NADZOROWANIE DRGAŃ UKŁADÓW NOŚNYCH ROBOTÓW PRZEMYSŁOWYCH Z ZASTOSOWANIEM STEROWANIA OPTYMALNEGO PRZY ENERGETYCZNYM WSKAŹNIKU JAKOŚCI

Transkrypt

1 POIECHNIKA GDAŃSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Kateda Mechank Wytzymałośc Mateałów KRZYSZOF JASIŃSKI NADZOROWANIE DRGAŃ UKŁADÓW NOŚNYCH ROBOÓW PRZEMYSŁOWYCH Z ZASOSOWANIEM SEROWANIA OPYMANEGO PRZY ENERGEYCZNYM WSKAŹNIKU JAKOŚCI ROZPRAWA DOKORSKA PROMOOR: d hab. nŝ. Kzysztof J. Kalńsk, pof. nadzw. PG GDAŃSK 8

2 SPIS REŚCI. Wstęp Wpowadzene Cele zakes pacy eza pacy Pzegląd lteatuy.... Metoda sztywnych elementów skończonych w zastosowanu do twozena modelu oblczenowego manpulatoa obota pzemysłowego..... Pojęca podstawowe Sztywny element skończony element spęŝysto-tłumący Równana dynamk układu steowanego Układy stacjonane Układy o zmennej w czase konfguacj Model nomnalny manpulatoa Obekt badań Model dysketny Zmodyfkowany model manpulatoa Identyfkacja paametów modelu oblczenowego Ocena zgodnośc modelu oblczenowego Nadzoowane dgań w układach nestacjonanych Pojęca podstawowe Steowane optymalne pzy enegetycznym wskaźnku jakośc Steowane modalne pzy enegetycznym wskaźnku jakośc Synteza steowana optymalnego Steowane w układze nestacjonanym Steowane w układze zedukowanym Steowalność układu w dzedzne współzędnych uogólnonych Steowalność obsewowalność układu w dzedzne współzędnych modalnych Steowane mpulsowe Steowane w dzedzne częstotlwośc... 9

3 4. Symulacje komputeowe nadzoowana dgań manpulatoa obota Dgana neustalone Ustalone dgana wymuszone Badana dośwadczalne Cel badań Ops stanowska badawczego Metodyka badań Pomay dgań manpulatoa obota podczas nadzoowana Wnosk Dodatek Rozwązywane nesymetycznych zagadneń własnych metodą QR Wybane metody dentyfkacj Metoda SCE Metoda Ibahma Bblogafa

4 . WSĘP Nnejsza paca dotyczy mnmalzacj dgań układów nośnych (manpulatoów) obotów pzemysłowych pzeznaczonych do pacy w uchu cągłym. Dgana układów mechancznych, a takm układem jest manpulato obota pzemysłowego, defnuje sę jako uch oscylacyjny wokół połoŝena ównowag quas-statycznej. Stąd, pzez dgana manpulatoa obota naleŝy ozumeć uch pasoŝytnczy, towazyszący uchom zadanym członów obota podczas wykonywana okeślonych zadań manpulacyjnych w pzestzen oboczej. Ruch pasoŝytnczy ne jest zatem wynkem kontaktu efektoa (tj. końcówk oboczej obota, np. chwytaka, głowcy pomaowej, nazędza technologcznego tp.) z pzedmotem lub uządzenem obsługwanym pzez obota, lecz efektem bezkolzyjnego uchu członów manpulatoa. Pzyczyn tak zdefnowanych dgań, auto upatuje w zmennych w czase uchu obota pędkoścach, pzyspeszenach szapnęcach (ang. jek - tzeca pochodna współzędnej uogólnonej opsującej uch członów) elementów jego stuktuy, oaz w towazyszącej zmane konfguacj efektoa (tj. oentacj pozycj) zmane watośc masowych momentów bezwładnośc względem os obotów poszczególnych członów. Ne bez znaczene dla pozomu dgań obsewowanych w układach nośnych obotów pzemysłowych pozostają takŝe watośc sł zewnętznych obcąŝających manpulato. Pozom dgań manpulatoów obotów pzemysłowych wpływa bezpośedno na uzyskwaną dokładność powtazalność pozycjonowana efektoa podczas wykonywana zadań manpulacyjnych []... Wpowadzene Robot pzemysłowy jest to, zgodne z defncją podaną w nome ISO IR 8373 [], automatyczne steowana, pogamowana, welozadanowa maszyna manpulacyjna o welu stopnach swobody, posadająca własnośc manpulacyjne lub lokomocyjne, stacjonana lub moblna, pzystosowana do waŝnych zastosowań pzemysłowych. Roboty pzemysłowe znalazły szeoke zastosowane w pocese pojektowana budowy nowoczesnych systemów podukcyjnych. Wśód najwaŝnejszych czynnków, stymulujących ozwój obotyk pzemysłowej coaz szeszego 4

5 stosowana obotów we współczesnym pzemyśle, naleŝy wymenć czynnk technczne, ekonomczne społeczne. Do najwaŝnejszych obszaów zastosowana obotów naleŝą opeacje podukcyjne, a w szczególnośc opeacje montaŝowe, manpulacyjne, technologczne kontolne. W pocesach pojektowana współczesnych obotów pzemysłowych jest stawanych wele wymagań, któe moŝna podzelć na tzy gupy [3]. Są to: wymagana w zakese knematyk dynamk obotów (duŝe pędkośc pzyspeszena w uchu zadanym, znaczne obcąŝena); wymagana dotyczące dokładnośc uchu (duŝa dokładność powtazalność pozycjonowana, duŝa dokładność śledzena zaplanowanej tajekto uchu); wymagana ekonomczne (mateałooszczędność konstukcj, enegooszczędność pacy obota). Opócz wyŝej wymenonych wymagań naleŝy jeszcze uwzględnć gupę zagadneń dotyczących bezpeczeństwa nezawodnośc podczas pacy obotów. Skonstuowane obota, któy spełnałby wszystke wymagana, okeślone w wymenonych gupach, ze względu na ch wzajemną spzeczność, jest tudne do zealzowana. Stąd, efektem pac pojektowych są oboty spełnające zazwyczaj częścowo powyŝsze wymagana. Zagadnene pzecwdzałana dganom członów wykonawczych manpulatoów ma stotne znaczene w eksploatacj obotów pzemysłowych pacujących w uchu cągłym. Jest to szczególne uzasadnone z punktu wdzena dokładnośc pozycjonowana efektoów, gdyŝ właśne w ch pzypadku jako wolnych końców otwatych łańcuchów knematycznych obsewuje sę najwększy pozom dgań. Źódłem tych dgań są ne tylko sły zewnętzne obcąŝające układ nośny, lecz pzede wszystkm duŝe, zmenne w czase, pędkośc pzyśpeszena (opóźnena) członów manpulatoa w ch uchu zadanym, wynkającym z ealzacj okeślonych zadań manpulacyjnych. W czase uchu manpulatoa, waz ze zmaną konfguacj, ma mejsce ówneŝ zmana watośc masowych momentów bezwładnośc względem os obotów poszczególnych członów. e zmenne, dynamczne obcąŝena są pzyczyną powstawana dgań w układach nośnych obotów [3]. Dgana w układze nośnym, w czase jego uchu, mogą powadzć do wydłuŝena czasu twana cyklu pacy obota o czas edukcj pozomu dgań, do udezena o elementy uządzeń towazyszących na skutek błędów pozycjonowana, a nawet do utaty stablnośc podczas uchu manpulatoa [4]. Błędy pozycjonowana 5

6 wywołane dganam układów nośnych obotów, z uwag na bak stnejących moŝlwośc techncznych, ne są mezone pzez czujnk względnego połoŝena członów manpulatoa, wykozystywane w pętl spzęŝena zwotnego układu steowana uchem zadanym obota. Stąd, układ steowana uchem obota, z punktu wdzena tłumena dgań manpulatoa, ne moŝe dzałać efektywne [3]. Nowe zastosowana obotów, a pzede wszystkm opeacje szybkego montaŝu, technka kosmczna oaz opeacje manpulacyjne duŝym masam (nekedy pzekaczającym masę własną manpulatoa), stawają pzed obotam ygoystyczne wymagana dotyczące m.n. duŝej dokładnośc powtazalnośc pozycjonowana. Spełnene powyŝszych wymagań, bez skutecznej edukcj pozomu dgań występujących w układze nośnym obota, jest tudne do uzyskana. W tym mejscu naleŝy zwócć uwagę, Ŝe człony obotów wykozystywanych w opeacjach szybkego montaŝu, cechują duŝe pędkośc pzyspeszena w uchu zadanym. PowyŜsza okolczność powoduje występowane znacznych obcąŝeń dynamcznych w całym układze nośnym obotów. Dgana powstające w wynku zastnałych obcąŝeń dynamcznych są nedopuszczalne ze względu na nebezpeczeństwo kolzj efektoa z uządzenam znajdującym sę w obszaze oboczym, wywołane błędam pozycjonowana albo zbyt długm czasem pozycjonowana efektoa. Roboty wykozystywane w technce kosmcznej chaakteyzują sę znacznym gabaytam (np. obot CANADARM- ma długość amena wynoszącą 7,6 m) badzo małą masą konstukcj, elatywne do mponującego udźwgu wynoszącego ponad MN [5]. Konstukcja tych obotów jest podyktowana waunkam ch pacy, tzn. zmnejszonym cąŝenem, wysokm kosztam wynesena na obtę okołozemską kg masy uządzena oaz konecznoścą uzyskana moŝlwe najwększej pzestzen oboczej. o ostatne detemnuje wymaganą długość amena obota. Z wymenonych powodów, podczas uchu amena takego obota neunknona jest obecność duŝych odkształceń dynamcznych, powadzących do powstana dgań ne tylko manpulatoa, ale takŝe negatywne wpływających na własnośc nawgacyjne całej stacj obtalnej (częstotlwość dgań własnych stacj obtalnej wynos zaledwe ok., Hz) [6]. Roboty wykozystywane do manpulacj duŝym masam (zwane początkowo teleopeatoam) znajdują zastosowane w pzemyśle cęŝkm, budownctwe, pzemyśle dzewnym, a pzede wszystkm w enegetyce jądowej oaz pzy 6

7 wykonywanu pac na składowskach mateałów nebezpecznych. Są to konstukcje o znacznych gabaytach masach pzekaczających 5 kg [5]. PowyŜsze własnośc konstukcyjne powodują występowane, podczas uchu członów manpulatoa, odkształceń zaówno statycznych jak dynamcznych jego amena. Konsekwencją tych ostatnch są stotne błędy pozycjonowana efektoa oaz wydłuŝene czasu twana pocesów pzejścowych (tzn. czasu wytłumena dgań neustalonych). Pzykładem obota do manpulacj duŝym masam jest SPAR RMS 5. Znalazł on zastosowane podczas pac emontowych w eaktoach jądowych. Zasęg jego amena wynos ok. 9 m, maksymalny udźwg kn, zaś powtazalność pozycjonowana ok. mm [3, 7]. Nemnej jednak, stzałka ugęca jego członów w czase wykonywana zadań manpulacyjnych sęga klkudzesęcu mm [3, 7]. Z dostępnych nfomacj wynka, Ŝ pewsza częstotlwość dgań własnych tej konstukcj wynos zaledwe,7 Hz [7]. NaleŜy zatem pzypuszczać, Ŝe powstające dgana neustalone mają znaczny wpływ na dokładność pozycjonowana efektoa. Dotychczasowe póby mnmalzacj dgań członów wykonawczych obotów oganczały sę do dobou, na etape pojektowana, optymalnych z punktu wdzena pozomu dgań, pzyspeszeń pędkośc slnków napędowych, a w pzypadku małych manpulatoów ówneŝ maksymalnych udźwgów [4]. W paktyce, oganczano maksymalne watośc tych paametów tak, aby ne dopowadzać do wzbudzana dgań o duŝych ampltudach. Inne metody pzecwdzałana dganom spowadzają sę główne do kształtowana własnośc masowo-spęŝystych stuktuy manpulatoa [4] popzez dopacowane odpowednej jego konstukcj, dobó mateału do wykonana elementów stuktualnych manpulatoa oaz kształtu pzekoju popzecznego jego członów [7]. Sposoby mnmalzacj dgań obotów, zostaną szezej opsane w końcowej częśc nnejszego ozdzału. Rosnące wymagana stawane obotom w zakese pędkośc uchu dokładnośc ch pacy, zmuszają m.n. do poszukwana nowych, aktywnych metod nadzoowana dgań manpulatoów. Potwedzene skutecznośc nadzoowana dgań manpulatoów obotów z wykozystanem steowana optymalnego pzy enegetycznym wskaźnku jakośc, czego ne spotykano dotychczas w lteatuze naukowej, stanow stotne znaczene dla ozwoju nauk o dganach maszyn uządzeń, jak ówneŝ o metodach edukcj tych dgań. Pzedstawona w nnejszej pacy metoda nadzoowana dgań obotów pzemysłowych z zastosowanem steowana modalnego pzy enegetycznym 7

8 wskaźnku jakośc ne wymaga ngeencj w stuktuę manpulatoa, ne powoduje konecznośc pzepojektowywana obecne stosowanych układów steowana obotam. Pzedstawone ozwązane wymaga jedyne doposaŝena nowych jak eksploatowanych obecne obotów w komputeowo wspomagany zewnętzny system nadzoowana dgań. MoŜe ono znaleźć zastosowane w nadzoowanu dgań szeokej klasy manpulatoów, w szczególnośc w małych śednch pzedsębostwach podukujących wysokej klasy wyoby dla potzeb pzemysłu spoŝywczego, maszynowego, motoyzacyjnego lotnczego. Opsana w pacy metodologa nadzoowana dgań obotów pzemysłowych z zastosowanem steowana modalnego pzy enegetycznym wskaźnku jakośc moŝe być nadal ozwjana. Celem tych badań pownno być opacowane skutecznych algoytmów nadzoowana dgań obotów pzemysłowych z zastosowanem steowana optymalnego w układze zedukowanym... Cele zakes pacy Podstawowe cele pacy to: opacowane metody modelowana, symulacj nadzoowana dgań manpulatoów obotów pzemysłowych z wykozystanem steowana modalnego, jako zmodyfkowanej wesj znanej z lteatuy stateg steowana optymalnego pzy enegetycznym wskaźnku jakośc w układze nestacjonanym [8], wykazane, metodam symulacj komputeowej oaz badań dośwadczalnych na obekce zeczywstym, skutecznośc nadzoowana dgań manpulatoa za pomocą steowana modalnego pzy enegetycznym wskaźnku jakośc, podczas ealzacj okeślonych zadań manpulacyjnych. Zakes pacy obejmuje: dentyfkację modelu oblczenowego manpulatoa, waz z oceną jego zgodnośc z obektem zeczywstym, opacowane algoytmu nadzoowana dgań manpulatoów obotów pzemysłowych za pomocą steowana modalnego pzy enegetycznym wskaźnku jakośc, symulacje komputeowe nadzoowana dgań obota podczas ealzacj wybanych zadań manpulacyjnych, 8

9 dośwadczalne potwedzene skutecznośc nadzoowana dgań manpulatoa obota. Dla potzeb ealzacj celów pacy pzyjęto następujące załoŝena: W stuktuze manpulatoa wyodębnono skończoną lczbę członów wykonujących uchy zadane, wynkające z pzyjętych zadań manpulacyjnych. Do modelowana dysketnego poszczególnych członów zastosowano metodę sztywnych elementów skończonych (SES), zaś uch dgający opsano w lokalnych układach współzędnych poszczególnych SES. Jako metodę weyfkacj dośwadczalnej modelu oblczenowego manpulatoa pzyjęto ekspeymentalną analzę modalną, z wykozystanem mędzy nnym testu mpulsowego. Syntezy układu steowana optymalnego dokonano pzy tymczasowym załoŝenu stacjonanośc modelu oblczenowego manpulatoa. Weyfkację dośwadczalną ozwaŝań pzepowadzono na stanowsku badawczym zbudowanym w aboatoum Robotyk Katedy Mechank Wytzymałośc Mateałów Poltechnk Gdańskej. eść pacy podzelono na sześć ozdzałów. W ozdzale pewszym syntetyczne pzedstawono poblematykę nnejszej pacy, okeślono cele zakes pacy, następne sfomułowano tezę pacy, a w ostatnm podozdzale dokonano pzeglądu lteatuy. W ozdzale dugm zwęźle omówono podstawy metody sztywnych elementów skończonych, któa posłuŝyła do twozena modelu dysketnego manpulatoa obota pzemysłowego IRb-6. Pzedstawono ówneŝ model nomnalny tego manpulatoa, któego paamety modalne (tj. częstotlwośc oaz postace dgań własnych) wyznaczono za pomocą uuchomonych pzy współudzale autoa pogamów komputeowych, napsanych w języku FORAN. Następne zapezentowano wynk pomaów częstotlwośc oaz postac dgań własnych obektu zeczywstego. Uzyskane wynk posłuŝyły jako baza do dokonana stosownych modyfkacj nomnalnego modelu oblczenowego. W ozdzale tzecm omówono metody nadzoowana dgań w układach nestacjonanych, w celu mnmalzacj pozomu dgań, pzy wykozystanu steowana optymalnego pzy enegetycznym wskaźnku jakośc. Szczególną uwagę zwócono na algoytm steowana modalnego pzy enegetycznym 9

10 wskaźnku jakośc, gdyŝ to on został w dalszej częśc pacy wykozystany do nadzoowana dgań manpulatoa obota IRb-6. W ozdzale czwatym pzedstawono wynk symulacj komputeowej nadzoowana dgań manpulatoa obota pzemysłowego IRb-6 podczas ealzacj wybanych zadań manpulacyjnych. Podczas symulacj wykozystano oygnalne opogamowane komputeowe (w języku FORAN oaz w śodowsku Matlab), uuchomone pzy współudzale autoa na baze pzedstawonego w ozdzale tzecm algoytmu steowana modalnego pzy enegetycznym wskaźnku jakośc. Pzedmotem symulacj jest opsany w ozdzale dugm zmodyfkowany model manpulatoa. Dokonano oceny pognozowanej skutecznośc nadzoowana dgań za pomocą poponowanej metody. W ozdzale pątym opsano zbudowane stanowsko badawcze, apaatuę pomaową oaz metodykę badań dośwadczalnych. Zapezentowano wynk pomaów dgań obota IRb-6, podczas wykonywana czynnośc manpulacyjnych analogcznych jak podczas symulacj komputeowej, z włączonym wyłączonym układem nadzoowana dgań. Wynk badań poównano z uzyskanym wcześnej podczas symulacj komputeowych. Ocenono skuteczność poponowanej metody mnmalzacj dgań. W ozdzale szóstym podsumowano ezultaty pacy, sfomułowano wnosk końcowe zapoponowano keunk dalszych pac. Pacę kończy ozdzał sódmy Dodatek, a takŝe wykaz cytowanej lteatuy..3. eza pacy ezę pacy sfomułowano następująco. Nadzoowane dgań układów nośnych obotów pzemysłowych z zastosowanem steowana modalnego pzy enegetycznym wskaźnku jakośc jest skuteczne z punktu wdzena obnŝena pozomu dgań uchomych członów manpulatoów popawy dokładnośc dynamcznej ch pozycjonowana. W sfomułowanu tezy pacy pojawło sę pojęce dokładność dynamczna, któa zaleŝy od pzebegu pocesu dgań pzejścowych w elementach układu nośnego manpulatoów obotów pzemysłowych, w odóŝnenu od tzw. dokładnośc statycznej (ys. ).

11 statyczna wynkająca : dokładność z błędów ozwązana pzez układ steowana zadana odwotnego knematyk z nedokładnośc wykonana lub montaŝu członów manpulatoa dynamczna wynkająca : z pocesów dgań pzejścowych uchomych członów manpulatoa wpływ popzez mnmalzację pozomu dgań Rys.. Dokładnośc pozycjonowana stosowane w obotyce Udowodnene pawdzwośc sfomułowanej tezy pacy pzepowadzono popzez: wykazane, metodą symulacj komputeowej, skutecznośc nadzoowana dgań manpulatoa za pomocą steowana modalnego pzy enegetycznym wskaźnku jakośc, podczas wykonywana okeślonych zadań manpulacyjnych. Kyteum oceny skutecznośc było poównane wynków symulacj dgań obota IRb-6, z bez nadzoowana dgań, ekspeymentalne potwedzene ezultatów nadzoowana dgań manpulatoa za pomocą steowana modalnego pzy enegetycznym wskaźnku jakośc na stanowsku badawczym, popzez poównane pozomu dgań amena gónego obota IRb-6 w takce wykonywana czynnośc manpulacyjnych z włączonym wyłączonym układem nadzoowana dgań.

12 .4. Pzegląd lteatuy Szczegółowy pzegląd wybanych metod mnmalzacj dgań układów nośnych obotów moŝna znaleźć w pacy [3]. Początkowo, podczas pojektowana obotów pzemysłowych najwaŝnejszym było spełnene waunku wymaganej dokładnośc. PowyŜsze naleŝy ozumeć jako koneczność uzyskana duŝej dokładnośc powtazalnośc pozycjonowana, waz z dokładnoścą śledzena planowanej tajekto uchu. Mnejszą olę odgywały wymagana ekonomczne (mateałooszczędność konstukcj, enegooszczędność pacy obota) oaz wymagana w zakese knematyk dynamk obotów (duŝe pędkośc pzyspeszena w uchu zadanym członów manpulatoa, duŝe obcąŝena). ake podejśce spowodowało, Ŝe podstawową metodą mnmalzacj dgań była statega zapoponowana pzez W.J. Book a [4]. Jej zasady bzmą następująco: Manpulato obota naleŝy uczynć wystaczająco masywnym, aby mógł być uwaŝany za stuktualne sztywny. Manpulatoem obota naleŝy pouszać tak wolno, aby móc zanedbać występujące obcąŝena dynamczne. Zastosowane stateg Book a powoduje, Ŝe budowane obecne oboty chaakteyzują sę stosunkowo duŝą masą oaz newelkm, w stosunku do moŝlwośc, pędkoścam pacy [3]. PonewaŜ statega Book a, polegająca na zwększenu sztywnośc stuktuy manpulatoa, ne naleŝy do efektywnych (ne uwzględna wymagań knematycznych, dynamcznych ekonomcznych), stosuje sę nne technk słuŝące zmnejszenu wpływu dgań obota na jego pacę [9]. NaleŜą do nch: kształtowane własnośc stuktuy manpulatoa popzez kształtowane własnośc masowo-spęŝystych lub kształtowane własnośc tłumących, steowane uchem elastycznego amena obota, metody aktywne semaktywne. Odpowedne kształtowane własnośc masowo-spęŝystych moŝna uzyskać popzez wybó najkozystnejszej stuktuy manpulatoa [3, ]. Na ys., pzedstawono dwe pzykładowe stuktuy obota RRR (oznaczene RRR - stosuje sę do opsu obotów pzemysłowych o stuktuze knematycznej pzegubowej, któe mają obotowe ose zespołów uchu egonalnego). Wększą sztywnoścą chaakteyzują sę zamknęte, nŝ otwate łańcuchy knematyczne amena. Ponadto, zastosowane

13 zamknętych łańcuchów knematycznych amena ułatwa zabudowę napędów w podstawe lub na kolumne manpulatoa, co spzyja zmnejszenu bezwładnośc częśc uchomych układu nośnego obota. W manpulatoach o stuktuze knematycznej zamknętej, w odóŝnenu od amon o stuktuze otwatej, ne występuje zjawsko tzw. pamdy obcąŝeń, polegające na dodatkowym obcąŝenu kaŝdego członu cęŝaem członów następnych []. Na tej samej zasadze, ułoŝene szeegowe elementów układu nośnego obota pzemysłowego moŝe powodować sumowane sę błędów wykonana montaŝu poszczególnych członów manpulatoa, co bezpośedno wpływa na moŝlwą do uzyskana dokładność pozycjonowana efektoa. Ne naleŝy jednak zapomnać, Ŝe manpulatoy o zamknętym łańcuchu knematycznym, chaakteyzują sę skomplkowaną konstukcją, małą pzestzeną oboczą duŝym kosztem wytwozena. a) b) Rys.. Stuktuy knematyczne manpulatoa RRR: a) otwaty łańcuch knematyczny amena, b) zamknęty łańcuch knematyczny amena Z punktu wdzena własnośc masowo-spęŝystych pojektowanego obota ne bez znaczena jest mateał, z jakego powstaną poszczególne jego człony. Genealną zasadą jest stosowane mateału chaakteyzującego sę moŝlwe najwększym stosunkem modułu spęŝystośc lnowej do jego gęstośc [, ]. Buzlwy ozwój nŝyne mateałowej, szczególne zauwaŝalny w ostatnch latach, pozwala na zastosowane w obotyce nowych mateałów konstukcyjnych o lepszych własnoścach, nŝ dotąd wykozystywane []. Nowe mateały chaakteyzują sę pzede wszystkm wększą wytzymałoścą (tzn. wyŝszą gancą plastycznośc R e 3

14 Be BC Fe - Ŝelazo/stal Gupa I Mg - magnez Al - alumnum - tytan Al - stop glnu z ltem NAl - stop ntnol 3 CuMgAl - stop ncamute E 7 m s 9 8 BFRAl Alo GFRMg C Gupa II GFRMg - magnez wzmocnony włóknam gaftowym BFRAl - alumnum wzmocnony włóknam bou Al Mg Al Fe CuMgAl NAl Mo WC Gupa III Mo - molbden Be - beyl Gupa IV WC - węglk wolfamu C - węglk tytanu Alo - kound BC - węglk czteobou E Pa Rys. 3. Watośc stosunku E/ρ dla mateałów konstukcyjnych znajdujących zastosowane w obotyce [] wytzymałośc na ozcągane R m ), co nekoneczne mus oznaczać, w ównym stopnu wększej watośc modułu spęŝystośc lnowej E. Na ys. 3 pzedstawono 4

15 poównane czteech gup mateałów konstukcyjnych, ze względu na watość stosunku E/ρ w funkcj modułu spęŝystośc E []. Watośc stosunku E/ρ moŝna poównać z watoścam odpowadającym najczęścej stosowanej w obotyce stal konstukcyjnej (węglowej wyŝszej jakośc stopowej). Mateały z pewszej gupy są stopam metal koloowych. Mają one poównywalną ze stalą watość współczynnka E/ρ, ale, co najwaŝnejsze, małą gęstość. Znkoma masa elementów wykonanych z tych mateałów, powoduje mnejsze, nŝ w pzypadku zastosowana stal, obcąŝena dynamczne podczas uchu członów manpulatoa. Mateały z tej gupy są najczęścej obok stal wykozystywane w budowe obotów pzemysłowych. Jako duga gupa, zostały pzedstawone mateały wzmocnone włóknam o wyŝszej od stal watośc współczynnka E/ρ. Obecne, szesze ch zastosowane w obotyce utudna poces stazena, pełzane pod stałym obcąŝenem oaz duŝa watość współczynnka ozszezalnośc ceplnej. zeca gupa obejmuje wybane metale koloowe. Osągają one badzo duŝą watość E/ρ. Metale te są obecne stosowane, ze względu na duŝy koszt, w technce kosmcznej zbojenowej. W gupe czwatej znajdują sę tzw. mateały ceamczne. Chaakteyzują sę one wysokm watoścam współczynnka E/ρ, dobym tłumenem wewnętznym, lecz takŝe kuchoścą. a ostatna cecha utudna ch szesze zastosowane w obotyce, nemnej wykozystuje sę je do wytwazana elementów łoŝysk powadnc lnowych w obotach pzemysłowych. Po dokonanu wybou mateału konstukcyjnego, własnośc masowo-spęŝyste członu manpulatoa moŝna kształtować popzez dobó kształtu jego pzekoju popzecznego [7]. W paktyce, dla zapewnena duŝej sztywnośc (pzy danej mase mateału konstukcyjnego), któej maą jest welkość powezchn pzekoju popzecznego członu, maksymalzuje sę geometyczny begunowy osowy moment bezwładnośc. Koneczność bezkolzyjnego popowadzena pzewodów zaslających, montaŝu czujnków układu tansmsj uchu wymusza stosowane pzekojów dąŝonych. Podsumowując, pzekoje o zayse zewnętznym kwadatowym lub postokątnym chaakteyzują sę lepszym paametam, nŝ pzekoje o zayse kołowym [3]. 5

16 WaŜnym czynnkem wpływającym na własnośc masowo-spęŝyste jest zastosowana technka wytwazana członów manpulatoa [4, ]. Najczęścej stosuje sę człony wykonane jako odlewy cenkoścenne, gdyŝ człony spawane, zgzewane lub klejone wymagają pecyzyjnego pzygotowana pefabykatów. Dodatkowo, podczas pocesu ch łączena mogą powstać napęŝena technologczne defomujące człon, co powoduje powstane w zmontowanym juŝ manpulatoze dodatkowych obcąŝeń dynamcznych. Innym ozwązanem jest kształtowane własnośc tłumących elementów stuktuy manpulatoa popzez zastosowane wskoelastycznych powłok na powezchn członów manpulatoa []. Zastosowane powłok wskoelastycznych pozwala zwększyć watość współczynnka tłumena wewnętznego danego członu nawet dzesęcokotne [3, ]. Powłok te mogą słuŝyć do mnmalzacj zaówno dgań gętnych jak skętnych, w zaleŝnośc od sposobu ułoŝena powłok wzdłuŝ lub wokół członu. Istneje ówneŝ moŝlwość dostojena wymaów geometycznych powłok do pacy w wybanym paśme częstotlwośc. Kolejnym keunkem badań nad mnmalzacją dgań obotów jest budowa manpulatoów o elastycznym amenu. Konstukcja obota jest mnej sztywna, a ponadto chaakteyzuje sę mnejszą masą (bezwładnoścą) od tadycyjnych obotów [3, 3, 4]. Dzęk takej budowe, oboty uzyskują podczas pacy wększe pędkośc pzyspeszena w uchu zadanym, pzy znaczne mnejszej enegochłonnośc. Elmnację dgań uzyskuje sę dzęk zastosowanu układu steowana wyposaŝonego w dodatkowe czujnk, z któych sygnały są wykozystywane do odpowednego oddzaływana na elementy napędowe umoŝlwają uzyskane wymaganej dokładnośc powtazalnośc pozycjonowana. elektody mateał pezoelektyczny Rys. 4. Idea zastosowana mateałów pezoelektycznych w obotyce Ostatną stosowaną gupą metod edukcj dgań są metody aktywne semaktywne. Istota metod aktywnych polega na zastosowanu dodatkowych 6

17 czujnków członów wykonawczych, któe oddzałują bezpośedno na uch dgający obota. Aktywnym sposobem mnmalzacj dgań jest stosowane mateałów pezoelektycznych, w któych wykozystuje sę zjawsko powstawana odkształceń na skutek pzyłoŝena pola elektycznego [5, 6]. Mają one kształt dysków wykonanych z mateału pezoelektycznego, ułoŝonych szeegowo oddzelonych od sebe paam elektod (oddzaływane słą wzdłuŝ os dysków) lub pasków złoŝonych z welowastwowych powłok w celu wywołana efektu zgnana (ys. 4). Do zalet tej metody moŝna zalczyć stosunkowo postą konstukcję, małą masę newelke wymay geometyczne elementów pezoelektycznych. W układach aktywnych wykozystuje sę ówneŝ stopy z pamęcą kształtu [5, 7], któe zmenają swoje własnośc pod wpływem zman tempeatuy. Mateały te podczas schładzana powacają do początkowego kształtu, w wynku zachodzących w nch pzeman fazowych. Czas twana pzeman fazowych, pzekaczający jedną sekundę, powaŝne ogancza moŝlwośc szeszego zastosowana tego ozwązana w obotyce [3, 5]. zbonk wewnątz amena gónego cecz elektoeologczna Rys. 5. Idea umeszczena zbonka z ceczą elektoeologczną w wewnątz amena gónego manpulatoa Jednym z semaktywnych sposobów mnmalzacj dgań jest stosowane elementów z ceczam elektoeologcznym [5]. Cecze te stanową zawesny małych cząstek polmeów bądź metal w oleju mnealnym lub nnej substancj delektycznej. Odpowedno pzyłoŝone pole elektyczne powoduje badzo szybką 7

18 zmanę właścwośc ceczy, co w konsekwencj powadz do moŝlwośc steowanej w czase zmany współczynnków sztywnośc tłumena amena, w celu edukcj pozomu dgań. Ideę takego ozwązana pzedstawono na ys. 5. Do najwększych wad tej metody naleŝy zalczyć koneczność stosowana wysokch napęć w celu uzyskana odpowednego natęŝena pola elektycznego, któe moŝe powodować zakłócena w układach elektycznych steujących uchem zadanym obota [3, 5]. Kolejnym sposobem oganczena pozomu dgań jest zastosowane dodatkowego małego manpulatoa, któy spełnając olę dynamcznego tłumka dgań, wpływa na dzałane manpulatoa zasadnczego [8]. W nnejszej pacy zostane pzedstawona metoda aktywnego nadzoowana dgań obotów za pomocą steowana modalnego pzy enegetycznym wskaźnku jakośc. Metoda ta pozwala, pzy załoŝenu, Ŝe badany obekt jest układem stacjonanym zachowawczym, wyznaczyć optymalny sygnał steujący dganam jako funkcję częstotlwośc oaz wektoów postac dgań własnych manpulatoa, wyznaczonych podczas badań dentyfkacyjnych za pomocą analzy modalnej. Następne, tak wyznaczonym optymalnym sygnałem steującym oddzałuje sę na obekt zeczywsty (amę góne manpulatoa), któy jest układem nestacjonanym. Analza sygnału pomaowego / geneato sygnału steującego Akceleomety pezoelektyczne Wzmacnacz sygnału pomaowego flty Wzbudnk pezoelektyczny Kata pomaowa Wzmacnacz sygnału steującego Rys. 6. Koncepcja stanowska do nadzoowana dgań obotów pzemysłowych z zastosowanem steowana modalnego pzy enegetycznym wskaźnku jakośc W skład stanowska (ys. 6) słuŝącego do nadzoowana dgań za pomocą staowana modalnego pzy enegetycznym wskaźnku jakośc wchodz mędzy 8

19 nnym komputeowy system pzetwazana danych, wzmacnacz z fltam, akceleomety pezoelektyczne, wzmacnacz sygnału steującego pezoelektyczny wzbudnk dgań [9]. 9

20 . MEODA SZYWNYCH EEMENÓW SKOŃCZONYCH W ZASOSOWANIU DO WORZENIA MODEU OBICZENIOWEGO MANIPUAORA ROBOA PRZEMYSŁOWEGO W nnejszej pacy zdecydowano sę na opacowane modelu oblczenowego manpulatoa obota pzemysłowego IRb-6 w uchu dgającym na baze metody sztywnych elementów skończonych (SES) []. Podstawy tej metody zostały sfomułowane pzez J. Kuszewskego w dugej połowe lat sześćdzesątych mnonego stuleca. Znalazła ona szeoke zastosowane do oblczeń dgań skętnych kadłubów, dgań skętnych wzdłuŝnych układów napędowych statków oaz dgań uządzeń okętowych w polskm pzemyśle okętowym [,, 3, 4]. Podstawą metody sztywnych elementów skończonych były neco nne załoŝena, nŝ szeoko stosowanej obecne metody odkształcalnych elementów skończonych []. Metoda ta polega na podzale zeczywstej konstukcj na neodkształcalne były nazywane sztywnym elementam skończonym (SES) []. Elementy te mają skończone wymay; ne są zatem elementam o neskończene małych wymaach, jake analzuje sę w teo spęŝystośc [5]. Gęstość podzału konstukcj na sztywne elementy skończone naleŝy do decyzj osoby dokonującej modelowana. Pownna ona jednak zaleŝeć od celu pzepowadzanych oblczeń oaz moŝlwośc oblczenowych posadanych komputeów. Dla kaŝdego SES wyznacza sę współczynnk bezwładnośc, tj. masę oaz momenty bezwładnośc. Sztywne elementy skończone łączy sę mędzy sobą za pomocą elementów spęŝysto-tłumących (ES), któych chaakteystyk pzyjmuje sę jako lnowe []. Oznacza to, Ŝe wekto sł uogólnonych pzenoszonych pzez element spęŝysto-tłumący jest sumą dwóch wektoów sł, z któych jeden jest popocjonalny do wektoa odkształceń ES w uchu dgającym, a dug do wektoa pędkośc odkształceń [, 3]. Element spęŝysto-tłumący chaakteyzują współczynnk sztywnośc tłumena, natomast jego masę pomja sę [3]. Elementam modelu oblczenowego uzyskanego metodą SES są ówneŝ obcąŝena w postac sł skuponych oaz momentów sł [, 3]. Metoda SES ne jest tak dokładna w twozenu model oblczenowych układów cągłych, jak metoda odkształcalnych elementów skończonych. Jest ona jednak

21 znaczne postsza w zastosowanach paktycznych, łatwejsza do opanowana oaz pozwalająca uzyskać w kótkm czase wynk zgodne z zachowanem sę obektu zeczywstego [3]. Na decyzję o wyboze metody SES do modelowana manpulatoa obota IRb-6 w uchu dgającym mały wpływ ne tylko wyŝej wymenone zalety tej metody, ale ówneŝ weloletne dośwadczene pacownków naukowych Katedy Mechank Wytzymałośc Mateałów Poltechnk Gdańskej w modelowanu metodą SES óŝnego odzaju konstukcj mechancznych... Pojęca podstawowe Do najwaŝnejszych pojęć podstawowych zwązanych z twozenem modelu oblczenowego za pomocą metody SES naleŝą: sztywny element skończony (SES) oaz element spęŝysto-tłumący (ES). Na początku tego podozdzału zostaną zdefnowane SES ES, jak ówneŝ podstawowe zaleŝnośc słuŝące do wyznaczena paametów modelu oblczenowego. Następne omówone zostane zagadnene twozena ównań uchu dgającego zaówno dla układów stacjonanych, jak teŝ dla układów nestacjonanych.... Sztywny element skończony element spęŝystotłumący x 3 q 6 SES n q 3 q x q q 5 q 4 x Rys. 7. Pzemeszczena uogólnone SES n w układze współzędnych x x x 3

22 SES jest neodkształcalną byłą o skończonych wymaach. Pzemeszczene SES n jest jednoznaczne okeślone pzez podane pzemeszczeń uogólnonych jednego punktu zwązanego z tym elementem (ys. 7). Punkt ten nazywany jest węzłem SES. W węźle znajduje sę początek układu głównych centalnych os bezwładnośc SES x, x, x 3 co oznacza, Ŝe pzyjęty węzeł jest śodkem masy SES. JeŜel SES n moŝe dowolne pzemeszczać sę w pzestzen, to do opsu jego połoŝena potzebnych jest sześć współzędnych uogólnonych. Wekto pzemeszczeń uogólnonych, w pzypadku małego uchu dgającego, ma postać [, 3]: q q q q 3 col q 4 q q 5 6 ( q ),,...,6, (.) gdze: q, q, q 3 pzemeszczena tanslacyjne mezone w keunkach os układu współzędnych x, x, x 3 ; q 4, q 5, q 6 pzemeszczena otacyjne względem os układu x, x, x 3. [, 3]: Dla SES n defnuje sę dagonalną macez współczynnków bezwładnośc M m m m 3 m 4 m 5 m dag [ m ],,..., 6, (.) pzy czym, w pzypadku były sztywnej o własnoścach zotopowych, otzymuje sę: m m m 3 m masa SES n ; m 4 I, m 5 I, m 6 I 3 masowe momenty bezwładnośc SES n względem os x, x, x 3.

23 x 3 q 6 SES n A q 3 q 4 q q x x q 5 l Rys. 8. SES n jako fagment jednoodnej belk W pzypadku fagmentu jednoodnej belk (ys. 8), masowe momenty bezwładnośc zastępującego ten fagment SES n moŝna wyznaczyć z zaleŝnośc [, 3]: I I 3 I m J, (.3) A m l J + m, (.4) A m l J3 + m, (.5) A gdze: m masa SES n, A pole powezchn pzekoju popzecznego fagmentu belk, l długość fagmentu belk, J J, J 3 begunowy moment bezwładnośc pzekoju popzecznego fagmentu belk, momenty bezwładnośc pzekoju popzecznego fagmentu belk odpowedno względem os x, x 3. Element spęŝysto-tłumący (ES) jest elementem, któego wymay masę pomja sę. Jego właścwośc defnują współczynnk sztywnośc tłumena. Zakłada sę, Ŝe jest on utwozony pzez ównoległe połączene lnowego elementu spęŝystego oaz elementu tłumącego (ys. 9a) [,, 3]. Sła pzenoszona pzez 3

24 4 ES jest zatem sumą dwóch sł, jednej popocjonalnej do odkształcena elementu w uchu dgającym dugej popocjonalnej do pędkośc odkształcena w tym uchu. ES pzenos zaówno sły skupone, jak pay sł. y k y k y k3 ES n k a) b) Punkt zamocowana do SES n Punkt zamocowana do SES n p Rys. 9. Element spęŝysto-tłumący: a) dea połączena elementu spęŝystego elementu tłumącego w ES, b) ES w lokalnym układze współzędnych y k, y k, y k3 ES n k łączy SES n z SES n p. Doznaje on odkształceń w sześcu keunkach uogólnonych, mezonych zgodne z lokalnym układem współzędnych y k, y k, y k3 ES n k (ys. 9b). PonewaŜ ose układu współzędnych y k, y k, y k3 stanową dla ES n k główne ose sztywnośc [], okeśla sę dagonalną macez współczynnków sztywnośc tłumena [,, 3]: [ ], 6...,,, k dag k k k k k k k k k k k k k k K (.6) gdze: k k, k k, k k3 współczynnk sztywnośc tanslacyjnej wzdłuŝ os y k, y k, y k3, k k4, k k5, k k6 współczynnk sztywnośc otacyjnej wokół os y k, y k, y k3, [ ], 6...,,, l dag l l l l l l k k k k k k k k (.7) gdze: l k, l k, l k3 współczynnk tłumena tanslacyjnego wzdłuŝ os y k, y k, y k3, l k4, l k5, l k6 współczynnk tłumena otacyjnego względem os y k, y k, y k3.

25 Współczynnk sztywnośc k k tłumena l k ES n k zastępujące własnośc spęŝysto-tłumące fagmentu belk o długośc l, defnuje sę pzy załoŝenu, Ŝe wzdłuŝ os y k zachodz ozcągane (ys. ) [,, 3]. Wówczas, stosując model Kelvna-Votgta, słę F (t) dzałającą wzdłuŝ os y k wyznacza sę z wzou [,, 3]: a) A y 3 y F (t) F (t) l w y b) y k3 w F (t) y k F (t) Rys.. Schemat odkształceń wzdłuŝ os y k dla: a) fagmentu belk, b) zastępczego ES y k F E A l A l η ( t) w ( t) + w& ( ). (.8) t Natomast poszukwane współczynnk sztywnośc tłumena w keunku os y k to: gdze: w ( t) k k l k E A, (.9) l A η. (.) l odkształcene elementu podczas uchu dgającego, ( t) w& pędkość odkształcena elementu podczas uchu dgającego, E A moduł Younga, pole powezchn pzekoju popzecznego fagmentu belk, 5

26 l η długość fagmentu belk, stała tłumena nomalnego. a) y F (t) F (t) y l w b) y k F (t) y k F (t) w Rys.. Schemat odkształceń w keunku os y k, (y k3 ): a) fagmentu belk, b) zastępczego ES Pozostałe tanslacyjne współczynnk sztywnośc k k, k k3 tłumena l k, l k3 ES n k zastępujące własnośc spęŝysto-tłumące fagmentu belk o długośc l, defnuje sę pzy załoŝenu, Ŝe w keunku os y k (y k3 ) zachodz ścnane (ys. ) [,, 3]. Wówczas, stosując model Kelvna-Votgta, słę F (t) (F 3 (t)) dzałającą wzdłuŝ os y k (y k3 ) wyznacza sę z zaleŝnośc [,, 3]: F F G A η A ( t) w ( t) + w& ( ), (.) t l G A l l A l η ( t) w ( t) + w& ( ). (.) t Poszukwane współczynnk sztywnośc tłumena opsują następujące zaleŝnośc: gdze: ( t), ( t) w w 3 ( t), & ( t) w& k l k k G A kk 3, (.3) l l k3 η A. (.4) l odkształcene ES podczas uchu dgającego, w 3 pędkość odkształcena ES podczas uchu dgającego, 6

27 G A l η moduł spęŝystośc postacowej Kchhoffa, pole powezchn pzekoju popzecznego fagmentu belk, długość fagmentu belk, stała tłumena stycznego. a) y 3 y w 4 y M (t) M (t) l b) y k3 y k M (t) y k M (t) Rys.. Schemat odkształceń wokół os y k dla: a) fagmentu belk, b) zastępczego ES Współczynnk sztywnośc otacyjnej k k4 tłumena otacyjnego l k4 dla ES n k, zastępujące własnośc spęŝysto-tłumące fagmentu belk o długośc l, defnuje sę pzy załoŝenu, Ŝe wokół os y k zachodz skęcane (ys. ) [,, 3]. Wówczas moment pay sł M (t) dzałający względem os y k wyznacza sę ze wzou [,, 3]: M G J l η J l ( t) w ( t) + w& ( ). 4 4 t Współczynnk sztywnośc tłumena wokół os y k mają postać: (.5) gdze: w 4 ( t) k k 4 l k 4 G J, (.6) l J η. (.7) l odkształcene fagmentu belk podczas uchu dgającego, ( t) w& 4 pędkość odkształcena fagmentu belk podczas uchu dgającego, 7

28 G moduł spęŝystośc postacowej Kchhoffa, A pole powezchn pzekoju popzecznego fagmentu belk, l długość fagmentu belk, η stała mateałowa tłumena stycznego. Pozostałe współczynnk sztywnośc otacyjnej k k5, k k6 tłumena otacyjnego l k5, l k6 ES n k zastępujące własnośc spęŝysto-tłumące fagmentu belk o długośc l defnuje sę pzy załoŝenu, Ŝe wokół os y k ( y k3 ), zachodz zgnane (ys. 3) [,, 3]. Wówczas momenty pay sł M (t) (M 3 (t)) względem os y k (y k3 ) wyznacza sę z zaleŝnośc [,, 3]: M M E J l η J l ( t) w ( t) + w& ( ), 5 5 t E J l η J l 3 3 ( t) w ( t) + w& ( ) t (.8) (.9) a) y 3 y w 5 y M (t) M (t) l b) y k3 y k y k M (t) M (t) Rys. 3. Schemat odkształceń wzgledem os y k, (y k3 ) dla: a) fagmentu belk, b) zastępczego ES Poszukwane współczynnk sztywnośc tłumena opsują następujące zaleŝnośc: k k 5 k k 6 E J, (.) l E J3, (.) l 8

29 gdze: ( t), ( t) w 5 w 6 ( t), & ( t) E w& 5 J, J 3 l η l k 5 l k 6 J η, (.) l J3 η, (.3) l odkształcena ES podczas uchu dgającego, w 6 pędkośc odkształceń ES podczas uchu dgającego, moduł Younga, momenty bezwładnośc pzekoju popzecznego fagmentu belk odpowedno względem os y k, y k3, długość fagmentu belk, stała tłumena nomalnego. Punkt ES n k dołączony do SES n doznaje pzemeszczeń (mezonych w układze y k, y k, y k3 ), któych stan moŝna okeślć za pomocą wektoa [,, 3]: ( w ) K,,6. w col (.4) k k Analogczne defnuje sę wekto pzemeszczeń punktu zamocowana do SES n p [,, 3]: ( w ) K,,6. w col (.5) pk pk Dla ES n k okeśla sę macez współzędnych zamocowana do SES n, mezonych w układze współzędnych x, x, x 3 tego SES [,, 3]: sk3 sk sk3 sk s k sk S, (.6) k oaz, w sposób analogczny, twozy sę macez współzędnych zamocowana do SES n p [,, 3]: 9

30 s pk 3 s pk s pk 3 s pk s pk s pk S. (.7) pk Dla ES n k defnuje sę ówneŝ macez kosnusów keunkowych kątów mędzy osam układu współzędnych y k, y k, y k3, a osam x, x, x 3 [,, 3]: gdze: * Θ k Θ k. * (.8) Θk * Θ k macez kosnusów kątów mędzy osam y k x j opsana zaleŝnoścą: Θ [ cos ],, j,,3.. * k α kj 3 3 W sposób analogczny defnuje sę macez kosnusów keunkowych: gdze: * Θ pk Θ pk, * (.9) Θ pk * Θ pk macez kosnusów keunkowych kątów mędzy osam y k x j opsana * zaleŝnoścą: [ cos ],, j,,3.. Θ pk α pkj Równana dynamk układu steowanego... Układy stacjonane W wększośc stuktu manpulatoów obotów obsewuje sę zaówno dynamczne oddzaływane pocesów oboczych, jak teŝ zadane uchy względne wybanych podzespołów. Zjawska te są konsekwencją występowana w układze óŝnych sygnałów zewnętznych o zmennych pzebegach w czase. Modelowane obektów, jako stotny etap pojektowana, pownno stanowć zatem wene odbce ch zachowana w zeczywstośc. JeŜel pzyjme sę, Ŝe: elementy składowe badanego obektu doznają jedyne małych pzemeszczeń (stała konfguacja układu), 3

31 watośc paametów obektu są nezmenne w czase, to wówczas ma sę do czynena z dynamcznym lnowym modelem stacjonanym. Analza modelu stacjonanego jest uzasadnona z punktu wdzena badana stanów pacy układu w waunkach ustalonych, co nezadko ma mejsce. Model dysketny układu steowanego utwozono stosując metodę SES [8,,, 3, 4]. O zasadnośc wybou sposobu modelowana zadecydowały następujące agumenty: Elementy składowe welu stuktu manpulatoów stanową zwate, sztywne konstukcje [8,, 6]. Mogą one zatem być taktowane jako były sztywne modelowane za pomocą SES, albo pzy uwzględnenu ch podatnośc dodatkowo z wykozystanem ES. Sztywnośc nektóych elementów składowych mogą być znaczne wększe od sztywnośc połączeń spoczynkowych bądź uchowych tych elementów. Połączena te moŝna, węc modelować za pomocą ES. Istneje moŝlwość uwzględnena w układze mechancznym obecnośc sygnałów steujących oaz słotwóczego chaakteu steowana [8]. Rys. 4. Model dysketny w konwencj metody SES układu mechancznego, z sygnałam steującym u χ u pχ (ops w tekśce) W otzymanym modelu dysketnym (ys. 4): pzemeszczena uogólnone śodków masy O SES n oaz O p SES n p opsano odpowedno w lokalnych układach współzędnych x, x, x 3 (główne centalne 3

32 ose bezwładnośc SES n ) x p, x p, x p3 (główne centalne ose bezwładnośc SES n p), ES łączą ze sobą dwa SES, odkształcena ES n k zdefnowano w lokalnych układach współzędnych głównych os sztywnośc y k, y k, y k3. Na SES n dzała κ sł zewnętznych F κ, opsanych w lokalnych układach współzędnych z κ, z κ, z κ3, zaś na SES n p pκ sł zewnętznych F pκ, opsanych w lokalnych układach współzędnych z pκ, z pκ, z pκ3. Redukując te sły do lokalnych układów współzędnych x, x, x 3 SES n oaz x p, x p, x p3 SES n p, otzymuje sę [8]: wekto sł zewnętznych SES n : wekto sł zewnętznych SES n p: κ ( Z ) F S Θ F, (.3) κ κ κ κ gdze: p κ ( Z ) F S Θ F, (.3) p κ pκ pκ pκ S, S pκ maceze współzędnych punktu pzyłoŝena sł F κ F pκ κ Θ κ, pκ w lokalnych układze współzędnych x, x, x 3 SES n oaz x p, x p, x p3 SES n p [], Θ maceze kosnusów keunkowych mędzy osam układów współzędnych z κ, z κ, z κ3 z pκ, z pκ, z pκ3, a osam lokalnych układów współzędnych x, x, x 3 SES n x p, x p, x p3 SES n p [, ]. W dalszej częśc, na baze ozwaŝań [8], ozszezono dotychczasową metodykę modelowana w ten sposób, Ŝe uwzględna sę oddzaływane na SES n χ sygnałów steujących u χ, zaś na SES n p oddzaływane pχ sygnałów steujących u pχ. Składowym sygnałów steujących mogą być óŝne welkośc fzyczne, wektoowe lub skalane. Ponadto, wektoy u χ u pχ są okeślone w swoch pzestzenach lokalnych, któych wyma zaleŝy od lczby składowych tych wektoów. Ne moŝna ch, zatem okeślć, w odóŝnenu od wektoów pzemeszczeń sł uogólnonych, w lokalnych układach odnesena SES (ys. 4). JednakŜe pzyjęce załoŝena o słotwóczym 3

33 chaakteze steowana umoŝlwa zdefnowane w lokalnym układze współzędnych x, x, x 3 SES n wektoa sł oddzaływana sygnałów steujących: χ ( u) F B u, (.3) χ uχ χ oaz w lokalnym układze współzędnych x p, x p, x p3 SES n p wektoa sł oddzaływana sygnałów steujących: gdze: p χ ( u) F B u. (.33) p χ upχ pχ B uχ, B upχ maceze steowań n χ SES n oaz SES n p. JeŜel ES n k łączy SES n SES n p, to wekto odkształceń ES n k wyaŝony w funkcj pzemeszczeń uogólnonych SES n SES n p, opsuje wzó: oaz wekto pędkośc odkształceń ES n k wzó: gdze: 3]: k w Θ S q Θ S q (.34) k k k k k k pk pk pk pk p w Θ S q Θ S q, (.35) S, S maceze współzędnych zamocowana ES n k w lokalnych pk układach współzędnych x, x, x 3 SES n oaz x p, x p, x p3 SES n p [, 3], Θ k, Θ pk maceze kosnusów keunkowych mędzy osam lokalnych układów współzędnych y k, y k, y k3 ES n k, a osam lokalnych układów współzędnych x, x, x 3 SES n x p, x p, x p3 SES n p [,, 3]. W SES magazynowana jest enega knetyczna, któą opsuje zaleŝność [,, gdze: lczba SES układu. p q & M q&, (.36) Σ Enega potencjalna sł spęŝystośc magazynowana jest w ES. Enegę tę wyaŝa zaleŝność: k U w k K k w k, (.37) Σ k 33

34 natomast funkcję ozposzena eneg (dyssypacj) w ES zaleŝność: gdze: k lczba ES układu. k D w& k k w& k. (.38) Σ k MoŜna wykazać [8], Ŝe dla układu o skończonej lczbe stopn swobody m, składającego sę z SES oaz k ES, jest spełnone ównane dynamk stacjonanego układu steowanego: M q& + q& + Kq f +, (.39) któe jest konsekwencją zastosowana ównana agange a II odzaju [7, 8]: gdze: d dt D U + + q& q q& q f u f + f u, (.4) enega knetyczna układu dgającego: q & Mq&, (.4) enega potencjalna układu dgającego: U q Kq, (.4) funkcja ozposzena eneg (dyssypacj) układu dgającego: D q & q&,(.43) macez bezwładnośc układu dgającego: M, (.44) M macez tłumena układu dgającego:, (.45) k k k macez sztywnośc układu dgającego: K, (.46) k K k k wekto pzemeszczeń uogólnonych układu dgającego: q q, (.47) wekto sł zewnętznych w układze dgającym: f, (,48) F wekto sł oddzaływana sygnałów steujących: f. (.49) Maceze M, k, K k wektoy q, F, Fu u F u okeślają zaleŝnośc: 34

35 35, m m M M (.5), m m pk pk k pk pk k k k pk pk pk pk k k k k k k k k k S Θ Θ S S Θ Θ S S Θ Θ S S Θ Θ S (.5), m m pk pk k pk pk k k k pk pk pk pk k k k k k k k k k S Θ K Θ S S Θ K Θ S S Θ K Θ S S Θ K Θ S K (.5), m q q (.53), ) ( m Z F F (.54). ) ( m u u F F (.55) Jako ezultaty ozwaŝań nnejszego punktu naleŝy wskazać dostosowane metody SES do modelowana steowanych stacjonanych układów lnowych, a takŝe ops matematyczny tych układów.

36 ... Układy o zmennej w czase konfguacj W nnejszym punkce pzedstawono moŝlwość dostosowana metody sztywnych elementów skończonych do modelowana steowanych układów lnowych o zmennej w czase konfguacj (układów nestacjonanych) oaz sfomułowano ops matematyczny (macezowe ównana dynamk) tych układów. Model dysketny układu nestacjonanego utwozono stosując metodę sztywnych elementów skończonych [,, 3, 4] (ys. 5). Uwzględnono w nm załoŝena pzyjęte w p...., a ponadto: w układze wyodębnono podukład neuchomy oaz podukład uchomy. Elementy podukładu neuchomego doznają jedyne małych pzemeszczeń, któe opsano w lokalnych układach współzędnych SES tego podukładu. Podukład uchomy pzemeszcza sę względem podukładu neuchomego. Małe pzemeszczena SES podukładu uchomego opsano w lokalnych układach współzędnych SES tego podukładu; podukłady neuchomy uchomy połączono za pomocą pay knematycznej obotowej. Rys. 5. Model dysketny w konwencj metody SES układu mechancznego o zmennej w czase konfguacj W pewszej faze twozena modelu oblczenowego ozwaŝano układ swobodny (stacjonany), któego podukłady wykonują zadane uchy względne 36

37 (opsane w lokalnych układach odnesena) ne są ze sobą zwązane. Następne w sposób analogczny, jak dla układu stacjonanego (pkt...), utwozono ównane dynamk układu swobodnego. Ruchy poszczególnych SES podukładów neuchomego uchomego opsano w lokalnych układach współzędnych tych SES. Powązane w układze podukładów będących w uchu zaleŝnym odbyło sę pzez wpowadzene ównań węzów pomędzy pzemeszczenam w keunku okeślonych współzędnych uogólnonych podukładów [8, 9]. W ezultace powązana podukładów układu swobodnego, otzymano w obu pzypadkach układ nestacjonany o zmennej w czase konfguacj [9]. W wektoze pzemeszczeń uogólnonych q (wzó (.47)) wyodębnono wekto pzemeszczeń q w keunku współzędnych nezaleŝnych, wekto pzemeszczeń q d w uchu zaleŝnym oaz wekto pzemeszczeń q g w uchu zadanym [8, 9]. Podobne, w wektoze sł uogólnonych f (wzó (.48)) wyodębnono wektoy sł odpowadające: współzędnym nezaleŝnym f, współzędnym zaleŝnym f d oaz współzędnym o zadanym uchu f g. Otzymano, zatem: q q q d, (.56) q g f f fd. (.57) f g Zwązek pomędzy pzemeszczenam q w keunku współzędnych nezaleŝnych, pzemeszczenam q d w keunku współzędnych zaleŝnych oaz pzemeszczenam w uchu zadanym q g okeśla ównane węzów [8, 9]: q [ W W M W ] q, gdze: W macez węzów podukładu nezaleŝnego, W d macez węzów podukładu zaleŝnego, W g macez węzów podukładu o zadanym uchu. Równane węzów pzyjmuje postać: M d g d (.58) q g q W q + W q, (.59) d g g 37

38 pzy czym maceze węzów układu opsane są zaleŝnoścam: W ( W W ) W W, (.6) d d d W g ( W W ) W W. (.6) d d W zagadnenach opsanych w lokalnych układach odnesena poszczególnych podukładów, maceze te są jawnym funkcjam czasu, tzn.: W ( t), d g W (.6) g W g ( t). W (.63) RóŜnczkując wyaŝene (.59) względem czasu, otzymuje sę: d q & Wq & + Wq& + W & q + W q& (.64) d g g g g q & Wq && + Wq & & + Wq&& + W && q + W & q& + W q& (.65) Po uwzględnenu w ównanu dynamk stacjonanego układu steowanego (.39) zaleŝnośc (.3), (.33), (.54) (.55), uzyskuje sę ównane w postac: g g g g g g Mq& + q& + Kq f + B u, (.66) gdze: macez steowań układu okeślona jest zaleŝnoścą: u K K K K K u K B K K K B u K K K K K, (.67) K K K K K K K K K K m wekto sygnałów steujących zdefnowany jest następująco: u K u u, (.68) K u zaś u jest lczbą sygnałów steujących. Wekto sygnałów steujących uwzględna sygnały steujące u SES n,,...,. Natomast macez steowań w układze lokalnym SES n okeśla sę jako (pkt...): B u [ B K B ]. (.69) u u χ 38

39 Uwzględnając wyaŝena (.56) (.57), zaś w macezy steowań B u (t) wyodębnając maceze opsujące efekt steowana w keunku współzędnych nezaleŝnych B u, współzędnych zaleŝnych B ud oaz współzędnych o zadanym uchu B ug, otzymuje sę ównane: M M M d g K + K K d g M M M d dd gd K K K d dd gd M M M K K g K dg gg g q&& q && q && dg gg d g q q q + d g d g f f f d g d dd gd B + B B u ud ug g dg gg q& q & q & d g +. (.7) Jest to ównane układu swobodnego (bez węzów). Uwzględnene w nm ównana węzów (.59), ównań (.64) (.65) oaz ównana eakcj węzów opsanego zaleŝnoścą [8, 9]: R R g W + W g R d, (.7) gdze: R wekto eakcj węzów w podukładze współzędnych nezaleŝnych, R d wekto eakcj węzów w podukładze współzędnych zaleŝnych, R g wekto eakcj węzów w podukładze o zadanym uchu, a następne wyugowane wektoów eakcj węzów, powadz do ównana: * * * * * * * * M q& + q& + K q f + B u, (.7) gdze: wekto pzemeszczeń uogólnonych układu dgającego: macez bezwładnośc układu dgającego: u * q, (.73) q * M M + M W + W M + W M W, (.74) macez tłumena układu dgającego: d d * + d W + W d + W + M W & + W M W & macez sztywnośc układu dgającego: d dd dd dd W +, (.75) 39

40 K * K + K d W + W + W & + W d wekto sł zewnętznych układu dgającego: f * f + + W f dd K d + W K dd W + W & + M W && + W M d [ M W + M + W ( M W + M )] dd W && d d g g dd g dg g [ d Wg + g + Md W & g + W ( dd Wg + dg + M dd W & g )] [ K d Wg + K g + d W & g + Md W && g + W ( K dd Wg + K dg + M dd W && g )] q g macez steowań: q&& + q&, (.76) g dd + W & g, (.77) + * B B + W B. (.78) u u ud PonewaŜ opsane ównanam (.6) (.63) maceze węzów W W g są funkcjam czasu, zatem maceze M *, *, K * * B u, a takŝe wekto f * są ówneŝ funkcjam czasu. Stąd, ównane (.7) jest macezowym ównanem óŝnczkowym lnowym o zmennych w czase współczynnkach. W celu jego ozwązana stosuje sę metody bezpośednego całkowana [8]. Po pzekształcenu ównana (.7) otzymamy ównana stanu nestacjonanego układu steowanego w postac [3, 3]: x& Ax + Dz + Bu y Cx + w gdze: wekto współzędnych stanu:, (.79) macez stanu układu: macez zakłóceń: macez wejść: * [ q& ] * q, x (.8) * * * * M M K A, I (.8) * M D, (.8) 4

41 C macez wyjść, * z f wekto zakłóceń: y w * M B B * u, (.83) wekto wyjść, któego składowe są zaejestowanym odpowedzam układu, wekto zakłóceń pomaowych. W szczególnym pzypadku, gdy ejestowane są watośc wszystkch składowych wektoa pzemeszczeń uogólnonych q *, spełnony jest waunek: * y q. NaleŜy ówneŝ zauwaŝyć, Ŝe w kontekśce powyŝszego sfomułowana, wszystke nepotencjalne sły uogólnone, któych oddzaływane ne jest zwązane z efektem steowana (tzn. wekto f * ), taktowane są jako zakłócene... Model nomnalny manpulatoa... Obekt badań Pzedmotem badań jest układ nośny obota IRb-6. Robot IRb-6 składa sę (ys. 6) z manpulatoa, mocowanego sztywno do podłoŝa układu steowana. W częśc manpulacyjnej moŝna wyóŝnć podstawę (), kopus (), amę dolne (3), amę góne (4) oaz zespół pzegubów (5) z końcówką kołnezową (3), słuŝącą do mocowana chwytaków lub nazędz. Budowa obota IRb-6 zapewna w uchu zadanym 5 stopn swobody, do oznaczena któych pzyjęto kąty ϕ, θ, α, t, v ( ys. 6). Ruchy poszczególnych elementów ealzowane są pzez zespoły napędowe, na któe składają sę zespoły slnków odpowedne pzekładne mechanczne. W skład kaŝdego zespołu slnka wchodz slnk pądu stałego, tansfomato połoŝena kątowego pądnca tachometyczna. W podstawe () umeszczony jest zespół slnka () waz z pzekładną falową, geneujący uch obotowy kopusu (). Napędy uchów dolnego (3) gónego amena (4), składające sę z zespołu slnka (), () pzekładn śubowej tocznej oaz napędy uchów zespołu pzegubu (5), złoŝone z zespołu slnka pzekładn falowej, zamocowane są na kopuse manpulatoa. Ramę dolne jest osadzone obotowo we wsponku kopusu. Obót dolnego amena odbywa sę za pomocą dźwgn napędzanej pzez pzekładnę śubową (6) 4