Statystyczna analiza danych przedziały ufności

Transkrypt

1 07-- Probablstyka statystyka Statystycza aalza daych przedzały ufośc Wykład 7 dr ż. Barbara Swatowska Wstęp Podstawowe cele aalzy zborów daych Uogóloy ops poszczególych cech/zeych statystyka opsowa; aalza struktury zboru daych - rozkłady eprycze zeej Odkrywae badae zależośc występujących poędzy zey Weryfkacja hpotez statystyczych Narzędza: etody statystyk ateatyczej, pakety statystycze Statgraph, Statstca, oduły statystycze w arkuszach kalkulacyjych, bazach daych.

2 07-- Mary położea (tedecj cetralej) Mary tedecj cetralej służą do wyzaczea wartośc cechy, wokół której skupają sę dae. Do ajczęścej stosowaych ar tedecj cetralej ależą: średa arytetycza, edaa doata. Przyjujey ozaczea: lczba eleetów w próbe; k lczba klas (przedzałów) w szeregu rozdzelczy. Średa arytetycza dla poszczególych szeregów wyraża sę wzora: szczegółowego x rozdzelczego puktowego rozdzelczego przedzałowego x x k x x k. x 3 Mary położea edaa Medaa jest to środkowy eleet w uporządkowaej próbe (zborowośc) cechy X. Oblcza sę ją za poocą wzorów: dla szeregu szczegółowego x + Me x dla eparzystego dla parzystego Dla szeregu rozdzelczego puktowego pozycję eday określay taj jak dla szeregu szczegółowego odczytujey, w który przedzale daa pozycja sę zajduje. Wartość tego przedzału przyjujey za edaę. + x +

3 07-- Dla szeregu rozdzelczego przedzałowego pozycję eday wyzaczay za poocą wzoru patrzyy, w który przedzale zajduje sę edaa. Następe wartość eday lczyy z wzoru: gdze: M 0 X 0 dola graca przedzału eday, pozycja eday; uer przedzału eday lczebość wszystkch przedzałów poprzedzających przedzał eday (bez lczebośc klasy eday), lczebość przedzału eday, h długość przedzału eday, Mary położea edaa c.d. x + h Mary położea doata Doata ozaczay ją przez D. Defuje sę ją astępująco: dla szeregu rozdzelczego puktowego jest to ta cecha, która występuje ajczęścej; jeśl ajczęścej występuje cecha x d, to Dx d ; dla szeregu rozdzelczego przedzałowego ajperw wyzaczay klasę ajlczejszą a astępe doatę z wzoru: gdze: D 0 d X 0d dola graca przedzału doaty, d lczebość przedzału doaty, d- lczebość przedzału poprzedzającego przedzał doaty, d+ lczebość przedzału astępego po przedzale doaty, h d rozpętość przedzału doaty, x + d d ( d d ) + ( d d + h ) d 3

4 07-- Mary położea kwartyle Kwartyle defujey je jako wartośc cechy badaej zborowośc, przedstawoej w postac szeregu statystyczego, które dzelą zborowość a określoe częśc pod względe lczby jedostek. Kwartyl perwszy Q dzel zborowość a dwe róże częśc w te sposób, że % jedostek zborowośc a cechy ższe bądź rówe kwartylow perwszeu Q, a 7% rówe bądź wyższe od tego kwartyla. Kwartyl drug Q to wartość odala. Kwartyl trzec Q 3 dzel zborowość a dwe róże częśc w te sposób, że 7% jedostek zborowośc a cechy ższe bądź rówe kwartylow trzeceu Q 3, a % rówe bądź wyższe od tego kwartyla. W przypadku szeregów szczegółowych kwartyle perwszy trzec wyzacza sę aalogcze jak edaę. 7 7 Mary położea kwartyle c.d. w szeregach rozdzelczych wyzaczee kwartyl poprzedza ustalee ch pozycj według wzorów: N, Q N Q 3 3 dla szeregów rozdzelczych przedzałowych stosuje sę wzory: Q Q 3 x x N N Q Q 3 h h gdze: uer przedzału (klasy), w który występuje odpowadający u kwartyl; x 0 dola graca tego przedzału; lczebość przedzału, w który występuje odpowed kwartyl; h długość przedzału klasowego, w który jest odpowed kwartyl; lczebość skuulowaa przedzału poprzedzającego przedzał odpowedego kwartyla 8 8

5 07-- PRZYKŁAD 7. Mary położea kwartyle przykład Dwóch pracowków wykouje detale tego saego typu. Przeprowadzoo obserwacje czasu wykoywaa pęcu detal przez perwszego pracowka W oraz sześcu detal, wytwarzaych przez pracowka drugego W. Otrzyao astępujące wyk: W : 3,,, 9, W :,, 3, 3,, Średe dla obu wykoawców: x W x W 3 Doata dla perwszego pracowka wyos, atoast dla drugego doaty e da sę wskazać. Medaa dla W jest wartoścą środkową, czyl wyos. Natoast dla W jest wartoścą średą trzecego czwartego wyku czyl wyos 3 ut. Mary położea kwartyle przykład PRZYKŁAD 7. c.d. Kwartyle dla perwszego pracowka : dzely dae a dwe częśc: 3,, 9 oraz, 9, stąd otrzyujey, że Q,W oraz Q 3,W3 9 Kwartyle dla drugego pracowka: dzely dae a dwe częśc:,, 3 oraz 3,, stąd otrzyujey, że że Q,W oraz Q 3,W3 0 0

6 07-- Mary zróżcowaa. ary rozproszea Mary zróżcowaa (dyspersj) pozwalają stwerdzć czy dae są bardzo rozproszoe czy też bardzej skocetrowae, tj. erzą jak sę zachowują wokół ary cetralej (p. średej). Waracja Szereg szczegółowy s ( x x ) Szereg rozdzelczy puktowy k s ( x x ) Szereg rozdzelczy przedzałowy k s ( x x ) Mary rozproszea Odchylee stadardowe: s s Odchylee ćwartkowe: Q Q 3 Q Współczyk zeośc: s V 00 % x Rozstęp: R x ax x

7 07-- Mary rozproszea - przykład PRZYKŁAD 7. c.d. W : 3,,, 9, Waracja dla wykoawcy W : s W ( x x W ) [(3 7 ) + (9 7 ) + ( 7 ) ] 7, Waracja dla wykoawcy W : s W ( x x W + ( 3 ) ],7 ) W :,, 3, 3,, + ( 7 ) [ ( 3 ) + ( 7 ) + (3 3 ) Mary rozproszea - przykład PRZYKŁAD 7. c.d. Odchylee stadardowe oraz współczyk zeośc dla wykoawcy W :,7 s s 7,,7 V W W W 00 %, % 7 Odchylee stadardowe oraz współczyk zeośc dla wykoawcy W :,3 sw sw,7,3 V W 00 %, % 3 Rozstęp: R 3 8 W R W Odchylee ćwartkowe: 9 Q W, Q W Na podstawe powyższych oblczeń ożey stwerdzć, że drug pracowk wykouje day detal szybcej oraz że różce w czase wykoywaa tego detalu dla drugego pracowka są ejsze. Mo, że z odchylea ćwartkowego ogłoby sę wydawać aczej. 7

8 07-- Współczyk asyetr skupea Współczyk asyetr (skośośc) µ 3 γ 3 Iterpretacja: σ Jeśl γ >0, to ay do czyea z asyetrą prawostroą Jeśl γ <0, to ay do czyea z asyetrą lewostroą Współczyk skupea kurtoza µ K σ K0 rozkład oraly K>0 rozkład leptokutryczy K<0 rozkład platokutryczy - oet cetraly rzędu r Przedzał ufośc W przecweństwe do estyacj puktowej, estyacja przedzałowa jest etodą pozwalającą e tylko a oszacowae wartośc paraetru jakegoś rozkładu, ale róweż podae dokładośc z jaką to oszacowae wykoao. Przedzałe ufośc a pozoe ufośc -α dla ezaego paraetru Θ azyway tak przedzał (Θ, Θ ), dla którego prawdopodobeństwo, że przedzał te zawera w sobe rzeczywstą wartość estyowaego paraetru Θ wyos -α: P Θ < Θ < Θ ) α ( Θ ozacza paraetr, którego wartość chcey oszacować. Może to być p. wartość średa, waracja albo odchylee stadardowe jakegoś rozkładu. Sprowadza sę to do tego, że poszukujey takch dwóch wartośc Θ Θ, aby przedzał przez e wyzaczoy z zaday prawdopodobeństwe zawerał w sobe rzeczywstą wartość paraetru Θ. 8

9 07-- Przedzał ufośc Podkreśloe zdae a dość złożoą forę. Ne bez powodu. Wbrew pozoro, e jest oo tożsae ze stwerdzee, że poszukwaa wartość z zaday prawdopodobeństwe zajduje sę w ty przedzale. Paraetr Θ przyjuje jedą, kokretą wartość. To, że jej e zay, e zea faktu, że taka rzeczywsta wartość steje. Tak wec dla jakegoś przedzału, prawdopodobeństwo, że ta rzeczywsta wartość ależy do tego przedzału jest albo rówe albo rówe 0. Iych ożlwośc e a. Zwróćy uwagę, że o le wartość Θ jest jedozacza zależy tylko od badaego rozkładu, o tyle Θ Θ są zey losowy tak aprawdę zależą od prób losowych. W zwązku z ty, podkreśloe zdae ależy rozueć w te sposób, że gdybyśy wyzaczyl przedzał ufośc p. 00 razy to zazwyczaj około 00 ( - α ) przedzałów zawerałoby w sobe rzeczywstą wartość paraetru Θ. 7 7 Przedzał ufośc WAŻNE: Isteje eskończee wele przedzałów ufośc dla daego pozou ufośc. Dla pozou ufośc rówego jedośc, przedzał ufośc rozcąga sę od us do plus eskończoośc

10 07-- Współczyk ufośc Ustaloe z góry prawdopodobeństwo (-α) azyway współczyke ufośc. Iterpretacja współczyka ufośc: Przy welokroty poberau prób -eleetowych wyzaczau a ch podstawe fukcj g (θ ) oraz g (θ ) średo w (-α) 00% przypadków otrzyalbyśy przedzały pokrywające ezaą wartość paraetru θ, w α 00% przypadków przedzały e pokrywające tej wartośc. Najczęścej za (-α) przyjujey: 0,9; 0,9; 0,99 Długość przedzału ufośc: g (θ ) - g (θ ) długość przedzału ejsza ty oszacowae bardzej precyzyje Maksyaly błąd szacuku: g ( θ ) g ( θ ) 9 9 Przedzał ufośc dla wartośc oczekwaej 0 0 0

11 07-- Przedzał ufośc dla odchylea stadardowego Przedzał ufośc dla prawdopodobeństwa sukcesu

12 07-- PRZYKŁAD 7. Przedzał ufośc przykład Zakładając, że rocze wydatk a palwo oża uzać za cechę o rozkładze N(µ, σ), pobrao próbę losową lczącą 00 ałych zakładów. Uzyskao x oraz s,7 (w tys. zł). Wyzaczyć przedzał ufośc dla wartośc oczekwaej a pozoe ufośc -α0,9. Rozwązae: Poeważ >00 oraz σ jest zae ależy skorzystać z przedzału w postac: σ σ gdze t α odczytuje sę z tablc x tα < µ < x + tα rozkładu oralego, korzystając z relacj: α Φ ( tα ) Otrzyujey węc:,7,7 t α < µ < + tα gdze: ,0 Φ ( t α ) 0,98. Z tablc rozkładu oralego otrzyujey t α,0. Zate: µ (,;,8) 3 3 Dzękuję za uwagę