ZASTOSOWANIE METODY HOMOGENIZACJI DO WYZNACZANIA STAŁ YCH MATERIAŁ OWYCH MATERIAŁ U NIEJEDNORODNEGO

Transkrypt

1 ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK XLVII NR (66) 006 Lesł aw Kyzioł Akademia Marynarki Wojennej ZASTOSOWANIE METODY HOMOGENIZACJI DO WYZNACZANIA STAŁ YCH MATERIAŁ OWYCH MATERIAŁ U NIEJEDNORODNEGO STRESZCZENIE Podano przebieg badań i sposób wyznaczania stałych materiałowych pojedynczych warstw sosnowego drewna wczesnego i późnego. Założono, że każda z warstw jest zbudowana z materiału jednorodnego transwersalnie-izotropowego. Na tej podstawie określano po pięć stałych sprężystości warstw drewna wczesnego i późnego. Wykorzystując metodę homogenizacji, za pomocą związków zachodzących pomiędzy parametrami mikro- i makrostruktury wyznaczono dziewięć stałych efektywnych drewna sosnowego jako materiału ortotropowego. Słowa kluczowe: materiał transwersalno-izotropowy, materiał ortotropowy, homogenizacja, stałe efektywne. WSTĘP Elementem strukturalnym badanego drewna sosnowego jest jego warstewkowość. Konsekwencją warstewkowości drewna jest anizotropia właściwości mechanicznych. W celu zobrazowania relacji warstewkowość anizotropia drewna przeanalizowano parametry efektywne sprężystości. Obliczenia przeprowadzono dla drewna sosnowego. Materiał ten charakteryzuje regularna budowa, na którą składają się warstwy drewna wczesnego i późnego. W analizie założono, że każda z warstw jest zbudowana z materiału jednorodnego transwersalnie-izotropowego. Na tej podstawie przedstawiono metodykę określania własności efektywnych struktur warstwowych. 8

2 Lesław Kyzioł W myśl przyjętej zasady, że pojedyncze warstwy wykazują budowę materiału transwersalnie-izotropowego, określano doświadczalnie po pięć stałych sprężystości warstw drewna wczesnego i późnego. Celem zasadniczym pracy jest, by na podstawie badań eksperymentalnych pojedynczych warstw drewna wczesnego i późnego, w oparciu o metodę homogenizacji, wyznaczyć dziewięć stałych efektywnych drewna jako materiału ortotropowego. BADANY MATERIAŁ. WYNIKI BADAŃ a b c Rys.. Geometria próbki wyciętej w kierunku osi: a) x ; b) x ; c) x 84 Zeszyty Naukowe AMW

3 Zastosowanie metody homogenizacji do wyznaczania stałych materiałowych... Na rysunku. przedstawiono kształt i wymiary próbek do badań właściwości mechanicznych pojedynczej warstwy drewna. Ponadto pokazano umiejscowienie prostokątnej rozety tensometrycznej na płaszczyźnie (x, x ) oraz tensometr na płaszczyźnie (x, x ), za pomocą których mierzono odkształcenia. Część pomiarową próbki stanowiła pojedyncza warstwa drewna (wczesnego lub późnego). Przebieg i wyniki badań podano w pracy []. Sposób określania stałych materiałowych przedstawiono na przykładzie próbki o przekroju A wyciętej z warstwy drewna naturalnego rozciąganej siłą F (rys..,.). Rozciąganie w kierunku osi x Rozciąganie w kierunku osi x x x ε x ε ε 45 ε ε 45 x ε Rys.. Pomiar odkształceń próbki poddanej obciążeniu w kierunku osi x Rys.. Pomiar odkształceń próbki poddanej obciążeniu w kierunku osi x Wykorzystując uogólnione prawo Hooke a [,,, 4], wyznaczono stałe sprężystości pojedynczych warstw, których wartości podano w tabeli. Warstwy Wczesne Późne Tabela. Stałe sprężystości warstwy drewna wczesnego i późnego E = E [GPa].6.50 E [GPa] G = G [GPa] 5.0 G [GPa] ν = ν = ν ν = ν ν Rys. 4. Geometria próbki (66)

4 Lesław Kyzioł Na rysunku 4. przedstawiono kształt i wymiary próbek wykonanych z części przyobwodowej. Osie próbek pokrywały się z kierunkiem włókien oraz biegły w kierunku prostopadłym do włókien. Tak więc, oś próbki pokrywała się kolejno z osiami x, x oraz x. Próbki te zawierały przynajmniej cztery warstwy i odpowiadały właściwościami materiałowi ortotropowemu. Na podstawie przeprowadzonych badań materiał wykazał wartości stałych materiałowych, których wyniki zamieszczono w tabeli. Tabela. Stałe materiałowe drewna naturalnego E E E G G G ν ν ν ν ν ν ANALIZA WYNIKÓW BADAŃ Bazując na wynikach pomiarów w skali mikro i wykorzystując metodę homogenizacji, przeprowadzono obliczenia, których celem było określenie zastępczych stałych materiałowych kompozytu drewna na podstawie stałych materiałowych warstw. Uzyskane w wyniku obliczeń metodą homogenizacji wartości parametrów zastępczych zostały zweryfikowane za pomocą stałych materiałowych uzyskanych w badaniach eksperymentalnych. Zgodność wyników otrzymanych z pomiarów i badań będzie dowodem na poprawność zastosowanej metody homogenizacji. Metoda homogenizacji spełnia rolę wspierającego narzędzia laboratoryjnego, ponadto pozwala na określenie wpływu błędu pomiaru w skali mikro na błąd wyniku w skali makro. Miarą błędu w skali mikro jest ścieśnianie lub rozrzut błędu w skali makro. Jeżeli występuje ścieśnianie, to zachodzi dobre odwzorowanie błąd maleje; wówczas mamy wiarygodność poprawności zastosowanej metody homogenizacji. Oznacza to, że wykonując badania tym samym sprzętem na poziomie mikro i makro, lepiej jest dokonywać pomiarów na poziomie mikro i przeliczać na makro błąd pomiaru się zacieśnia. Natomiast jeżeli mały błąd na poziomie mikro generuje duży na poziomie makro, wówczas badania na poziomie mikro są bezpodstawne, ponieważ każdy pomiar jest obarczony błędem i obliczenia metodą homogenizacji są obarczone dużym rozrzutem. Związki (9 7) [podane w poprzednim artykule pt. Wyznaczanie stałych materiałowych drewna metodą homogenizacji] umożliwiły analizę ilościową wpływu poszczególnych parametrów na wartości analizowanych własności efektywnych. Wyniki przedstawiono na rysunkach Zeszyty Naukowe AMW

5 Zastosowanie metody homogenizacji do wyznaczania stałych materiałowych... W pierwszej kolejności obliczeń określono wpływ składowych współczynników Younga (określonych w sposób eksperymentalny) drewna wczesnego E i późnego E na wartości efektywnych stałych sprężystości bielastego drewna sosnowego. Celem było określenie wrażliwości parametrów w skali mikro na wartości parametrów efektywnych. W szerokim zakresie zmieniano wartości E i E charakteryzujące materiał ośrodka. Wyniki badań zaprezentowano w postaci wykresów na rysunkach 5 7. Zaprezentowano tylko wybrane stałe efektywne. a) E E E b) E E E Rys. 5. Zależność efektywnych współczynników Younga bielastego drewna sosny: a) dla kierunku anatomicznego promieniowego; b) wzdłużnego od współczynników sprężystości warstw drewna wczesnego E i późnego E (66)

6 Lesław Kyzioł ν E E 5 Rys. 6. Zależność efektywnych współczynników Poissona bielastego drewna sosny od współczynników sprężystości warstw drewna wczesnego E i późnego E G E E 5 Rys. 7. Zależność efektywnych współczynników Kirchoffa bielastego drewna sosny od współczynników sprężystości warstw drewna wczesnego E i późnego E Zgodnie z przewidywaniami, wzrostowi wartości E i E towarzyszy znaczny wzrost parametrów efektywnych E, E, E (rys. 5a, b), G, ν, ν i tylko nieznaczny pozostałych parametrów (rys. 6., 7.). Wynika to z budowy materiału, jakim jest drewno, którego parametry zostały zdefiniowane zależnościami (9 7) wyrażającymi wzajemne relacje zachodzące pomiędzy nimi w skali mikro i makro. Zaobserwować można znaczenie wartości współczynników określonych eksperymentalnie w skali mikro, wpływających na wartości współczynników efektywnych. Stąd wynika konieczność przeprowadzenia maksymalnie dokładnie badań eksperymentalnych pojedynczych warstwy włókien drewna wczesnego i późnego. Na podstawie zaprezentowanych wykresów można zaobserwować, jak mały błąd w skali mikro wpływa na wielkości parametrów w skali makro. Ponadto widać, jak 88 Zeszyty Naukowe AMW

7 Zastosowanie metody homogenizacji do wyznaczania stałych materiałowych... duża jest wrażliwość parametrów, które zostały pomierzone w skali mikro i ich wpływ na wartości efektywne. Na rysunkach dodatkowo przedstawiono płaszczyzny średnich wartości parametrów efektywnych drewna, które są równoległe do płaszczyzn podstawy (o osiach współrzędnych E krawędź E ). Uzyskana krawędź przecięcia się płaszczyzny średnich wartości parametrów efektywnych z płaszczyzną, której wartości efektywne są zależne od wartości składowych ( E i E ), jest zbiorem pary współczynników E i E odpowiadających średniej stałej wartości współczynnika efektywnego. Odpowiadające tej krawędzi (linii) parametry efektywne zależne od E i E pozwalają wygenerować wartości współczynników efektywnych. W zagadnieniach sprężystych istnieje reakcja jednoznaczna parametry efektywne powstają tylko z jednej pary punktów E i E. Gdyby wszystkie krawędzie (linie) reprezentujące parametry efektywne uzależnić od E i E, wówczas przecięłyby się w jednym punkcie będącym rozwiązaniem tego zagadnienia. Optymalnym rozwiązaniem wszystkich współczynników efektywnych zależnych od składowych współczynników Younga E i E jest para punktów o współrzędnych E = 0. 6GPa i GPa E =. 50. W następnej kolejności określono (rys ) wpływ składowych współczynników Poissona (wyznaczonych eksperymentalnie) ν i ν na wartości analizowanych efektywnych stałych sprężystości bielastego drewna sosnowego. E ν ν Rys. 8. Zależność efektywnych współczynników Younga bielastego drewna sosny od współczynników Poissona warstw drewna wczesnego i późnego ν ν (66)

8 Lesław Kyzioł a) ν ν ν b) ν ν ν Rys. 9. Zależność efektywnych współczynników Poissona bielastego drewna sosny od współczynników Poissona warstw drewna wczesnego ν i późnego ν G ν ν Rys. 0. Zależność efektywnych współczynników Kirchoffa bielastego drewna sosny od współczynników Poissona warstw drewna wczesnego i późnego 90 Zeszyty Naukowe AMW

9 Zastosowanie metody homogenizacji do wyznaczania stałych materiałowych... Również w tym przypadku niewielki wzrost współczynników składowych ( ν i ν ) wywołuje znaczny wzrost współczynników efektywnych E (rys. 8.), G oraz ν i ν (rys. 9a, b). Zmiana współczynników ν i ν nie ma żadnego wpływu na zmianę efektywnych wartości współczynników E, E oraz G (rys. 0.) i tylko bardzo nieznacznie na ν. Uzyskane w wyniku obliczeń wielkości zostały zweryfikowane za pomocą stałych materiałowych uzyskanych w badaniach eksperymentalnych. W rezultacie obliczeń (tabela.) uzyskano stałe efektywne bielastego drewna sosnowego dla udziału drewna wczesnego w drewnie n =. Tabela. Stałe efektywne drewna sosnowego określone w wyniku zastosowania metody homogenizacji E E E G G G ν ν ν ν ν ν WNIOSKI. Wykorzystując metodę homogenizacji, można określić, jak poszczególne parametry składowe wpływają na wartości wszystkich parametrów efektywnych. Metoda ta umożliwia określenie trendu wrażliwości parametrów efektywnych kompozytu wygenerowanych z jego parametrów składowych.. Niedokładności, jakie miały miejsce w skali mikro, są przenoszone automatycznie na skalę makro. Można na podstawie zaprezentowanych wykresów zaobserwować dokładność i wrażliwość parametrów, jakie zostały pomierzone w skali mikro i ich wpływ na wartości efektywne.. Metoda homogenizacji pozwala na określenie parametrów efektywnych sprężystości na podstawie tylko wybranych parametrów, tych które były możliwe do określenia w skali mikro. Właściwie opracowany model matematyczny oraz właściwie dobrane parametry sprężystości w skali mikro (których pomiar jest wykonany z największą dokładnością) pozwalają na określenie parametrów efektywnych. 4. Różnica wartości parametrów efektywnych określonych eksperymentalnie i obliczona z wykorzystaniem metody homogenizacji nie przekracza 5%. Uzyskane wartości parametrów metodą homogenizacji mogą zostać wykorzystane w obliczeniach inżynierskich. (66) 006 9

10 Lesław Kyzioł BIBLIOGRAFIA [] Bensoussan A., Lions J. L., Papanicolau G., Asymptotic analysis for periodic structures, North-Holland Publishing Company, Amsterdam 978. [] Kyzioł L., Analiza właściwości drewna konstrukcyjnego nasyconego polimerem MM, AMW, Gdynia 004. [] Łydżba D., Zastosowania metody asymptotycznej homogenizacji w mechanice gruntów i skał, Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław 00. [4] Sanchez-Palenica E., Non-homogeneous Media and Vibration Theory, Lecture Notes in Physies, 7, Springer-Verlag, Berlin 980. ABSTRACT The paper presents investigations and a way of determining material constants for single layers of early and late pine-wood. It was assumed that each layer is composed of homogenous material transversally isotropic. This was used to determine five constants of resilience of early and late wood layers. The homogenization method was used to determine nine effective constants for pine wood as ortotropic material. Recenzent dr hab. inż. Zbigniew Powierża, prof. nadzw. AM w Gdyni 9 Zeszyty Naukowe AMW