1.5. ZWIĄZKI KONSTYTUTYWNE STRONA FIZYCZNA

Podobne dokumenty
1.5. ZWIĄZKI KONSTYTUTYWNE STRONA FIZYCZNA

6. ZWIĄZKI FIZYCZNE Wstęp

Defi f nicja n aprę r żeń

UOGÓLNIONE PRAWO HOOKE A

Wstęp teoretyczny. Więcej na: dział laboratoria

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

CIEPLNE I MECHANICZNE WŁASNOŚCI CIAŁ

7. RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI

Ć w i c z e n i e K 6. Wyznaczanie stałych materiałowych przy wykorzystaniu pomiarów tensometrycznych.

RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH

Nauka o Materiałach. Wykład VIII. Odkształcenie materiałów właściwości sprężyste. Jerzy Lis

Modele materiałów

8. Zmęczenie materiałów

Podstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia

SPRAWDZENIE PRAWA HOOKE'A, WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA, WSPÓŁCZYNNIKA POISSONA, MODUŁU SZTYWNOŚCI I ŚCIŚLIWOŚCI DLA MIKROGUMY.

Wyznaczenie gęstości cieczy za pomocą wagi hydrostatycznej. Spis przyrządów: waga techniczna (szalkowa), komplet odważników, obciążnik, ławeczka.

WŁAŚCIWOŚCI MECHANICZNE SPRĘŻYSTOŚĆ MATERIAŁ. Właściwości materiałów. Właściwości materiałów

Wprowadzenie do WK1 Stan naprężenia

TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie

TMM-1 Wyznaczanie współrzędnych tensorów bezwładności członów manipulatorów

PYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A

ROZDZIAŁ 2 RÓWNANIA FIZYCZNE DLA KOMPOZYTÓW KONFIGURACJA OSIOWA. σ = (2.1a) ε = (2.1b) σ = i, j = 1,2,...6 (2.2a) ε = i, j = 1,2,...6 (2.

CEL PRACY ZAKRES PRACY

Wykład z równań różnicowych

ROZDZIAŁ 7 ROZDZIAŁ 7

Zadanie 1. Wektor naprężenia. Tensor naprężenia. Zależność wektor-tensor.

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH

11. WŁASNOŚCI SPRĘŻYSTE CIAŁ

Materiały pomocnicze do wykładów z wytrzymałości materiałów 1 i 2 (299 stron)

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI (TSP)

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

Analiza stanu naprężenia - pojęcia podstawowe

MATERIAŁOZNAWSTWO vs WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW

Integralność konstrukcji w eksploatacji

= = a na podstawie zadania 6 po p. 3.6 wiemy, że. b 1. a 2 ab b 2

9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI

gdzie ω jest częstością kołową. Rozwiązaniem powyższego równania różniczkowego II-go stopnia jest wyrażenie (2) lub ( )

Rys Przykładowe krzywe naprężenia w funkcji odkształcenia dla a) metali b) polimerów.

Wyboczenie ściskanego pręta

Fizyka dla Informatyków Wykład 8 Mechanika cieczy i gazów

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa

STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH

Zjawiska transportu 22-1

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Wyznaczanie współczynnika intensywności naprężeń metodami optycznymi materiały pomocnicze oprac. dr inż. Ludomir J.Jankowski

ĆWICZENIE 1. (8.10) Rozciąganie statycznie wyznaczalne, pręty o skokowo zmiennym przekroju, kratownice, Obciążenia termiczne.

Metoda Elementów Skończonych

RÓWNANIA FIZYCZNE DLA KOMPOZYTÓW

1 Płaska fala elektromagnetyczna

Zasady zachowania, równanie Naviera-Stokesa. Mariusz Adamski

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury

WIADOMOŚCI OGÓLNE O NAPRĘŻENIACH. Stan naprężenia w punkcie ciała

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

Wytrzymałość Materiałów

5. Indeksy materiałowe

Statyka Cieczy i Gazów. Temat : Podstawy teorii kinetyczno-molekularnej budowy ciał

GEOFIZYKA STOSOWANA wykład 2. Podstawy sejsmiki

Budowa Maszyn II stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny) podstawowy (podstawowy / kierunkowy / inny HES)

4. ELEMENTY PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

Równanie przewodnictwa cieplnego (I)

STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA

2. Kombinacja liniowa rozwiązań zeruje się w pewnym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy zeruje się w każdym punkcie.

STAN NAPRĘŻENIA. dr hab. inż. Tadeusz Chyży

Geometria analityczna - przykłady

Teoria sprężystości F Z - F Z

n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa

Wstęp. Ruch po okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych

Wytrzymałość materiałów

Układy równań i nierówności liniowych

27. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSTKOWE

Ćw. 3. Wyznaczanie modułu Younga metodą jednostronnego rozciągania

Wykład 22 Indukcja elektromagnetyczna w ruchomych przewodnikach podejście mikroskopowe

DRGANIA MECHANICZNE. materiały uzupełniające do ćwiczeń. Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie

Nauka o Materiałach. Wykład VI. Odkształcenie materiałów właściwości sprężyste i plastyczne. Jerzy Lis

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 6.

Metody numeryczne. materiały do ćwiczeń dla studentów. 1. Teoria błędów, notacja O

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

VII.1 Pojęcia podstawowe.

Rozdział 5. Twierdzenia całkowe. 5.1 Twierdzenie o potencjale. Będziemy rozpatrywać całki krzywoliniowe liczone wzdłuż krzywej C w przestrzeni

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów

WYKŁAD 6 KINEMATYKA PRZEPŁYWÓW CZĘŚĆ 2 1/11

Stan odkształcenia i jego parametry (1)

VI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES

2. Pręt skręcany o przekroju kołowym

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Fizyka dla Informatyków Wykład 7 Mechanika Ośrodków Ciągłych

Rodzaje obciążeń, odkształceń i naprężeń

LABORATORIUM ELEKTROAKUSTYKI. ĆWICZENIE NR 1 Drgania układów mechanicznych

σ ij x 3 x 2 x 1 NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA Wstęp: Pojęcia te występują w opisie procesu odkształcenia tzn. są to zmiany wymiarów

Równania dla potencjałów zależnych od czasu

DRGANIA SWOBODNE UKŁADU O DWÓCH STOPNIACH SWOBODY. Rys Model układu

FIZYKA CZĄSTECZKOWA I TERMODYNAMIKA

Układy równań liniowych

Fizyka ćwiczenia laboratoryjne

Wytrzymałość Materiałów

Ciśnienie definiujemy jako stosunek siły parcia działającej na jednostkę powierzchni do wielkości tej powierzchni.

INSTRUKCJA DO CWICZENIA NR 5

Transkrypt:

J. Wyrwał, Wykłady z echaniki ateriałów.5. ZWIĄZKI KONSTYTUTYWN STRONA FIZYCZNA.5.. Wprowadzenie Wyprowadzone w rozdziałach.3 (strona statyczna) i.4 (strona geoetryczna) równania (.3.36) i (.4.) są niezależne od rodzaju ciała aterialnego, które oże być stałe, ciekłe czy też gazowe, oraz od rodzaju substancji (ateriału), z której jest ono zbudowane. Z eksperyentu wynika jednak, że eleenty konstrukcyjne wykonane z różnych ateriałów odkształcają się różnie przy taki say obciążeniu. Zate odkształcenia i naprężenia uszą być ze sobą związane, zaś postać tych związków zwanych równaniai (związkai) konstytutywnyi, fizycznyi lub ateriałowyi, jest zależna od rodzaju ateriału ciała. Jeśli spojrzeć na to zagadnienie z ateatycznego punktu widzenia, to w 3 równaniach równowagi (.3.36) występuje 6 współrzędnych tensora naprężeń. Z kolei 6 równań geoetrycznych (.4.) zawiera 3 współrzędne wektora przeieszczeń u i oraz 6 współrzędnych tensora odkształceń. Zate do wyznaczenia 5 niewiadoych ay tylko 9 równań. Musiy więc uzupełnić brakującą liczbę równań o dodatkowe równania, zwane, jak już wsponiano wyżej, związkai konstytutywnyi. Równania te są ateatyczny odele rzeczywistego ateriału i ujują one na ogół jego najważniejsze cechy, przy czy ich postać jest ściśle powiązana z badaniai doświadczalnyi. Związki konstytutywne opisują zachowanie się ateriałów stosowanych w eleentach konstrukcyjnych pod wpływe różnego rodzaju czynników zewnętrznych, np. obciążeń, teperatury, wilgoci, czasu itd. Z uwagi na różnorodność ateriałów i ich zachowania pod wpływe obciążenia liczba takich związków jest duża. W naszych rozważaniach ograniczyy się do najprostszych, często występujących w praktyce inżynierskiej..5.2. Równania HOOK A Rozważy zate ateriał anizotropowy (o właściwościach zależnych od kierunku), jednorodny (o właściwościach jednakowych w każdy punkcie) i sprężysty (w który odkształcenie znika po usunięciu obciążenia). Przy uiarkowanych wartościach obciążenia ożna przyjąć, że zależność naprężeń od odkształceń w taki ateriale dana jest następującyi związkai konstytutywnyi: () kl kl lub C (2) kl kl

zwanyi równaniai HOOK A, gdzie kl jest tensore sprężystości, natoiast C kl tensore podatności, przy czy C n kl δ δ k nl. Materiał opisany powyższyi równaniai nazyway liniowo-sprężysty. Ponieważ tensor stałych sprężystości jest tensore czwartego rzędu, zate liczba jego współrzędnych wynosi 3 4 8. Z uwagi na syetrię tensora naprężeń liczba jego niezależnych współrzędnych aleje do 36. Syetria tensora odkształceń powoduje zniejszenie liczby niezależnych współrzędnych do 2. W przypadku ateriału ortotropowego (o trzech wzajenie prostopadłych osiach syetrii) liczba niezależnych stałych ateriałowych aleje do 9. Najczęściej spotykane w praktyce inżynierskiej są jednak ateriały izotropowe (o właściwościach niezależnych od kierunku). W przypadku takich ateriałów występujący w związku () tensor sprężystości przyjuje postać kl kl ( δ δ δ δ ) λδ δ + µ + (3) gdzie µ, λ nazywane są stałyi LAM (stałe sprężystości). Podstawiając (3) do () dostajey po prostych przekształceniach i wykorzystaniu właściwości delty KRONCKRA następujące związki konstytutywne: ik jl il jk 2 µ + λ δ (4) które wyrażają naprężenia przez odkształcenia w przypadku ateriału izotropowego. Równania powyższe po rozpisaniu względe wskaźników przyjują postać 2 ( + λ) + λ( + ) ( + λ) + λ( + ) ( + λ) + λ( + ), 2 3, 3 (4 ) Należy zauważyć, że do określenia właściwości echanicznych takiego ateriału wystarczają tyko dwie stałe sprężystości. W celu otrzyania związku ujującego zależność odkształceń od naprężeń ponożyy najpierw obie strony zależności (3) przez δ. Dostaniey wtedy Z powyższego wynika, że ( 2 µ + λ) 3 (5) (6) Podstawiając (5) do (4) otrzyujey, po prostych przekształceniach, kolejną postać związku konstytutywnego 2

λ δ (7) zaś po rozpisaniu względe wskaźników [ 2( µ + λ) λ( + )] ( ) [ 2( µ + λ) λ( + )] ( ) [ 2( µ + λ) λ( + )] ( ) 2 2, 3 3, (7 ) Równania (4) i (7) noszą nazwę pierwszej postaci prawa HOOK A. Warto zauważyć, że relacja (6) pozwala przedstawić względną zianę objętości eleentarnego sześcianu (.4.37), zwaną dylatacją, w następującej postaci: V V V (8) W zagadnieniach inżynierskich wykorzystujey zazwyczaj inne stałe ateriałowe liniowej sprężystości, a ianowicie: oduł sprężystości podłużnej (odułu YOUNGA) [N/ 2 ], oduł sprężystości poprzecznej (odułu KIRCHOFFA) G [N/ 2 ] oraz współczynnik POISSONA ν [ ]. Między tyi stałyi a stałyi LAM` istnieją następujące relacje: µ G 2 λ ( + ν ) ν ( + ν )( ) (9) skąd wynika, że + ν λ ν + ν (0) Wykorzystując relacje (9) w związkach (4) otrzyujey 3

ν + + ν δ () Równania te po rozpisaniu względe wskaźników przyjują postać [ ] ν + ν + + ν 2 ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) [( ν ) ( )] + ν + + ν ( )( ) [( ν ) ( )] + ν + + ν, 2 3, 3 ( ) Uwzględniając z kolei (0),2 w (7) dostajey [( ν ) ν δ ] + (2) a po rozpisaniu względe wskaźników 2 2, 3 [ ν ( + )] [ ν ( + )] [ ν ( + )] 3, (2 ) Związki () i (2) noszą nazwę drugiej postaci prawa HOOK A. Z kolei zależność (0) 3 pozwala zapisać (8) w postaci V V V (3) Jeśli > 0, to V V 0, a więc 0. Wynika stąd, że 0 ν 2. Z relacji (3) wynika, że największy przyrost objętości eleentarnego sześcianu przy dany obciążeniu będzie iał iejsce wtedy, gdy ν 0, natoiast najniejszy, gdy ν 2. Materiałe o współczynniku POISSONA ν 0 jest korek, natoiast ateriałe, którego współczynnik ν 2 jest gua..5.3. Prawo ziany objętości i prawo ziany postaci Zależność (5) z uwagi na (0) 3 ożna przedstawić w postaci 4

(4) gdzie 3 jest naprężenie średni, zaś 3 odkształcenie średni. Wprowadzając nową stałą ateriałową zdefiniowaną jako zapisujey (4) w następującej postaci 3K (5) 3K (6) zwanej prawe ziany objętości, gdzie K jest odułe sprężystości objętościowej (odułe ściśliwości). Nazwa ta jest konsekwencją wzoru (3), zgodnie z który, naprężenia średnie powodują tylko zianę objętości eleentarnego sześcianu, nie zieniając jego kształtu. Mnożąc z kolei zależność (4) przez δ i odejując wynik stronai od związków (4), przy wykorzystaniu relacji 3, otrzyujey ( ) δ ( δ ) δ δ (7) Uwzględniając w powyższy wzorze zależności (.3.40) i (.4.4) oraz kładąc otrzyujey następujący związek fizyczny: µ G d d (8) zwany prawe ziany postaci. Nazwa ta jest konsekwencją zerowania się pierwszego d nieziennika dewiatora naprężeń I 3 0, co wyklucza zianę objętości eleentarnego sześcianu. Natoiast naprężenia styczne, będące współrzędnyi dewiatora naprężeń, powodują zianę jego postaci (kształtu). Wartości liczbowe odułu sprężystości podłużnej (odułu YOUNGA), odułu sprężystości poprzecznej (odułu KIRCHOFFA) G, odułu sprężystości objętościowej (odułu ściśliwości) K oraz współczynnika POISSONA ν wybranych ateriałów budowlanych zawiera tabela. Materiał Tabela. Właściwości echaniczne ateriałów budowlanych Gęstość ρ [kg/ 3 ] Moduł Younga [GPa] Moduł Kirchoffa G [GPa] Moduł ściśliwości K [GPa] Współczynnik Poissona ν [-] Stal ięa 7860 20 8 67 0.29 Żeliwo 750 0 43 80 0.27 Aluiniu 2800 70 26 69 0. Beton B00 2400 8 8 9 0.7 Szkło 67 62.5 26 35 0.20 5

Zagadnienia na egzain. Zdefiniować i oówić równania konstytutywne (fizyczne) HOOK A w przypadku anizotropowego i izotropowego ateriału liniowo-sprężystego. 2. Podać i oówić związki iędzy stałyi ateriałowyi liniowej sprężystości (stałyi LAM ) µ, λ a odułe sprężystości podłużnej (odułe YOUNGA), odułe sprężystości poprzecznej (odułe KIRCHOFFA) G oraz współczynnikie POISSONA ν. 6