J. Wyrwał, Wykłady z echak aterałów.. STAN NAPRĘŻENA STRONA STATYCZNA... Klasyfkaca sł Sły wyrażaą wzaee oddzaływaa ędzy obekta ateraly lub ch częśca. Są oe rezultate dzałaa ól słowych a asy ładuk krocząstek ater, czyl olekuł atoów. Wszystke sły ożey odzelć a astęuące gruy:. Sły blskego zasęgu, uwarukowae wzaey dzałae bezośredo stykaących sę cał lub ch częśc, zwae sła owerzchowy (kotaktowy). Są oe skutke oddzaływaa edzy krocząsteczka ater rzysuey e dowole owerzch zaduące sę we wętrzu cała (sły sóośc).. Sły dalekego zasęgu, zwązae ze wzaey oddzaływae ędzy cała bez ch bezośredego zetkęca sę, zwae sła asowy (sła grawtac).... Wektor arężea Rozważy bryłę (cało aterale) o dowoly kształce ueszczoą w rostokąty układze odesea Ox xx (rys. ), gdze x ozacza ołożee (esce) uktu ateralego w ty układze, x x, x y x z są wsółrzędy tego uktu,,,, k wersora (wektora edostkowy) os układu odesea. Zalety takch ozaczeń będą wdocze w dalsze częśc wykładu, zaś rzerowadzoe że rozważaa będą rawdzwe w rzyadku dowolego cała, zarówo stałego, ak łyego (ceczy gazu). Rys. Jeśl rzetey yślowo tę bryłę w ukce x łaszczyzą o wektorze oraly (wektorze edostkowy, rostoadły do łaszczyzy rzekrou wskazuący e stroę zewętrzą) wydzely wokół tego uktu eleetarą owerzchę o olu da (w dalszych rozważaach rzez welkośc eleetare będzey rozueć welkośc eskończee ałe, ftezyale), to eleetarą słę d f dzałaącą a te eleet ożey rzedstawć w astęuące ostac:
df da () gdze [N/ ] est arą rzestrzeego rozkładu sł a owerzchach wewętrzych bryły, zwaą wektore arężea (arężee). W sese fzyczy arężee wyraża sły wzaeego oddzaływaa ędzy olekuła ołożoy o rzecwych stroach rozatrywaego rzekrou. Wektor arężea, którego keruek est w ogólośc dowoly, ożey rozłożyć a dwe rostoadłe do sebe składowe (rys. ), a aowce τ ( ) () rzy czy azyway arężee oraly, zaś τ arężee styczy. Rys. W rzyęty układze odesea wektor arężeń ożey zasać w astęuące ostac: () gdze,,, ozacza wsółrzęde wektora arężea; kroka ędzy wektora ozacza ch loczy skalary., { } We wzorze () wykorzystao uowę suacyą ENSTENA, która ozwala a oae sybolu suowaa w rzyadku, gdy wskaźk suowaa wystęue w wyrażeu suoway dwukrote (owtarza sę). odwrote, gdy w day wyrażeu ewe wskaźk owtarza sę (wystęue dwukrote), wyrażee to est suą o ty wskaźku, rzy czy suowae odbywa sę o wszystkch wartoścach, ake te wskaźk rzyue, zwykle,,. Wskaźk tak azyway wskaźke ey oża go zaeć a akkolwek y,.. Wskaźk wystęuący ede raz (e owtarzaący sę) azyway wskaźke swobody. Koweca suacya ozwala a skrótowy zas rówań zaweraących zak suy zwększa rzerzystość ch zasu. k k
... Sta arężea. Tesor arężeń Wektor arężea zależy zarówo od ołożea uktu ak od łaszczyzy rzecęca, czyl est fukcą dwóch zeych ( x, ). Jeśl edak ustaly ukt x cost., to wektor arężea będze zależy tylko od wektora oralego do łaszczyzy rzecęca bryły w day ukce. W tak rzyadku fukcę ( ) azyway stae arężea w ukce. W celu określea ostac te fukc wyzaczy w erwsze koleośc wektory arężea a trzech łaszczyzach rzekrou rostoadłych do os układu odesea rzecaących dowoly ukt x. Rys. rzedstawa edą z ch, rostoadłą do os x. Otrzyuey wtedy Rys. ( ) ( ) ( ) (4) Powyższe trzy zależośc oża rzedstawć w ostac wskaźkowe (5) Wsółrzęde kwadratowe [N/ ] wektorów arężea ożey zasać w ostac acerzy [ ] x τ yx τ zx τ τ xy y zy τ xz τ yz z (6) zwae acerzą arężeń, która est uorządkoway zbore wsółrzędych trzech wektorów arężea a trzech łaszczyzach rostoadłych do os układu wsółrzędych (obok ozaczeń eleetów acerzy arężeń wykorzystywaych w aszych rozważaach owyże rzedstawoo róweż ozaczea klasycze, wykorzystywae w zagadeach żyerskch).
Wersze acerzy arężeń rzedstawaą kolee wsółrzęde, koleych wektorów arężeń; a rzekąte zaduą sę arężea orale zaś oza rzekątą arężea stycze. Perwszy wskaźk rzy arężeu wskazue oś układu odesea, do które łaszczyza rzecęca est rostoadła, zaś drug oś do które to arężee est rówoległe. Grafczy obraz acerzy arężeń rzedstawa rys. 4, rzy czy wszystke składowe acerzy arężeń rzedstawoe a ty rysuku są dodate. Rys. 4 Wyty yślowo z rozważae bryły eleet różczkowy rzedstawoy a rys. 5 (a rysuku ty rzedstawoo tylko te składowe tesora arężeń, których oety względe os O są róże od zera). Rys. 5 Waruk zerowaa sę oetów sł względe trzech wzaee rostoadłych os rzechodzących rzez ego środek rówoległych do os układu odesea oża rzedstawć w ostac M M M d d d d d d dx dx dx dx dx dx dx dx dx (7) skąd wyka, że acerz arężeń est syetrycza, czyl 4
(8) Syetra ta ozwala a zredukowae lczby ezależych składowych acerzy arężeń z dzewęcu do szczęścu. Aby wyzaczyć sta arężea w dowoly ukce rozważae bryły, czyl ostać fukc ( ) określaące wektor arężea a dowole łaszczyźe rzechodzące rzez day ukt, wyty z e yślowo eskończee ały czworośca, którego trzy ścay są rówoległe do łaszczyz układu odesea, zaś czwarta rzeca trzy ozostałe (rys. 6). Rys. 6 Zakładay, że zay acerz arężeń w ty ukce. Z waruków rówowag sł dzałaących a rozważay czworoścau wyka rówae da da da da da (9) z którego otrzyuey astęuącą zależość: da () da Poeważ owerzcha os Ox, zate da est rzute owerzch da a łaszczyzę rostoadłą do da da () Podstawaąc owyższy zwązek do zależośc (), wykorzystuąc relacę (5) a także ożlwość zaay wskaźków eych oraz syetrę (8) dostaey da () da 5
Z owyższe zależośc wyka, że sta arężea w ukce określa astęuąca relaca: gdze ( ) T () T (4) est tesore arężeń, atoast T są ego wsółrzędy. W echace sotykay różego rodzau welkośc fzycze zwae tesora. Tesory ożey odzelć uwag a ch rząd (walecę). Rząd tesora est rówy lczbe wskaźków swobodych, zaś lczba ego wsółrzędych w rzestrze trówyarowe wyos. Przykłady tesorów różych rzędów zawera oższa tablca Rodza tesora Rząd tesora Lczba wsółrzędych Przykłady skalar asa, eerga, teeratura wektor sła, rzeeszczee, arężee tesor 9 tesor arężeń, tesor odkształceń steą róweż tesory wyższych rzędów. Korzystaąc z uowy suacye ożey tesor arężeń rzedstawć ako T (5) Z relac () wyka, że tesor arężeń est odwzorowae (oeratore, rzekształcee) rzyorządkowuący wektorow oraleu wektor arężea (rys. 7). Tak węc tesor arężeń określa sta arężea. Rys. 7 Możąc stroa zależość () skalare rzez wersor k oraz dokouąc dalszych rzekształceń ożey ą zasać w astęuące ostac: δ δ (6) k k k k k gdze δ (7) 6
ozacza sybol (deltę) KRONECKERA. W (6) wykorzystao zależośc δ oraz δ (delta KRONECKERA ozwala a zaę wskaźków srawdzć!). Poeważ, zate (6) rzyue ostać ( ) (8) Wykorzystuąc uowę suacyą oraz wykorzystuąc fakt, ż swobody wskaźk rzyue wartośc,, ożey owyższą zależość tesorową rzedstawć ako k k (9)..4. Narężea główe Wektor arężea a zwykle y keruek ż wektor oraly (rys. 7). Tylko w rzyadku ewe łaszczyzy, zwae łaszczyza główą, wektor arężea a tak sa keruek, zway keruke główy, ak wektor oraly (rys. 8). Rys. 8 Ozacza to, że a łaszczyźe główe wystęue tylko arężee orale ( ) () gdze ozacza arężee główe, zaś arężee stycze est rówe zeru,. Porówuąc stroa zależośc () () otrzyuey rówae ( T ) T () τ gdze δ ozacza tesor edostkowy. Zaszy owyższe rówae w ostac wskaźkowe ( δ ) () gdze δ. 7
Wykorzystuąc uowę suacyą oraz fakt, ż swobody wskaźk rzyue wartośc,, otrzyuey z () astęuący układ trzech rówań ( ) ( ) ( ) () gdze welkośca oszukway est arężee główe oraz wsółrzęde,, wektora wyzaczaącego keruek główy,. Poeważ owyższy układ rówań est edorody ze względu a,,, zate a rozwae ezerowe tylko wtedy, gdy wyzaczk acerzy utworzoe ze wsółczyków rzy ewadoych est rówy zeru (4) Z owyższego waruku otrzyuey astęuące rówae charakterystycze gdze (5) (6) są ezeka acerzy arężeń. Z uwag a syetrę acerzy arężeń, owyższe rówae a trzy erwastk rzeczywste,, ; każdeu z tych erwastków (arężeń główych) rzyorządkoway est keruek główy określoy wektore oraly,,,,czyl (,, ) (,, ) (,, ) (7) Wektory te są ortoorale, czyl uszą sełać waruk δ,, (8) 8
W układze odesea wyzaczoy rzez keruk główe acerz arężeń a ostać [ ] (9) zaś e ezek określaą zależośc ()..5. Rówaa rówowag Rozważy wycęty z rozważae bryły eleet różczkowy rzedstawoy a rys. 9 (a rysuku ty rzedstawoo tylko te składowe tesora arężeń, które są rówoległe do os Ox ). Rys. 9 Waruk rówowag owyższego eleetu aą astęuącą ostać: X X X ( d ) dx dx ( d ) ( d ) dx dx ρg dx dx d dx dx d dx dx ρg ρg ρg d dx dx dxdx dx dxdxdx dxdxdx dx dx ρg dx dx dx dx () gdze ρ [kg/ ] est gęstoścą aterału, z którego est wykoaa bryła, słą asową, atoast ρ g [N/ ] słą obętoścową. g g [N/kg] 9
Z owyższych waruków otrzyuey astęuące trzy rówaa rówowag: ρg ρg ρg () Rówaa te zasae rzy wykorzystau uowy suacye w ostac ρg, ρg, ρg oża srowadzć do edego rówaa w ostac wskaźkowe () ρg (4) Wykorzystuąc astęuące ozaczee ochodych cząstkowych, (5) oraz syetrę tesora arężeń, zasuey rówaa rówowag, zwae też rówaa NAVERA, w astęuące, zwarte ostac, ρg (6) Warto zauważyć, że lczba rówań rówowag, których est trzy, e ozwala a wyzaczee sześcu ewadoych wsółrzędych tesora arężeń...6. Aksator dewator arężeń Tesor arężeń oża rzedstawć ako suę dwóch tesorów (7) a d Perwszy z ch, czyl δ (8) a azyway aksatore arężeń (tesore kulsty), rzy czy
kk (9) est arężee śred, atoast drug, a węc d δ (4) dewatore arężeń. Aksator arężeń osue wszechstroe, rówoere rozcągae (ścskae) eleetarego sześcau śred arężee oraly, atoast dewator arężeń zwązay est z ego ścae. Wsółrzęde tych tesorów rzedstawaą acerze a [ ] (4) d [ ] (4) Jak łatwo srawdzć, erwszy ezek aksatora arężeń est rówy erwszeu a ezekow tesora arężeń, czyl kk, atoast erwszy ezek d dewatora arężeń est rówy zeru, a węc. kk kk..7. Płask sta arężea Płask sta arężea wystęue wtedy, gdy wszystke wsółrzęde tesora arężeń a łaszczyźe rostoadłe do ede z os układu odesea są rówe zeru w każdy ukce bryły, zaś ozostałe wsółrzęde tego tesora są fukca tylko dwóch zeych określaących ołożee uktu a te łaszczyźe. Przyy zate, że osą tą est Ox, atoast łaszczyzą Ox x (rys. ). Rys.
W tak rzyadku, zaś ozostałe wsółrzęde tesora arężeń są fukca wsółrzędych x x, x,,,. Zate rozatrywaa łaszczyza est łaszczyzą główą, a które arężee, atoast ozostałe x, czyl ( ) arężea, czyl,, wystęuą tylko w łaszczyźe Ox x. Płask sta arężea wystęue. w tarczy, gdy obcążee dzałaące w e łaszczyźe est rówoere rozłożoe o grubośc (rys. ). Rys. W rzyadku łaskego stau arężea acerz arężeń oża rzedstawć w ostac (4) [ ] Aby oblczyć arężea główe te acerzy wyzaczay e weloa charakterystyczy, czyl wyzaczk w [ ]( ) det[ δ ] ( ) (44) gdze det ozacza wyzaczk (deterat) acerzy, atoast est arężee główy. Przyrówuąc owyższy weloa (wyzaczk) do zera, otrzyuey rówae charakterystycze drugego stoa gdze są ezeka acerzy [ ] wększy od zera (dodat). (45) (46). Poeważ wyróżk owyższego rówaa est zawsze
( ) ( ) ( ) 4 4 4 > (47) zate ekstreale wartośc arężeń (erwastk owyższego rówaa), czyl arężea główe, określaą astęuące relace: ( ) ( ) ax 4 4 (48) Każdeu z tych arężeń główych rzyorządkoway est keruek główy określoy wektore oraly,,,czyl ( ) ( ),, (49) Do wyzaczea keruków główych wykorzystuey układ rówań ( ) ( ) (5) z dodatkowy waruke ortooralośc wektorów wyzaczaących keruk główe δ (5) Z waruku tego wyka, że δ δ δ (5) W układze odesea wyzaczoy rzez keruk główe acerz arężeń a ostać [ ] (5) zaś e ezek określaą zależośc (54)
..8. Narężea a sły rzekroowe Sły rzekroowe oża wyrazć rzez wsółrzęde tesora arężeń za oocą astęuących wzorów: da N A da T A A xda M A A ( x x ) da M A da T x da M (55) które rzy wykorzystau ozaczeń stosowaych w zagadeach żyerskch rzyuą ostać xda N A τ da T A τ xy y A xz xzda My x A A ( τ xzy τ xy z) da Ms A da T z yda M z (56) gdze N ozacza słę odłużą (ścskaącą lub rozcągaącą), T,T sły orzecze (ścaące), M, M oety zgaące, M oet skręcaący (rys. ). Rys. Jeśl w rzekrou ręta wystęue tylko eda sła rzekroowa, to tak rzyadek azyway rosty rzyadke wytrzyałoścowy. Do rzyadków rostych zalczay (rys. ): a) rozcągae (ścskae) w rzekrou wystęue tylko sła odłuża N, b) ścae w rzekrou wystęue tylko sła orzecza T, c) zgae w rzekrou wystęue tylko oet zgaący M, d) skręcae w rzekrou wystęue tylko oet skręcaący M s. 4
Rys. Przykłade złożoych rzyadków wytrzyałoścowych (w rzekrou wystęue węce sł rzekroowych) est ścae ze zgae (sła orzecza z oete zgaący), czy też ścskae ośrodowe (sła skuoa rzyłożoa oza środke cężkośc rzekrou)...9. Trasforaca wsółrzędych tesora Rozważy dwa rostokąte układy odesea Ox xx oraz O x x x (rys. ). Rys. Wersory obu układów są owązae astęuący zwązka: a δ, a a, () a cos, cosϕ (rys. ) są wsółczyka (cosusa kerukowy) acerzy gdze ( ) rześca (trasforac). Rys. Rozważy wektor a a a () Poóży owyższą relacę stroa skalare rzez k. Wykorzystuąc () otrzyuey astęuącą zależość 5
a a a () zwaą rawe trasforac wsółrzędych wektora. Jeśl oożyy () stroa skalare rzez k, to rzye oa ostać a a a (v) k k Podstawaąc (v) do () otrzyuey a a a a (v) k k Wyka stąd, że a a k δ (v) k Zate acerz rześca est ortogoala. Rozważy tesor A A A (v) Poóży owyższą relacę stroa skalare rzez otrzyuey astęuącą zależość: k, a astęe rzez l. Wykorzystuąc () A a A a (v) k kl l zwaą rawe trasforac wsółrzędych tesora. Jeśl obrócy układ O x x względe układu Ox x o kąt ϕ (rys. ) Rys. to otrzyay astęuące wsółczyk acerzy rześca a a a a cosϕ cosϕ cosϕ cosϕ cosϕ cos cosϕ cos ( Π ϕ ) sϕ ( Π ϕ ) sϕ (x) W tak rzyadku acerz rześca rzye ostać a a cosϕ sϕ [ ] a (x) a a sϕ cosϕ 6
zaś wzory trasforacye dae będą zależośca x x cosϕ x x x sϕ x sϕ cosϕ (x) Przykłady Przykład. Wyzaczyć arężea główe keruk główe w rzyadku acerzy arężeń [ ] Dae: N/, N/, N/ Szukae:,,, Rozwązae: Krok. Oblczay arężea główe korzystaąc ze wzorów (48) ax ( ) 4.5..6 N/ ( ) 4.5..8 N/ W układze os główych acerz arężeń rzyue ostać.6 [ ] [ N/ ].8 Krok. Wyzaczay keruk główe () Wsółrzęde, wektora wyzaczay odstawaąc do rówań (5) oraz,. Otrzyuey wtedy ( ) (.6).6.6 ( ) (.6).6.6 Poeważ owyższe rówaa są lowo zależe, to wykorzystay dodatkowo erwszy z waruków (5), czyl (.6 ) (.8).85.6.85. 5 () Wsółrzęde, wektora wyzaczay rzyuąc w rówaach (5), że oraz,. Otrzyuey wtedy ( ) (.8).6.6 ( ) (.8).6.6 Podobe, ak orzedo, wykorzystay dodatkowo drug z waruków (5), czyl (.6 ) (.6).5.6.5. 85 7
Zate.6,.85,.5,.8.5.85 (.85,.5) (.5,.85) Krok. Srawdzay () Wartośc ezeków (46) (54).6.8 5.6.8 5 () Waruek ortogoalośc (rostoadłośc) wektorów (5) (.85).85.5.5 Wyk oblczeń rzedstawa rys. P, rzy czy kąt ędzy keruke wyzaczoy rzez wektor a osą x oblczoo z zależośc.5 ta ϕ o.6 ϕ.85 Rys. P Przykład. W układze Ox x daa est acerz arężeń [ ] Wyzaczyć acerz arężeń [ ].85.5 [ a ] Dae: a.5 N/,.85, a.85 N/,.5, a Szukae:,, w układze O x x, eśl daa est acerz rześca N/.5, a.85 8
Rozwązae: Zasuey rawo trasforac (v) w ostac acerzowe [ ] [ a ][ ][ a ] T gdze [ a ] [ ] T a wyzaczay acerz arężeń w układze z ra.85.5.85.5.6 [ ].5.85.5.85.8 Jest to acerz arężeń w układze os główych z rzykładu. gdyż.6 [ ] [ N/ ].8 gdyż.85.5.5.85 (rys. P.) Przykład. Wyzaczyć wektor arężea a łaszczyźe wektorze oraly (.85,.5) Rys. P. eśl daa est acerz arężeń [ ] [ N/ ] Dae:.85,.5; N/, N/, N/ Szukae:, Rozwązae: Krok. Wyzaczyy wsółrzęde oszukwaego wektora z zależośc (9), które w rozważay rzyadku łaskego stau arężea aa ostać.85.5.8 N/.85.5.9N/ 9
Zate (.8,.9).8. 9 Krok. Srawdzee Poeważ składowa orala tego wektora est rówa ( ) ( ) ( ) (.8.85.9.5). 6 zaś ego składowa stycza wyos τ (.5 ).6.8.9.6.85 zate, węc est to wektor główy (rostoadły do łaszczyzy rzekrou). Jego długość wyos.8.9.6 est oa rówa wartośc erwszego arężea główego z rzykładu, czyl. Wyk est oczywsty, gdyż zaday wektor oraly był wektore oraly erwsze łaszczyzy główe z rzykładu erwszego, czyl. Rezultaty oblczeń rzedstawa rys. P. Rys. P. Zagadea a egza. Zdefować oówć wektor arężea, sta arężeń tesor (acerz arężeń). Podać terretacę fzyczą składowych tesora arężeń odać kowecę ch zakowaa.. Zdefować oówć aksator (tesor kulsty) dewator arężeń.. Wyrowadzć oówć wzory określaące arężea główe w rzyadku łaskego stau arężeń. Zdefować ezek tesora arężeń. Wskazówka: Wykorzystać acerz arężeń y yz yz z