Metoda Newtona stycznych dla równania f(x) 0: x n+ x n f(x n) f (x n ) Chcemy rozwia ι zać uk lad N równań dla N niewiadomych f (x,x,,x N ) 0 f (x,x,,x N ) 0, f N (x,x,,x N ) 0 krócej: Czy jest jakaś analogia? F( x) 0, gdzie x x x x N /6
Metoda Newtona stycznych dla równania f(x) 0: x n+ x n f(x n) f (x n ) Metoda Newtona dla uk ladów równań x n+ x n F ( x n ) F ( x n ), x n z n 0,,, kolejne przybliżenia rozwia ι zania Startowe przybliżenie x 0 i n-te przybliżenie x n to wektory x 0 x n x 0 x 0, x n x n xn 0 xn n /6
x n+ x n F ( x n ) F ( x n ), F ( x n ) macierz odwrotna do F ( x n ), zbudowanej z wartości odpowiednich pochodnych cza ι stkowych f f f x x x N F ( x n f f f ) x x x N f N x f N x f N x N x x n (argumentami pochodnych sa ι kolejne sk ladowe wektora x n ) Wielkość F ( x n ) jest wektorem kolumnowym: F ( x n ) f (x n,xn,,xn N ) f (x n,xn,,xn N ) f N (x n,xn,,xn N ) 3/6
Metoda Newtona dla uk ladu równań Uk lad równań i startowe przybliżenie rozwia ι zania: { f (x,y) 0 f (x,y) 0, x 0 x0 y 0 Obliczamy macierz pochodnych F ( x 0) oraz F ( x 0) F ( x 0) f x f x f y f y xx 0,yy 0 Obliczamy oszacowanie nr (i analogicznie naste ι pne): x y x0 y 0 f x f x f y f y xx 0,yy 0 f (x 0,y 0 ) f (x 0,y 0 ) 4/6
Macierz odwrotna do macierzy a b d b c d c a wyznacznikiem wyjściowej macierzy (różny od zera), Przyk lad: znajdź macierz odwrotna ι do macierzy A 3 4 Liczymy 5/6
Macierz odwrotna do macierzy a b d b c d c a wyznacznikiem wyjściowej macierzy (różny od zera), Przyk lad: znajdź macierz odwrotna ι do macierzy A 3 4 Wyznacznik: A 4 3 3/ / 6/6
A 3 4, A 3/ / Sprawdzamy, czy A A AA I: A A 3/ / 3 4 AA 3 4 3/ / 0 0 0 0 W przypadku wie ι kszych macierzy problem znajdowania macierzy odwrotnej jest bardziej z lożony, 7/6
Przyk lad Znajdziemy dwa pierwsze przybliżenia rozwia ι zania uk ladu równań { f (x,y) x +y 4 0 f (x,y) x y 0, startowe oszacowanie: x 0 x0 y 0 Wynik ścis ly: x x y 8/6
Przyk lad Znajdziemy dwa pierwsze przybliżenia rozwia ι zania uk ladu równań { f (x,y) x +y 4 0 f (x,y) x y 0, x 0 x0 Obliczamy pochodne y 0 f Wyznaczamy macierz F ( x 0) F ( x 0) Wyznacznik: 4 x x, f y y, f x, f y x y x,y 9/6
Przyk lad Znajdziemy dwa pierwsze przybliżenia rozwia ι zania uk ladu równań { f (x,y) x +y 4 0 f (x,y) x y 0, x 0 x0 y 0 Obliczamy macierz odwrotna ι F ( x 0) : F ( x 0) Liczymy x y x0 y 0, F ( x 0) 4 f x f x f y f y xx 0,yy 0 f (x 0,y 0 ) f (x 0,y 0 ) 4 4 0/6
Przyk lad Znajdziemy dwa pierwsze przybliżenia rozwia ι zania uk ladu równań { f (x,y) x +y 4 0 f (x,y) x y 0, x 0 x0 y 0 x x y 4 4 0 3 3 /6
Przyk lad Znajdziemy dwa pierwsze przybliżenia rozwia ι zania uk ladu równań { f (x,y) x +y 4 0 f (x,y) x y 0, x x y 3 3 Wyznaczamy F ( x ) i F ( x ) : F ( x ) Liczymy x y 3 3 x y, F ( x ) 3 6 3 f x f x f y f y xx,yy f (x,y ) f (x,y ) 6 6 /6
Przyk lad Znajdziemy dwa pierwsze przybliżenia rozwia ι zania uk ladu równań { f (x,y) x +y 4 0 f (x,y) x y 0, x x y 3 3 x x y 3 3 6 6 0 3 3 7 7, 3/6
y B C A x f (x,y)0 f (x,y)0 A, B, C punkty odpowiadaja ι ce x 0, x, x,44, 7,466 4/6
Kryteria, kiedy przerwać iteracje: x n+ x n + y n+ y n < ε lub f (x n+,y n+ ) + f (x n+,y n+ ) < ǫ 5/6
Odpowiedz na pytanie Omów znajdowanie macierzy odwrotnej do danej macierzy kwadratowej o wymiarach Omów metode ι Newtona dla uk ladów równań Rozwia ι ż zadanie Stosuja ι c metode ι Newtona dla uk ladów równań, wyznaczyć pierwsze przybliżenia rozwia ι zania uk ladu f (x,y) 0, f (x,y) 0 dla przypadku: { f (x,y) x y 4 f (x,y) x +y /, x 0 x0 y 0 3 5 6/6