Modele z czasem dyskretnym

Rozdział 1 Modele z czasem dyskretnym 1.1 Wprowadzenie- rynki dyskretne 1.1.1 Dynamika aktywu bazowego i warunki pozyskania pieniądza-opis probabilistyczny Niech cena akcji w chwili początkowej wynosi S 0 = 21. Załóżmy, że ceny akcji po trzech miesiącach T = 3/12 wyznacza zmienna losowa S T, która przyjmuje dwie wartości: S d = 18 i S u = 22. Zatem analitycy przewidują, że albo nastąpi wzrost ceny o 5% (realny wzrost czyli S u e 0.12 3/12 > S 0 albo nastąpi spadek(realny) ceny o 15% z pewnym prawdopodobieństwem P (miara). Zatem nasze Ω jest złożone z dwóch scenariuszy Ω = {ω 1, ω 2 }. Zakładamy, że na ten okres roczna stopa procentowa (kredytu i depozytu) dla kapitalizacji ciągłej r = 12%. Instrumenty finansowe zob. Hull [1] Opcja call to instrument finansowy, który pozwala jego nabywcy kupić akcję za określoną cenę np. K = 21, zwaną ceną wykonania. Zazwyczaj dochodzi do rozliczenia opcji. Wystawca opcji musi nabywcy opcji wypłacić kwotę o profilu wypłaty dla opcji call równym (S T K) + = { ST K = 22 21 = 1 o ile S u = 22 0 o ile S d = 18 (1.1) W ogólności rozważa się wypłatę losową { fu o ile S f = u (1.2) f d o ile S d Miara martyngałowa i wycena opcji call Miara martyngałowa Q, to miara równoważna mierze P oraz E Q S T e rt = S 0. 1

Wiadomo, że cena europejskiej opcji call jest równa Dla losowego instrumentu f C = EQ [(S T K) + ] e rt. C(f) = EQ [f] e rt. Miara Q jest miarą martyngałową jednoznacznie wyznaczoną z równań { E Q [S T ] e rt = 22q 1 e 0,12 3/12 + 18q 2 e 0,12 3/12 = 21 = S 0, q 1 + q 2 = 1 (1.3) Stąd q 1 = 0, 9099 zaś q 2 = 0, 0901 zaś cena opcji call C = 0, 881. -zabezpieczenie (hedging) dla opcji binarnych Wystawca opcji call (czy ogólnie losowego instrumentu o profilu wypłaty f) dostaje zatem kwotę C = 0, 883 (C(f)) + marża. Kwota C musi wystarczyć do zabezpieczenia jego pozycji. Wystawca opcji MUSI kupić akcji = f u f d S u S d = 1 4. Potrzebuje zatem 21 = 5.25. Ponieważ otrzymał C = 0, 881 na rynku pieniężnym pożycza 5.25 0, 881 = 4, 367. Jego portfel składa się z: 1 short call, long akcji i pożyczki 4, 367. Zauważmy, że wartość portfela 1 short call, long akcji po trzech miesiącach jest stała i równa kwocie należności wymagalnej przez pożyczkodawcę 4, 367 e 0,12 3/12 = 4, 5 gdyż f u + S u = f d + S d = 4, 5. Pieniądze te ściągamy z rynku akcji i oddajemy. Zrobiliśmy doskonałe zabezpieczenie. Rynek z dynamiką cen w dwóch etapach Rozważamy dynamikę zmian ceny akcji w dwóch etapach. W pierwszym następuje wzrost (realny) S u i spadek do S d w chwili T 1 = 3/12 z pewnym prawdopodobieństwem P. Zmienna losową oznaczmy przez S 1 Następnie od każdej z tych możliwości następuje taki sam scenariusz w chwili T 2 = 6/12, czyli np. od ceny S d obserwujemy wzrost do S dd i spadek do S du. Zmienna losową oznaczmy przez S 2. Roczna stopa procentowa dla kapitalizacji ciągłej wynosi r = 12% i jest stała (również w przyszłości). Nasze Ω jest złożone z czterech scenariuszy Ω = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 }, Konkretnie niech scenariusz ω 1 to dynamika w czasie od S 0 do S dd, scenariusz ω 2 to dynamika od S 0 do S du itd. Aby modelować zmiany informacji w czasie wprowadzamy filtrację czyli σ-ciała F 1 = σ{{ω 1, ω 2 }, {ω 3, ω 4 }} zaś F 2 = σ{{ω 1 }, {ω 2 }, {ω 3 }, {ω 4 }} 2

Wprowadzamy jeszcze σ ciało trywialne F 0 = {, Ω} + zbiory miary zero Wówczas S 1 jest F 1 mierzalne zaś S 2 jest F 2 mierzalne co oznacza, że mamy proces adaptowany do filtracji. Miara martyngałowa i wycena instrumentów finansowych Miara martyngałowa Q, to miara równoważna mierze P dla której dynamika zdyskontowanej ceny akcji jest Q-martyngałem czyli [ ] E Q S2 e F rt2 1 = S 1 e rt1 oraz E Q [S 1 F 0 ] = E Q S 1 e rt1 e = S 0. rt1 Wiadomo, że cena europejskiej opcji call jest równa Dla losowego instrumentu f = f(s 2 ) C = EQ [(S 2 K) + ] e rt2. C(f) = EQ [f] e rt2. Warunkowe wartości oczekiwane Przypomnienie przykłady. Zob. [4] Twierdzenie 1.1 Niech (Ω, F, P ) zupełna, czyli F zawiera zbiory miary zero. Jeśli U : L 2 (Ω) L 2 (Ω) jest rzutem ortogonalnym (M = U(L 2 (Ω)) jest domkniętą podprzestrzenią L 2 (Ω)) oraz U(1) = 1 i jeśli X 0 to U(X) 0, to istnieje pod-σ ciało B F takie, że U(X) = E P [X B] oraz M = L 2 (Ω, B). Definicja 1.1 (Warunkowej wartości oczekiwanej) Niech X L 1 (Ω, F, P ) oraz B F pod-σ ciało. Wówczas istnieje zmienna losowa całkowalna E[X B] oraz B mierzalna taka, że dla każdego B B E P [X B]dP = XdP. (1.4) B Warunek (1.4) możemy zapisać w sposób równoważny dla każdej ograniczonej zmiennej losowej Y B Y E P [X B]dP = Y XdP. (1.5) Ω Z równania (1.5) wynika, że prawdziwe jest też twierdzenie odwrotne B Ω 3

Twierdzenie 1.2 Niech (Ω, F, P ) zupełna. Jeśli dane jest pod-σ ciało B F (zupełne), to U(X) = E P [X B]. definiuje rzut ortogonalny U : L 2 (Ω, F) L 2 (Ω, B) L 2 (Ω, F). Wystarczy pokazać, że U 2 = U U = U oraz dla dowolnych zmiennych losowych ograniczonych X, Y U(X)Y dp = U(X)U(Y )dp. Ω 1.2 Podstawowe twierdzenie wyceny Definicja 1.2 Niech (Ω, F, P ) przestrzeń probabilistyczna z filtracją (F n ) n T, gdzie F 0 F 1 F 2... F F j jest σ ciałem oraz F 0 = {, Ω} + zbiory miary zero. Inaczej mówiąc miara P jest zupełna. Przez rynek (B, S) rozumiemy wektor złożony z d-procesów cen akcji adaptowanych do filtracji Ω S = (S 1,..., S d ) S n = (S 1 n,..., S d n) tak, że dla każdego i = 1,..., d oraz n T, S i n > 0 S i = (S i n F n ) n T. Przez T rozumiemy horyzont czasowy. Rozważamy dwa przypadki albo T = {0, 1,..., N} T = {0, 1,...}. Ponadto dany jest proces wartości pieniądza (B n ) n T. Zakładamy, że B 0 = 1 oraz proces jest prognozowalny czyli B n F n 1, n 1. Zauważmy, że proces (B n ) n T generuje proces prognozowalny stóp procentowych r n F n 1, n 1 stopy procentowe dla kapitalizacji ciągłej dla okresu czasu od chwili n 1 do chwili n B n+1 = B n e rn+1, n 0. Zwykle zakładamy, że proces wartości pieniądza rośnie. 4

Definicja 1.3 (Portfel inwestycyjny, Strategia (inwestycyjna)) Niech dany jest rynek (B, S). Przez strategię rozumiemy dwa procesy prognozowalne π = (β, γ), gdzie γ = (γ 1 n,..., γ d n) n 1. Oznaczają one ilość pieniądza w portfelu oraz ilość akcji. Przyjmują one dowolne wartości. Wartości ujemne oznaczają pozycje krótkie, czyli dla β < 0 kredyt dla γ i n < 0 oznacza, że w chwili n podjęto decyzję o krótkiej sprzedaży ilości γ i n i-tek akcji. Definicja 1.4 (Wartość portfela) Niech dany jest rynek (B, S). Niech dany jest rynek. Dla strategii π wartość portfela w chwili n jest procesem oznaczonym przez X π n i równym dla n 1 X π n = β n B n + d γns i n i = β n B n + γ S n. i=1 W chwili n = 0 dysponujemy na początek gotówką X π 0. Definicja 1.5 (Strategia samofinansująca ) Niech dany jest rynek (B, S). Strategia π jest samofinansująca jeśli X π n = X π 0 + (β k B k + γ k S k ), k=1 gdzie B k = B k B k 1 oraz S k = ( S 1 k,..., Sd k ), Si k = Si k Si k 1. Aby podkreślić kwotę początkową X π 0 = x w dalszej części piszemy X x,π n. Twierdzenie 1.3 Niech dany jest rynek (B, S). Strategia π jest samofinansująca wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego n 2 B n 1 β n + S n 1 γ n = 0. Uzasadnienie: Skorzystać z formuły dla ciągów Wówczas (a n b n ) = a n b n + b n 1 a n. X π n = (β n B n ) + (γ n S n ). Domykamy horyzont czasowy.niech T = T {+ }. Definicja 1.6 (Czas zatrzymania, czas Markowa, Shiryaev ) Niech (Ω, F, P ) przestrzeń probabilistyczna z filtracją (F n ) n T. Uogólniona zmienna losowa τ : Ω T jest czasem stopu jeśli dla każdego n T Czas stopu jest skończony jeśli {τ = n} F n. P ({τ = + }) = 0. 5

Zadanie: Poniższe obiekty przeanalizować na rynku akcji cen w N- etapach zob. Rozdział 1.1. 1. Jeśli τ i s są czasami stopu, to τ +s, min{τ, s} = τ s oraz max{τ, s} = τ s są czasami stopu. zauważmy, że różnica czasów stopu zwykle wymaga informacji o przyszłości. 2. τ jest czasem stopu wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego n T 3. Niech {τ n} F n. F τ = {A F : n T A {τ n} F n }. Wówczas F τ jest pod σ ciałem F. 4. Niech (X n, F n ) n T będzie procesem adaptowalnym i τ skończonym czasem zatrzymania. Wówczas zmienna losowa X τ : Ω R jest F τ mierzalna. wartości X τ obliczamy wg. wzoru dla ω takich, że τ(ω) = n mamy X τ (ω) = X n (ω). 5. F τ = σ{x τ : (X n, F n ) n T dowolny adaptowany proces}. Definicja 1.7 (Martyngał ) Niech (X n, F n ) n T będzie procesem adaptowalnym. Wówczas (X n, F n ) n T jest martyngałem jeśli 1. dla każdego n T X n L 1 (P ) czyli E X n < 2. E[X n F n 1 ] = X n 1, n 1, n T. Definicja 1.8 (Różnica martyngałowa ) Niech (X n, F n ) n T będzie procesem adaptowalnym. Wówczas (X n, F n ) n T jest różnicą martyngałową jeśli 1. dla każdego n T X n L 1 (P ) czyli E X n < 2. E[X n F n 1 ] = 0, n 1, n T. Lemat 1.4 Niech (X n, F n ) n T będzie martyngałem. Wówczas proces dla n 1 Y n = X n X n 1, jest różnica martyngałową. Lemat 1.5 Jeśli Y n n 1 jest różnicą martyngałową i X o F 0 to proces jest martyngałem. X n = X 0 + Y 1 + + Y n Definicja 1.9 (Lokalny martyngał ) Niech (X n, F n ) n T będzie procesem adaptowalnym. Proces (X n, F n ) n T jest lokalnym martyngałem jeśli istnieje rosnący ciąg czasów stopu (τ k ) k T, czyli τ k τ k+1 oraz τ k + p.prawie wszędzie taki, że dla każdego k proces zatrzymany jest martyngałem. X τ k = (X τk n, F n ) 6

Zauważmy, że zgodnie z zadaniem 1-5 zmienne losowe (X τk n są adaptowane do filtracji F n zatem definicja jest poprawna. Niech X zmienna losowa. Można ją rozłożyć jednoznacznie (czyli z dokładnością do zbioru miary zero (p. prawie wszędzie)) na dwie zmienne losowe nieujemne X +, X, X = X + X. Definicja 1.10 (Uogólniona wartość oczekiwana ) 1. Niech X zmienna losowa nieujemna. To z twierdzenia Radona Nikodyma istnieje taka funkcja E[X B] B, że dla dowolnego zbioru B B XdP = E[X B]. B 2. Niech X zmienna losowa i niech X = X + X.. Niech B pod σ ciało F. Zakładając, że E[X + B] i E[X B] nie są jednocześnie równe nieskończoność E[X B] = E[X + B] E[X B]. Możemy równoważnie zdefiniować E[X B] dla X 0 korzystając z wersji twierdzenie Lebesgue a o zbieżności monotonicznej dla warunkowych wartości oczekiwanych, np. E[X B] := lim E[X k B]. k Zbieżność jest p. prawie wszędzie. Istotnie z twierdzenia Lebesgue a o zbieżności monotonicznej wynika, ponieważ X k X dla k. Zatem dla dowolnego zbioru B B X = lim (X k)dp = lim E[X k B]. B k B k B Ponieważ warunkowa wartość oczekiwana zachowuje monotoniczność zatem z twierdzenia Lebesgue a o zbieżności monotonicznej E[X k B] = lim E[X k B]. Stąd lim k B B B k E[X B] := lim E[X k B]. k Przykład uogólnionej wartości oczekiwanej. Niech Ω = R z miarą gausowska unormowaną. Niech X(x) = e x2. Ta funkcja nie jest całkowalna. Niemniej istnieje warunkowa wartość oczekiwana ( i jest ona skończona) dla pod σ ciała generowanego przez zbiory [k, k + 1], k Z. Własności uogólnionej wartości oczekiwanej są podobne do wartości oczekiwanej niemniej potrzeba pewnej ostrożności. np. Lemat 1.6 Niech X 0 i 0 f c zmienne losowe oraz f B Wówczas ale tylko na zbiorze {f > 0}. E[fX B] = fe[x B] Problem polega na tym, że na zbiorze {f = 0} może być symbol nieokreślony po prawej stronie równania. 7

Definicja 1.11 (Uogólniony martyngał ) Niech (X n, F n ) n T będzie procesem adaptowalnym. Proces (X n, F n ) n T jest uogólnionym martyngałem jeśli E[ X n F n 1 ] = E[X + n F n 1 ] + E[X n F n 1 ] < p. prawie wszędzie oraz E[X n F n 1 ] = X n 1, n 1. I w tym przypadku potrzebna jest precyzja może nie mieć sensu wyrażenie po lewej stronie równania E[X n+1 F n 1 ] = X n 1, gdyż nie ma reguły składania. Niemniej ma sens E[E[X n+1 F n ] F n 1 ] = X n 1. (1.6) Aby reguła składania miała sens wystarczy założenie, że X n+1 0. Wówczas uogólniony martyngał jest po prostu martyngałem, Lemat 1 str 100, Wniosek str 101 Shiryaev. Przykład Niech IR będzie przestrzenią probabilistyczną z miarą gausowską unormowaną, f(x) = 1 2 2 π e x /2, x R. Niech dana będzie niecałkowalna zmnienna losowa { e X(x) = x2 /2, x [k, k + 0.5), e x2 /2, x [k + 0.5, k + 1) oraz sigma ciała B 1 = σ{[k, k + 1) : k Z}, B 0 = {, IR}. Wówczas E[X B 1 ] = 0 ale oczywiście EX nie istnieje, zatem nie ma reguły składania E[E[X B 1 ]B 0 ] E[X B 0 ]. Definicja 1.12 (Transformata martyngałowa ) Niech (X n, F n ) n T będzie procesem adaptowalnym. Proces (X n, F n ) n T jest transformatą martyngałową jeśli istnieją procesy: prognozowalny (Y n, F n ) n T oraz martyngał (M n, F n ) n T tak, że X n = M 0 + Y j M j. Lemat 1.7 Jeśli proces (X n, F n ) n T jest transformatą martyngałową taką, że procesy Y j są ograniczone, to X n jest martyngałem. Twierdzenie 1.8 (zob. Shiryaev) Niech (Ω, F, P ) przestrzeń probabilistyczna z filtracją (F n ) n 1. Niech (X n ) n T proces adaptowany. Wówczas następujące warunki są równoważne (i) (X n ) n T jest lokalnym martyngałem (ii) (X n ) n T jest uogólnionym martyngałem (iii) (X n ) n T jest transformatą martyngałową j=1 8

Dowód. (iii) (i). Niech (X n ) n T będzie transformatą martyngałową, czyli istnieją procesy prognozowalny (Y n, F n ) n 1 oraz martyngał (M n, F n ) n T tak, że X n = M 0 + Y j M j. Definiujemy zmienną losową zatrzymującą proces (Y n, F n ) n T na poziomie j, czyli τ j = inf{n 1 : Y n > j}. Wówczas τ j jest czasem stopu. Ponadto τ j τ j+1 oraz τ dla j. W przypadku skończonej perspektywy czasowej τ j = dla j j(ω). Definiujemy nowy proces zatrzymany j=1 τ j n Xn τj = X n τj = X 0 + Y k M k = X 0 + k=1 Y k χ {k τj} M k, gdzie χ A jest funkcją charakterystyczną zbioru A. Zauważmy, że proces {Y k χ {k τj}} jest procesem prognozowalnym i ograniczonym. Z lematu 1.7 proces {Xn τj } jest martyngałem. (i) (ii). Niech τ k + rosnący ciąg czasów stopu dla k dla którego proces zatrzymany jest martyngałem. Ponieważ X τ k jest martyngałem zatem z Lematu 1.6 na zbiorze {τ k n} F n 1 k=1 1I {τk n}e[ X n F n 1 ] = E[ X n 1 {τk n} F n 1 ] = E[ X τ k n 1 {τk n} F n 1 ] = E[ X τ k n 1 {τk n} F n 1 ] = 1 {τk n}e[ X τ k n F n 1 ]. Zatem E[ X n F n 1 ] jest skończona na zbiorze {τ k n}. Ponieważ τ k E[ X n F n 1 ] jest skończona P prawie wszędzie. W powyższych równaniach można zatem opuścić wartość bezwzględną otrzymując 1I {τk n}e[x n F n 1 ] = 1 {τk n}e[x τ k n F n 1 ]. Korzystając teraz z faktu, że proces zatrzymany jest martyngałem otrzymujemy 1I {τk n}e[x n F n 1 ] = 1 {τk n}x τ k n 1 = 1 {τ k n}x n 1. Ponieważ k jest dowolne otrzymujemy (ii). (ii) (iii). Dowód polega na konstrukcji transformaty martyngałowej. Mianowicie Niech dla n 1 oraz k = 0, 1,... Niech Pokazujemy, że A n 1 (k) = {E[ X n F n 1 ] [k, k + 1)} F n 1. u n = (k + 1) 3 X n 1I An 1(k). k=0 E u n < Istotnie z definicji u n zbioru A n 1 (k) oraz warunkowej wartości oczekiwanej E u n = (k + 1) 3 X n 2 (k + 1) 2. k=0 A n 1(k) 9 k=0

Użyliśmy tutaj nietrywialnej nierówności X n 1 E[X + n F n 1 ] + E[X n F n 1 ] = E[ X n F n 1 ], która wynika z faktu, że X n 1 = E[X n F n 1 ]. Wówczas X n + X n 1 2 E[ X n F n 1 ] 2(k + 1). A n 1(k) Ponadto zauważmy, że A n 1(k) E[u n F n 1 ] = 0. Istotnie korzystając z powyższych uwag E[ X n 1I An 1(k) F n 1 ] = E[X n 1I An 1(k) F n 1 ] E[X n 1 1I An 1(k) F n 1 ] = 1I An 1(k)E[X n F n 1 ] X n 1 1I An 1(k) = 0. Zachodzą te równości na całym Ω gdyż uogólniona wartość oczekiwana jest prawie wszędzie skończona. Ostatecznie konstruujemy martyngał M 0 = 0 oraz proces prognozowalny Y k = Wówczas wystarczy sprawdzić, że X n = X 0 + M n = j=1 u j (l + 1) 3 1I Ak 1 (l) l=0 Y k M k = X 0 + k=1 co jest natychmiastowe bo oczywiście To kończy dowód. X n = X 0 + X n. k=1 Y k u k, Definicja 1.13 (Arbitraż) Niech T = {0, 1,..., N}. Mówimy, że rynek (B, S) dopuszcza arbitraż jeśli istnieje strategia samofinansująca π taka, że X π 0 = 0, n T X π n 0 k=1 oraz P ({X π N > 0}) > 0. Uwaga. Inwestycja π dla której zachodzi nazywa się dopuszczalna. n T X π n 0 10

Definicja 1.14 (Rynek zdyskontowany) Rynek ( B, S), gdzie B := 1, nazywamy rynkiem zdyskontowanym. S := S B Wszystkie podstawowe pojęcia mają swoje analogiczne rozwinięcia na rynku zdyskontowanym. Dlatego będziemy posługiwać się rynkiem zdyskontowanym czyli takim dla którego r n = 1. Poniższe twierdzenie zostało udowodnione przez Harrison, Kreps oraz Harrison, Pliska 1979-1981 w przypadku Ω skończonego. W ogólności w 1990 przez Dalang, Morton, Willinger. Idea twierdzenia wnosi do konserwatywnej probabilistyki i statystyki nowy punkt widzenia, mierzenia rzeczywistości. Obiekty nie są takie jak je widzimy ale takie jak chcemy. Twierdzenie 1.9 (Podstawowe twierdzenie wyceny, Shiryaev str 413.) Niech T = {0, 1,..., N}. Na rynku zdyskontowanym (B, S) nie ma arbitrażu wtedy i tylko wtedy gdy istnieje miara martyngałowa Q równoważna mierze P taka, że proces (wektor) S jest Q-martyngałem. Dowód. Pokażemy, że jeśli jeśli istnieje miara martyngałowa Q równoważna mierze P taka, że proces (wektor) S jest Q-martyngałem, to rynek nie dopuszcza arbitrażu. Zatem załóżmy, że dana jest strategia samofinansująca π taka, że X0 π = 0 oraz Xn π 0 dla każdego n T. Z definicji strategii samofinansującej (na rynku zdyskontowanym B n = 1) wynika, że dla każdego n T X π n = X π 0 + (γ k S k ). k=1 Zatem wartość portfel jest transformatą martyngałową. Czyli lokalnym martyngałem i uogólnionym martyngałem. Zatem E Q [X π n F n 1 ] = X π n 1. Stąd przy naszych założeniach (zob. uwagi dotyczące wzoru 1.6) E Q [X π n ] = E[X π n F 0 ] = X π 0 = 0 bo zakładaliśmy, że X π n 0. zatem i X π n = 0 Q czyli P prawie wszędzie. W drugą stronę dowód jest niezwykle żmudny. Dla horyzontu czasowego T = {0, 1} oraz jednej akcji S 1 wynika on z poniższego lematu gdy X = S 1 1 S 1 0. Ponadto zauważmy, że brak arbitrażu oznacza, że P (X > 0) > 0 oraz P (X < 0) > 0 zaś bycie martyngałem E Q X = 0. Lemat 1.10 (Transformata Eshera) Niech X zmienna losowa taka, że P (X > 0) > 0 oraz P (X < 0) > 0. Wówczas istnieje miara Q równoważna mierze P taka, że zmienna losowa X dla dowolnego a IR E Q e ax < oraz E Q X <, E Q X = 0. 11

Dowód.Zauważmy, że z istnienia momentów wykładniczych wynika całkowalność. Istotnie E Q X = XdQ + ( X)dQ e X dq + e ( X) dq. (X>0) (X<0) (X>0) (X<0) Zdefiniujmy miarę P wzorem dla A F P (A) = c Stosując zapis pochodnej Radona Nikodyma A e X2 dp. d P dp = 2 ce X. Stałą c dobieramy tak aby P była miarą probabilistyczną. Z twierdzenia Radona Nikodyma wynika, że dp 2 = ex /c d P i miary są równoważne. Definiujemy teraz funkcję rzeczywistą. Dla a IR ϕ(a) := E P e ax = ce P e ax X2. Funkcja w(x) = ax x 2 jest ograniczona z góry dla x IR zatem funkcja podcałkowa jest ograniczona. Stąd funkcja ϕ jest dobrze określona. Mierzalność wynika z tw. Fubiniego. Pokażemy, że lim ϕ(a) =, lim a Istotnie dla a > 0 oraz δ > 0 ϕ(a) = E P e ax {X>δ} ϕ(a) =. (1.7) a e ax d P P (X > δ)e aδ. Z ciągłości miary oraz założenia możemy dobrać takie δ > 0, że P (X > δ) > 0, czyli również P (X > δ) > 0. Przechodząc z a dostajemy tezę. Analogicznie w drugą stronę. Dla a < 0 oraz δ > 0 ϕ(a) = E P e ax e ax d P P (X < δ)e aδ. {X< δ} Ponadto korzystając z tw. Lebesgue a o zbieżności ograniczonej zaś ϕ (a) = E P Xe ax = ce P Xe ax X2 ϕ (a) = E P X 2 e ax = ce P X 2 e ax X2. Zauważmy, że funkcje xe ax x2 oraz x 2 e ax x2 są ograniczone dla każdego ustalonego a IR oraz dla x IR. Z zachowania drugiej pochodnej otrzymuje, ze funkcja ϕ jest wypukła. Z (1.7) wynika, że istnieje a takie, że ϕ (a ) = 0. Transformata Eschera to rodzina funkcji rzeczywistych Z a indeksowana a IR Z a (x) = eax ϕ(a). 12

Definiujemy teraz rodzinę miar probabilistycznych indeksowaną a IR dq a d P = Z a(x). Ponieważ Z a jest dodatnia zatem z tw. Radona Nikodyma d P dq a = 1/Z a (X) i miary Q a i P są równoważne. Miara Qa jest szukaną miarą martyngałową, czyli Q = Q a z tezy lematu. Z łatwością sprawdzamy, że E Q X = 0. 1.3 Cena kupującego i sprzedającego Definicja 1.15 (Cena kupującego i sprzedającego) Na rynku (B, S) dany jest instrument finansowy H F N. Definiujemy cenę kupującego p b (H) = sup{x : π H X x,π N, π samofinansujaca} Definiujemy cenę sprzedającego p s (H) = inf{x : π H X x,π N, π samofinansujaca} Zrozumienie definicji jest następujące. Sprzedający instrument finansowy H zawsze ma pełne zabezpieczenie pozycji w chwili N, bo wymagalność H jest mniejsza niż wartość portfela. Cena sprzedaży plus epsilon ( nie wiemy czy dla p s (H) istnieje strategia) wystarcza. Cena kupującego jest atrakcyjna dla kupującego. Mianowicie jeśli cena x = x(h) byłaby niższa niż p b (H), to istniałaby strategia samofinansująca π taka, że H X x+ɛ,π N, gdzie x + ɛ < p b (H). Ale to oznacza możliwość arbitrażu dla kupującego. Portfel złożony w chwili N z H oraz X x ɛ, π N = X x+ɛ,π N jest nieujemny. Zarabiamy ɛ > 0. Przez π rozumiem przyjmowanie strategii przeciwnych czyli z long na short i z short na long na akcjach. Twierdzenie 1.11 (Reprezentacja ceny kupującego i sprzedającego) Załóżmy, że na rynku zdyskontowanym (B, S) nie ma arbitrażu. Niech Q oznacza zbiór miar martyngałowych. Wówczas o ile instrument H F N jest ograniczony z dołu, to p s (H) = sup E Q H. Q Q Analogicznie p b (H) = inf Q Q EQ H. Dowód Twierdzenia rozpoczyna się od zdefiniowanaia zmiennej losowej Y n = esssup Q Q E Q [H F n ]. Sens definicji esssup znajduje się poniżej. Pokazuje się ponadto, że Y n jest nadmartyngałem. Kluczowym momentem dowodu jest świetny rozkład opcjonalny, 13

Karoui, Quenez 1995 i Kramkov 1996, Fölmer, Kabanov 1998 (zob. Shiryaev). Jest to uogólnienie rozkładu Dooba. Rozkład Dooba dotyczy nieujemnego (nadmartyngału) supermartyngału Y n, który możemy rozłożyć na dwa procesy martyngał M n i proces prognozowalny A n niemalejący, tak że dla n N Y n = Y 0 + M n A n. Z drugiej strony każdy proces spełniający powyższą równość jest na nadmartyngałem. Istotnie E[Y n F n 1 ] = Y 0 + M n 1 A n Y 0 + M n 1 A n 1 = Y n 1. Lemat 1.12 (Rozkład Dooba) Niech (Y n, F n ) nadmartyngał nieujemny, czyli E[Y n+1 F n ] Y n, Y n L 1 (Ω). Wówczas istnieją procesy M n martyngał i proces A n prognozowalny i nieujemny, niemalejący (P prawie wszędzie) tak, że Y n = Y 0 + M n A n oraz A n P prawie wszędzie. Rozkład jest jedyny wzgl. miary P. Dowód. Definiujemy dwa procesy: M 0 := Y 0, oraz A 0 = 0 i następnie rekurencyjnie M n+1 M n := Y n+1 E[Y n+1 F n ], A n+1 A n := Y n E[Y n+1 F n ]. Oczywiście M n jest martyngałem, gdyż M n+1 M n jest różnicą martyngałową. Prognozowalnośc procesu A n+1 wynika z definicji zaś nieujemność A n+1 A n z założenia, że Y n jest nadmartyngałem co kończy dowód. Zauważmy, że istnieje A := lim n 0 A n. Lemat 1.13 (Opcjonalny rozkład nadmartyngału) Niech Q zbiór miar martyngałowych na rynku (B, S) Jeśli Y n jest nadmartyngałem dla dla każdej miary Q Q, to istnieje rozkład Y n tak, że Y n = Y 0 + M n A n, Proces adaptowany A n jest niemalejący zaś M n jest transformatą martyngałową dla procesu cen S, czyli M n = γ k S k. k+1 Lemat 1.14 Niech (Ω, F, P ). Dla każdej rodziny F funkcji mierzalnych f F f : Ω [, + ] istnieje jedyna funkcja mierzalna g (P prawie wszędzie) taka, że f F oraz jesli istniieje funkcja mierzalna h, że g f f F h f, to h g. Funkcję taką oznaczamy przez g = esssup f F f. 14

1.4 Opcje amerykańskie Rozpoczniemy nasze rozważania od problemu optymalizacyjnego. Mianowcie na przestrzeni (Ω, F n, n = 0,..., N, P ), gdzie jak zwykle F 0 = {, Ω} zadany jest proces adaptowany Z n i taki, że E Z n <, dla każdego n. Rozważmy zbiór M N n czasów stopu dla których n τ N. Interesuje nas problem znalezienia ceny Vn N = sup EZ τ. τ M N n Ponadto czas stopu τ 0 nazywamy optymalny jeśli τ 0 realizuje powyższe supremum czyli Vn N = EZ τ0. Przykładem takiego procesu jest Z n = (S n K) +. Ustalmy n i tego indeksu nie będziemy dalej pisać, przyjmijmy n = 0. Ponieważ perspektywa czasu jest także ustalona zatem indeks N w powyższych wzorach także będzie pomijany. W celu rozwiązania tego problemu wprowadzamy proces pomocniczy oraz rekurencyjnie U N = Z N U k = max(z k, E[U k+1 F k ]). Wprowadzmy również następującą zmienną losową τ = min{0 k N : Z k = U k }. Zauważmy, że τ jest czasem stopu. Istotnie Zachodzi następujące twierdzenie {τ = 0} = {U 0 Z 0 = 0} F 0 k 1 {τ = k} = {U k = Z k } {U j > Z j } j=0 k 1 = {U k Z k = 0} {U j Z j > 0} F k j=0 Twierdzenie 1.15 Zdefiniowany proces i czas stopu τ mają następujące własności: proces U k jest nadmartyngałem. Ponadto jest najmniejszym nadmartyngałem dominującym proces Z k, czyli dla każdego k Z k U k i każdy inny nadmartyngał o tej własności jest większy od U k. Ponadto proces zatrzymany U τ jest martyngałem oraz dla każdego czasu stopu τ M czyli czas stopu τ jest optymalny. E[Z τ F 0 ] = U 0, E[Z τ F 0 ] E[Z τ F 0 ] = V. 15

Dowód. Z definicji oczywiście Z k U k. Załózmy, że T k jest innym procesem dominującym. Wówczas z definicji T N Z N = U N. Załózmy, że już pokazaliśmy, że T k U k. Wówczas z założenia T k 1 Z k 1. Ponadto T k jest nadmartyngałem i T k U k czyli Zatem Pokażemy, że proces zatrzymany U τ k Stąd T k 1 E[T k F k 1 ] E[U k F k 1 ]. T k 1 max{e[u k F k 1 ], Z k 1 }. τ k U τ k = U τ k = U 0 + U j = U 0 + j=1 jest martyngałem. Z reguły teleskopowania k 1I {j τ } U j. j=1 U τ k+1 U τ k = 1I {k+1 τ } U k+1 Zatem na zbiorze {τ (ω) k + 1}, U k > Z k i U k = E[U k+1 F k ] czyli { U τ k+1 U τ Uk+1 E[U k = k+1 F k ] dla τ (ω) k + 1 0 przeciwnie. Stąd różnica jest różnicą martyngałową E[(U τ k+1 U τ k )1I {τ (ω) k+1} F k ] = 1I {τ (ω) k+1}e[(u k+1 E[U k+1 F k ]) F k ] = 0, czyli proces zatrzymany jest martyngałem. Ponieważ proces zatrzymany jest martyngałem zatem U 0 = E[U τ N F 0 ] = EU τ N = EU τ = EZ τ. Ostatnia nierówność wynika stąd, że jeśli τ jest dowolnym czasem stopu, to z nierówności Dooba wynika, że U 0 E[U τ N F 0 ] = EU τ N = EU τ = EZ τ. Ponieważ τ jest dowolnym czasem zatrzymania z powyższego wzoru dostajemy, że τ jest startegią optymalną. Z powyższego dowodu wynika następujące twierdzenie Twierdzenie 1.16 Czas stopu τ jest optymalny wtedy i tylko wtedy gdy Z τ = U τ oraz proces zatrzymany U τ n jest martyngałem. UWAGI. Czas stopu τ jest tzw. minimalnym optymalnym czasem stopu, czyli każdy optymalny czas stopu jest zmienną losową większą niż τ. Korzysatjąc z rozkładu Dooba możemy znaleźć maksymalny czas stopu. Mianowicie, 16

poniewąż U n jest nadmartyngałem zatem istnieją martyngał M n oraz proces prognozowalny A n (A 0 = 0), niemalejący taki, że U n = M n A n. definiujemy zmieną losową { N AN = 0, τ 0 = inf{n : A n+1 0} A N 0 Twierdzenie 1.17 Zdefiniowana powyżej zmienna losowa τ 0 jest optymalnym największym czasem stopu dla U n. Dowód. Zobaczmy, że τ 0 jest czasem stopu. Mianowicie {τ 0 = k} = k {A j = 0} {A k+1 0}. j=1 Ponieważ A n jest prognozowalny zatem {τ 0 = k} F k.reszta wynika z charakteryzacji optymalnych czasów stopu. 17

Rozdział 2 Modele z czasem ciągłym Proces Wienera Zbieżność spaceru losowego na procesu Wienera Konstrukcja procesu Wienera za pomocą bazy Haara Wektor gausowski i konstrukcja wielowymiarowego procesu gausowskiego o stałej korelacji Ilustracja twierdzenia o iterowanym logarytmie dla procesu Wienera Funkcjonał max dla trajektorii procesu Wienera i jego rozkład. Zasada odbicia Czasy stopu i ich własności. Opcje europejskie, amerykańskie, barierowe, opcje lookback 18

Bibliografia [1] John C. Hull, Options, Futures, and Other Derivatives Pearson Prentice Hall 7th edition 2009. [2] J. Jakubowski, A. Palczewski, M. Rutkowski, ł. Stettner Matematyka finansowa WNT 2006. [3] Lamberton, D., Lapeyre, B. Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance Chapman & Hall, London 1997. [4] Jacques Neveu, Discrete-parameter martingales. North-Holland, Amsterdam; American Elsevier, New York, 1975 [5] Albert Shiryaev,Essentials of Stochastic finance: Facts, Mopdels, Theory World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. 1999. 19