MODEL DWUMIANOWY II RZĘDU I SKOŚNY ROZKŁAD STUDENTA W ANALIZIE RYZYKA KREDYTOWEGO *

Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe MODEL DWUMIANOWY II RZĘDU I SKOŚNY ROZKŁAD STUDENTA W ANALIZIE RYZYKA KREDYTOWEGO * Jacek Osewalsk e-mal: eeosewa@cyf-kr.edu.pl Kaedra Ekonomer Akadema Ekonomczna PL 3-50 Kraków, ul. Rakowcka 27 Jerzy Marzec e-mal: marzecj@ae.krakow.pl Kaedra Ekonomer Akadema Ekonomczna PL 3-50 Kraków, ul. Rakowcka 27 Praca przedsawona przez auorów na posedzenu Komsj Nauk Ekonomcznych Komsj Saysyczno- Demografcznej Oddzału PAN w Krakowe dnu 23 czerwca 2004 r. ABSTRACT J. Osewalsk, J. Marzec., Bnomal model of order 2 and he skewed Suden dsrbuon n he analyss of loan rsk, Fola Oeconomca Cracovensa. In hs paper bnomal choce models of order and 2 are dsngushed. They are all based on F(x β), where F(.) s some cumulave dsrbuon funcon. In usual order models, x consss of orgnal explanaory varables w j, whle order 2 models also use squares and producs of w j, hus makng x β a second order polynomal n w j. We use he cumulave dsrbuon funcon of he wo-parameer famly of skewed Suden dsrbuons as he funconal form of F. Ths allows us o es specal cases, whch are based on a symmerc dsrbuon or on a normal dsrbuon (he prob model). In he (skewed) Suden case (wh unknown degrees of freedom), he lkelhood funcon does no negrae o a consan and he ML esmaor has unknown properes. Also, n order 2 models mulcollneary can be a severe problem. Hence we advocae he Bayesan approach wh proper prors for he parameers and propose he Meropols-Hasngs MCMC algorhm o draw from he poseror. Our example uses he proposed Bayesan model and he daa on consumer loans (from 39040 bank accouns) n order o assess rsk of an ndvdual loan. Emprcal resuls show ha our order 2 model cannno be reduced o s order submodel. Also, he CDF of a skewed dsrbuon wh very low degrees of freedom and srong lef skewness s mos adequae from he sascal vewpon. KEY WORDS - SŁOWA KLUCZOWE dscree choce model, Bayesan nference, skewed dsrbuon, scorng model, loan rsk model dyskrenego wyboru, wnoskowane bayesowske, skośny rozkład, model scorngowy, ryzyko kredyowe * Praca przygoowana w ramach badań sauowych Akadem Ekonomcznej w Krakowe w roku 2004.

Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe. WPROWADZENIE Model dwumanowy (dychoomczny) jes podsawowym modelem wyjaśnającym jakoścową zmenną endogenczną. Przedsawa on zależność mędzy prawdopodobeńswem wyboru jednej z dwóch możlwośc (oznaczanych umowne jako 0 ) a egzogencznym zmennym objaśnającym, kóre opsują cechy możlwych alernayw lub ndywdualne charakerysyk podmoów podejmujących decyzję. Posać ego modelu jes nasępująca: ( y = ) = G( x β ) = F( x β ) p Pr dla =,,T, () gdze β jes wekorem k neznanych paramerów (β R k ), x = (x x k ) oznacza wekor usalonych warośc k zmennych egzogencznych lub ch znanych funkcj, zaś G( ) F( ) są funkcjam wążącym p, czyl prawdopodobeńswo zaobserwowana sukcesu, z x β. Modelem dwumanowym I rzędu nazywamy aką specyfkację (), w kórej x zawera ylko orygnalne zmenne egzogenczne jedynkę (odpowadającą wyrazow wolnemu), a x β jes lnową funkcją ych welkośc (przy usalonym β). Model I rzędu jes najczęsszym, powszechne rozważanym sosowanym przypadkem modelu dychoomcznego. Naomas modelem dwumanowym II rzędu nazywamy ak, w kórym x β jes welomanem drugego sopna względem zmennych egzogencznych, czyl x zawera eż kwadray loczyny warośc orygnalnych zmennych. Oczywśce, w obu przypadkach (modele I II rzędu) x β jes lnową funkcją paramerów (przy usalonym x ), różny jes naomas wymar wekora β. Funkcja F( ) we wzorze () ma własnośc dysrybuany rozkładu prawdopodobeńswa określa klasę modelu. Równoważną specyfkację orzymujemy przez wprowadzene modelu regresj lnowej (ze względu na β) dla ukryej (ne obserwowalnej) zmennej cągłej z, kórej znak deermnuje zaobserwowaną warość y (0 lub ): z = x y = I β + ε,, ) ( z ) = 0, [0, gdy gdy z 0, (2) z < 0, czyl I A (.) jes funkcją charakerysyczną zboru A. O składnkach losowych ε zakłada sę, że są nezależne mają en sam rozkład o zerowym paramerze położena jednoskowej skal (zwykle warośc oczekwanej warancj, jeśl sneją). Dla rozkładu symerycznego zaps () sprowadza sę do p Pr ( y = ) = F( x β ). Szczegóły doyczące nebayesowskej esymacj model jakoścowej zmennej zależnej oraz wele ch zasosowań emprycznych z zakresu ekonom prezenują m.n. Amemya (98, 985), Maddala (983) Greene (993). Najbardzej znanym powszechne sosowanym specyfkacjam są modele probowy logowy, kóre odpowadają przyjęcu dla ε rozkładu normalnego lub logsycznego. Do ch 2

Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe esymacj wykorzysywana jes zwykle meoda najwększej warygodnośc (MNW), mająca pożądane własnośc sochasyczne. Nauralne uogólnene modelu probowego polega na przyjęcu dla ε rozkładu Sudena o neznanej lczbe sopn swobody ν >0, co dopuszcza brak warancj ( ν 2 ) a nawe warośc oczekwanej zmennej ε ( ν ). Z ych powodów rozważamy rozkłady o zerowej modalnej jednoskowej precyzj. Klasa rozkładów Sudena zawera rozkład normalny jako przypadek granczny ( ν = + ), zaś jak podają Alber Chb (993) rozkład logsyczny może być przyblżany przez rozkład Sudena o ok. 7 9 sopnach swobody. Uogólnene o pozwala zaem esować (choćby w przyblżenu) empryczną adekwaność dwóch podsawowych model dwumanowych. Jednak zasosowane MNW w ym przypadku jes newskazane, poneważ ne są znane własnośc esymaora MNW dla model z neznanym paramerem ν. Alber Chb (993) zaproponowal specyfkację esymację bayesowskego modelu dychoomcznego z rozkładem Sudena. W celu numerycznej aproksymacj brzegowych rozkładów a poseror neresujących welkośc wykorzysal algorym Gbbsa, meodę Mone Carlo ypu łańcuchów Markowa (ang. Markov Chan Mone Carlo, MCMC). Marzec (2003c) wykorzysał o podejśce w modelu II rzędu w celu zbadana ryzyka pojedynczych umów kredyowych klenów dealcznych banku komercyjnego. Wynk empryczne wskazywały na koneczność zasosowana modelu II rzędu oparego na rozkładze Sudena, gdyż redukcja do modelu I rzędu okazała sę bezzasadna, a rozkład a poseror parameru ν skupony był w przedzale (, 2) śwadcząc o neadekwanośc specyfkacj probowej czy logowej. Wszyske rzy rozważane rozkłady prawdopodobeńswa (normalny, logsyczny, Sudena) charakeryzują sę symerą, różnąc sę gruboścą ogonów (szybkoścą zbeżnośc dysrybuany do warośc grancznych 0 ). Proponujemy węc dalsze uogólnene modelu probowego, kóre polega na przyjęcu dla ε klasy skośnych rozkładów Sudena; zob. eż Osewalsk Marzec (2004). Klasa a jes charakeryzowana przez dwa paramery: sopne swobody ν współczynnk asymer γ. Esymacja paramerów β, ν, γ ch funkcj możlwa jes na grunce bayesowskm przy wykorzysanu meod MCMC. Asymeryczne rozkłady welowymarowe (w ym ypu Sudena) rozważal Fernández, Osewalsk Seel (995), naomas szczegółową defncję formalne własnośc skośnego rozkładu w przypadku jednowymarowym podal Fernández Seel (998), kórzy rozkład en zasosowal dla składnka losowego modelu regresj lnowej. Z kole Osewalsk Ppeń (999, 2000) wykorzysal go jako rozkład warunkowy w modelach GARCH dla fnansowych szeregów czasowych, wskazując na jego użyeczność w ekonomer fnansowej. W ej pracy omówmy genezę własnośc model rzędu II (część 2) oraz bayesowsk model dychoomczny wykorzysujący dysrybuanę skośnego rozkładu (część 3). Głównym celem pracy jes empryczna weryfkacja użyecznośc obu uogólneń w badanu spłacalnośc kredyu; 3

Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe zagadnenu emu pośwęcono część 4. W częśc 5 przedsawamy podsawy wynk formalnego bayesowskego porównana konkurencyjnych model dychoomcznych spłacana kredyu. 2. MODELE DWUMIANOWE I I II RZĘDU Głównym charakerysykam wyznaczanym na podsawe modelu dwumanowego są efeky krańcowe. Jeżel orygnalne zmenne objaśnające w j (j=,...m) mogą przyjmować dowolne warośc rzeczywse ne są powązane zależnoścam funkcyjnym, o h-y efek krańcowy (j. zmana prawdopodobeńswa p na skuek wzrosu w h o małą jednoskę) jes równy pochodnej cząskowej p w h. Dla model I rzędu, j. gdy k=m+ x j =w j (j=,...,m), efek krańcowy ma posać p w = β f ( x β ), gdze f jes gęsoścą odpowadającą dysrybuance F, defnującej h h konkreny model dychoomczny. W ym przypadku lorazy efeków krańcowych są nezależne od zmennych objaśnających (sałe) równe β h β, co jes bardzo mocnym założenem. Aby uzmennć względne efeky krańcowe, Marzec (2003c) wykorzysał weloman sopna 2 względem zmennych w j, czyl przyjął x β = β + w β + w w β. j j j j j Poneważ efeky krańcowe wynoszą j j h p w = f ( x β ) ( x β ) w h, węc w modelu II rzędu ch lorazy są lorazam lnowych funkcj zmennych w j. Oczywśce, aka posać efeku krańcowego może wydać sę szczególna, powsaje węc pyane o uzasadnene model II rzędu o możlwość ch uogólnana. Rozważmy model dwumanowy posac p ( y = ) = G( a( w,..., w )) = F( a( w,..., w )) Pr m m, odpowadający zależnośc z = a(w,...,w m ) + ε dla zmennej ukryej z. Jeśl a jes funkcją różnczkowalną, o efeky krańcowe mają posać p w = f ( a( w,..., w )) a w. Nech a h m h będze funkcją posadającą rozwnęce w szereg Taylora w ooczenu usalonego punku z dzedzny. Wówczas model I rzędu można nerpreować jako sosujący zamas funkcj a jej lokalną aproksymacją rzędu I, czyl funkcję lnową, zaś model rzędu II jako opary na lokalnym przyblżenu za pomocą welomanu sopna II. Uwzględnając kolejne wyrazy rozwnęca funkcj a w szereg Taylora, można defnować modele dwumanowe wyższych rzędów; wszyske one mają ogólną posać (), lnową względem paramerów, różnąc sę wymarem k wekorów x β. Poneważ k w modelu rzędu s jes welomanem sopna s względem lczby m orygnalnych zmennych w j, węc modele rzędu III wyższych posadają zby wele swobodnych paramerów, by sosować je w prakyce. Specyfkacje rzędu II są kompromsem mędzy jakoścą aproksymacj 4

Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe funkcj a efeków krańcowych oraz oszczędnoścą parameryzacj. Już w modelu rzędu II problemem może być przyblżona współlnowość składowych wekora x, powodująca słabą denyfkowalność (nską precyzję szacunku) paramerów β ι problemy numeryczne przy ch esymacj. Powyższe rozumowane zakłada konkreną posać dysrybuany F (jak w modelu probowym czy logowym). Jednak w nasępnej częśc pracy proponujemy sosowane dwuparamerowej rodzny dysrybuan skośnych rozkładów Sudena. Znaczne zwększa o gękość modelu za cenę esymacj ylko dwóch nowych paramerów; ma wpływ na posać efeków krańcowych, ale ne ch lorazów, zaem ne zasąp rozszerzena model rzędu I do model rzędu II. Oba proponowane uogólnena wydają sę węc komplemenarne. Doychczasowe rozważana zakładały, że zmenne egzogenczne w j mogą przyjmować dowolne warośc rzeczywse. Uzasadnene modelu II rzędu (poprzez odwołane sę do lokalnej aproksymacj neznanej funkcj a) nawązuje wedy do koncepcj gękch form funkcyjnych Dewera (97), znanej z emprycznej mkroekonom; zob. eż Wróbel-Roer (200). Częso buduje sę jednak modele wyboru z dyskrenym zmennym objaśnającym. Równeż wówczas jes sens rozważać uogólnene specyfkacj podsawowej (I rzędu) do modelu II rzędu, choć ne można odwołać sę do wyżej podanej argumenacj. Welkośc odpowadające różnczkowym efekom krańcowym szacowane dla dyskrenych zmennych objaśnających racą nerpreację. Dla zerojedynkowej zmennej w j nerpreowalnym odpowednkem efeku krańcowego jes ( y = w = ) Pr( y = w 0) η j = Pr, j, j =. 3. BAYESOWSKI MODEL DWUMIANOWY Z DYSTRYBUANTĄ SKOŚNEGO ROZKŁADU STUDENTA Przyjmjmy, że składnk ε we wzorze (2) ma skośny rozkład Sudena o zerowej modalnej, jednoskowej precyzj, ν sopnach swobody (ν >0) paramerze asymer γ > 0; funkcja gęsośc ego rozkładu ma posać: 2 p ( θ )= f ( ε ν γ ) { f ( γε ) I ( )( ε ) + f ( ε γ ) I [ )( ε )} ε sks, = ν,0 ν 0, +, (3) γ + γ gdze θ = (β ν γ ), zaś f ν ( ) jes funkcją gęsośc symerycznego rozkładu Sudena o modalnej 0, precyzj ν sopnach swobody; zob. Fernández Seel (998). Ze specyfkacj (2) wynka, że prawdopodobeńswo zaobserwowana y = wynos Pr ( y = θ ) = Pr( z 0θ ) = Pr( ε x β θ ) = Pr( ε < x β θ ) = F ( x β ν, γ ) sks, (4) 5

Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe gdze dysrybuana skośnego rozkładu Sudena o modalnej 0, precyzj, ν sopnach swobody paramerze asymer γ (oblczona w punkce a) wyraża sę formułą F sks 2 γ γ ( aν, γ ) γ F ( aγ ) I ( ) ( a) + + γf ( aγ ) I [ )( a) = + γ + γ ν,0 ν 0,, (5) 2 przy czym F ν ( ) jes dysrybuaną symerycznego rozkładu Sudena o modalnej 0, precyzj ν sopnach swobody. Ławo sprawdzć, że funkcja we wzorze (3) jes pochodną funkcj (5). Sopeń asymer rozkładu zmennej ε określony jes przez loraz prawdopodobeńsw na prawo na lewo od modalnej, równy kwadraow parameru γ ( nezależny od ν): Pr Pr ( ε 0 ν, γ ) ( ε < 0 ν, γ ) 2 = γ. (6) Innym słowy, γ parameryzuje warość dysrybuany w zerze: F sks (0 ν,γ)=/(γ 2 +). Jeżel paramer asymer γ równy jes jednośc, o rozkład jes symeryczny F sks (0 ν, )=/2. Wzór (4) określa rozkład pojedynczej obserwacj (przy usalonych paramerach) jako rozkład dwupunkowy o funkcj prawdopodobeńswa: ( y θ ) F ( x β ν, γ ) I { } ( y ) + [ F ( x β ν γ )] I { } ( y ) p sks 0 sks, =. W przypadku T nezależnych obserwacj ch łączne prawdopodobeńswo można zapsać jako: p = T sks sks = : y = 0 : y = T ( yθ ) p( y, K, y θ ) = p( y θ ) = F ( x β ν, γ ) ( F ( x β ν, γ ). Przy usalonych obserwacjach, powyższa formuła określa funkcję warygodnośc dla modelu dychoomcznego rozważanego w ej pracy. Funkcja a, rakowana jako funkcja argumenu ν (przy pozosałych usalonych) bardzo szybko zmerza do dodanej sałej równej warośc warygodnośc przy (skośnym) rozkładze normalnym ( ν = + ). Ta sałość warygodnośc dla dużych ν może być poważną przeszkodą w klasycznej esymacj paramerów modelu. Oczywśce, ę samą własność ma już funkcja warygodnośc w modelach z symerycznym rozkładem Sudena. Auorzy ne znają żadnej pracy określającej własnośc esymaora MNW w akch przypadkach. Własne badana symulacyjne ukazują jego sysemayczne obcążene. Podsawowym elemenem analzy bayesowskej jes saysyczny model bayesowsk, czyl łączny rozkład obserwacj paramerów, określony przez dyskreny warunkowy rozkład wekora obserwacj y, p ( yθ ), cągły brzegowy rozkład wekora paramerów (zw. rozkład a pror), p(θ). W ej pracy zakładamy sochasyczną nezależność wekora β oraz paramerów ν γ, przyjmując dla β k wymarowy normalny rozkład a pror o waroścach oczekwanych 0 dagonalnej macerzy kowarancj. Dla ν przyjmujemy wykładnczy rozkład a pror o warośc oczekwanej r (r = 0), zaś dla γ sandardowy rozkład logarymczno-normalny. 6

Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe Z uwag na o, że zbory dopuszczalnych warośc paramerów ν γ są równe R +, waro dokonać reparameryzacj θ k+ = ln(ν /r), θ k+2 = ln(γ) redefnować wekor wszyskch paramerów jako θ = [β θ k+ θ k+2 ]. Wówczas przesrzeń paramerów jes całym zborem R k+2, co bardzo upraszcza sronę numeryczną analzy bayesowskej. Dla ak określonego θ mamy nasępującą srukurę a pror: p gdze ( ) p( β ) p( θ ) p( θ ) p θ, = k + k +2 k 2 ( β ) f ( β 0, s I ), p( θ ) = exp( θ ) exp exp( θ ) ( ), p( θ ) f ( θ 0, ) = N 0 k+ k+ k+ k+ 2 = N k+ 2 2 s 0 jes warancją a pror dla składowych wekora β (u nas:, (7) 2 s 0 =00). Waro zauważyć, że wykładnczy rozkład a pror dla ν (o warośc oczekwanej r) prowadz do rozkładu warośc eksremalnych (Gumbela) dla θ k+ =ln(ν/r), zaś nformacja o paramerze skośnośc jes reprezenowana przez sandaryzowany rozkład normalny dla ln(γ ). Określona powyżej srukura a pror reprezenuje nkłą wsępną wedzę obserwaora o paramerach. Prowadz ona do pełnego, dyskreno-cągłego modelu bayesowskego określonego przez uogólnoną gęsość posac p ( y, θ ) = p( yθ ) p( θ ) = p( θ ) FskS ( x β ν, γ ) ( FskS ( x β ν, γ )) : y = 0 : y =, (8) gdze ν = r exp(θ k+ ), γ = exp(θ k+2 ). Wnoskowane bayesowske wykorzysuje dekompozycję ego rozkładu łącznego na rozkład a poseror, j. warunkowy rozkład cągły o gęsośc: p( yθ ) p( θ ) p( θ y) = p( θ ) FskS ( x β ν, γ ) ( FskS ( x β ν, γ )), p( y) : y = 0 : y = oraz brzegowy rozkład obserwacj (dyskreny) o funkcj prawdopodobeńswa posac: Θ p( y) = p( yθ ) p( θ ) dθ. Aby dekompozycja a była możlwa (j. by snał rozkład a poseror), powyższa całka mus być skończona. Z ego powodu przyjęo właścwy rozkład a pror (marę probablsyczną na przesrzen paramerów). Jes o oczywse w przypadku sopn swobody. Zbeżność funkcj warygodnośc przy ν + do dodanej sałej oznacza bowem, że całka ej funkcj (po całej przesrzen paramerów) jes neskończona, węc newłaścwy jednosajny rozkład a pror dla ν (j. mara σ skończona, ale ne probablsyczna) prowadzłby do braku rozkładu a poseror. Ne przedsawono jednak ngdze dowodu, że właścwy rozkład a pror parameru ν jes wysarczający dla snena rozkładu a poseror przy newłaścwym rozkładze a pror wekora β (jednosajnym na całej przesrzen R k ), sosowanym we wszyskch pracach ze swobodnym paramerem ν ; zob. Alber Chb (993), Marzec (2003b,c), Osewalsk Marzec (2004). Wsępne symulacje sugerują możlwość braku rozkładu a poseror, gdy zakłada sę newłaścwy rozkład a 7

Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe pror dla β właścwy rozkład a pror dla ν. Ponado, w przypadku model II rzędu, duża lczba zmennych objaśnających slne powązanych mędzy sobą prowadz do współlnowośc, powodującej sone problemy numeryczne. Właścwy, normalny rozkład a pror dla β przyczynł sę do uzyskana w ej pracy wynków sablnych numeryczne poprawnych z punku wdzena eor wnoskowana bayesowskego (nezależne od przyszłych rozsrzygnęć w zakrese snena rozkładu a poseror przy newłaścwym rozkładze a pror dla β). Rozkład a poseror paramerów modelu dwumanowego o gęsośc proporcjonalnej do (8) jes skomplkowanym, nesandardowym rozkładem welowymarowym. Ponado przedmoem wnoskowana są ne ylko orygnalne paramery, ale przede wszyskm ch skomplkowane funkcje nelnowe ake jak: prawdopodobeńswo Pr( y = θ ) = F ( x β ) p sks podjęca określonej decyzj przez * * * ne obserwowaną jednoskę o usalonych charakerysykach, efeky krańcowe, omówone w poprzednej częśc pracy. Uzyskane brzegowej funkcj gęsośc a poseror dla welkośc będącej przedmoem analzy jes złożonym problemem całkowana w przesrzen (k+2) wymarowej. Proponujemy w ym celu zasosowane meod Mone Carlo ypu łańcuchów Markowa (MCMC), a w szczególnośc losowana Meropolsa Hasngsa. Meody MCMC polegają na ym, że cąg kolejnych losowań w przesrzen paramerów ( ) ( n) ( θ,..., θ,...) worzy łańcuch Markowa (o neprzelczalnej lczbe sanów) z rozkładem sacjonarnym równym rozkładow a poseror p(θ y). W efekce, po osągnęcu zbeżnośc łańcucha do rozkładu sacjonarnego, generujemy realzacje (orzymujemy próbę) z rozkładu a poseror; zob. np. O Hagan (994), Gamerman (997). Algorym Meropolsa Hasngsa buduje łańcuch Markowa poprzez zadane θ (0) * ( m ) arbralnego punku sarowego oraz gęsośc q( θ ; θ ) rozkładu losowań kandydackch θ * (m=,2,...); dla danego θ (m-) przyjmujemy θ (m) = θ z prawdopodobeńswem P(θ,θ (m-) ), θ (m) = θ (m-) z prawdopodobeńswem P(θ,θ (m-) ), przy czym prawdopodobeńswo akcepacj wylosowanego wsępne θ * dane jes wzorem * ( m ) * ( h ( ) ( ; ) * ( ) y θ q θ θ m P θ, θ ) = mn, ( m ) * ( m, h ( ) ( ; ) y θ q θ θ ) gdze h y (θ ) o jądro gęsośc a poseror p(θ y), u nas prawa srona wzoru (8). Dogodny * ( m ) * ( m ) mechanzm losowań wsępnych o q( θ ; θ ) = f ( θ 3, θ,3c ), welowymarowy rozkład Sudena o 3 sopnach swobody, modalnej równej poprzednemu sanow łańcucha oraz macerzy precyzj akej, że C jes macerzą kowarancj (równą wsępnej ocene macerzy kowarancj S 8

Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe * ( m ) rozkładu a poseror). W ym przypadku gęsość rozkładu losowań wsępnych q( θ ; θ ) jes symeryczna względem argumenów, węc prawdopodobeńswo akcepacj zależy ylko od lorazu gęsośc a poseror: * ( h ( ) * ( ) y θ m P θ, θ ) = mn, ( m. h ( ) y θ ) W prakyce począkowe S sanów łańcucha Markowa służy uzyskanu zbeżnośc (cykle spalone), a nasępne M sanów generowanu próby z rozkładu sacjonarnego aproksymacj jego charakerysyk zgodne z ogólnym wzorem: E S M ( q) [ g( ) y] g( θ ) + q= S + θ. M Wynk badań emprycznych prezenowanych w nasępnej częśc uzyskano na podsawe S=0 5 cykl spalonych M=0 6 realzacj worzących próbę z rozkładu a poseror. Klka krószych przebegów wsępnych pozwolło wcześnej wykalbrować macerz C oraz ocenć zbeżność algorymu Meropolsa Hasngsa w przypadku naszych model danych. 4. MODELOWANIE PRAWDOPODOBIEŃSTWA NIE SPŁACANIA KREDYTU Zaprezenowany w poprzednch częścach pracy bayesowsk model dwumanowy rzędu II ze skośnym rozkładem Sudena sosujemy do badana spłacalnośc kredyów dealcznych w oparcu o dane, kóre wykorzysal wcześnej Marzec (2003a,b,c) oraz Osewalsk Marzec (2004). Zmenna objaśnana y przyjmuje dwe warośc, zn. y =, gdy kredyoborca na dzeń 30.09.200 mał zaległośc w spłace ra kapałowo-odsekowych (opóźnene w spłace osanej ray wynosło węcej nż mesąc), naomas y =0 w przecwnym przypadku. Badana lczba (T) ndywdualnych rachunków kredyowych wynos 39040. Jako poencjalne zmenne wyjaśnające ryzyko pojedynczej umowy kredyowej wprowadzlśmy: płeć (zmenna jes równa, jeżel klenem jes mężczyzna, 0 w przypadku kobey), wek kredyoborcy (w sekach la), wpływy, zn. welkość kwaralnych wpływów w laach 2000-200 (w sekach ys. zł) na rachunk ypu ROR kredyoborcy w badanym banku, posadane ROR w analzowanym banku ( posada, 0 ne posada), nformację o ym, czy kredyoborca posada kary płancze lub kredyowe wydane przez en bank ( posada choć jedną karę płanczą, 0 ne posada), sposób udzelena kredyu ( przez pośrednka, 0 bezpośredno przez bank), 9

Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe yp kredyu ( kredy konsumpcyjny, 0 kredy hpoeczny), okres na jak zosał udzelony kredy (w dzesąkach la), kwoa przyznanego kredyu (w sekach ysęcy złoych), walua kredyu ( DEM, EUR lub USD; 0 PLN), podsawowe źródło dochodu uzyskwanego przez kredyoborcę (zmenne zrdoch), j. umowa o pracę, albo rena lub emeryura, albo własna dzałalność, umowa o dzeło lub umowa zlecene, albo nne źródło (np. sypendum). Osana zmenna może przyjmować czery różne warośc. Aby uwzględnć ją obok wyrazu wolnego, wprowadzlśmy rzy zmenne zero-jedynkowe, przyjmując za punk odnesena umowę o pracę (zrdoch = zrdoch2 = zrdoch3 = 0); w pozosałych przypadkach: zrdoch =, gdy źródłem dochodu kredyoborcy jes rena lub emeryura, zrdoch2 =, gdy źródłem dochodu kredyoborcy jes własna dzałalność, umowa o dzeło lub umowa zlecene, zrdoch3 = w przypadku nnego źródła dochodu, np. sypendum. Osaeczne mamy m=3 zmennych objaśnających, w ym 9 zero-jedynkowych. Marzec (2003c) badał uwarunkowana ne spłacana kredyu wykorzysując model II rzędu, ale rozważał ylko specyfkację ze zwykłym (symerycznym) rozkładem. Osewalsk Marzec (2004) zaproponowal zasosowane dysrybuany skośnego rozkładu wykazal jej empryczną przydaność, ale ylko w modelu I rzędu. W obu ych pracach ne uwzględnano kwoy waluy przyznanego kredyu, przyjmując m = zmennych. Model sosowany w ej pracy jes ogólnejszy zarówno od srony eoreycznej, jak emprycznej (poprzez włączene dwóch ważnych charakerysyk kredyu). Zauważmy, że przy m = 3 zmennych w j wymar k wekorów x β wynos k=+m=4 dla modelu I rzędu, a maksymalny wymar w przypadku modelu II rzędu ne przekracza +m+m(m+)/2=05. Poneważ dla zmennych zero-jedynkowych zachodz (w j ) 2 = w j, en wymar wynos w naszych badanach co najwyżej 96. Elmnując loczyny w j w h równe 0 (dla wszyskch ) uzyskano k = 89. Jednak model o 89 paramerach charakeryzowała przyblżona współlnowość składowych wekora x, zwłaszcza nekórych loczynów zmennych zero-jedynkowych. Indeks uwarunkowana macerzy X warośc zmennych x (=,...,T; =,...,k) wynósł 663 dla modelu II rzędu z k = 89, ale ylko 25 dla modelu I rzędu (k=4). Elmnacja dzesęcu slne powązanych loczynów w j w h obnżyła warość ndeksu z 663 dla k = 89 do 54 dla k = 79, co wysarczyło by w Indeks uwarunkowana macerzy X podają wykorzysują do pomaru współlnowośc Belsley, Kuh Welsh (980). Indeks en można polczyć jako perwasek kwadraowy lorazu najwększej najmnejszej warośc własnej macerzy nescenrowanych współczynnków korelacj R N =W - X X W -, gdze W jes macerzą dagonalną zawerającą na przekąnej długośc kolumn macerzy X. 0

Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe sposób sablny numeryczne przeprowadzć esymację bayesowską z wykorzysanem algorymu Meropolsa Hasngsa. Przyjęą lsę zmennych modelu II rzędu podano w Tabel, zawerającej charakerysyk a poseror paramerów. Tabela Warośc oczekwane odchylena sandardowe a poseror welu paramerów sojących przy kwadraach loczynach zmennych w j wyraźne śwadczą o bezzasadnośc redukcj modelu II rzędu do modelu I rzędu. Zerowe warośc ych paramerów znajdują sę o klka odchyleń sandardowych od warośc oczekwanych a poseror, węc są neprawdopodobne a poseror. Daleko od zera skupają sę eż brzegowe rozkłady a poseror paramerów przy zmennych: w 9 (kwoa kredyu), (w 9 ) 2 klku loczynach zawerających ę zmenną lub w 0 (walua kredyu), np. w w 0, w 4 w 9, w 7 w 9, w 8 w 9, w 9 w 0. Włączene zmennych w 9 w 0 jes węc ważne w modelowanu prawdopodobeńswa neermnowego spłacana kredyu. Brzegowy rozkład a poseror parameru sopn swobody jes skupony w przedzale [0,40; 0,80], przy czym E(ν y) = 0,582 D(ν y) = 0,062, węc zwykle przyjmowana specyfkacja probowa pownna być odrzucona przy modelowanu rozważanego zboru obserwacj. Jeśl zaś chodz o zasosowane dysrybuany z klasy skośnych rozkładów (zamas podklasy symerycznych rozkładów Sudena), o ake uogólnene wydaje sę empryczne zasadne, gdyż warość oczekwana a poseror E(γ y) = 0,3 jes o około 30 odchyleń sandardowych D(γ y) mnejsza od. Waro zaznaczyć, że przy k = 4 uzyskujemy E(γ y) = 0,344 D(γ y) = 0,08 oraz E(ν y) = 0,593 D(ν y) = 0,049, czyl wynk podobne jak w modelu rzędu II. Przy ogranczenu sę do modelu I rzędu dane wymagają dysrybuany F(.) o ych samych własnoścach, co w modelu I rzędu, czyl bardzo różnych od własnośc dysrybuany rozkładu N(0; ). Warośc paramerów β ne są bezpośredno nerpreowalne, zaś nformacje o sle kerunku wpływu zmennych egzogencznych w j na p (prawdopodobeńswo nespłacana) uzyskujemy na podsawe efeków krańcowych, kórych charakerysyk a poseror podano w Tabel 2. Przedsawono w nej ne ylko wynk uzyskane w modelu II rzędu, ale akże w celu porównana wynk dla model I rzędu, wykorzysujących skośny rozkład Sudena rozkład normalny (radycyjny model probowy); uzyskano je sosując algorym Meropolsa Hasngsa. Rezulay bayesowske dla modelu probowego I rzędu są prawe denyczne z wynkam uzyskanym za pomocą MNW, poneważ (zgodne z eorą) w modelu probowym oceny MNW w przypadku dużej lczby obserwacj można nerpreować jako warośc oczekwane rozkładu a poseror (przy dość dowolnym cągłym rozkładze a pror). Efeky krańcowe różną sę mędzy modelam, ne

Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe zawsze zachowując en sam rząd welkośc czy nawe znak. Inerpreujemy ylko wynk uzyskane dla modelu najogólnejszego. Tabela 2 Spośród rozważanych jakoścowych zmennych egzogencznych najwększy wpływ na prawdopodobeńswo neermnowego spłacana kredyu ma sposób jego udzelena; jeśl udzelono go przez pośrednka, zamas bezpośredno przez bank, o wzros p jes najbardzej znaczący, średno o 0,267 (±0,04). Różnca mędzy prawdopodobeńswem neermnowego spłacana kredyu konsumpcyjnego hpoecznego wynos średno aż 0,89 (±0,003). Posadane ROR eż zwększa p (co jes wynkem zaskakującym), ale znaczne słabej bo o 0,035 (±0,03). Posadane kar płanczych lub kredyowych, jako przejaw akywnego korzysane z usług badanego banku, zmnejsza ryzyko złego kredyu średno o 0,03 (±0,073), węc szacunek ne jes precyzyjny. Wraz ze wzrosem o rok okresu na jak zosał udzelony kredy, p maleje aż o 0,225 (±0,037). Obcej waluce kredyu odpowada mnejsza warość p o 0,5 (±0,072), zaem różnca a ne wydaje sę sona. Wzros wpływów kwaralnych kredyoborcy o ys. zł zmnejsza warość p średno o 0,005 (±0,0002). Rola zmennej wek klena jes nesona, wpływ kwoy kredyu na p jes sony, lecz mały, zaś płeć klena jes zupełne bez znaczena. Spośród źródeł dochodu najwększe ryzyko kredyowe zwązane jes z kredyoborcą prowadzącym własną dzałalność gospodarczą. Kredyoborcam o nższym ryzyku są osoby zarudnone na podsawe umowy o pracę, osoby poberające emeryurę lub renę, a akże sudenc spłacający kredyy sudencke, przy czym udzał loścowy waroścowy ej grupy kredyów jes znkomy. Waro jednak zaznaczyć, że rozważamy efeky krańcowe uśrednone po obserwacjach, a zaem powyższe nerpreacje mają charaker poglądowy. Bardzej użyeczne mogą być efeky krańcowe dla konkrenego kredyoborcy (j. dla usalonego wekora x ). Ich przykłady podajemy w Tabel 4 na końcu ej częśc pracy. Głównym sposobem wykorzysana model jes prognozowane prawdopodobeńswa neermnowej spłay ra kapałowo-odsekowych bądź całkowego zanechana ch spła. W ym celu rozważamy czery hpoeyczne sylwek kredyoborców, kórych charakerysykę zawera Tabela 3. Dwaj ypow kredyoborcy określen są poprzez najczęssze w zborze danych warośc zero-jedynkowych zmennych objaśnających (z wyjąkem w 6 ) średne warośc zmennych cągłych. Różną sę on sposobem uzyskana kredyu: przez pośrednka (w 6 =) lub bezpośredno w banku (w 6 =0). Pozosałe dwe sylwek prezenują klenów o średnej kwoce średnm okrese kredyu, ale nnych cechach bardzo skonrasowanych ak, by mogły opsywać młodego 2

Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe mężczyznę prowadzącego własną dzałalność gospodarczą (ne zwązanego z bankem uzyskującego kredy przez pośrednka) oraz emerykę korzysająca akże z nnych usług banku. Zauważmy, że rozkłady a poseror uzyskane dla p w rzech modelach znaczne różną sę od sebe. Zachowany zosaje jedyne rankng kredyoborców: wysoke zagrożene spłacana kredyu pojawa sę w przypadku młodego przedsęborcy, nższe jes dla ypowego kredyoborcy pozyskanego przez pośrednka, jeszcze nższe dla ypowego kredyoborcy pozyskanego wpros przez bank, a najnższe dla emeryk. Jednak, przy usalonym proflu klena, warośc oczekwane odchylena sandardowe a poseror dla p orzymane w rzech modelach są ak różne, że mogą prowadzć do odmennych wnosków prakycznych. Doyczy o zwłaszcza ypowego kredyoborcy pozyskanego przez pośrednka; w modelu probowym I rzędu odpowada mu p na pozome aż 0,304 (±0,04), w modelach ze skośnym rozkładem jes o prawdopodobeńswo znaczne nższe szacowane z nną precyzją w każdym modelu. Jeśl redukcje modelu II rzędu do model I rzędu (zwłaszcza probowego) ne są zasadne (jak w przypadku naszych danych), o częso sosowana ocena ryzyka kredyowego na podsawe modelu probowego I rzędu może prowadzć do błędnych wnosków. Tabela 3 Na zakończene ej lusracj emprycznej przedsawamy w Tabel 4 oceny punkowe efeków krańcowych dla hpoeycznych kredyoborców, uzyskane w modelu II rzędu przez wsawene w mejsce neznanych paramerów ch warośc oczekwanych a poseror (z Tabel ). Oceny e slne zależą od proflu kredyoborcy; waro je porównać z waroścam oczekwanym uśrednonych efeków krańcowych, podanym w Tabel 2. Zgodne z nucją, efeky krańcowe są blższe 0 w przypadku klenów, dla kórych p jes mnejsze. Na zmany zmennych objaśnających szczególne slne reaguje prawdopodobeńswo p neermnowego spłacana kredyu zacągnęego przez młodego przedsęborcę, dla kórego o p jes bardzo wysoke, równe 0,507 (±0,026) zob. Tabela 3. Zauważmy, że w modelu II rzędu efeky krańcowe względem usalonej zmennej w przypadku dwóch profl kredyoborców mogą meć przecwne znak, np. dla efeku krańcowego względem waluy kredyu. Ponado ndywdualne efeky krańcowe mogą być różnego znaku od uśrednonych efeków prezenowanych w Tabel 2. Ma o mejsce dla efeków względem weku, waluy kredyu oraz Zrdoch. Tabela 4 3

Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe 5. BAYESOWSKIE PORÓWNANIE KONKURENCYJNYCH SPECYFIKACJI W poprzednej częśc pracy przedsawlśmy wynk a poseror ne ylko dla modelu II rzędu z dysrybuaną skośnego rozkładu Sudena (model, M ), ale równeż dla modelu I rzędu oparego na ej samej klase dysrybuan (M 2 ) dla modelu probowego I rzędu (M 3 ). Brzegowe rozkłady a poseror paramerów rozszerzających M 3 do M 2 M 2 do M wskazały, że redukcje modelu najbardzej złożonego (M ) do prosszych (M 2, M 3 ) ne są uzasadnone. W ej częśc przedsawmy podsawy eoreyczne wynk formalnego porównana ych rzech model, wykorzysującego ch prawdopodobeńsw a poseror. Rozważmy n model próbkowych zdefnowanych na ej samej przesrzen Y : M p ( yθ ( ),,..., n, : ) = gdze y Y jes wekorem obserwacj (u nas T-elemenowym cągem zer jedynek), a θ Θ jes wekorem paramerów modelu M. Defnując n rozkładów a pror o gęsoścach p θ ) mamy n model bayesowskch: p y, θ ( ) ) = p ( yθ ( ) ) p ( θ ( ),,..., n. ( ) = ( ) ( () Formalny wybór najlepszego modelu próbkowego opera sę na prawdopodobeńswach a poseror poszczególnych model; koncepcję ę referują m.n. Zellner (97) Osewalsk (200). Załóżmy, że M,..., M n są wzajemne wykluczającym (ne zagneżdżonym) łączne dopełnającym sę modelam o prawdopodobeńswach a pror p(m ),..., p(m n ). Przy ych założenach uzyskujemy ze wzoru Bayesa prawdopodobeńswa a poseror model równe: p( M ) p( y M ) p( M y) = n. p( M ) p( y M ) h= W powyższym wzorze kluczową rolę pełn welkość Θ h p( y M ) = p ( yθ ( ) ) p ( θ ( ) ) dθ ( ), =,..., n, h czyl brzegowe prawdopodobeńswo wekora obserwacj w modelu M, nauralny bayesowsk mernk dopasowana modelu do danych emprycznych (wekora y). Prawdopodobeńswa a poseror model, p(m y), łączą nformację o dopasowanu przekonana a pror o sopnu adekwanośc model, wyrażane przez p(m ). Co do prawdopodobeńsw a pror p(m ), o częso przyjmuje sę, ż są one równe. Można jednak argumenować, że przy równym dopasowanu model, merzonym waroścą p(y M ), ogólne względy meodologczne przemawają za preferowanem przez odpowedn dobór 4

Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe prawdopodobeńsw a pror model prosszych (o mnejszej lczbe paramerów). Jako p(m ) można przyjąć malejącą funkcję lczby l paramerów modelu, np.: p l ( ) 2. M Powyższa eora wymaga, by rozważane modele ne były zagneżdżone. Zakładamy węc, że ne wszyske paramery rozszerzające model I rzędu do specyfkacj II rzędu są równe zero. Ne jes o sprzeczne z przyjęym normalnym rozkładem a pror dla wekora β, a wyklucza zagneżdżene M 2 w M. Formalne rzecz ujmując, model probowy I rzędu (M 3 ), odpowadający ν = +, ne jes zagneżdżony w modelu M 2 an M, kóre zakładają, ż ν jes skończone. Bayesowske porównywane model wymaga oblczena dla każdego z nch całk defnującej brzegowe prawdopodobeńswo obserwacj p(y M ), co w prakyce okazuje sę zwykle poważnym problemem numerycznym. W ramach meod MCMC, sosowanych do symulacj rozkładu a poseror w każdym z model, najprossza ( dość sablna numeryczne) jes aproksymacja, kórą zaproponowal Newon Rafery (994): p( y M + S M ( q) ) = [ p( y M, θ ( ) )] dp( θ ( ) M, y) [ p( y M,( θ ( ) ) )] ; Θ M q= S+ polega ona na przyblżenu p(y M ) średną harmonczną warośc funkcj warygodnośc oblczonych dla kolejnych sanów łańcucha Markowa (po osągnęcu zbeżnośc do rozkładu a poseror). Zasosowane ej meody dało nasępujące szacunk logarymów nauralnych warośc p(y M ): ln p(y M ) = -3308; ln p(y M 2 ) = -3529; ln p(y M 3 ) = -3833. Prowadzą one do ego, że model najbardzej złożony skupa prakyczne całą masę prawdopodobeńswa a poseror. W przypadku jednakowych prawdopodobeńsw a pror uzyskano: p(m 2 y)=0-96 p(m 3 y)=0-228 ; jeśl przyjęo p l ( ) 2 (l =8, l 2 =6, l 3 =4), o p(m 2 y)=3,9*0-77 p(m 3 y)=,6*0-208. Wsępne M konkluzje o bezzasadnośc redukcj modelu M, sformułowane w poprzednej częśc, zosały węc z całą mocą powerdzone poprzez formalne bayesowske porównywane rzech model dychoomcznych. Model II rzędu opary na dysrybuance skośnego rozkładu daje węc nowe możlwośc modelowana jakoścowej, zero-jedynkowej zmennej zależnej. BIBLIOGRAFIA Alber J., Chb S., 993, Bayesan analyss of bnary and polychoomous response daa, JASA (Journal of he Amercan Sascal Assocaon) vol. 88, 669-679. Amemya T., 98, Qualave response models: A survey, Journal of Economc Leraure vol.9, 483-536. 5

Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe Amemya T., 985, Advanced Economercs, Harvard Unversy Press, Cambrdge (Massachuses). Belsley D.A., Kuh E., Welsh R.E., 980, Regresson Dagnoscs, Wley, New York. Dewer W. E., 97, An applcaon of he Shephard dualy heorem: a generalzed Leonef producon funcon, Journal of Polcal Economy vol. 79, 48-507. Fernández C., Osewalsk J., Seel M., 995, Modelng and nference wh υ-sphercal dsrbuons, JASA (Journal of he Amercan Sascal Assocaon) vol. 90, 33-340. Fernández C., Seel M., 998, On Bayesan modelng of fa als and skewness, JASA (Journal of he Amercan Sascal Assocaon) vol. 93, 359-37. Gamerman D., 997, Markov Chan Mone Carlo. Sochasc Smulaon for Bayesan Inference, Chapman and Hall, London. Greene W.H., 993, Economerc Analyss, Macmllan, New York. Maddala G.S., 983, Lmed Dependen and Qualave Varables n Economercs, Cambrdge Unversy Press, Cambrdge. Marzec J., 2003a, Badane newypłacalnośc kredyoborcy na podsawe model logowych probowych, Zeszyy Naukowe Akadem Ekonomcznej w Krakowe nr 628, 03-7. Marzec J., 2003b, Badane nespłacalnośc kredyów za pomocą bayesowskch model dychoomcznych - założena wynk, Meody loścowe w naukach ekonomcznych. Trzece Warszay Dokorske z Zakresu Ekonomer Saysyk (red. A. Welfe), Wydawncwo SGH, Warszawa (73-86). Marzec J., 2003c, Bayesowska analza model dyskrenego wyboru (dwumanowych), Przegląd Saysyczny. 50, 29-46. Newon M. A., Rafery A. E., 994 Approxmae Bayesan nference by he weghed lkelhood boosrap (wh dscusson), Journal of he Royal Sascal Socey B vol.56, 3-48. O Hagan A., 994, Bayesan Inference, Edward Arnold, London. Osewalsk J., 200, Ekonomera bayesowska w zasosowanach, Wydawncwo Akadem Ekonomcznej w Krakowe, Kraków. Osewalsk J., Marzec J., 2004, Uogólnene dychoomcznego modelu probowego z wykorzysanem skośnego rozkładu Sudena, Przegląd Saysyczny. 5 (w druku). Osewalsk J., Ppeń M., 999, Bayesan forecasng of foregn exchange raes usng GARCH models wh skewed condonal dsrbuons, MACROMODELS'98 - Conference Proceedngs (red. W. Welfe), vol. 2, Absolwen, Łódź (95-28). Osewalsk J., Ppeń M., 2000, GARCH-In-Mean hrough skewed condonal dsrbuons: Bayesan nference for exchange raes, MACROMODELS'99 Conference Proceedngs (red. W. Welfe, P. Wdowńsk), Absolwen, Łódź (354 369). Wróbel-Roer R., 200, Gęke formy funkcyjne w emprycznej analze koszu. Podejśce Dewera wnoskowane bayesowske, Ekonomsa nr 5/200, 687-704. Zellner A., 97, An Inroducon o Bayesan Inference n Economercs, J.Wley, New York. 6

Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe Tabela. Warośc oczekwane odchylena sandardowe a poseror paramerów bayesowskego modelu II rzędu ze skośnym rozkładem Sudena; ε ~ S(0, ν, γ). Zmenna Paramer E( y) D( y) Zmenna Paramer E( y) D( y) β -5,984 3,296 w 3 w β 42-5,938 7,84 Płeć (w ) β 2 0,374 2,3 w 3 w 2 β 43 38,580 4,504 Wek (w 2 ) β 3-2,68,772 w 3 w 3 β 44-8,203 8,99 Wpływy (w 3 ) β 4-52,87 4,72 w 4 w 5 β 45 4,260 4,47 ROR (w 4 ) β 5,49 0,24 w 4 w 6 β 46-0,058 0,494 Kary (w 5 ) β 6-4,955 4,463 w 4 w 8 β 47-4,444 0,939 Pośrednk (w 6 ) β 7 6,45,085 w 4 w 9 β 48 6,305,428 Typ kredyu (w 7 ) β 8 6,23 3,287 w 4 w 0 β 49 5,022 4,789 Okres (w 8 ) β 9-2,63 3,476 w 4 w β 50-0,453 0,323 Kwoa (w 9 ) β 0 9,467 3,648 w 4 w 2 β 5-0,94 0,383 Walua (w 0 ) β -0,439 5,899 w 4 w 3 β 52 3,693 2,85 Zrdoch (w ) β 2 0,600 0,698 w 5 w 6 β 53-0,236 0,565 Zrdoch2 (w 2 ) β 3,49 2,836 w 5 w 8 β 54 0,560 0,982 Zrdoch3 (w 3 ) β 4-2,462 3,025 w 5 w 9 β 55,0,356 w w 2 β 5-0,644 0,544 w 5 w 0 β 56-4,42 2,540 w w 3 β 6-9,745 3,748 w 5 w β 57 0,392 0,389 w w 4 β 7 0,533 0,76 w 5 w 2 β 58 0,424 0,266 w w 5 β 8 0,094 0,78 w 5 w 3 β 59-0,863,39 w w 6 β 9-0,5 0,70 w 6 w 8 β 60-5,94 0,872 w w 7 β 20 0,027 2,090 w 6 w 9 β 6 3,096 2,64 w w 8 β 2-0,579 0,508 w 6 w β 62 0,085 0,254 w w 9 β 22-0,236,297 w 6 w 2 β 63 -,49 0,46 w w 0 β 23,790 3,959 w 6 w 3 β 64 6,096 3,6 w w β 24 0,20 0,203 w 7 w 8 β 65,79 2,885 w w 2 β 25-0,220 0,240 w 7 w 9 β 66-3,35 2,909 w w 3 β 26 -,73 0,732 w 7 w 2 β 67-0,85 2,69 (w 2 ) 2 β 27 2,404 2,204 (w 8 ) 2 β 68 3,879,09 w 2 w 5 β 28 0,903 0,697 w 8 w 9 β 69-3,249 2,099 w 2 w 6 β 29-4,925,72 w 8 w 0 β 70-8,008 3,556 w 2 w 8 β 30 4,688 2,447 w 8 w β 7-0,472 0,825 w 2 w 9 β 3-2,53 4,388 w 8 w 2 β 72 2,048,0 w 2 w 0 β 32 -,305 7,244 w 8 w 3 β 73-0,657 3,622 w 2 w β 33-2,084,78 (w 9 ) 2 β 74-4,22,9 w 2 w 2 β 34 -,37,05 w 9 w 0 β 75 0,74 3,083 w 2 w 3 β 35 2,203 2,426 w 9 w β 76 4,838 2,937 (w 3 ) 2 β 36-3,05,400 w 9 w 2 β 77-3,488,373 w 3 w 5 β 37 -,624 3,027 w 9 w 3 β 78-7,59 6,264 w 3 w 6 β 38 4,4 6,968 w 0 w 2 β 79-5,53 3,227 w 3 w 8 β 39 4,669 3,382 ν 0,582 0,062 w 3 w 9 β 40 0,59 2,624 γ 0,30 0,023 w 3 w 0 β 4 6,08 5,229 Źródło: oblczena własne. 7

Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe Tabela 2. Warośc oczekwane odchylena sandardowe a poseror uśrednonych efeków krańcowych η j = p wj lub η j = Pr( y = w, j = ) Pr( y = w, j = 0). T T ε ~ S(0,ν, γ) k = 79 ε ~ S(0,ν,γ) k = 4 ε ~S(0,ν=, γ=) k = 4 Zmenna E( y) D( y) E( y) D( y) E( y) D( y) Płeć -7,2E-04 3,4E-03 0,007 0,003 0,008 0,003 Wek 0,020 0,05-0,026 0,004-0,298 0,024 Wpływy -0,48 0,022-0,788 0,78-0,63 0,058 ROR 0,035 0,03 0,048 0,005-0,059 0,008 Kary -0,03 0,073-0,03 0,005-0,032 0,007 Pośrednk 0,267 0,04 0,247 0,008 0,300 0,008 Typ Kredyu 0,89 0,003 0,73 0,02 0,049 0,020 Okres kredyu -2,250 0,37-0,02 0,009-0,08 0,020 Kwoa kredyu 0,074 0,02 0,027 0,009 0,04 0,00 Walua -0,5 0,072 0,075 0,067 0,075 0,03 Zrdoch -0,006 0,008-0,034 0,006-0,09 0,006 Zrdoch2 0,08 0,00 0,035 0,009 0,065 0,009 Zrdoch3-0,022 0,07-0,060 0,00-0,036 0,03 Źródło: oblczena własne. Tabela 3. Warośc oczekwane odchylena sandardowe a poseror prawdopodobeńswa neermnowego płacena kredyu p =Pr(y =)= F( x β). ypowy klen młody sarsza Zmenna pośrednk= pośrednk=0 bznesmen pan (wyraz wolny) Płeć 0 Wek (w laach) 40,2 40,2 2 60 Wpływy (w ys. zł) 0,2 0,2 0 ROR 0 Kary płancze 0 0 0 Pośrednk 0 0 Typ kredyu: konsumpcyjny 0 Okres kredyu (w laach) 2,6 2,6 2,6 2,6 Kwoa (w ys. Zł) 0,9 0,9 0,9 0,9 Walua 0 0 0 0 Zrdoch 0 0 0 Zrdoch2 0 0 0 Zrdoch3 0 0 0 0 Model probowy (k=4) E(p y) 0,304 0,036 0,668 0,009 D(p y) 0,04 0,002 0,06 0,003 Model skośny (k=4) E(p y) 0,029 0,05 0,555 0,04 D(p y) 0,005 0,00 0,02 0,002 Model skośny (k=79) E(p y) 0,065 0,02 0,507 0,006 D(p y) 0,057 0,00 0,026 0,00 Źródło: oblczena własne. 8

Jacek Osewalsk, Jerzy Marzec, Kaedra Ekonomer Badań Operacyjnych, Unwersye Ekonomczny w Krakowe Tabela 4. Oceny ndywdualnych efeków krańcowych. ypowy klen młody sarsza Zmenna pośrednk= pośrednk=0 bznesmen pan Płeć -0,064-0,00-0,04 0,000 Wek -0,08-0,004-0,60-0,00 Wpływy -2,26-0,087-3,43-0,03 ROR 0,02 0,002 0,030 0,00 Kary -0,00-0,0002-0,467 0,000 Pośrednk 0,028 0,028 0,274 0,00 Typ Kredyu 0,034 0,007 0,488 0,83 Okres kredyu -0,087-0,004-0,29-0,00 Kwoa kredyu 0,784 0,032,58 0,005 Walua 0,203 0,004-0,500-0,002 Zrdoch 0,062 0,00 - - Zrdoch2 0,676 0,627 - - Zrdoch3-0,025-0,003 - - 9