ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA

ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA

Opracowanie Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ALGEBRA I GEOMETRIA ANALITYCZNA Kolokwia i egzaminy Wydanie piętnaste zmienione GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 2014

Marian Gewert Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wrocławska mariangewert@ pwredupl wwwimpwredupl/ gewert Zbigniew Skoczylas Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wrocławska zbigniewskoczylas@ pwredupl wwwimpwredupl/ skoczylas Projekt okładki: IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright c 1996 2014 by Oficyna Wydawnicza GiS Utwór w całości ani we fragmentach nie może być powielany ani rozpowszechniany za pomocą urządzeń elektronicznych, mechanicznych, kopiujących, nagrywających i innych Ponadto utwór nie może być umieszczany ani rozpowszechniany w postaci cyfrowej zarówno w Internecie, jak i w sieciach lokalnych, bez pisemnej zgody posiadacza praw autorskich Składwykonanowsystemie L A TEX ISBN 978-83 62780 28 0 Wydanie XV zmienione, Wrocław 2014 Oficyna Wydawnicza GiS, sc, wwwgiswrocpl Druk i oprawa: Oficyna Wydawnicza ATUT 4

Spis treści Wstęp 7 Zestawy zadań z kolokwiów 9 Pierwszekolokwium 9 Drugiekolokwium 19 Zestawy zadań z egzaminów 34 Egzaminpodstawowy 34 Egzaminpoprawkowy 53 Odpowiedzi i wskazówki 73 Pierwszekolokwium 73 Drugiekolokwium 81 Egzaminpodstawowy 87 Egzaminpoprawkowy 92 5

Wstęp Niniejszyopracowanie jesttrzeciączęściązestawupodręcznikówdoprzedmiotu Algebra z geometrią analityczną Pozostałymi częściami zestawu są Algebra i geometria analityczna Definicje, twierdzenia, wzory oraz Algebra i geometria analityczna Przykłady i zadania Opracowanie zawiera zestawy zadań, które w ubiegłych latach studenci Politechniki Wrocławskiej rozwiązywali na kolokwiach i egzaminach Zadania obejmują liczby zespolone, wielomiany, macierze i wyznaczniki, układy równań liniowych oraz geometrię analityczną w przestrzeni Do wszystkich zestawów z kolokwiów oraz do zestawów egzaminacyjnych o numerach nieparzystych podane są odpowiedzi Opracowanie pozwala studentom zapoznać się z rodzajami oraz stopniem trudności zadań kolokwialnych i egzaminacyjnych Jest to jednocześnie dodatkowy materiał do samodzielnej nauki Z tego wydania zbioru usunięto zestawy zadań z egzaminu na ocenę celującą Będą one częścią nowego opracowania pt Algebra i analiza Egzaminy na ocenę celującą Ponadto poprawiono zauważone błędy i usterki Dziękujemy Koleżankom i Kolegom z Instytutu Matematyki i Informatyki Politechniki Wrocławskiej za zestawy z kolokwiów i egzaminów, a także za uwagi o poprzednich wydaniach tego zbioru Marian Gewert Zbigniew Skoczylas Do2005rksiążkamiałatytuł Algebraliniowa1Kolokwiaiegzaminy 7

Egzamin poprawkowy 53 x+2y+3z+4t=10 x+ y+2z+3t= 0 4 Rozwiązać układ równań Wykorzystać metodę eliminacji Gaussa x+ y+ z+2t=10 x+ y+ z+ t= 0 5ObliczyćA 2 ia 3 inastępnieznaleźćwzórogólnynaa n dlaa= 2 2 2 1 1 1 0 0 0 x= 2+ t 6 Znaleźć rzut prostopadły prostej l: y= 3t (t R)napłaszczyznęπ: z= 1 t 2x+3y z 9=0 Zestaw 40 1Korzystajączliczbzespolonychobliczyćsin π ( 12 Wskazówka Wykorzystać równości arg 1+i ) 3 = π 3,arg(1+i)=π 4 2Liczbaz 1 =1+2ijestpierwiastkiemwielomianuW(z)=z 4 +z 3 +3z 2 +7z+20 Znaleźć pozostałe pierwiastki 3 z z 2 z 3 3Dlajakiejwartościz Cwyznacznik z 4 z 5 z 6 z 7 z 8 z 9 z 10 z 11 jest równy 2? z 12 z 13 z 14 z 15 4ZnaleźćmacierzekwadratoweAstopnia2takie,żeA 2 jestmacierzątrójkątną górną x+3y z+2t=1 5 Rozwiązać układ równań 2x y+z t=2 4x+5y z+3t=3 6 Obliczyć odległość między prostymi x=1+2t x= s l 1 : y= 4t (t R), l 2 : y=3+2s z=3+3t z=1 s Egzamin poprawkowy (s R) Zestaw 1 odp str 92 { } π 1 Naszkicować zbiór z C: 6 argz(1+i) 1+i π 3 ( ) 4 2+i 2 Znaleźć postać algebraiczną liczby 3 i

54 Zestawy zadań z egzaminów 3Sprawdzić,czywektoryu=(1,1,1),v=(1,2,1),w=(1,1,3)sąwspółpłaszczyznowe 4 Obliczyć 1 1 1 1 1 2 3 Wykorzystać metodę operacji elementarnych 0 1 1 5 Wyznaczyć równanie prostej zawierającej dłuższą przekątną równoległoboku ABCD owierzchołkacha=(1,1,3),b=(3,2,3),c=(1,4,3) 2x+2y z+ t =4 4x+3y z+2t =6 6Zukładurównań obliczyć niewiadomą x stosując 8x+5y 3z+4t=12 3x+3y 2z+2t =6 wzory Cramera Zestaw 2 1 Naszkicować zbiór { z C: } z 1 z i >1,argz<π 2 Obliczyć W( i) i następnie znaleźć pierwiastki wielomianu W(z)=z 4 +z 3 +2z 2 +z+1 3Znaleźćzbiórtychliczbzespolonychz,dlaktórychmacierzA= jestnieosobliwaobliczyća 1 dlaz=i x+2y z t=1 2x y+z 2t=2 4 Rozwiązać układ równań 3x+ y 3t=3 5x +z 5t=5 1 0 z 0 1+z 0 z 0 1 5 Obliczyć kosinus kąta między bokami równoległoboku, którego przekątnymi są wektoryu= 2i+2j+k,v=4i+j+5k 6 Napisać równanie prostej l przechodzącej przez punkt przecięcia prostych x= 2+2t x= 3+3s l 1 : y= 2+ t (t R), l 1 : y= s (s R) z= 1 t z= 1+ s i prostopadłej do nich Zestaw 3 odp str 92 1Rozwiązaćrównanie(2+i)z 2 (5 i)z+(2 2i)=0 2 Funkcję wymierną x x 4 1 rozłożyćnarzeczywisteułamkiproste

Egzamin poprawkowy 55 Wykorzystać metodę eli- 3 Rozwiązać układ równań minacji Gaussa 4 Obliczyć 1 1 1 0 1 2 0 0 2 1 x y+2z+2t= 2 y z+2t= 7 x+2y 2t= 7 x+2y 2z t= 1 5 Obliczyć kosinus kąta między przekątnymi równoległoboku rozpiętego na wektorach u=(1,2,3),v=(2,1,0) 6 Znaleźć równanie parametryczne prostej l przechodzącej przez punkt P =(1, 2, 3) i prostopadłej do prostych x= t x=1+2s l 1 : y=1+2t (t R), l 2 : y= s (s R) z= 3t z=2+ s Zestaw 4 1 Naszkicować zbiór { z C: 1+iz 3,arg(z+1) π } 2 2Rozwiązanierównaniaz 6 =2(1 i) 4 przedstawićwpostacialgebraicznej 3ZnaleźćpierwiastkiwielomianuW(z)=z 4 5z 3 +10z 2 10z+4,jeśliwiadomo, żejednymznichjestz 1 =1+i x 2y 3z= 7 4 Rozwiązać układ 3x+ y+4z= 5 Wykorzystać metodę eliminacji Gaussa 2x+5y+ z= 18 5 Znaleźć równanie prostej przechodzącej przez punkt A =(3, 1, 4), która jest równoległadoosioz 6W R 3 danesąpunktya=(1,2,3),b=(2,4,1),c=(1, 3,5),D=(4, 2,3) Obliczyć objętość czworościanu ABCD Zestaw 5 odp str 92 1WielomianW(x)=x 3 +x 2 x+2rozłożyćnarzeczywisteczynnikinierozkładalne 2 Obliczyć kosinus kąta między płaszczyznami π 1 :x 2y+z=0, π 2 :2x y 3z+1=0 x+ y+ z+t=5 3 Rozwiązać układ równań x+2y z+t=2 3x +3z+t=8

56 Zestawy zadań z egzaminów 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 4 Obliczyć wyznacznik 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 [ ] 1 x 5 Czy kwadrat macierzy może być macierzą zerową dla odpowiednio dobranych wartości x, y? y 1 6 Obliczyć pierwiastki 3 8 8iizaznaczyćjenapłaszczyźniezespolonej Zestaw 6 { } z 1 Naszkicować zbiór z C:z 3 5 =i przechodząc do postaci wykładniczej liczb zz zespolonych 2 Rozwiązać równanie macierzowe A 1 0 0 0 2 0 = 1 0 0 0 2 0 A 0 0 3 0 0 3 3Funkcjęwymierną x+1 x 4 +1 rozłożyćnarzeczywisteułamkiproste x+y+z+2t= 0 x+y z+2t= 1 4 Rozwiązać układ równań Wykorzystać metodę eliminacji x y+z 2t= 4 x+y z+2t= 4 Gaussa 5Obliczyćkątmiędzypłaszczyznamiπ 1 :x 2y+z=1,π 2 :x+ 2y z= 3 6 Wyznaczyć odległość między prostymi x= 1+t k: y= t (t R), l: z= 2+t { x 3y 3=0 y z+1=0 Zestaw 7 odp str 93 1Wyznaczyćpostaćalgebraicznąelementówzbioru 8 6i 2Obliczyć ( 1+i 3 ) 12 Wynikpodaćwpostacialgebraicznej 1 1 1 1 3 Czy istnieje macierz odwrotna do macierzy 1 2 3 4 1 4 9 16? 1 8 27 64 { ax+ 2y= 3 4 Rozwiązać układ równań z parametrem a x+(a 3)y= 3

Egzamin poprawkowy 57 5ObliczyćpoletrójkątaABCowierzchołkachA=(1,1,1),B=(1,2,3),C = ( 1,1,0) { } 6 Na płaszczyźnie zespolonej przedstawić zbiór z C: z z+i 1 Zestaw 8 1Naszkicowaćzbiór { z C: Im ( z 4) 0 } 2ZnaleźćpierwiastkizespolonewielomianuW(z)=z 6 +z 4 +2z 2 4iprzedstawić je w postaci algebraicznej 3Funkcjęwymierną x2 5x+9 x 2 +5x+6 rozłożyćnasumęwielomianuiułamkówprostych 2x+ y z+ t= 5 x+ y+z 2t= 1 4Zukładurównań wyznaczyć niewiadomą x wykorzystując wzory x 2y+z+ t= 2 x +z = 3 Cramera 5 Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt P =(4, 3, 2) i prostopadłejdopłaszczyznπ 1 :x+2y z=0,π 2 :2x 3y+4z 5=0 x=1+2t 6Przezprostąl: y=2+ t (t R) poprowadzić płaszczyznę prostopadłą do z= 3t płaszczyznyπ:3x 2y+4z+6=0 Zestaw 9 odp str 93 1 1Obliczyć 3 (1 i) 2Wynikpodaćwpostacialgebraicznej 2ZnaleźćpierwiastkizespolonewielomianuW(x)=x 5 +x 4 +x 3 +x 2 +x+1 [ ] [ ] 1 1 2 1 1 2 3ZnaleźćmacierzA,któraspełniarównanieA = 0 1 1 3 5 8 3x+ +z= 1 4Dlajakichwartościparametrum Rukładrównań mx my+z= m jest x+my+z= 3 układem Cramera? 5 Napisać równanie parametryczne { płaszczyzny przechodzącej przez punkt P =(4, 7, 2) 3x+2y z=3 iprostopadłejdoprostejl: x y 3z=6 6Obliczyćmiarękątamiędzyprostąl:x=3+2t,y=1,z= 2+3t(t R)i płaszczyznąπ:x z=0

58 Zestawy zadań z egzaminów Zestaw 10 { 1 Naszkicować zbiór z C: Im z } z+2 >0, z+1 i <2 ( 2 Obliczyć cos π 8Wynikpodaćwpostacialgebraicznej 3 6) +isinπ z+ t= 4 4x+3y z+2t= 6 3Zukładurównań wyznaczyć niewiadomą x korzystając ze wzorów 3z+4t=12 y 2z+2t= 6 Cramera 4 Rozwiązać równanie macierzowe 5 3 1 3 1 0 5 2 0 Y 1 3 2 + 2 4 0 = 3 5 0 5 2 1 1 10 0 1 5 0 Macierz odwrotną wyznaczyć posługując się metodą bezwyznacznikową 5ZnaleźćpierwiastkiwielomianuW(x)=x 4 5x 3 +10x 2 10x+4 6 Znaleźć równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt A =( 1, 1, 2) i prostą x= 1+5t l: y= 1+ t (t R) z= 2t Zestaw 11 odp str 93 1Rozwiązaćrównaniez 6 +2i z 6 =(z) 6 używającodpowiedniejpostaciliczbyzespolonej Otrzymane pierwiastki zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej 2Liczbę (1+i)3( 3 i ) 2 i 2( 1+ 3i ) 3 przedstawićwpostacialgebraicznej 3 Znaleźć wielomian rzeczywisty W możliwie najniższego stopnia taki, że W(2i) = 0, W(i)=3+3i 4Obliczyćpoletrójkątależącegonapłaszczyźnieπ: 2x 3y+2z=3,którego wierzchołkami są punkty przecięcia tej płaszczyzny z prostymi k:x=t,y=t,z=t(t R), l:x=2s,y=s,z= 2s(s R), m:x=3u,y=2u,z=3u(u R) 5 Znaleźć macierz X spełniającą równanie 1 2 3 0 0 4 1 0 2 X= 4 0 0 8 2 0 6Sprawdzić,czypunktyA=( 1, 2,2),B=( 1,3,3),C=(2, 2,2),D=(1,0,3) leżą na jednej płaszczyźnie

Egzamin poprawkowy 59 Zestaw 12 1 Naszkicować zbiór { z C: Re ( z 2 3 ) >0, } z z+1 <1 2Rozwiązaćrównaniez 3 =(z i) 3 3x 2y 5z+ t= 3 2x 3y+ z+5t= 3 3 Rozwiązać układ równań Wykorzystać metodę eliminacji x+2y 4t= 3 x y 4z+9t= 22 Gaussa 4 Rozwiązać równanie macierzowe 1 2 3 3 2 4 Y+ 0 1 0 5 1 3 = 1 2 0 5 1 4 2 1 0 4 3 3 6 4 5 Macierz odwrotną wyznaczyć posługując się wzorem wyznacznikowym 5WielomianW(x)=x 4 x 3 +x 2 3x+2rozłożyćnailoczynwielomianówstopnia pierwszego 6ZnaleźćrównaniepłaszczyznyπprzechodzącejprzezpunktA=(1,3,0)irównoległej do prostych { x= 1 t x+y z+3=0 l 1 : 2x y+5z+1=0, l 2: y= t (t R) z= 3 6t Zestaw 13 odp str 93 1Rozwiązaćrównaniez 4 2z 2 +4=0 2Naszkicowaćzbiór{z C: z 1 =Re(z+1)} 4x 3 Funkcję wymierną (x+1)(x 2 +1) 2rozłożyćnazespoloneułamkiproste 4 Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy 2 0 0 3 5 0, korzystając z definicji 4 2 6 5 Trójkąt ABC rozpięty jest na wektorach AB=(1,5, 3) AC=( 1,0,4)Obliczyć wysokość trójkąta opuszczoną z wierzchołka C 6 Określić i opisać zbiór punktów wspólnych płaszczyzn Zestaw 14 π 1 :3x+y+z+1=0, π 2 :x+2z+6=0, π 3 :3y+2z=0 1Naszkicowaćzbiór{z C: z i <Imz+3}

60 Zestawy zadań z egzaminów 2Rozwiązaćrównanie2z z =z 4 3Zukładurównań wzory Cramera 2x+3y = 2 x+ y+5z+2t= 1 2x+ y+3t = 3 x+ y+3z = 3 wyznaczyć niewiadomą t stosując 4 Rozwiązać równanie macierzowe 1 2 0 2 5 2 Y+ 2 3 4 1 1 3 = 1 3 4 1 2 2 0 2 5 3 2 3 3 1 3 Macierz odwrotną wyznaczyć stosując metodę bezwyznacznikową 5 Nie wykonując dzielenia znaleźć resztę z dzielenia wielomianu przezwielomianq(x)=x 3 +x 2 2 P(x)=x 6 +x 5 +3x 2 +x 3 6 Znaleźć równanie płaszczyzny π przechodzącej przez prostą l 1 :x=1+3t,y= 2+4t,z=1+2t(t R), irównoległejdoprostejl 2 :x=5s,y=1+4s,z= 1+3s(s R) Zestaw 15 odp str 94 1Naszkicowaćzbiór{z C: Re[2zz (2+4i)z+(4i 2)z]<0} ( 1+i ) 20 3 2 Obliczyć Wynikpodaćwpostacialgebraicznej 1 i 3ZnaleźćinaszkicowaćpierwiastkiwielomianuW(x)=x 4 +8x 3 +x+8orazrozłożyć go na nierozkładalne czynniki rzeczywiste x 2y 3z= 3 4 Rozwiązać układ równań 2x+ 6y 10z= 0 Wykorzystać metodę eliminacji 3x+12y+ 3z= 9 Gaussa 5Znaleźćwektoruwiedząc,żejestonprostopadłydowektorówv=(0,2, 3), w=( 1,4,2)ispełniawaruneku (4,5,1)= 150 6ZnaleźćrównaniepłaszczyznyπprzechodzącejprzezpunktyP 1 =(2,1,3),P 2 = ( 1,2,1)irównoległejdoosiOz Zestaw 16 1 Naszkicować zbiór { z C:arg z+1 = 3 } i 2 π 2Rozwiązaćrównaniez 4 =z(1 i) 5

Egzamin poprawkowy 61 2x+ 7y+3z+ t= 5 x+ 3y+5z 2t= 3 3 Rozwiązać układ równań Wykorzystać metodę eliminacji Gaussa x+ 5y 9z+8t= 1 5x+18y+4z+5t=12 4 Rozwiązać równanie macierzowe Y 2 2 1 [ ] 5 5 2 2 1 2 = Macierz odwrotną wyznaczyć posługując się wzorem wyznacznikowym 5 8 1 1 2 2 x 5 Funkcję wymierną x 4 1 rozłożyćnarzeczywisteułamkiproste 6 Znaleźć równanie{ płaszczyzny przechodzącej przez punkt A =(1, 3, 1) i prostopadłejdoprostejl 1 : x+y z+2=0 2x+3y+z 1=0 Zestaw 17 odp str 94 1Napłaszczyźniezespolonejprzedstawićelementyzbioru 3 2 2i 2Funkcjęwymierną x+1 x 3 +x rozłożyćnarzeczywisteułamkiproste 3 Rozwiązać równanie macierzowe [ ] 0 1 1 0 B 1 0 0 1 1 0 1 1 1 = [ ] 1 0 0 2 2 1 x+2y+3z t= 1 4 Rozwiązać układ równań 3x+6y+7z+ t= 5 Wykorzystać metodę kolumn 2x+4y+7z 4t= 6 jednostkowych 5Zbadać,dlajakichwartościparametrup,punktyA=(1,2,1),B=(3,3, 2), C= ( 2,4, p 2),D=(3,1,0)należądojednejpłaszczyzny { x= 1+ t x 4y+3=0 6Obliczyćkątmiędzyprostymil 1 : x+y z+2=0, l 2: y= 3+2t (t R) z= 2+3t Zestaw 18 1Wyznaczyćelementyzbioru 3 (3 i) 6 ipodaćjewpostacialgebraicznej 2WielomianW(x)=x 4 +16przedstawićwpostaciiloczynurzeczywistychczynników nierozkladalnych 3PodaćwzórnamacierzodwrotnąikorzystajączniegoobliczyćA 1 dla 1 2 1 2 A= 0 1 2 1 1 0 0 2

62 Zestawy zadań z egzaminów [ ] [ ] [ ] 1 2 3 2 0 4 Rozwiązać równanie macierzowe: X = 1 2 1 1 0 5 Obliczyć pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty przecięcia osi układu współrzędnychzpłaszczyznąπ:3x+2y+z=6 6 Napisać równanie ogólne płaszczyzny, która przechodzi przez punkt P =(1, 2, 1) ijestrównoległadopłaszczyznyπ:2x y+3z+5=0 Zestaw 19 odp str 94 { } 1 Narysować zbiór z C: 4i 3 3i z 5 2ZnaleźćpierwiastkiwielomianuW(z)=2z 3 +3z 2 +2z 2 3x+ y+ z+ t=0 3x+3y+ z+ t=0 3 Wyznaczyć niewiadomą x z układu równań,stosując 3x+3y+3z+ t=0 3x+3y+3z+3t=3 wzory Cramera 1 1 0 0 1 4 Obliczyć macierz 0 2 0 2 0 0 3 3 Zastosować metodę operacji elementarnych 0 0 0 4 5 Obliczyć pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty przecięcia osi układu współrzędnychzpłaszczyznąπ:3x+2y+z=6 6ZnaleźćpunktsymetrycznydoA=(6, 3,0)względempłaszczyznyπ:x+y+z=0 Zestaw 20 1Stosującpostaćwykładnicząliczbyzespolonejrozwiązaćrównaniez 6 =(z) 6 Na płaszczyźnie zespolonej naszkicować zbiór jego pierwiastków 2WielomianW(z)=z 4 (1 2i) 4 przedstawićjakoiloczynzespolonychczynników nierozkładalnych 3 Stosując operacje elementarne obliczyć wyznacznik stopnia n 1 2 3 4 5 n 1 4 3 4 5 n 1 2 5 4 5 n 1 2 3 6 5 n 1 2 3 4 7 n 1 2 3 4 5 n+2