Paweª Gªadki Uªamki ªa«cuchowe Wst p W numerze /989 miesi cznika "Mªody Technik"w dziale "ROzmaito±ci MAtematyczne" Michaª Szurek zaprezentowaª nast puj ce zadanie z egzaminów wst pnych do szkóª ±rednich: Która z liczb: + + + + 2 i + + + + 3 jest wi ksza? Zadanie mo»na rozwi za na wiele sposobów; "fool proof" polega na tym,»eby zamieni powy»sze liczby na "normalne" uªamki 3 8 i 8 i (najlepiej za pomoc kalkulatora...) porówna takie dwie liczby. Mo»na oczywi±cie pro±ciej: postawienie mniejszej liczby w mianowniku zwi ksza uªamek, a poniewa» ka»dy z widocznych uªamków ma 4 pi tra w mianowniku, pocz tkowy zwrot nierówno±ci 2 < 3 zmieni si czterokrotnie... Takie pi trowe uªamki nazywamy ªa«cuchowymi. Uwa»a si,»e pierwszy wprowadziª je matematyk wªoski Rafael Bombelli (526-573). Prace nad teori uªamków ªa«cuchowych zapocz tkowaª w XVII w. matematyk wªoski Pietro Antonio Cataldi (548-625), a do rozwoju teorii przyczynili si matematycy angielscy John Wallis (66-703) i William Brouckner (620-684), matematyk holenderski Christian Huygens (629-695), matematyk szwajcarski Leonhard Euler (707-783), matematyk niemiecki Johann Heinrich Lambert (728-777), matematycy francuscy Joseph Louis de Lagrange (736-83) i Adrien Marie Legendre (752-833) oraz matematk holenderski Thomas Joannes Stieltjes (856-894). Zajmijmy si niektórymi ich wªasno±ciami. 2 Redukty, twierdzenie o reduktach; liczby k, twierdzenie "o deltach"; rozwijanie liczb wymiernych na uªamki ci gªe normalne. Rozwa»my uªamek: a 0 + a + ; a 0 2 R; a ; : : : ; a n 2 R + (2.) a 2+ + an Referat wygªoszony na spotkaniu Koªa Naukowego Matematyków przy Uniwersytecie l skim w dniu 7.IX.2000r.
Definicja 2. Redukt. Liczb : R k = a 0 + a + a2+ + a k ; k 2f;2; : : : ; ng nazywamy reduktem rz du k uªamka (2). Jako redukt rz du 0 uwa»amy liczb R 0 = a 0. Redunkt rz du n nazywamy warto±ci uªamka ªa«cuchowego. o Poªó»my: P 0 = a 0, Q 0 = P = a 0 a +, Q = a P k = P k a k + P k 2, Q k = Q k a k + Q k 2 Twierdzenie 2. (o reduktach) R k = P k Q k, k 2f0;; : : : ; ng D o w ó d :. (pocz tek indukcji): R 0 = a 0 = a0 = Q P0 0, R = a 0 + a = a0a+ a 2. (krok indukcyjny): = P Q 2.. (zaª.) R m = P m Qm 2.2. R m+ = P m+ Q m+ (?) Pm am+pm 2 2.3. R m = Q m a m+q m 2 2.4. równo± powy»sza pozostaje prawdziwa, gdy zast pimy po obu stronach a m przez a m + a m+, (a m+ > 0) 2.5. R m+ = P m (a m + a m+ )+P m 2 Q m (a m+ a m+ )+Q m 2 = P m+ Q m+ QED Program 2. Obliczanie warto±ci uªamka ªa«cuchowego 0 Obliczanie wartosci ulamka lancuchowego 20 input ''Ile bedzie mianownikow?''; n 30 dim b(n-) 40 for i=0 to n- 50 b(i) = 0 60 next i 70 input ''Czesc calkowita =''; b 80 for i= to n- 90 input ''Podaj kolejny mianownik''; m 00 b(i) = m 0 next i 20 p=; q=0; p2=b; q2=i 2 (Pm am+pm 2)am++Pm (Q m a m+q m 2)a m++q m = Q Pmam++Pm ma m++q m =
30 for i=0 to n- 40 p=p2*b(i)+p; q = q2*b(i)+q 50 p=p2; q=q2; p2=0; q2=0 60 next i 70 print ''Wynik:'';p;''/'';q 80 end Definicja 2.2 Liczby k : k = P k Q k Twierdzenie 2.2 (o "deltach") k = ( ) k Q k P k, k 2f;2; : : : ; ng o D o w ó d :. (pocz tek indukcji): = P 0 Q Q 0 P = a 0 a a 0 a = = ( ) 2. (krok indukcyjny): 2.. (zaª.) m = ( ) m 2.2. m+ = ( ) m+ (?) 2.3. k k, k 2f;2; : : : ; ng poniewa»: k = P k (Q k a k + Q k 2 ) Q k (P k a k + P k 2 ) = P k Q k 2 Q k P k 2 = k 2.4. m+ = m = ( ) m = ( ) m+ QED Definicja 2.3 Uªamek ªa«cuchowy arytmetyczny. Uªamek (2), w którym a 0 jest liczb caªkowit, a a ; a 2 ; : : : ; a n s liczbami naturalnymi, nazywamy uªamkiem ªa«cuchowym arytmetycznym. o Twierdzenie 2.3 Je»eli uªamek (2) jest arytmetyczny, to uªamki: P k Q k, k 2f;2; : : : ; ng s uªamkami nieskracalnymi o naturalnych mianownikach. D o w ó d : P k i Q k b d liczbami catymi, co wynika z ich denicji. Z twierdzenia "o deltach" wynika natomiast,»e s wzgl dnie pierwsze. QED Uwaga 2. Rozwa»my uªamek n 0 n. Na podstawie algorytmu Euklidesa: n 0 = q n + n 2 n = q 2 n 2 + n 3. n k 2 = q k n k + n k n k = q k n k Inaczej: n 0 n = q + n n2 n n 2 = q 2 + n2 n3 3
ṅ k 2 n k = q k + n k n k Zatem: = q k n k n k n 0 n = q + q 2 + +q k 2 + q k + q k Algorytm Euklidesa przedstawia wi c metod rozwijania liczby wymiernej na uªamek ci gªy. o Przykªad 2. Rozwiniemy na uªamek ci gªy liczb 00000. 3459 Kolejne dzielenia daj : 3459 3 00000 + 459 00000 = 7 459 + 887 459 = 5 887 + 854 887 854 33 854 = 25 33 + 29 33 29 + 4 29 = 7 4+ 4 = 4 Jest wi c: 3;459 = 3 + o 7+ 5+ + 25+ + 7+ 4 Uwaga 2.2 Šatwo zauwa»y,»e ka»da liczba wymierna daje co najmniej dwa ró»ne rozwini cia na ªa«cuchowy uªamek algebraiczny. Iststnie, niech: w = a 0 + a + a2+ + an b dzie rozwini ciem otrzymanym z algorytmu Euklidesa. Oczywi±cie a n >, zatem a n 2 N. Ponadto: a n = a n + Zatem mamy drugie rozwini cie: w = a 0 + a + a2+ + (an )+ o Definicja 2.4 Rozwini cie normalne. Rozwini cie, w którym ostatni mianownik a n jest wi kszy od jedno±ci, nazywamy rozwini ciem normalnym. o Twierdzenie 2.4 Ka»da liczba wymierna daje dokªadnie jedno rozwini cie normalne na uªamek ªa«cuchowy arytmetyczny. 4
D o w ó d :. Ustalmy w = a 0 + a + a2+ + an 2. x k := a k + a k+ + a k+2 + + an, k 2f0;; : : : ; ng 3. x k > a k, k 2f0;; : : : ; n g, x n = a n 4. x k >, k 2f0;; : : : ; ng 5. x k = a k + x k+, k 2f0;; : : : ; n g 6. a k < x k < a k +, k 2f0;; : : : ; n g 7. a k = [x k ], k 2f0;; : : : ; n 8. x k = [x k ] + x k+, k 2f0;; : : : ; n 9. x k+ = x k [x k ], k 2f0;; : : : ; n g 0. Liczby x k, k 2f;2; : : : ; ng s zatem wyznaczone jednoznacznie przez x 0. QED Program 2.2 Rozkªad liczby wymiernej na uªamek ªa«cuchowy. 20 Rozklad liczby wymiernej na ulamek lancuchowy 220 input ''Licznik='';l 230 input ''Mianownik='';m 240 y= 250 o=int(l/m); r = l-o*m 260 if y= then print ''Czesc calkowita='';o 270 if y=0 then print ''Kolejny mianownik='';o 280 y=o 290 if r=o then print ''koniec''; goto 30 300 l=m; m=r; goto250 30 end Uwaga 2.3 Dowód twierdzenia 2.4. dostarcza inn ni» algorytm Euklidesa metod wyznaczania rozkªadu liczby wymiernej na uªamek ªa«cuchowy. o Przykªad 2.2 (rozwi zywanie równa«nieoznaczonych) Niech: ax + by = ; a; b2znf0g (2.2) Rozwi zanie tego równania sprowadza si do wyznaczenia jednego rozwi zania typu (2.2) (zasadnicze twierdzenie arytmetyki). Rozwi«my liczb a b na uªamek ªa«cuchowy ( a b jest nieskracalne, co wynika z faktu,»e równanie (2.2) ma by rozwi zane w liczbach caªkowitych). Niech P n Q n oraz P n Q n b d przedostatnim i ostatnim reduktem tego rozwini cia. Jest: 5 g
P n Q n = a b Zatem, wobec nieskracalno±ci tych uªamków: Z twierdzenia "o deltach": P n =a, Q n =b P n Q n Q n P n = ( ) n Zatem: ( ) n P n b ( ) n Q n a = St d otrzymujemy rozwi zanie (2.2): x = ( ) n Q n, y = ( ) n P n o Przykªad 2.3 Chcemy rozwi za równanie nieoznaczone: 96x + 65y = Mamy: 96 65 3 65 2 3 + 3 3 = 0 3+ 3 = 3 St d: 96 65 = + Zatem n = 3. Ponadto: P = 3, Q = 2 P 2 = 3, Q 2 = 2 i przeto: Istotnie: 2+ 0+ 3 x = ( ) 3 Q 2 = 2, y = ( ) 3 P 2 = 3 96 3 65 3 = o 3 Rozwijanie liczb niewymiernych na uªamek ªa«cuchowy; prawo najlepszego przybli»enia. Zachowujemy wszystkie oznaczenia z poprzedniego paragrafu. 6
Uwaga 3. Algorytm poznany w dowodzie twierdzenia 2.4 do rozwijania liczb wymiernych na uªamek ªa«cuchowy, dobry jest te» dla liczb niewymiernych: x 0 w, a 0 = [x 0 ] i je»eli a 0 6= x 0 to wyznaczamu dalej: x = x 0 a 0, a = [x ] i je»eli a 6= x to wyznaczamu dalej: a, a 2 = [x 2 ] i je»eli a 2 6= x 2 to wyznaczamu dalej: x 2 = x. W tym przypadku algorytm staje si niesko«czony. Istotnie, przypu± my, i» istnieje n 2 N takie,»e a n = x n. Wówczas: w = x 0 = a 0 + a + + an zatem w 2 Q wbrew zaªo»eniu. o Twierdzenie 3. Niech w 2 RnQ. Wówczas lim n! R n = x 0. D o w ó d :. x = x 0 a 0, x 2 = x a, : : :, x n = x n a n 2. x 0 = a 0 + x, x = a + x 2, : : :, x n = a n + x n 3. x 0 = a 0 + a + + an + xn 4. x 0 = Pn xn+pn 2 Q n x n+q n 2, R n = 5. x 0 = P nx n+ +P n Q n x n+ +Q n 6. x 0 R n = Pnxn++Pn Q nx n++q n P n, R n = a 0 + a + + an + an Pn an+pn 2 Q n a n+q n 2 Q n = Pn Qn Qn Pn (Q nx n++q n)q n = ( ) n (Q nx n++q n)q n 7. x n+ > a n+ 8. jx 0 R n j < (Q na n++q n)q n = Q n+q n 9. Q k k, k 2 N 9.. (pocz tek indukcji): Q = a 2 N 9.2. (krok indukcyjny): 9.2.. (zaª.) Q n n 9.2.2. Q n+ n + (?) 9.2.3. Q n+ = Q n a n+ + Q n Q n + n + 0. jx 0 R n j < n(n+) QED Uwaga 3.2 Ka»dy nast pny redukt daje lepsze przybli»enie dla liczby x 0, ni» redukt poprzedzaj cy. D o w ó d : 7
. x 0 = P nx n+ +P n Q n x n+ +Q n, R n = P n a n +P n 2 Q n a n +Q n 2 2. x 0 R n = P nx n+ +P n Q n x n+ +Q n P n Q n = P n Q n Q n P n (Q n x n+ +Q n )Q n = ( ) n (Q n x n+ +Q n )Q n 3. a n+ = [x n+ ] > x n+ ) x n+ < a n+ +, 2 a n+2 4. jx 0 R n j > (Q n(a n++)+q n )Q n = (Q n+ +Q n )Q n+ 5. Q n+ = Q n a n+ + Q n Q n 6. jx 0 R n+ j < jx 0 R n j QED (Q n++q n)q n,jx 0 R n+ j < (Q n+a n+2+q n)q n+ Twierdzenie 3.2 (prawo najlepszego przybli»enia) Je»eli liczba wymierna r s, s > 0 przedstawia lepsze przybli»enie liczby x 0 ni» redikt R n, n, to mianownik s tej liczby jest wi kszy od mianownika reduktu R n D o w ó d :. (zaª.) jx 0 r s j <jx 0 R n j 2. (jx 0 R n j) n2n jest ci giem malej cym do zera 3. istnieje k 2 N: jx 0 R k j >jx 0 r s j jx 0 R k+ j 4. ustalmy k n 5. rozwa»my dwa przypadki o k parzyste 5.. x 0 R k > 0, x 0 R k+ < 0 wobec punktu 2. dowodu uwagi 3.2. 5.2. x 0 R k >jx 0 r s j R k+ x 0 5.3. x 0 R k > x 0 r s (R k+ x 0 ) 5.4. R k < r s R k+ 2 o k nieparzyste 5.. x 0 R k < 0, x 0 R k+ > 0 wobec punktu 2. dowodu uwagi 3.2. 5.2. R k x 0 >j r s x 0 j x 0 R k+ 5.3. R k x 0 > r s x 0 (x 0 R k+ ) 5.4. R k > r s R k+ 6. j r s R k j jr k R k+ j 7. R k R k+ = P k P k+ Q k Q k+ = P kq k+ Q k P k+ Q k Q k+ = ( Q )k+ k Q k+ 8. j r s R k j Q k Q k+ 9. rq k sp k 2 Znf0g 8
9.. (hip.) rq k sq k = 0 9.2. r s = P k Q k = R k 9.3. jx 0 R k j = jx 0 r s j - sprzeczno± wobec punktu 3. 0. j r s R k j = j r P k s Q k j = jrq k. Q k Q k+ sq k 2. s Q k+ 3. Q k+ = Q k a k+ + Q k > Q k 4. s > Q k 5. s > Q n wobec punktu 4. QED sp k j sq k sq k Twierdzenie 3.3 Ka»da liczba niewymierna daje jedno i tylko jedno rozwini cie na uªamek ªa«cuchowy niesko«czony. Umowa notacyjna: Niech a 0 ; a ; : : : oznacza ci g niesko«czony, a 0 2 Z, a i 2 N, i. Poªó»my: R n = a 0 + a + +, n2n an Je»eli lim n! R n = x, to piszemy: x = a 0 + a + a2+ o D o w ó d t w i e r d z e n i a 3. 3 :. Wystarczy pokaza,»e je»eli zachodzi rozwini cie (2), to liczby a n mog by wyznaczone wedªug algorytmu z dowodu twierdzenia 2.4. 2. niech x = a 0 + a + a2+, a 0 2 Z, a i 2 N, i 3. R n = a 0 + a + a2+ + an 4. R n+ = a 0 + R0 n 5. R0 n = R n+ a 0 6. R0 n a + a 2 7. R n+ a 0 + a + a2 8. x a 0 + a + a2 9. x > a 0, R0 n = a + 9 a 2 + a3+ + a n+
0. lim n! R n+ = x. lim n!(r n+ a 0 ) = x a 0 2. lim n! R0 n = x = x a 0 3. x = a + a 2 + a3+ 4. rozumuj c analogicznie: x > a 5. x > 6. x a 0 > 7. x < a 0 + 8. a 0 < x < a 0 + 9. a 0 = [x] 20. Rozumuj c analogicznie znale¹liby±my a = [x ]. Kªad c x 2 = x a b dziemy mieli rozwini cie na uªamek niesko«czony: x 2 = a 2 + a 3 + a4+ oraz znowu a 2 = [x 2 ]. Rozszerzaj c indukcyjnie powy»sze rozumowanie na dowolne n 2 N, kªad c: mamy a n = [x n ]. QED x n = x n a n 4 Niewymierno±ci stopnia 2; twierdzenie Lagrange'a. Zachowujemy wszystkie oznaczenia z poprzednich paragrafów. Definicja 4. Niewymierno± drugiego stopnia. Niewymierno±ci drugiego stopnia nazywamy liczb niewymiern, speªniaj c równanie drugiego stopnia o wspóªczynnikach caªkowitych. o Twierdzenie 4. (Lagrange'a) Ka»da niewymierno± drugiego stopnia rozwija si na uªamek ªa«cuchowy okresowy. D o w ó d :. Niech x oznacza liczb rzeczywist niewymiern, speªniaj c równanie: Ax 2 + Bx + c = 0, A; B; C 2 Z, A 6= 0, B 2 4AC > 0 0
2. x = a 0 + a + a2+, R n = P n Q n, x = x a 0, x 2 = x a, : : : Pn xn+pn 2 3. x = Q n x n+q n 2,jx R n j < Q n Q n,jx R n 2 j < Q n 2Q n (porównaj te» dowód twierdzenia 3..) 4. n 2 : j P n Q n xj < Q 2 n, j P n 2 Q n 2 xj < Q n 2 Q n 5. P n Q n x = Q 2 n, P n 2 Q n 2 x = Q n 2 Q n 6. jj <, jj < 7. Zdeniujmy: A n := AP 2 n + BP n Q n + CQ 2 n B n := 2AP n P n 2 + B(P n Q n 2 + Q n P n 2 ) + 2CQ n Q n 2 C n := AP 2 n 2 + BP n 2 Q n 2 + CQ 2 n 2 8. A n x 2 n + B n x n + C n = 0 wobec punktów., 3. i 7. 9. Równo± powy»sza nie jest to»samo±ci x n, gdy» A n 6= 0. Gdyby A n = 0, to wobec punktu 7. (po podzieleniu pierwszej równo±ci przez Q 2 n ) wynikay,»e R n jest wymiernym pierwiastkiem równania z punktu. 0. P n = xq n + Q n wobec punktu 5.. A n = A(xQ n + Q n ) 2 + B(xQ n + Bx + C)Q 2 n + (2Ax + B) + A 2 Q 2 n Q n )Q n + CQ 2 n = (Ax 2 + wobec punktu 7. 2. ja n j < j2axj +jaj +jbj wobec punktów., 6. i faktu,»e Q n 2 N 3. C n = A n, n wobec punktu 7. 4. jc n j < j2axj +jaj = jbj 5. P n = xq n + Q n, P n 2 = xq n 2 + Q n 6. B n = 2A(xQ n + Q n )(xq n 2 + Q n ) + B(xQ n + Q n )Q n 2 + BQ n (xq n 2 + Q n ) + 2CQ n Q n 2 = 2(Ax 2 + Bx + C)Q n Q n 2 + (2Ax + B)( Q n 2 Q n + ) + 2A Q wobec punktu 7. 2 n 7. jb n j < 2(j2Axj+jAj+jBj) wobec punktów., 6. i faktu,»e Q n 2 Q n za± Q n > 8. M := j2axj +jaj +jbj 9. n 2 : ja n j < M, jb n j < 2M, jc n j < M wobec punktów 2., 4. i 8. 20. A n ; B n ; C n 2 Z, zatem ró»nych liczb caªkowitych speªniaj cych powy»sze nierówno±ci jest sko«czona liczba.
2. Sko«czona jest te» liczba ró»nych x n, dla których speªniona jest równo± z punktu 8. 22. W ci gu wszystkich (x n ) n2n liczba ró»nych warto±ci x n jest sko«czona. 23. W p;q;q>p : x p = x q 24. a p = a q 25. x p+ = x p a p, x q+ = x q a q zatem x p+ = x q+ 26. s := q p 27. Poprzez indukcj otrzymujemy: a n+s = a n, n p co dowodzi, i» rozwini cie x na uªamek ªa«cuchowy jest okresowe. QED Algorytm 4. Rozwa»my równanie: Ax 2 + 2Bx + C = 0, A; B; C 2 Z, NWD(A; B; C) =, A > 0 Kªadziemy: p H = [ B 2 AC], E 0 =A, F 0 = B obieraj c znak + lub zale»nie od tego, czy rozwijamy wi kszy, czy te» mniejszy pierwiastek uwa»anego równania; dalej wyznaczamy liczby a n, E n, F n kolejno ze wzorów: a n = [ F n +H E n ], F n = a n E n F n, E n = D F n 2 E n gdzie D = B 2 AC. B dzie: x = a 0 + a + a2+ Lemat 4. [ z k] = [ [z] k ], z 2 R, k 2 N D o w ó d :. ( ).. [z] z.2. [z] k < k z.3. [ [z] k ] < [ k] z 2. ( ) 2.. u [u] < 2
2.2. [z] k [ [z] k ] < 2.3. [z] < k[ [z] k ] + k 2.4. [z] k[ [z] k ] + k 2.5. z < [z] + 2.6. z < k[ [z] k ] + k 2.7. k z < [[z] k ] + 2.8. [ k] z [ [z] k ] QED D o w ó d p o p r a w n o ± c i a l g o r y t m u :. Rozwa»my Ax 2 + 2Bx + C = 0, A; B; C 2 Z, NWD(A; B; C) =, A > 0 2. x = Bp D A, D = B 2 AC, D > 0 3. x = B+p D A 4. E 0 :=A, F 0 := B, G 0 :=C 5. x = p F 0+ D E 0, E 0 ; F 0 ; G 0 2 Z, E 0 6= 0, F0 2 E 0 G 0 = D > 0 6. a 0 := [x], x : x = a 0 + x 7. x = x a 0 = E 0 p = p E 0(a 0 E 0 F 0 + D) F 0 a 0E 0+ D D (a 0E 0 F 0) 2 8. F := a 0 E 0 F 0, E := D F 2 E 0, G := E 0 9. E 6= 0, bo p D jest niewymierny 0. E = D (a 0E 0 F 0 ) 2 E 0 = D F 2 0 E 0 a 2 0F 0 + 2a 0 F 0 = G 0 a 2 0E 0 + 2a 0 F 0. x = F+p D E, E ; F ; G 2 Z, F 2 E G = D 2. Ogólnie, rozumuj c indukcyjnie, je±li zaªo»ymy,»e przy pewnym n zachodz wzory: Fn 2 E n G n = D, x n = Fn+p D E n, E n ; F n ; G n 2 Z, E n 6= 0 to wyznaczaj c ze wzorów: a n := [x n ], F n+ := a n E n F n, E n+ := D F n+ 2 E n, G n+:= En b dziemy mieli: F 2 n+ E n+ G n+ = D, x n+ = Fn++p D E n+, E n+ ; F n+ ; G n+ 2 Z, E n+ 6= 0 3
3. a n = [ F n+ p D E n ] 4. z lematu: p a n = [ Fn+[p D] E n ] 5. H := [ D] 6. a n = [ F n+h E n ] QED Umowa notacyjna: Rozwini cie (2) piszemy: x = (a 0 ; a ; a 2 ; : : : ; a p ; a p ; : : : ; a p+s ) pisz c kresk nad wyrazami tworz cymi okres. o Przykªad p 4. 9x 2 6x = 0 H = [ 8] = 4, E 0 = 9, F 0 = 3 a 0 3+4 9 ] = 0, F = 0 9 3 = 3, E = 8 9 9 = a 3+4 ] =, F 2 = +3 = 4, E 2 = 8 6 = 2 a 2 4+4 2 4, F 3 4 2 4, E 3 8 6 2 a 3 = [ 4+4 ] = 8, F 4 = 8 4 = 4, E 4 = 8 6 = 2 Jest wi c: x = (0;;4;8) o Twierdzenie 4.2 (odwrotne do twierdzenia Lagrange'a) Ka»dy uªamek ªa«cuchowy mo»e by wyra»ony jako rozwini cie pewnej niewymierno±ci drugiego stopnia. D o w ó d :. (przypadek, kiedy uwa»any uªamek daje okres czysty).. a 0 + a + a2+.2. istnieje s2n : a n+s = a n, n 2f0;;2; : : :g.3. R n := a 0 + a + a2+ + an.4. R n+s := a 0 + a + a2+ +as + Rn Uwaga: Zaªó»my,»e R n! x.5. x := lim n! R n.6. x > 0, bo a 0 = a s 2 N.7. x = lim n! R n = lim n! R n+s = Ps Rn+Ps 2 Q s R n+q s 2.8. x = P s x+p s 2 Q s x+q s 2.9. x jest dodatnim pierwiastkiem równania: Q s x 2 + (Q s 2 P s )x P s 2 = 0 4
.0. Drugi pierwiastek x0 jest ujemny, gdy» Qs i P s 2 s przeciwnych znaków. Poka»emy,»e dodatni pierwiastek równania z punktu.9. daje rozwini cie na uªamek ªa«cuchowy z punktu.... x = a 0 + a + = a 0 + a2+ +as + x a + = a2+ +as + a0+ +as a 0 + a + a2+ +a2s + x.2. Ogólnie: x = a 0 + a + a2+ +a ks.3. x = P ks x+p ks 2 Q ks x+q V ks 2.6..4. jx R ks j = j P ks x+p ks 2 P ks Q ks x+q ks 2 Q ks 2 j = j.5. jx R ks j < dla dostatecznie du»ych k, powiedzmy k n2nw k2n k > oraz ks > n.7. := a n+ + a n+2 + a n+3 + + a ks.8. R ks = P n+q n Q n +Q n.9. + x (Q ks x+q ks 2 )Q ks j.20. jr ks R n j = (Q n+q n )Q n < Q 2 n.2. jx R n j jx R ks j +jr ks R s j < Q 2 n + 2. (przypadek, gdy uªamek jest okresowy o okresie nieczystym, rozpoczynaj cym si od a k ) 2.. a 0 + a + a2+ 2.2. a k + a k+ + a k+2 + ma okres czysty 2.3. R0 n := a k + a k+ + a k+2 + + an 2.4. := lim n! R0 n 2.5. jest pierwiastkiem dodatnim pewnego równania stopnia 2 o wspóªczynnikach caªkowitych; A 2 + B + C = 0 2.6. R n = a 0 + a + a2+ +a k + R0 n k 2.7. R n = P k R 0 n k+p k 2 Q k R0 n k +Q k 2 2.8. lim n! R n = x = P k +P k 2 Q k +Q k 2 5 + x
2.9. (Q k x 2.0. Q k x P k ) = P k 2 P k 6= 0 Q k 2 x 2.0.. (hip.) Q k x P k = 0 2.0.2. P k 2 Q k 2 x = 0 P 2.0.3. k Q k = P k Q k 2 2 - sprzeczno± 2.. = P k 2 Q k 2 x Q k x P k 2.2. A(P k 2 Q k 2 x) 2 +B(P k 2 P k ) 2 = 0 Q k 2 x)(q k x P k )+C(Q k x 2.3. Równanie powy»sze nie jest to»samo±ci x 2.3.. (hip.) wspóªczynnik przy x 2 jest 0 2.0.2. AQ 2 k 2 BQ k Q k 2 + CQ 2 k = 0 - sprzeczno± 2.4. Dowiedli±my wi c,»e liczba x speªnia pewne równanie o wspóªczynnikach caªkowitych, a poniewa» x = lim n!, wi c x jest warto±ci uªamka ªa«cuchowego z punktu 2.. QED Uwaga 4. Punkty.5. -.9. dowodu powy»szego twierdzenia daj praktyczn metod wyznaczania warto±ci uªamka ªa«cuchowego o okresie czystym. Przykªadowo chcemy znale¹ warto± uªamka o o rozwini ciu: Mamy: a + b+ a+ b+ s = 2, P s 2 = P 0 = a, Q s 2 = Q 0 =, P s = P = ab +, Q s I otrzymujemy równanie: bx 2 abx a = 0 które posiada pierwiastek dodatni: Na przykªad dla a = 2 i b = mamy: 2 + Sk d w szczególno±ci: x = ab+p a 2 b 2 +4ab 2b + 2+ + p 3 = (;;2) = + p 3 = Q = b 6
Bibliograa [] Michaª Szurek, Uªamki ªa«cuchowe, Mªody Technik, /989 [2] Wacªaw Sierpi«ski, Teoria liczb, Wydawnictwo Kasy im. Mianowskiego Instytutu Popierania Polskiej Twórczo±ci Naukowej, Warszawa 925 [3] Wacªaw Sierpi«ski, Arytmetyka teoretyczna, Biblioteka Matematyczna tom 7, PWN, Warszawa 959 [4] Andrzej Grzegorczyk, Zarys arytmetyki teoretycznej, Biblioteka Matematyczna tom 39, PWN, Warszawa 97 7