Fizyka, technologia oraz modelowanie wzrostu kryształów

Transkrypt

1 Fzyka, technologa oaz modelowane wzostu kyształów Stansław Kukowsk Mchał Leszczyńsk Instytut Wysokch Cśneń PAN 0-4 Waszawa, ul Sokołowska 9/37 tel: e-mal: Zbgnew Żytkewcz Instytut Fzyk PAN Waszawa, Al. Lotnków 3/46 E-mal: Wykład godz./tydzeń pątek Intedyscyplnane Centum Modelowana UW Budynek Wydzału Geolog UW sala

2 Modelowane pocesów wzostu obaz mako Stansław Kukowsk Modelowane pocesów wzostu dwa obazy Modelowane - metody Modelowane - zagadnena pocesy fzyczne

3 Modelowane pocesów wzostu zagadnena Modelowane w skal makoskopowe - obazowane pocesów tanspotu podczas wzostu kyształów (masy, eneg pędu) - wyznaczane napężeń w stuktuach neednoodnych - wyznaczane własnośc elektycznych układów elektoncznych - wyznaczane własnośc optycznych układów elektoncznych Modelowane w skal atomowe - wyznaczane stuktuy mofolog kyształów - wyznaczane chaakteystycznych własnośc enegetycznych dla stanów ównowagowych - wyznaczane chaakteystycznych własnośc enegetycznych dla pocesów knetycznych

4 Modelowane pocesów wzostu metody Modelowane w skal makoskopowe - metoda skończone óżncy - metoda skończone obętośc - metoda elementu skończonego Modelowane w skal atomowe - metoda Monte Calo - metoda dynamk molekulane - metody ab nto - DFT

5 ρ (, t) C v Pawa zachowana cecz ścślwa v t (, t) ( ρ,t) ρ(, t) [ ρ(, t) t [ T(, t) t dv [ ρ(, t) v(, t) = 0 ( v(, t) ) v(, t) = p(, t) µ v(, t) ρ(, t) f (, t) ( v(, t) ) T(, t) = dv( κ T(, t) ) ε 6 zmennych: 3 składowe pędkośc, gęstość cśnene, tempeatua 5 ównań uchu ównane stanu ( ρ,t) 0 p = p =

6 v ρo t C (, t) v Pawa zachowana cecz neścślwa ( ρ,t) o ρ o [ T(, t) t dv = [ v(, t) 0 ( v(, t) ) v(, t) = p(, t) µ v(, t) ρ β ( T T ) f (, t) ( v(, t) ) T(, t) = dv( κ T(, t) ) ε o T o 5 zmennych: 3 składowe pędkośc, cśnene, tempeatua 5 ównań uchu Równane dodatkowe: ρ = ρ o

7 Waunk bzegowe - pędkość Powezchne cał stałych bez kystalzac eakc chemcznych powezchna matealna - (bak poślzgu) : v = (, t) 0 Powezchne cał stałych kystalzaca (powezchna nematealna) oaz bak poślzgu: v (, t) t(, t) = 0 ρl(, t) v(, t) c,l(, t) D,l c,l(, t) n = ρ, t u, t c, t D c, t s [ (, t) [ n(, t) ( ) ( ) ( ) ( ),s,l,s t n t n, t (, t) ( ) - wekto styczny do powezchn - wekto nomalny do powezchn

8 Waunk bzegowe - tempeatua Powezchne cał stałych doskonały kontakt ceplny : T l (, t) = T (, t) s Powezchne cał stałych kystalzaca (powezchna nematealna): [ Cv,l( ρl,t) ρl(, t) vl(, t) Cv,s ( ρs,t) ρs(, t) vs(, t) n(, t) = [ κ T (, t) κ T (, t) ρ (, t) u(, t) H n(, t) Q l l H - cepło kystalzac s s s Q cepło wydzelane pzez pomenowane

9 Waunk bzegowe kategoe matematyczne Waunek Dchleta ϕ Waunek Neumanna l ϕ (, t) = ϕ (, t) s (, t) n(, t) = f (, t) s Waunek meszany F [ ϕ(, t) n(, t) G[ ϕ(, t) = f (, t) s

10 Waunk bzegowe ntepetaca fzyczna Waunek Dchleta tempeatua, koncentaca: założene o ównowadze lokalne z nna fazą. T, t = T, t C, t = C, t l ( ) ( ) s Waunek Neumanna ustalone pzepływy, np. szybkość kystalzac, ozpuszczana D C (, t) n(, t) = R(, t) ( ) ( ) Waunek Dchleta składowa styczna pędkośc znka v l, t t, t = ( ) ( ) 0 Waunek meszany szybkość kystalzac w funkc pzesycena l s D C C C eq (, t) n(, t) = kσ = k Ceq

11 Metody ozwązywana ównań uchu technk pzyblżana Typowe ównane zachowana ( ρ) ( ρv ) t = Γ q Zastąpene pola skalanego ego epezentaca w węzłach satk Nazucene odpowednch waunków bzegowych Repezentaca otzymanego wynku apoksymaca pzez funkce, np. funkce skleane (splne functons)

12 Geneaca sec pepocessng Rodzae sec: Sec egulane (stuktualne) Sec blokowo-egulane (blokowo-stuktualne) Sec złożone Sec neegulane

13 Sec egulane (stuktualne) Sec egulane sec w któych można wpowadzć układ współzędnych Lne należące do te same odzny ne pzecnaą sę Lne należące do óżnych odzn pzecnaą sę tylko az Pzykłady sec egulanych, otogonalnych, edno- dwuwymaowych Pzykład sec egulane, neotogonalne, dwuwymaowe, zapoektowane do oblczana pzepływu pomędzy dwoma pzesunętym uam

14 Sec blokowo-egulane (blokowo -stuktualne) Sec w któe segmenty (blok są egulane). Cała sec ne spełna tego waunku, ale nektóe segmenty spełnaą go. Pzykład sec blokowo-egulane, neotogonalne, dwuwymaowe, zapoektowane do oblczana pzepływu w kanale wokół obektu o pzekou cylndycznym. W sec te węzły bzegowe są uzgodnone. Pzykład sec blokowo-egulane, neotogonalne, dwuwymaowe, zapoektowane do oblczana pzepływu wokół skzydła. W sec te węzły bzegowe ne są uzgodnone.

15 Sec złożone (sec typu Chmea) Odmana sec blokowo-egulanych w któych pewne blok nakywaą sę. Pzykład sec złożone, dwuwymaowe, zapoektowane do oblczana pzepływu w kanale wokół obektu o pzekou cylndycznym. W sec te bzeg są dopasowane. Wypełnone kółka oznaczaą elementy bzegowe w któych watośc są otzymywane popzez ntepolacę

16 Sec nestuktualne Sec pozwalaące wypełnć dowolny obsza pzestzen, np. sec tókątne. Pzykład sec neegulane, dwuwymaowe, zaweaące elementy tókątne czwookątne

17 Metody ozwązywana ównań uchu Typowe ównane zachowana ( ρ) ( ρv ) t = Γ q Metoda skończone óżncy fnte dffeence method Metoda skończone obętośc fnte volume method Metoda elementu skończonego fnte element method (MES)

18 Metoda skończone óżncy Eule XVIII w. zastąpene pochodnych óżncam watośc w węzłach satk ( ) ( ) 0 lm = Backwad dffeence scheme(bds) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Pzyblżena Cental dffeence scheme(cds) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Fowad dffeence scheme(fds) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

19 Metoda skończone óżncy epezentaca wyższych pochodnych (paabolczna) Intepolaca pzez paabolę pzechodzącą pzez punkty (-), (), (): ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) [ ( ) ( ) [ ( ) [ { } ( ) ( ) [ ( ) ( ) = Pochodne zędu dugego, np. CDS pzez punkty (-/), (/): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) [ ( ) ( ) [ ( ) ( ) [ / / x = =

20 Metoda skończone obętośc Dzelmy cały obsza na obętośc kontolne (CV contol volumes) Całkuąc to ównane po obętośc kontolne używaąc twedzena Gaussa otzymuemy ( ) ( ) Γ = ρ ρ s v t ( ) Γ = ρ s v ( ) ( ) Γ = ρ V 3 S S d s d n d n v Różne typy sec stosowane w metodze skończone obętośc: lewa węzły sec są ustawone na śodku CV, pawa ścany CV są ustawone na śodku pomędzy węzłam

21 Metoda skończone obętośc mplementaca D Dla każdego elementu defnue sę węzeł w ego śodku, w któym są okeślone watośc pola. Implementaca metody skończone obętośc wymaga węc wyażena całek obętoścowych powezchnowych pzez watośc pola w tych węzłach Defnca skończone obętośc notaca stosowana dla sec katezańske dwuwymaowe

22 Metoda skończone obętośc mplementaca 3D Defnca skończone obętośc notaca stosowana dla sec katezańske tówymaowe

23 Metoda skończone obętośc - całk Całk powezchnowe F e = S e fd S = f e S e f e S e Watośc śedne z ogów ścany F e = S e fd S = f e S e ( f f ) ne se S e F e = S e fd Reguła Smpsona S = f e S e ( f 4f f ) ne 6 e se S e Całk obętoścowe Q P = Ω qd 3 V = q P Ω q P Ω

24 Metoda elementu skończonego (MES FEM) Pawo zachowana Γ [ 0 q = 0 dv Γ gad( ) q = Słaba (całkowa) postać pawa zachowana V d 3 V w { dv[ Γ q } = 0 w dowolna funkca Używamy twedzena Geena S d S 3 { n [ wγ ( ) } d V w q Γ( w ) V [ = 0

25 Własnośc metody elementu skończonego (MES FEM) Postać mocna ównana est ównanem óżnczkowym, a postać słaba ównanem całkowym W postac mocne wymaga sę aby funkca była dwukotne óżnczkowalna, natomast w postac słabe tylko az W postac słabe występue dowolna funkca współzędnych w(,t) Rozwązane w postac sumy (kombnac) funkc ntepolacynych - na małych częścach zwanych elementam. Elementy mogą meć dowolny kształt. Funkce ntepolacyne pownny odtwazać dowolną watość pola Funkce ntepolacyne pownny odtwazać dowolny gadent pola Pole pownno być cągła funkca współzędnych

26 Funkce ntepolacyne welomany: ntepolaca lnowa x(), x() paa punktów ( ) = ϕ[ x( ) ( ) = ϕ[ x( ) Intepolaca lnowa ( ) = α βx( ) Funkca pola w ntepolac lnowe: x x ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x = ( x) = ( ) u( x) ( ) u ( x) x x x x Funkce ntepolacyne u u ( x) ( x) = = x x x( ) ( ) x( ) x x x( ) ( ) x( ) u u ( x( ) ) = u ( x( ) ) 0 = ( x( ) ) = 0 u ( x( ) ) =

27 Funkce ntepolacyne welomany: ntepolaca paabolczna x(), x(), x(k) tóka punktów ( ) = ϕ[ x( ) ( ) = ϕ[ x( ) ( k) = ϕ[ x( k) Funkca pola w ntepolac paabolczne: Funkce ntepolacyne u u u k ( x) = ( ) u ( x) ( ) u ( x) ( k) u ( x) ( ) [ x x( ) [ x x( k) x = u ( x( ) ) = u ( x( ) ) = 0 u ( x( k) ) = 0 [ x( ) x( ) [ x( ) x( k) ( ) [ x x( ) [ x x( k) x = u ( x( ) ) = 0 u ( x( ) ) = u ( x( k) ) = 0 [ x( ) x( ) [ x( ) x( k) ( ) [ x x( ) [ x x( ) x = u k ( x( ) ) = 0 u k ( x( ) ) = 0 uk( x( k) ) = [ x( k) x( ) [ x( k) x( ) k

28 Funkce ntepolacyne welomany: ntepolaca wyższych zędów x(), x()..., x(k) cąg punktów ( ) = ϕ[ x( ) ( ) = ϕ[ x( ) Funkca pola w ntepolac welomanowe: app ( x) = ( ) u ( x) ( k) = ϕ[ x( k) Funkce ntepolacyne u u u k ( ) [ x x( )... [ x x( k) x = u ( x( ) ) = u ( x( ) ) = 0 u ( x( k) ) = 0 [ x( ) x( )... [ x( ) x( k) ( ) [ x x( )... [ x x( k) x = u ( x( ) ) = 0 u ( x( ) ) = u ( x( k) ) = 0 [ x( ) x( )... [ x( ) x( k) ( ) [ x x( )... [ x x( ) x = u k ( x( ) ) = 0 u k ( x( ) ) = 0 uk( x( k) ) = [ x( k) x( )... [ x( k) x( ) Welomany wysokch zędów wcale ne są lepsze

29 Wybó funkc wagowe w(,t) 3 { n [ wγ ( app )} d [ w q Γ( w app ) 3 d = Rwd S V Metoda Galekna funkca wagowa est ozwązanem ównana w = (, t) = (, t) c u (, t) app Dodatkowy waunek funkca wagowa est otogonalna do eszty R: Rwd 3 = Otzymuemy ównane macezowe na watośc pola w węzłach (): V d [ Γ( u u ) ( ) = d [ u q d { n [ u Γ ( )} V S app

30 Macez sztywnośc: V d 3 Równane macezowe 3 [ Γ( u u ) ( ) = d [ u q d { n [ u Γ ( )} K V K = f V d 3 [ Γ( u u ) Wekto sł - wekto źódeł oaz wekto waunków bzegowych: - Wekto źódeł s f = f - Wekto waunków bzegowych: f f s b S V d d 3 f b [ u q S { n [ u Γ ( )} app app

31 Rozwązane poblemu ozwązane nelnowego ównana macezowego A ( Φ) Φ = B Metody ozwązana np. kolenych podstaweń (SS succesve substtutons) znaduemy dowolny wekto B 0 : Φ ( )B = A Φ0 Φ ( )B Φ = ( )B = A Φ A Φ... Inne globalne metody, np. Newton-Raphson, Quas-Newton Metodą obecne stosowaną dla ozwązywana dużych poblemów est metoda Segegated Solve wydzelene kolene częśc wektoa ego zmana. Metoda wymaga duże lczby teac, ale umożlwa znalezena ozwązana dla duże lczby węzłów.

32 Waunk zbeżnośc: stnene ozwązana A ( Φ) Φ = B W każdym koku teacynym () est spełnone ównane : ( Φ ) Φ = B R A R eszta (esduum) o nome: Kytea zbeżnośc: R = Względne watośc may eszty R R ( ) o ε Względne zmany ozwązana w dwu kolenych kokach ε

33 Rodzae zbeżnośc Asymptotyczną zbeżność poceduy ozwązana ównana klasyfkue sę według eguły: V k wykładnk zbeżnośc: k= zbeżność lnowa, k= paabolczna k Łatwe spełnene kyteum eszty Łatwe spełnene kyteum względne zmany Rozwązane ednoczesne spełnene obydwu kyteów

34 Pzykład : zotemczny wymuszony pzepływ meszacz gazu Równana uchu: stała gęstość ceczy: ρ o v t (, t) dv = [ v(, t) 0 ( v(, t) ) v(, t) = p(, t) µ v(, t) Waunk bzegowe znka pędkość na powezchn cał stałych: v ( s, t) = 0 v = 000 mm/s Mchał Pawłowsk paca magsteska WF PW (Fdap)

35 Izotemczny wymuszony pzepływ: błąd ozwązana Duży pzepływ wysok błąd ozwązana Mały pzepływ nsk błąd ozwązana Mchał Pawłowsk paca magsteska WF PW (Fdap)

36 Wzost tempeatuy lasea nebeskego pzewodnctwo cepła Równana zmany tempeatuy: obsza poza stefa wydzelana cepła T(, t) C p κ T = 0 t Równana zmany tempeatuy: stefa wydzelana cepła C p T t (, t) κ T = ρ Waunk bzegowe: damentowy chp W 500µ T = T o 400µ 0µ 400µ 80µ Waunk bzegowe: eszta T o q = κ T = 0 Złącze p-n Stansław Kukowsk (Fdap)

37 Ewoluca czasowa tempeatuy w laseze CBW PAN Moc ceplna W = W 80 W 500µ µ 0µ 400µ 80µ T 40 0 T o tme (µs) Złącze p-n Stansław Kukowsk (Fdap)

38 Konwekca natualna pzepływ galu w pocese kystalzac GaN Równana uchu v ρo t C (, t) v ( ρ,t) o ρ o [ T(, t) t dv = [ v(, t) 0 ( v(, t) ) v(, t) = p(, t) µ v(, t) ρ β ( T T ) f (, t) ( v(, t) ) T(, t) = dv( κ T(, t) ) ε o T o 5 zmennych: 3 składowe pędkośc, cśnene, tempeatua 5 ównań uchu Równane dodatkowe: ρ = ρ o

39 Konwekca natualna pzepływ galu w pocese kystalzac GaN T z T T3 T4 Waunk bzegowe v s = (, t) 0 T = T (, t) - z pomaów s Paweł Stąk (Fdap)

40 Konwekca natualna pzepływ galu w pocese kystalzac GaN Tempeatua Pędkość Paweł Stąk (Fdap)

41 T T5 T Konwekca w galu (Fdap) T4 T6 T4 N T4 T3 T v max = 0.96 mm/s v max = 3.57 mm/s

42 Konwekca w galu (Fdap) N v max = 0.96 mm/s v max = 3.57 mm/s

43 Teoa spężystośc Równana ównowag: f sła obętoścowa Pawo Hooke a: teno napężeńσ oaz odkształceń u : Tenso odkształceń wekto odkształceń Równana teo lnowe spężystośc 0 f = σ kl kl u = s σ = k l l k kl u u u 0 f u u s k l l k kl =

44 Elastyczne napężena w laseze GaN - Abaqus stuktua -wastwowa stuktua pełn napężona pawo Wegada dla stałych sec Zagadnene spężyste anzotopowe AlGaN bulk n-gan

45 Zakzywena w stuktuy GaN/AlGaN - MES h = µm Podłoże: Gubość H = 60 µm Wymay cm x cm h = 50 µm h = 80 µm Oblczena S. Kukowsk/Abaqus Magnfcaton facto - 00

46 Pomene kzywzny powezchn Radus[mm 4000 H sub =60 mkon ,0 446, ,3 443,9 44,5 44, ad[mm , , , h[mkon Stoney fomula(dla h/h<0,05) Clyne fomula 6fH 6f κ = = κ = = R R H ( h H) 3 E laye = E substate f msft h laye thckness H substate thckness Doba zgodność z wynkam teo Stoney a-clyna dla mateałów zotopowych

47 Podzękowana dla ICM UW Za możlwość kozystana z opogamowana komecynego Fdap (ANSYS Inc.) oaz Abaqus (Dassault Systèmes) Wykozystane komputeów w amach gantu oblczenowego G5-9