to możemy zpisć tę funkcję w postci f = f + f, gdzie: 1. f + (x) = f(x) gdy f(x) > 0, zś f + (x) = 0 w przeciwnym przypdku; 2. f (x) = f(x) gdy f(x) < 0, zś f (x) = 0 w przeciwnym przypdku. Wtedy f + orz f są obie funkcjmi nieujemnymi. Pondto: f = f + + f. Cłkę Lebesgue f(x)dλ z dowolnej funkcji mierzlnej, gdzie D L jest D obszrem cłkowni (dziedziną funkcji f) definiujemy zwykle w kilku krokch: 1. χ D (x)dλ = λ(d). 2. Jeżeli f jest nieujemną funkcją prostą f(x) = c i χ Ai (x), to przyjmujemy: f(x)dλ = (ci χ Ai (x))dλ = c i χ Ai (x)dλ = c i λ(a i ). k k 3. Jeśli A D gdzie A L orz g(x) = c i χ Ai (x) jest funkcją prostą, to: g(x)dλ = (χ A (x) g(x))dλ = λ(a A i ). k A 4. Jeśli f jest nieujemną funkcją mierzlną określoną n zbiorze D i wrtościch w R { }, to przyjmujemy: f(x)dλ = sup{ g(x)dλ : 0 g(x) f(x) gdzie g(x) jest funkcją prostą}. D D 5. Mówimy, że cłk Lebesgue z dowolnej funkcji mierzlnej f istnieje, gdy co njmniej jedn z wielkości f + (x)dλ orz f (x)dλ jest skończon. D D W tkim przypdku definiujemy: f(x)dλ = f + (x)dλ f (x)dλ. D D D 6. Jeśli f(x) dλ m wrtość skończoną, to mówimy, że f jest cłkowln w D sensie Lebesgue. Powyżej podn konstrukcj może wydwć się słuchczom dość skomplikown. W istocie jest to jednk brdzo nturln konstrukcj, co z pewnością stwierdzą słuchcze po stosownej uwżnej refleksji. Dodjmy, bez podwni szczegółów, kilk dość ogólnych uwg: 29

30 1. Jeśli f : [, b] R jest funkcją ogrniczoną, cłkowlną w sensie Riemnn, to f jest cłkowln w sensie Lebesgue w przedzile [, b]. Cłki Riemnn i Lebesgue z funkcji f są wtedy równe: f(x)dx = [,b] f(x)dλ. 2. Jeśli f : [, b] R jest funkcją ciągłą w [, b], to [,b] F (), gdzie F jest dowolną funkcją pierwotną dl funkcji f. f(x)dλ = F (b) 3. Funkcj ogrniczon jest cłkowln w sensie Riemnn wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jej punktów nieciągłości jest zbiorem o mierze Lebesgue równej Jeśli λ(d) = 0, to f(x)dλ = 0 dl kżdej funkcji f mierzlnej w sensie D Lebesgue. 5. Funkcj cłkowln w sensie Lebesgue w obszrze D jest skończon prwie wszędzie w D (czyli wszędzie w D, poz ewentulnie zbiorem miry 0 Lebesgue ). 6. Jeśli A = A n=1 f(x)dλ = A n orz zbiory A n są prmi rozłączne, to: n=1 A i f(x)dλ. 7. Lemt Ftou. Jeśli funkcje f j : R R są mierzlne orz są nieujemne n zbiorze D mierzlnym w sensie Lebesgue, to: lim inf f j(x)dλ lim inf f j (x)dλ. j j D D 8. Symbol dλ występujący w oznczeniu cłki Lebesgue f(x)dλ słuchcze zechcą trktowć jko znk interpunkcyjny, wskzujący, iż cłkownie D wykonujemy biorąc pod uwgę mirę Lebesgue. Cłk Lebesgue to współcześnie njbrdziej powszechnie używn cłk. Uwżmy, że studenci nuk kognitywnych powinni o niej co njmniej usłyszeć. 30

31 7.5 O funkcjch wielu zmiennych Rchunek różniczkowy i cłkowy nie jest ogrniczony do funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Zuwżmy njpierw, że w przypdku funkcji jednej zmiennej pojęci dotyczące zbieżności orz grnicy odwołują się do jednowymirowego, liniowo uporządkownego w sposób zupełny kontinuum R, więc dążenie punktu do grnicy dość łtwo sobie wyobrzić. W przypdku R R owo dążenie punktu (x, y) do punktu (x 0, y 0 ) może odbywć się mówiąc intuicyjnie po różnych drogch (podobnie w przypdku przestrzeni R n dl n 1). Ogrniczymy się w tym miejscu jedynie do pewnej prostej interpretcji geometrycznej pojęci pochodnej czstkowej funkcji dwóch zmiennych rzeczywistych. Powżniej zinteresowni tą problemtyką słuchcze zechcą sięgnąć smodzielnie do podręczników nlizy mtemtycznej. Złóżmy, że funkcj z = f(x, y) dwóch zmiennych rzeczywistych o wrtościch rzeczywistych jest określon w otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) (czyli w tym przypdku wewnątrz koł o środku w punkcie (x 0, y 0 )). Funkcj tk określ pewną powierzchnię w przestrzeni R 3. Niech z 0 = f(x 0, y 0 ). Jeśli przetniemy rozwżną powierzchnię płszczyznmi o równnich y = y 0 orz x = x 0, to otrzymmy dwie krzywe: C x : z = f(x, y 0 ) C y : z = f(x 0, y). Jeśli funkcj jednej zmiennej z = f(x, y 0 ) m pochodną w punkcie x 0, to nzywmy ją pochodn czstkow funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) względem zmiennej x i oznczmy przez f x (x 0, y 0 ). Jeśli funkcj jednej zmiennej z = f(x 0, y) m pochodną w punkcie y 0, to nzywmy ją pochodn czstkow funkcji f w punkcie (x 0, y 0 ) względem zmiennej y i oznczmy przez f y (x 0, y 0 ). Słuchcze zechcą zuwżyć, że: 1. Pochodn cząstkow f x (x 0, y 0 ) jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do krzywej C x w punkcie (x 0, y 0, z 0 ). 2. Pochodn cząstkow f y (x 0, y 0 ) jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do krzywej C y w punkcie (x 0, y 0, z 0 ). Zchęcmy słuchczy do smodzielnej refleksji nd tym, w jki sposób możn definiowć cłkę z funkcji dwóch zmiennych orz jk byłby interpretcj geometryczn tkiej cłki. Szczególnie zwziętych poznwczo słuchczy zchęcmy też do skonfrontowni swoich refleksji z ustlenimi n temt cłek wielokrotnych podnymi w dowolnym porządnym podręczniku nlizy mtemtycznej. 31

32 7.6 O równnich różniczkowych Wiele procesów fizycznych opisuje się poprzez równni zwierjące funkcje rzeczywiste (bądź zespolone) orz pochodne (pierwszego lub wyższych rzędów) tkich funkcji. W równnich różniczkowych zwyczjnych występujące w nich funkcje zleżą od jednej zmiennej niezleżnej. W zleżności od rzędu występujących w równniu pochodnych, mówi się o rzędzie równni. Jeśli rozwżmy funkcje wielu zmiennych, to mmy do czynieni z równnimi różniczkowymi czstko- wymi. Znlezienie rozwiązni równni różniczkowego poleg n znlezieniu funkcji, któr spełni to równnie. Wymg to cłkowni tego równni. Podje się przy tym pewne wrunki pocztkowe orz wrunki brzegowe, nkłdjące ogrniczeni n postć rozwiązni. Przykłdy równń różniczkowych to (podjemy jedynie zgrzebną informcję czego dotyczą te równni, bez niepotrzebnego strszeni słuchczy ich sztą mtemtyczną): 1. Równnie Newton. F (x(t)) = m d2 x(t), gdzie x(t) jest funkcją położeni cił o msie m, zleżną od czsu, zś F (t) funkcją reprezentującą siłę dt 2 dziłjącą n to ciło w chwili t. 2. Równni Mxwell. Równni różniczkowe cząstkowe opisujące zleżności między polem elektrycznym mgnetycznym. 3. Równnie Schrödinger. Jest to równnie różniczkowe cząstkowe, opisujące jk stn kwntowy ukłdu kwntowego zmieni się w czsie. 4. Równnie przewodnictw cieplnego. Jest to równnie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu opisujące zminy tempertury określonego regionu przestrzeni w czsie. 5. Równni Lotki-Volterry. To ukłd równń różniczkowych, opisujących zleżność między wielkością populcji drpieżników orz ich ofir, przy brniu pod uwgę temp przyrostu (orz ubytku) kżdej z populcji, z uwzględnieniem pewnych dodtkowych prmetrów, dotyczących środowisk. 6. Orz setki innych równń różniczkowych, opisujących rzeczywistość fizyczną. W ogólności, rozwiązywnie równń różniczkowych jest zdniem niezwykle skomplikownym. Często chcemy jedynie wiedzieć, że rozwiąznie tkiego równni w ogóle istnieje jego rozwiązni strmy się otrzymć metodmi przybliżonymi. Jeśli słuchcze będą w przyszłości z włsnej woli lub z musu potrzebowli zstosowni określonego równni różniczkowego do opisu jkiegoś 32