Wykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych, cz. 2/2

Transkrypt

1 Temat wykładu: Wykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych, cz. 2/2 Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1

2 Przykłady: Programy wykorzystywane do obliczeń 1. Arkusze kalkulacyjne do obliczeń numerycznych: a. LibreOffice CALC (wolny dostęp) b. Microsoft EXCEL (komercyjny) 2. Pakiety typu CAS (ang. Computer Algebra System) do matematycznych obliczeń symbolicznych: a. Maxima (wolny dostęp) b. Mathematica (komercyjny) 3. Pakiety do wykonywania analiz statystycznych, np. Statistica (komercyjny) 2

3 Pakiet Maxima, wersja online 3

4 Przykład Format wykładniczy liczby Liczbę 1642,857 można zapisać w postaci wykładniczej: 1, cecha mantysa Urządzenia lub programy (np. kalkulatory, arkusze kalkulacyjne) mogą przedstawiać postać wykładniczą w różnych wariantach: 1, = 1,642857E3 = 1,642857e3 =1,642857b3 cecha cecha cecha mantysa mantysa mantysa 4

5 Format wykładniczy liczby Inne przykłady 16,42857 = 1, = 1,642857E1 0, = 1, = 1,642857E-1 0, = 1, = 1,642857E-4 5

6 Postać wyniku działania w Maximie Zadanie. Wykonaj działanie: W oknie poleceń wpisujemy działanie, a w oknie wyników pojawia się wynik w postaci ułamkowej. 6

7 Postać wyniku działania w Maximie Wynik w postaci dziesiętnej zobaczymy po zastosowaniu polecenia float: lub polecenia bfloat: Bfloat wyświetla wynik w postaci wykładniczej. 7

8 Postać wyniku działania w Maximie Polecenia float czasem także wyświetla wynik w postaci wykładniczej dla bardzo dużych liczb oraz bardzo małych (bliskich zeru): 8

9 Postać wyniku działania w Maximie Do polecenia bfloat można zastosować polecenie fpprec, które pozwala na wyświetlenia określonej liczby cyfr. Polecenie fpprec trzeba umieścić przed bfloat: 9

10 Przedstawienie liczb W matematyce do zapisu liczb używa się nie tylko cyfr, ale również symboli, np.: π, e, 2, ln 10 W pakiecie Maxima przed stałą stawiamy znak %: %pi, %e. Wśród funkcji wbudowanych Maximy są: pierwiastek kwadratowy oraz logarytm naturalny (nie ma logarytmów o innej podstawie). Zapisujemy je następująco: Zapis tradycyjny W Maximie π %pi e %e sqrt(x) x ln x log x 10

11 Przykłady działań i postaci dziesiętnej wyniku 11

12 Przykłady działań i postaci dziesiętnej wyniku 12

13 Przykłady działań i postaci dziesiętnej wyniku 13

14 Przykłady działań i postaci dziesiętnej wyniku 14

15 Rozwiązywanie równań - przykład 1 Rozwiąż równanie: 2x + 4 = 13 x Przenosimy wyrażenia z x na lewą stronę, stałe na prawą i dzielimy obie strony przez współczynnik przy x. Otrzymujemy rozwiązanie x = 3. W Maximie równania rozwiązuje polecenie solve. Składnia: solve(równanie lub jego nazwa, symbol niewiadomej) Uwaga. Rozwiązanie ma postać wektora! 15

16 Rozwiązywanie równań przykład 2 Rozwiąż równanie: 4x 2 2x 30 = 0 Obliczamy deltę i pierwiastki równania kwadratowego. Otrzymujemy rozwiązania x = 3, x = 2,5. W Maximie: 16

17 Rozwiązywanie równań przykład 3 4x 2 2x y = 0 Rozwiąż równanie względem zmiennej x. Postępując jak w przykładzie 2, otrzymujemy rozwiązania: x 1 = y 4, x 2 = y 4, dla y > 0,25 Rozwiąż równanie względem zmiennej y. Postępując, jak w przykładzie 1, otrzymujemy rozwiązanie: y = 4x 2 2x 17

18 W Maximie: Rozwiązywanie równań przykład 3 18

19 Rozwiązywanie równań przykład * Rozwiąż równanie x = 0 Wśród liczb rzeczywistych nie ma rozwiązań tego równania, ale są wśród liczb zespolonych: x 1 = 2i, x 2 = 2i gdzie i oznacza jednostkę urojoną. Maxima domyślnie przyjmuje dziedzinę zespoloną, stąd wynik: 19

20 Równanie różniczkowe przykład 1 Wyznacz rozwiązanie równania różniczkowego spełniające podany warunek początkowy: y = y + 2, y(0) = 3 W Maximie do zapisania pochodnej (ale nie do jej obliczania!) stosuje się zapis: y (x) = diff(y, x) (ang. differentiation różniczkowanie). Równanie można nazwać, np. row_rozn row_rozn: diff(y,x)=y+2 Rozwiązanie ogólne znajduje polecenie ode2. Składnia: ode2 (nazwa równania, y, x) 20

21 W Maximie: Równanie różniczkowe przykład 1 Otrzymaliśmy: y = (c 2e x )e x 21

22 Równanie różniczkowe przykład 1 Zapis rozwiązania można uprościć (wymnożyć opuszczając nawiasy) przy użyciu polecenia ratsimp. Składnia: ratsimp(wyrażenie lub jego nazwa) W Maximie rozwiązanie ogólne nazwiemy, np. rozw_og: 22

23 Równanie różniczkowe przykład 1 Polecenie uproszczenia wyrażenia zadziałało i otrzymaliśmy: y = ce x 2 Jest to rozwiązanie ogólne równania różniczkowego. Rozwiązanie szczególne spełniające podany warunek początkowy y(x 0 ) = y 0 wyznacza polecenie ic1. Składnia: ic1(rozwiązanie ogólne lub jego nazwa, x=x0, y=y0) W Maximie do polecenia ic1 wprowadzimy uporządkowaną wersję rozwiązania ogólnego, którą nazwiemy, np. up_rozw_og. 23

24 Otrzymujemy: Równanie różniczkowe przykład 1 Rozwiązanie szczególne: y = 5e x 2 24

25 Równanie różniczkowe przykład 2 Wyznacz rozwiązanie równania różniczkowego spełniające podany warunek początkowy: y + 2xy 2 = 0, y(0) = 4 Rozwiązanie ogólne mamy w postaci nieuporządkowanej: 1 = x2 + c 2y 2 25

26 Równanie różniczkowe przykład 2 Potraktujemy je jak równanie do rozwiązania względem niewiadomej y użyjemy polecenia solve. Polecenie to zwraca wektor, więc wydobędziemy pierwszy (i jedyny) wyraz wektora. Składnia: nazwa wektora [1] 26

27 Dostajemy: Równanie różniczkowe przykład 2 27

28 28