Właściwości kryształów

Podobne dokumenty
Właściwości kryształów

11. WŁASNOŚCI SPRĘŻYSTE CIAŁ

Defi f nicja n aprę r żeń

UOGÓLNIONE PRAWO HOOKE A

m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):

6. ZWIĄZKI FIZYCZNE Wstęp

Fala EM w izotropowym ośrodku absorbującym

Integralność konstrukcji

STRUKTURA CIAŁA STAŁEGO

WYZNACZANIE MODUŁU SZTYWNOŚCI METODĄ DYNAMICZNĄ GAUSSA

ROZDZIAŁ 2 RÓWNANIA FIZYCZNE DLA KOMPOZYTÓW KONFIGURACJA OSIOWA. σ = (2.1a) ε = (2.1b) σ = i, j = 1,2,...6 (2.2a) ε = i, j = 1,2,...6 (2.

CIEPLNE I MECHANICZNE WŁASNOŚCI CIAŁ

Ćw. 4. Wyznaczanie modułu Younga z ugięcia

Nauka o Materiałach. Wykład VIII. Odkształcenie materiałów właściwości sprężyste. Jerzy Lis

Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy

BUDOWA KRYSTALICZNA CIAŁ STAŁYCH. Stopień uporządkowania struktury wewnętrznej ciał stałych decyduje o ich podziale

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

powierzchnia rozdziału - dwie fazy ciekłe - jedna faza gazowa - dwa składniki

RÓWNANIA FIZYCZNE DLA CIAŁ LINIOWO - SPRĘŻYSTYCH

Podstawowe pojęcia wytrzymałości materiałów. Statyczna próba rozciągania metali. Warunek nośności i użytkowania. Założenia

1.5. ZWIĄZKI KONSTYTUTYWNE STRONA FIZYCZNA

SUROWCE I RECYKLING. Wykład 2

WŁAŚCIWOŚCI MECHANICZNE SPRĘŻYSTOŚĆ MATERIAŁ. Właściwości materiałów. Właściwości materiałów

Wykład 5. Komórka elementarna. Sieci Bravais go

Podstawowe przypadki (stany) obciążenia elementów : 1. Rozciąganie lub ściskanie 2. Zginanie 3. Skręcanie 4. Ścinanie

Właściwości kryształów

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

Modele materiałów

Technika sensorowa. Czujniki piezorezystancyjne. dr inż. Wojciech Maziarz Katedra Elektroniki C-1, p.301, tel

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI (TSP)

Elementy teorii powierzchni metali

Spis treści Rozdział I. Membrany izotropowe Rozdział II. Swobodne skręcanie izotropowych prętów pryzmatycznych oraz analogia membranowa

UTRATA STATECZNOŚCI. O charakterze układu decyduje wielkośćobciążenia. powrót do pierwotnego położenia. stabilnego do stanu niestabilnego.

STRUKTURA KRYSTALICZNA

Rozdział 3: Badanie i interpretacja drgań na płaszczyźnie fazowej. Część 1 Odwzorowanie drgań oscylatora liniowego na płaszczyźnie fazowej

Materiały Reaktorowe. Właściwości mechaniczne

Mechanika Analityczna i Drgania

Wykład 1. Symetria Budowy Kryształów

4. Elementy liniowej Teorii Sprężystości

Poprawa właściwości konstrukcyjnych stopów magnezu - znaczenie mikrostruktury

Prawo Coulomba. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2014/15

Nauka o Materiałach. Wykład XI. Właściwości cieplne. Jerzy Lis

Laboratorium Dynamiki Maszyn

Układ regularny. Układ regularny. Możliwe elementy symetrii: Możliwe elementy symetrii: 3 osie 3- krotne. m płaszczyzny przekątne.

SPRAWDZENIE PRAWA HOOKE'A, WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA, WSPÓŁCZYNNIKA POISSONA, MODUŁU SZTYWNOŚCI I ŚCIŚLIWOŚCI DLA MIKROGUMY.

Wprowadzenie do WK1 Stan naprężenia

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

Statyka Cieczy i Gazów. Temat : Podstawy teorii kinetyczno-molekularnej budowy ciał

Wstęp. Krystalografia geometryczna

Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Pytania przygotowujące do egzaminu z Wytrzymałości Materiałów sem. I studia niestacjonarne, rok ak. 2015/16

Matematyka stosowana i metody numeryczne

LINIOWA MECHANIKA PĘKANIA

Rozwiązanie: Zadanie 2

Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Zaawansowane metody numeryczne

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH

Sił Si y y w ewnętrzne (1)(1 Mamy my bry r łę y łę mate t r e iralną obc ob iążon ż ą u kła k de d m e si m ł si ł

Zadanie 1. Wektor naprężenia. Tensor naprężenia. Zależność wektor-tensor.

Fizyka dla Informatyków Wykład 7 Mechanika Ośrodków Ciągłych

DEFEKTY STRUKTURY KRYSTALICZNEJ

Elementy teorii powierzchni metali

Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 18, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek

Rys Przykładowe krzywe naprężenia w funkcji odkształcenia dla a) metali b) polimerów.

θ = 0 lub = = g l dw dt Przykłady drgań: Wahadło matematyczne (małe wychylenia): Inaczej: m l(1-cosθ) Drgania i fale II rok Fizyki BC

MATERIAŁOZNAWSTWO vs WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW

MATERIA. = m i liczby całkowite. ciała stałe. - kryształy - ciała bezpostaciowe (amorficzne) - ciecze KRYSZTAŁY. Periodyczność

INSTRUKCJA DO CWICZENIA NR 5

mgr inż. Paweł Szeptyński Podstawy wytrzymałości materiałów i mechaniki układów prętowych 07 Teoria stanu naprężenia i odkształcenia

3. Równania konstytutywne

W przestrzeni liniowej funkcji ciągłych na przedziale [a, b] można określić iloczyn skalarny jako następującą całkę:

Podstawy Fizyki III Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 18, Mateusz Winkowski, Łukasz Zinkiewicz

x = cos θ. (13.13) P (x) = 0. (13.14) dx 1 x 2 Warto zauważyć, że miara całkowania w zmiennych sferycznych przyjmuje postać

Fizyka 11. Janusz Andrzejewski

ZASTOSOWANIE METODY HOMOGENIZACJI DO WYZNACZANIA STAŁ YCH MATERIAŁ OWYCH MATERIAŁ U NIEJEDNORODNEGO

TENSOMETRIA ZARYS TEORETYCZNY

PYTANIA KONTROLNE STAN NAPRĘŻENIA, ODKSZTAŁCENIA PRAWO HOOKE A

Wektory i wartości własne

Teoria sprężystości F Z - F Z

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli

Wytrzymałość Materiałów

σ ij x 3 x 2 x 1 NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA Wstęp: Pojęcia te występują w opisie procesu odkształcenia tzn. są to zmiany wymiarów

Przykłady (twierdzenie A. Castigliano)

Symulacja procesu wtrysku - Obudowa miernika

Aby opisać strukturę krystaliczną, konieczne jest określenie jej części składowych: sieci przestrzennej oraz bazy atomowej.

9. PODSTAWY TEORII PLASTYCZNOŚCI

STAN NAPRĘŻENIA. dr hab. inż. Tadeusz Chyży

Symetria w fizyce materii

Właściwości optyczne kryształów

2. Obliczenie sił działających w huśtawce

Przykład 6.3. Uogólnione prawo Hooke a

Atom wodoropodobny. Biegunowy układ współrzędnych. współrzędne w układzie. kartezjańskim. współrzędne w układzie. (x,y,z) biegunowym.

[ P ] T PODSTAWY I ZASTOSOWANIA INŻYNIERSKIE MES. [ u v u v u v ] T. wykład 4. Element trójkątny płaski stan (naprężenia lub odkształcenia)

Zjawisko piezoelektryczne 1. Wstęp

Bąk wirujący wokół pionowej osi jest w równowadze. Momenty działających sił są równe zero (zarówno względem środka masy S jak i punktu podparcia O).

TERMODYNAMIKA PROCESOWA

Równanie Fresnela. napisał Michał Wierzbicki

Dielektryki. właściwości makroskopowe. Ryszard J. Barczyński, 2016 Materiały dydaktyczne do użytku wewnętrznego

Rozkłady wielu zmiennych

Transkrypt:

Właściwości kryształów Skaar - wektor - tensor Anizotropia - izotropia Liniowość -nieiniowość e Wprowadzenie matematycznych ram opisu właściwości fizycznych materiału krystaicznego, szczegónie gdy zaeżą one od kierunku.

o to jest właściwość materiału? Właściwość materiału jest to wiekość, która wiąże bodziec, którym działamy na materiał z reakcją materiału na ten bodziec. Np. w odpowiedzi na naprężenie (bodziec) materiał zmieni kształt (tzn. reakcją jest odkształcenie). Właściwość, która wiąże bodziec z reakcją jest odpowiedni współczynnik sprężystości. Bodziec Właściwość Reakcja Jak to zapisać matematycznie? Właściwość (P) jest odpowiednikiem funkcji, natomiast bodziec (F) i reakcja (R) to zmienne. R = R(F) R = P(F)

Właściwości iniowe W niektórych przypadkach reakcja materiału jest wprost proporcjonana do bodźca: R = R + PF ub, jeśi R =, R = PF. Właściwości iniowe Właściwość może zaeżeć też od innych zmiennych. Np. stałe sprężystości zaeżą od temperatury. Moduł Temperatura 3

Właściwości nieiniowe Nie wszystkie właściwości są iniowe. Istnieją też właściwości, które w pewnym zakresie wiekości bodźca są iniowe, a w pewnym nie (np. właściwości optyczne niektórych kryształów).wówczas mamy: R = PF ( )= P + F P + F P +K Fn n P! F F =! F n! F n F= F = wyraz iniowy wyrazy nieiniowe Właściwości nieiniowe Przykładem właściwości nieiniowych jest pastyczność. ε& = yied n 4

Skaar, wektor, tensor Skaar = wiekość, która nie zaeży od kierunku i jest iczbą Wektor = wiekość, która ma kierunek, wymaga 3 iczb; Tensor = wiekość, która wymaga opisu za pomocą 9 ub więcej iczb, ae nie zaeży od układu współrzędnych. Skaar, wektor, tensor Rząd n = n = n = n = 3 Nazwa Skaar Wektor Tensor Tensor Przykład wiekości Potencjał poa eektrycznego Natężenie poa eektrycznego Przenikaność eektryczna Sprzężenie piezoeektryczne Symbo Φ e E= E i e ε = ε ij ee i d= d ijk e e e i j i j k n = 4 Tensor Moduł sztywności c= c ijk e e e e i j k 5

Właściwości skaarne W niektórych przypadkach, bodziec, reakcja i właściwość są skaarne.taką właściwością jest np. ciepło właściwe: Q = m T Gdzie Q dostarczone ciepło, m-masa, T - zmiana temperatury Właściwości skaarne Istnieje bardzo niewiee właściwości skaarnych, które można zapisać za pomocą jednej iczby. Poza ciepłem właściwym są to np. masa i gęstość. Właściwość jest jedną iczbą, gdy wiąże ze sobą skaarny bodziec ze skaarną reakcją. np. iość dostarczonego ciepła z temperaturą; 6

Właściwości tensorowe Gdy właściwość wiąże ze sobą dwie wiekości wektorowe, wówczas i bodziec i reakcja mają składowe x, y i z. Oba czynniki nie muszą być do siebie równoegłe. Przyczyną jest anizotropia kryształów. To oznacza, że właściwość też ma różne wartości w różnych kierunkach - ma składowe. Nie jest to jednak wektor (nie ma kierunku i zwrotu). Jest to TENSOR. Właściwości tensorowe W takim przypadku, zaeżność między bodźcem a reakcją może wygądać tak: Ri 3 3 P = + + i P R i i Fk F + kfh... = F = k k F h, k k Fh 7

Anizotropia Greckie słowo: aniso = różne, zmienne; tropos = kierunek; Praktycznie wszystkie materiały krystaiczne są anizotropowe; Wiee materiałów wytwarza się ceowo tak aby były anizotropowe (puszki do piwa, łopatki turbin ) Anizotropia E (diagona) = 73 GPa Moduł Younga żeaza bcc E (edge) = 5 GPa Data from Tabe 3.3, aister 6e. (Source of data is R.W. Hertzberg, Deformation and Fracture Mechanics of Engineering Materias, 3rd ed., John Wiey and Sons, 989.) 8

Zasada Neumanna Eementy symetrii dowonej właściwości fizycznej kryształu musza zawierać eementy symetrii grupy punktowej kryształu. Dana właściwość może mieć dodatkowe eementy symetrii (ae nie może być mniej symetryczna niż symetria grupy punktowej). Zasada Neumanna Jeżei kryształ zawiera defekty, takie jak sieć dysokacji, wówczas symetria danej właściwości może być niższa niż symetria grupy punktowej. Zatem, zasada Neumanna powinna brzmieć następująco: Eementy symetrii dowonej właściwości fizycznej kryształu musza zawierać eementy symetrii, które są wspóne da grupy punktowej kryształu i struktury defektów obecnych w krysztae. 9

Symetria środkowa Wiee właściwości ma środek symetrii. Odwrócenie zwrotu działania bodźca i reakcji musi być identyczne. Tzn. jeśi R i = P ij F j, i jednocześnie zmienimy znak R i F, te same wartości P będą musiały spełniać równanie. Zatem, w takim przypadku, P ij musi być równe P ji. Anizotropia: przewodnictwo eektryczne Bodziec: poe eektryczne, E Reakcja: prąd (gęstość prądu), J Właściwość: przewodność eektryczna, J i = ij E j

Anizotropia: przewodnictwo eektryczne O Poe: E, E =E 3 = Reakcja: j = E, j = E, j 3 = 3 E, Anizotropia: właściwości mechaniczne Przykładem właściwości zaeżnej od kierunku jest sprężystość. Nawet kryształ reguarny jest anizotropowy. Moduł Younga w kierunku [] jest przeważnie większy niż w kierunku []. Zatem, do opisu właściwości sprężystych kryształu reguarnego potrzebne są trzy stałe sprężystości (ciało całkowicie izotropowe wymaga E (diagona) = 73 GPa stałych). E (edge) = 5 GPa

Anizotropia właściwości mechanicznych W -D przypadku, da iniowego, sprężystego ciała naprężenie jest proporcjonane do odkształcenia ε, czyi =Eε. Zaeżność =Eε jest znana jako prawo Hooke a. W ogónym, 3-D przypadku: ij = ijk k ij = cijkε k 3 3 3 3 c c c c = c c c c c 3 4 5 6 7 8 9 c c3 c4 c6 c7 c8 c c c 3... c3 c..................... c 99 9 ε ε ε ε ε ε ε ε ε 3 3 3 3 8 stałych sprężystości?

Tensor naprężeń 3 ij 3 Wektor prostopadły do danej powierzchni Kierunek siły działającej na tę powierzchnię Anizotropia właściwości mechanicznych Zatem, poszczegóne składowe naprężenia zdefiniowane są następująco: 3

Anizotropia właściwości mechanicznych 3 6 3 5 6 4 3 3 5 4 3 Ponieważ: ij = ji Zatem, wystarczy 6 składowych tensora naprężeń Anizotropia właściwości mechanicznych = Zapisując uogónione prawo Hooke'a za pomocą tensorów, mamy: 3 = 4 5 6 3 4 5 6 ij 3 4 5 6 ijk 3 3 43 53 63 k 4 4 34 44 54 64 5 5 35 45 55 65 6 6 36 46 56 66 3 4 5 6 4

Anizotropia właściwości mechanicznych Jest jeszcze jedna niezgodność: jak się mają oznaczenia w macierzy współczynników do czteroindeksowych oznaczeń w tensorowym zapisie prawa Hooke'a? ij = ijk k 3 = 4 5 6 Tensor 3 3 3 3 Macierz 3 4 4 5 5 6 6 3 4 5 6 3 4 5 6 3 3 43 53 63 4 4 34 44 54 64 5 5 35 45 55 65 6 6 36 46 56 66 3 4 5 6 Anizotropia właściwości mechanicznych Ogónie, w przypadku 3-D, prawo Hooke a mówi, że składniki naprężenia są iniową funkcją składowych tensora odkształcenia, gdzie 36 stałych,,, 66, to stałe sprężystości. W danej temperaturze współczynniki ij są stałe. 36 stałych ij to: 6 stałych i=j oraz 3 stałych, w których i j. Tych jest 5, ponieważ tyko połowa jest niezaeżna. Razem:. 5

6 Anizotropia właściwości mechanicznych = 6 5 4 3 66 56 55 46 45 44 36 35 34 6 5 4 3 6 5 4 3 6 5 4 3 sym Przykład

Przykład Odwrotność modułu Younga kryształu tetragonanego wykreśona w 3D; A. Authier, Laboratoire de Minéraogie- ristaographie, Université Pierre et Marie urie, Paris, France. Anizotropia właściwości mechanicznych Jeżei kryształ jest symetryczny, wówczas stałych sprężystości może być mniej. Struktura Trójskośna Jednoskośna Rombowa Tetragonana Heksagonana Reguarna iało izotropowe Symetria obrotowa brak x 4 6 4 x 3 Liczba stałych 3 9 6 5 3 7

Symetria Niech O jest operacją symetrii R () = PF R () = OPO T F R () = R () Te dwa wyniki są nierozróżniane czyi równe. Symetria Da tensora -rzędu i operacji symetrii O, po zastosowaniu operacji symetrii otrzymamy nową macierz stałych sprężystości, '. Jej składowe wyznacza się w następujący sposób: ijk = ΣO im O jn O ko O p mnop 8

Symetria Rozważmy oś 4-krotną równoegłą do osi z. z ijk = ΣO im O jn O ko O p mnop O 4 = Tensor 3 3 3 3 Macierz 3 4 4 5 5 6 6 = 3 4 5 6 3 4 5 6 3 3 43 53 63 4 4 34 44 54 64 5 5 35 45 55 65 6 6 36 46 56 66 3 = 5 4 6 3 5 4 6 3 3 35 34 36 5 5 35 55 54 56 4 44 46 4 34 54 6 46 66 6 36 56 Symetria Ponieważ musi być równe, otrzymujemy: =, 3 = 3, 44 = 35, 6 =- 6, oraz 4 = 5 = 4 = 5 = 34 = 35 = 36 = 45 = 46 = 56 =. 3 6 3 6 3 3 = 44 44 46 6 6 66 9

Symetria W układzie reguarnym, po zastosowaniu wszystkich operacji symetrii, okazuje się, że są tyko 3 niezaeżne stałe symetrii:, and 44, Używa się również stałej ' = ( - )/, która jest stałą sprężystości związaną z naprężeniem ścinającym w kierunku <>. Miarą sprężystej anizotropii jest stosunek 44 /'. Poikryształy mm Adapted from Fig. K, coor inset pages of aister 6e. (Fig. K is courtesy of Pau E. Danieson, Teedyne Wah hang Abany) płyta Nb-Hf-W; środkowy obszar: miejsce spawania. Każde ziarno to monokryształ; rozmiary ziarna krystaicznego mogą być od nm do cm.

Poikryształy Poikryształy mogą, ae nie muszą być izotropowe: Jeśi ziarna krystaiczne są zorientowane przypadkowa (E poi Fe = GPa) Jeśi nie: to materiał jest anizotropowy. µm Adapted from Fig. 4.(b), aister 6e. (Fig. 4.(b) is courtesy of L.. Smith and. Brady, the Nationa Bureau of Standards, Washington, D [now the Nationa Institute of Standards and Technoogy, Gaithersburg, MD].) 4 Poikryształy Skoro każdy kryształ jest inaczej ustawiony i jego właściwości są anizotropowe to jak obiczyć właściwości całego poikryształu?

Poikryształy Żeby przeprowadzić dokładne obiczenia, naeżałoby znać orientację każdego krystaitu, co jest raczej niemożiwe. Poikryształy Rzadko możiwe jest dokładne obiczenie właściwości poikryształu. Bardziej odpowiednią procedurą jest wyznaczyć górną i doną granicę danej właściwości.

Poikryształy Aby opisać właściwości materiału, trzeba zdefiniować minimany reprezentatywny eement objętości wystarczająco duży aby statystycznie reprezentaował cały materiał. Pytanie: ie krystaitów wystarczy aby reprezentować cały poikrystaiczny materiał? Przykład: górna i dona granica właściwości sprężystych Moduł Voigta: najprostszy mode górnej granicy stałych sprężystości zakłada, że wszystkie ziarna doznają takiego samego odkształcenia. Moduł Reussa: najprostszy mode donej granicy stałych sprężystości zakłada, że wszystkie ziarna doznają takiego samego naprężenia. 3

Przykład: górna i dona granica właściwości sprężystych Moduł Reussa : Moduł Voigta : E Reuss = s E Voigt = c Przykład: górna i dona granica właściwości sprężystych 4

Anizotropia poikryształów Odkształcenie sprężyste w warunkach anizotropowych jest opisane przez 3 - stałych sprężystości ij, natomiast całkowicie izotropowe ciało mastałe. Poikryształ nie musi być izotropowy: Tekstura, gdzie ziarna nie są przypadkowo zorientowane; Uporządkowanie cząstek innej fazy; 5

6 Materiał ortotropowy Materiały takie jak drewno, aminaty, sta wacowana, kompozyty, w których poszczegóne warstwy mają różną orientację włókien; Mają one 3 prostopadłe płaszczyzny symetrii i 3 odpowiadające im prostopadłe osie (tzw. osie ortotropowe). Materiał ortotropowy Zatem, stałe ij są niezmienne wzgędem obrotu o 8 wokół osi ortotropowych. 36 stałych ij ogranicza się do. = 6 5 4 3 66 55 44 3 3 3 3 6 5 4 3

Materiał izotropowy Jeśi materiał poikrystaiczny jest zbudowany z ziaren krystaicznych zorientowanych w całkowicie przypadkowy sposób, wówczas jego właściwości mechaniczne nie zaeżą od kierunku. Materiał jest całkowicie izotropowy. W takim przypadku iość stałych sprężystości redukuje się do : = = = = 3 = 3 = Materiał izotropowy Naprężenie w takim przypadku można zapisać jako: ' ' ' = = = ' ' ' + + + ( ( ( = λ δ + µ ' ij ' ii ' ij ' ' ' ' ij + + + ' ' ' ) ) ) I można wprowadzić inny rodzaj stałych sprężystości (stałe Lame'a) λ = µ = 7

8 Materiał izotropowy zęściej stosowanymi stałymi sprężystości są moduł Younga (E) i stała Poissona (ν) Stała Poissona to stosunek odkształcenia poprzecznego do podłużnego. )] ( [ )] ( [ )] ( [ ν ν ν + = + = + = E E E Materiał izotropowy W zapisie macierzowym: + = 3 3 3 3 ) )( ( E ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν ν

Anizotropia innych właściwości mechanicznych Łupiwość, twardość, pastyczność,.. Łupiwość kryształu Łupiwość Tendencja do pękania wzdłuż płaszczyzn, które są słabo związane między sobą; Powstają płaskie, błyszczące płaszczyzny; 9

Łupiwość kryształu fuoryt, hait i kacyt Łupiwość kryształu - mika ma ideaną łupiwość Muscovite 3

Łupiwość pozwaa na rozpoznawanie niektórych minerałów Łupiwość Pyroxene: dwie płaszczyzny łupiwości pod kątem około 9 o ; Amfibo: dwie płaszczyzny pod kątem 56 o i 4 o ; 3

Łupiwość kryształu Gdy kryształ nie ma płaszczyzn łupiwości: powstaje przeom muszowy (np. w kwarcu) Twardość Twardość - stopień oporu, jaki stawia kryształ zewnętrznemu mechanicznemu działaniu - również zaeży od kierunku. 3

Twardość Anizotropię twardości wykazują wszystkie kryształy. Jeśi ze środka badanej ściany kryształu odmierzymy w każdym kierunku wektor proporcjonany do wiekości użytej siły (czyi do twardości) i końce wektorów połączymy krzywą, to otrzymamy tzw. krzywą twardości zwaną również figurą twardości. Twardość Krzywa twardości jest okręgiem da całkowicie izotropowego materiału.

Twardość Przykłady: Twardość haitu (Na) na ścianie () jest mniejsza w kierunku krawędzi sześcianu, a większa w kierunku przekątnej ściany; Twardość fuorytu (af ) na ścianie () jest większa w kierunku krawędzi sześcianu, a mniejsza w kierunku przekątnej ściany; Twardość Poikryształy też nie są ani jednorodne, ani izotropowe pod wzgędem twardości Kontur twardości boku metaowego o rozmiarze 8 mm Twardość w funkcji odegłości od spawu. 34

Literatura Prof. A.D. Roet, arnegie Meon University, Dept. of Mat. Sci. and Eng.; Denyse Lemaire, "Atoms, Eements, Mineras, Rocks: Earth s Buiding Materias" Janet Rankin, Division of Engineering, MRSE Teacher Institute; 35