7. RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 1 7. 7. RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 7.1. Wprowadzenie Równania Lamego wyrażają się wzorem: u i 1 u j, j i0 (7.1) gdzie: u i jest funkcją biharmoniczną u j,j υ - dylatacja (jest funkcją harmoniczną) Warunek na funkcję harmoniczną: f 0 (7.) Warunek na funkcję biharmoniczną: 4 f 0 (7.3) 7.. Dylatacja dowód W dalszych rozważaniach przeprowadzimy dowód na to, iż dylatacja - υ jest funkcją harmoniczną. Powinna zatem spełniać warunek określony wzorem (7.): 0 Pamiętamy, że: x x 3 (7.4)
7. RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI Możemy zatem zapisać, że:, jj u j, j i 0 Różniczkujemy obustronnie po i:, jj u j, j i 0 /,i, j j i u j, j i i 0 Zauważamy że u i,i j j, można zapisać jako u j, j i i, co w rezultacie daje: u j, j i i u j, j i i 0 u j, j i i 0 Korzystając z tego że u j,j υ oraz f,ii f otrzymamy odpowiednio: A,i i 0 A0 Co należało dowieść. Wniosek: Dylatacja jest więc funkcją harmoniczną spełnia równanie funkcji harmonicznej 7.3. u i funkcja biharmoniczna. Dowód Jeżeli funkcja u i jest funkcją biharmoniczną, powinna spełniać równanie udowodnić: 4 u i 0, co należy u i u j, j i 0 u i,i0 Na wyrażenie działamy operatorem Laplace'a i w wyniku tego otrzymujemy:
7. RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 3 4 u i,i0 Gdzie drugi człon wyrażenia,i jest równy zero (patrz dowód 7..). Mamy zatem: 4 u i 0 (7.5) 4 u i 0 (7.6) Co należało dowieść. 7.4. Równania teorii sprężystości wyrażone w naprężeniach (Równania Beltrami Mitchel'a). Na wcześniejszych wykładach zapisaliśmy równania teorii sprężystości wyrażone w przemieszczeniach. Równanie fizyczne wyrażało się poprzez: kk Równanie to możemy zapisać w następującej postaci: E E s, gdzie s kk (7.7) Wzór 7.7. podstawiamy do równania nierozdzielności odkształceń:, kl kl, ik, j l j l,ik 0 (7.8) Otrzymamy: 1 E [, kl kl, ik, j l j l,ik ] E [s, kl s, kl s, j l ik s,ik j l ]0 (7.9) Możemy dokonać zwężenia, jeżeli równanie powyżej bedzie spełnione dla dowolnej kombinacji wskaźników, to będzie także spełnione dla k l:
7. RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 4, kk kk, ik, jk jk,ik 1 [s s s s ] (7.10), kk, kk, jk ik,ik jk Następnie można zauważyć że: w lewym członie równania:, kk oraz kk, s w prawym członie równania: s, kk s, kk 3, s, jk ik s,, s,ik jk s, s, ik, jk jk,ik 1 [ s3 s, s, s, ] (7.1) s, ik, jk jk,ik 1 [ ss, ] (7.1) s, [1 1 ] ik, jk jk,ik 1 s (7.13) Korzystamy z równań równowagi Naviera: ik, k p i 0 /, j ik, kj p i, j 0 (7.14) jk, k p j 0 /,i jk, ki p j,i 0 (7.15) Podstawiamy równania 7.14 oraz 7.15 do równania 7.13 i otrzymujemy: s, [1 1 ] p i, j p j,i 1 s (7.16) 1 s, 1 s [ p i, j p j,i ] (7.17) Dokonujemy mnożenia wewnętrznego (kontrakcji) i j:
7. RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 5 ii 1 s,ii 1 ii s [ p i,i p i,i ] (7.18) s 1 s 3 1 s p i,i (7.19) s 1 1 p i,i (7.0) Podstawiamy równanie 7.0 do równania 7.17 i otrzymujemy: 1 s, 1 p [ p p ] k, k i, j j,i (7.1) Uzyskaliśmy w ten sposób równanie Beltrami Mitchel'a. Przykład: Rozpiszemy równanie Beltrami Mitchel'a dla i oraz j 1: 1 1 s,11 1 p [ p p ] 11 k, k 1,1 1,1 1 s 1 x 1 1 [ p 1 p p 3 ] p x,1 3 1 1 [ 1 33 ] 1 [ p 1 p p 3 ] p x,1 3 7.5. Podstawy energetyczne W każdym punkcie na ciało działają siły masowe i powierzchniowe. Całkowita energia ciała sprężystego, które doznaje odkształcenia u wyraża się wzorem: L S f u ds p u d (7.) gdzie: f - siły powierzchniowe p - siły masowe
7. RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 6 Zapisując skalarowo: L S f i ds p i d (7.3) f i n ji nj f i ji n j (7.4) Podstawiając 7.4 do 7.3 otrzymamy: L S ji n j ds p i d (7.5) Korzystając z twierdzenia Gaussa Greena Ostrogradzkiego: S A k n k ds A k, k d podstawiając za A j ji Otrzymamy: s ji n j ds ji, j d (7.6) s ji n j ds [ ji, j ji, j ]d (7.7) Podstawiając wzór 7.7 do wzoru 7.5 otrzymamy: L [ ji, j ji, j p i ]d (7.8) L [ ji, j p i ji, j ]d (7.9) Gdzie zgodnie z równaniami równowagi Naviera: ji, j p i 0 zatem: L ji, j d (7.30)
7. RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 7 Ponieważ ji, j u j,i zatem możemy zapisać, że: ji, j ji, j u j,i (7.31) Podstawiamy wyrażenie 7.31 do wzoru 7.30: L [ 1 ji, j u j,i ]d (7.3) L [ 1 u j,i ]d (7.33) L [ ]d (7.34) Jeżeli na ciało sprężyste działa obciążenie zewnętrzne to wielkość pracy jaką te siły wykonają wyraża się wzorem 7.34: L [ ]d (energia zmagazynowana w ciele) Energię właściwą (energię jednostkową) wyrażamy wzorem: W (7.35) o T - aksjator (odpowiada za zmianę objętości) T d T - dewiator (odpowiada za zmianę postaci) T o 3 T kk (7.36) d T T 1 3 T kk (7.37) Wzór 7.35 możemy wyrazić poprzez oraz jako sumę aksjatorów i dewiatorów:
7. RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 8 W [ o d ] [ o d ] (7.38) Wykorzystując zależności 7.36 i 7.37 otrzymamy: gdzie: 3 d o [ 1 3 ] [ 1 kk 3 ]1 l l 3 1 l l 9 kk l l d o 3 1 l l 9 3 1 kk l l 3 1 kk l l 3 kk l l 0 (7.39) Analogicznie otrzymamy: o d [ 1 3 ] [ 1 kk 3 ]1 l l 3 1 kk 9 1 kk l l 3 1 kk l l 3 kk l l 0 (7.40) Oznacza to że odkształcenia normalne nie pracują na kątach obrotu. Podstawiając wyżej otrzymane zależności (7.39 i 7.40) do wzoru: W [ o o o d d o d d ] (7.41) Otrzymamy: W o o d d W o W d (7.4) Całkowita energia właściwa jest równa sumie energii odkształcenia postaciowego i energii odkształcenia objętościowego. W o o o o E 1 3 1 kk 1 6 E [ l l kk ] 6 E l l kk W o 6 E l l kk 6 E 1 lkk 6 E I 1 (7.43) Gęstość energii aksjatora wyraża się wzorem:
7. RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI 9 W o 6 E I 1 (7.44) Gdzie I 1 jest to pierwszy niezmiennik stanu naprężenia. Gęstość energii wynikającą z pracy dewiatora wyprowadzamy w następujący sposób: G d (7.45) Zatem: W d d d d 1 G d 4 G d d (7.46) Drugi niezmiennik dewiatora naprężenia wyraża się następująco: d I 1 d d (7.47) Gęstość energii dewiatorów można przedstawić następująco: W d 1 G I d (7.48)