Obroty. dθ, cząstka W Y K Ł A D VIII. Prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe.

Transkrypt

1 Wykład z fzyk, Pot Posmykewcz 84 W Y K Ł A D VIII Oboty. Ruch obotowy jest wszędze wokół nas; od atomów do galaktyk. Zema obaca sę wokół własnej os. Koła, pzekładne, slnk, śmgła, CD, łyŝwaka wykonująca puet na lodze obacają sę. Ops uchu obotowego upaszcza sę, jeŝel wpowadzć analogę do uchu postępowego. Na początku zdefnujemy podstawowe welkośc chaakteystyczne dla uchu obotowego, a w dalszej częśc zajmemy sę omówenem waŝnej pawa mechank: zasady zachowana momentu pędu. 9- Pędkość kątowa pzyspeszene kątowe. Wyobaźmy sobe dysk obacający sę wokół os postopadłej do dysku pzechodzącej pzez jego śodek ( Rysunek 9-). Punkty leŝące w poblŝu bzegu obacają sę szybcej nŝ punkty Rysunek 9- znajdujące sę w poblŝu os. Jednak jeŝel punkt na bzegu Rysunek 9- zakeśl cały okąg, to ówneŝ punkt pzy os obóc sę o Tak węc jeŝel dysk obóc sę o okeślony kąt, to wszystke punkty dysku obócą sę o ten sam kąt. Podczas gdy dysk sę obaca, odległość mędzy dowolnym dwoma punktam dysku pozostaje stała. Tak układ nazywamy byłą sztywną. Lna odnesena Weźmy jakś punkt leŝący na dysku (Rysunek 9-). Nech będze odległoścą mędzy śodkem, a -tą cząstką nech θ będze kątem mezonym pzecwne do keunku uchu wskazówek zegaa mędzy ustaloną lną odnesena, a lną popowadzoną od śodka obotu do wybanego matealnego. Podczas gdy dysk obóc sę o kąt punktu dθ, cząstka pzebędze dogę po łuku okęgu o długośc: ds = dθ 9-

2 Wykład z fzyk, Pot Posmykewcz 85 gdze d θ jest mezone w adanach. Odległość ds zmena sę w zaleŝnośc od połoŝena cząstk, jednak kąt d θ, zwany pzemeszczenem kątowym (dogą kątową) jest jednakowy dla wszystkch punktów dysku. Dla pełnego obotu długość s jest ówna π, a doga kątowa θ wynos: π θ = π = ad = = ob. 9- Szybkość zman kąta w czase kątową ω dysku: dθ ω = dθ jest jednakowa dla wszystkch punktów dysku nazywa sę pędkoścą Defncja Pędkość kątowa. Dla uchu w keunku pzecwnym do keunku wskazówek zegaa, θ wzasta, a zatem ω jest dodatne. Dla keunku obotu zgodnego z uchem wskazówek zegaa θ maleje, a ω jest ujemne. Jednostką pędkośc kątowej jest adan na sekundę. PonewaŜ adan jest jednostką bezwymaową, to wymaem pędkośc kątowej jest odwotność czasu (T - ) Pamętaj: ob = π ad = Ćwczene. Dysk CD-ROM-u obaca sę z pędkoścą 3000 obotów na mnutę. Jaka jest jego pędkość podana w adanach na sekundę? ( Odpowedź: 34ad/s ) Szybkość zman pędkośc kątowej nazywa sę pzyspeszenem kątowym α : dω d θ = 9-3 α = Defncja - Pzyspeszene kątowe. Jednostką α jest adan na sekundę do kwadatu (ad/s ). JeŜel ω wzasta, to α jest dodatne, jeŝel ω maleje, to α jest ujemne. v Pędkość lnowa dysku jest styczna do okęgu po któym pousza sę punkt dysku ówna jest t = ds. MoŜemy znaleźć zwązek mędzy tą pędkoścą styczną, a pędkoścą kątową dysku. W tym celu zastosujmy ównana 9-9-:

3 Wykład z fzyk, Pot Posmykewcz 86 ds dθ v t = = ω = 9-4 Podobne pzyspeszene styczne punktu na dysku jest ówne: czyl: dv dω α t = = a t = α 9-5 KaŜdy punkt na dysku ma ówneŝ pzyspeszene adalne (dośodkowe), któe jest skeowane wzdłuŝ pomena do śodka okęgu. Pzyspeszene to moŝemy zapsać w postac: a ( ) vt ω c = = = ω 9-6 Ćwczene Punkt na bzegu dysku kompaktowego jest oddalony o 6cm od os obotu. Znajdź składową styczną pędkośc v t, składową styczną pzyspeszena a t pzyspeszene dośodkowe a c punktu, jeŝel dysk pousza sę ze stałą pędkoścą kątową 300ob/mn. ( Odpowedź: v t = 88cm/s, a t = 0, a c = 5,9 X 0 3 cm/s ). Pzemeszczene kątowe θ, pędkość kątowa ω pzyspeszene kątowe α są odpowednkam kątowym pzemeszczena lnowego x, pędkośc lnowej v pzyspeszena lnowego a w uchu jednowymaowym. JeŜel pzyspeszene kątowe α jest stałe, to całkując ównane 9-3 otzymamy ω : ω = ω 0 + αt 9-7 gdze stałą całkowana jest początkowa pędkość kątowa ω 0. Równane to jest kątowym odpowednkem v v0 + at =. Całkując ponowne otzymamy: θ + = θ0 + ω0t αt 9-8 co jest kątowym odpowednkem wyelmnujemy t, to otzymamy : x + = x0 + v0t at. Podobne jeŝel z ównana ω ( ) = ω + α θ θ

4 Wykład z fzyk, Pot Posmykewcz 87 Odpowada to lnowemu ównanu v = v0 + a( x x0 ). Wdać zatem, Ŝe ównana dla stałego pzyspeszena kątowego mają analogczny kształt jak ównana w pzypadku cała pouszającego sę ze stałym pzyspeszenem lnowym. 9- Moment sły, moment bezwładnośc duga zasada dynamk dla uchu obotowego. JeŜel chcemy wpawć weczko w uch obotowy to kęcmy nm. Na ysunku 9-3 kąŝek jest obacany pzez sły F F pzyłoŝone na bzegu kąŝka. WaŜne są punkty, do któych pzyłoŝone są te sły. JeŜel te same sły pzyłoŝyć w punktach, tak Ŝe lne wzdłuŝ, któych one dzałają pzechodzą pzez śodek dysku, to dysk ne będze sę obacał (Rysunek 9-4). Rysunek 9-5 pzedstawa pojedynczą słę F dzałającą na -ty punkt matealny kąŝka. Odległość od ln dzałana sły do os mezona w keunku postopadłym nazywa sę amenem sły l. Momentem słyτ nazywamy loczyn sły azy amę sły: τ = F l 9-0 Rysunek 9-5 Rysunek 9-4 Rysunek 9-3 Tak jak sła, w uchu postępowym, jest odpowedzalna za efekt pchana, czy cągnęca, tak moment sły odpowada za efekt obacana sę cała. Wpływa on na zmanę pędkośc kątowej cała. Ramę sły na ysunku 9-5 jest ówne l = sn φ, gdze φ jest kątem mędzy F wektoem wodzącym popowadzonym z śodka kąŝka do punktu pzyłoŝena sły. Moment sły będze zatem ówny: τ = F sn φ 9-

5 Wykład z fzyk, Pot Posmykewcz 88 Pzyjmuje sę, Ŝe moment sły jest dodatn jeŝel staa sę obócć kąŝek w keunku pzecwnym do keunku wskazówek zegaa. Na ysunku 9-6 sła F = F cos φ Ft = F sn φ wzdłuŝ F jest ozłoŝona na dwe składowe; pomena (składowa adalna) w keunku postopadłym do pomena. Składowa adalna ne ma wpływu na obacane sę kąŝka. W zwązku z powyŝszym moment sły F moŝe być zapsany w postac: τ = Fl = F sn φ = Ft 9- Rysunek 9-6 PokaŜemy teaz, Ŝe pzyspeszene kątowe były sztywnej jest popocjonalne do wypadkowego momentu sły dzałającego na tę byłę. Nech F jest zewnętzną słą dzałającą na -ty punkt matealny. Pzyspeszene styczne -tej cząstk, zgodne z zasadą Newtona, jest wyznaczone pzez ównane: Ft = m at = m α gdze uŝylśmy 9-3 at = α ( ównane 9-5). MnoŜąc obe stony tego ównana pzez : Ft = m α 9-4 Lewa stona ównana jest ówna momentow sły τ. W ezultace: τ = m α 9-5 Sumując po wszystkch punktach matealnych, z któych składa sę kąŝek otzymamy: τ = m α 9-6 τ jest ówna wypadkowemu momentow sły dzałającemu na pzedmot. Pzyspeszene kątowe były sztywnej jest jednakowe dla wszystkch punktów tego cała w zwązku z tym, moŝe być wycągnęte pzed m nazywa sę momentem bezwładnośc I. W pzypadku były sztywnej znak znak sumy. Welkość sumy jest zastępowany pzez znak całkowana. I = m ( układ cząstek ) 9-7 I = dm ( pzedmot o skończonych ozmaach ) Defncja Moment bezwładnośc. 9-8

6 Wykład z fzyk, Pot Posmykewcz 89 W ównanu 9-7 jest odległoścą -tej cząstk od os obotu, a w ównanu 9-8 jest odległoścą masy dm od os obotu. Po uwzględnenu defncj momentu bezwładnośc, ównane 9-6 pzyjmuje postać: τ = Iα 9-9 Z popzednego wykładu wemy, Ŝe wypadkowa sła dzałająca na układ jest ówna wypadkowej zewnętznej sle dzałającej na układ, ponewaŝ sły wewnętzne znoszą sę wzajemne. MoŜna pokazać, Ŝe w pzypadku momentów sł jest podobne; momenty sł pochodzące od sł dzałających wewnątz układu znoszą sę wzajemne wypadkowym momentem sły dzałającym na układ jest moment zewnętzny. W zwązku z tym ównane 9-9 moŝemy pzepsać w postac: τ = τ,zew = Iα 9-0 II zasada dynamk Newtona dla uchu obotowego PowyŜsza zasada jest odpowednkem II zasady dynamk dla uchu postępowego: F = ma. JeŜel zastosować ównane 9-8, to moŝna łatwo polczyć momenty bezwładnośc dla był sztywnych cechujących sę postą symetą: CYLINDER CYLINDER PEŁNY PRĘT I = MR I = MR + ML I = ML KULA I= MR 5 Twedzene Stenea. MoŜna często upoścć oblczena momentu bezwładnośc óŝnych cał stosując twedzene Stenea. Twedzene to podaje pzeps jak oblczyć moment bezwładnośc względem dowolnej os jeŝel znamy moment bezwładnośc względem os ównoległej pzechodzącej pzez śodek masy danego cała (Rysunek 9-6). Nech

7 Wykład z fzyk, Pot Posmykewcz 90