Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6. 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6.. Wyznaczanie przemieszczeń z zastosowaniem równań pracy wirtualnej w układach prętowych W metodzie pracy wirtualnej, przy obliczaniu przemieszczeń w miejscu, w którym chcemy wyliczyć zadane przemieszczenie przykładamy jednostkową siłę uogólnioną zgodną z kierunkiem i zwrotem szukanego przemieszczenia. W zależności od rodzaju szukanego przemieszczenia stosujemy różne typy obciążeń: aby wyznaczyć przemieszczenie liniowe punktu po kierunku prostej m układ obciążamy siłą skupioną P= P = m obrót przekroju obliczamy przykładając skupiony moment wirtualny: M = wzajemny obrót przekrojów w punktach i uzyskamy obciążając układ przeciwnie zwróconymi momentami:
Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 2 M = M = wzajemne zbliżenie punktów i obliczamy przykładając siły o zgodnym kierunku, lecz przeciwnym zwrocie: P = P = aby wyliczyć kąt obrotu cięciwy należy przyłożyć siły pod kątem prostym do tej cięciwy o wartości przez odległość pomiędzy punktami i (a): a a a zmiana kąta zawartego między stycznymi do prętów zbiegających się w przegubie dają dwa momenty jednostkowe przeciwnie zwrócone:
Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 3 M = M = obrót pręta D o długości a w kratownicy w węzłach pręta przykładamy parę sił dającą jednostkowy moment. Ponieważ M = =P a to P= a. a a D a wzajemne zbliżenie (względnie oddalenie) węzłów i kratownicy dają dwie siły leżące na jednej prostej P = P = zmiana kąta zawartego między prętami S i K o długościach a i b dwa jednostkowe momenty wyrażone przez pary sił:
Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 4 a b a a S φ K b b Równanie pracy wirtualnej dla kratownicy ogranicza się jedynie do działania siły normalnej (podłużnej) w prętach: = j N j N j P j t t 0 j l j gdzie: (j) N P - siła normalna w j-tym pręcie wywołana obciążeniem P, N j - siła normalna a j-tym pręcie wywołana obciążeniem wirtualnym, to (j) - temperatura działająca na pręt j, l j - długość pręta j, () j - sztywność pręta j. 6.2. Metoda ciężarów sprężystych Metoda ciężarów sprężystych jest jedną z metod obliczania linii ugięcia, stosowaną najczęściej przy wyznaczaniu składowych przemieszczeń pewnej grupy punktów układu (np. punktów osi ramy lub łuku; pasa górnego, dolnego lub wszystkich węzłów kratownicy równocześnie). Rozpatrzmy pewien dowolny układ obciążony rzeczywistymi siłami zewnętrznymi: P i - P i Pi + i - i i + a i a i + Rys. 6.. Dowolny układ obciążony rzeczywistymi siłami zewnętrznymi Wykresy momentów zginających i sił poprzecznych wywołanych przez siły Pi-, Pi oraz Pi+, wyglądają tak jak na rys. 6.2 i rys. 6.3:
Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 5 i - i i + M P M i - φ i φ i + M i M i + a i a i + Rys. 6.2. Wykres momentów zginających i - i i + T P T i L P i T i P Z wykresów (rys. 6.2 i rys. 6.3) wynika, że: a i a i + Rys. 6.3. Wykres sił poprzecznych tan i = M M i i = dm L =T a i dx i i L (6.) tan i = M M i i = dm P =T a i dx i i P (6.2) Różnica wyrażeń (6.) i (6.2) daje wartość siły obciążającej: tan i tan i =T i P T i L =P i Ponieważ miary kątów są bardzo małe, możemy zapisać, że: więc tan P i = i i Rozpatrzmy teraz układ belkowy obciążony fikcyjnymi siłami (rys. 6.4).
Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6 w i - w i wi + i - i i + a i a i + Rys. 6.4. Układ belkowy obciążony fikcyjnymi siłami proksymacja linii ugięcia belki linią łamaną wygląda następująco: i - i i + δ i - φ i φ i + δ i δ i + a i a i + Rys. 6.5. proksymacja linii ugięcia belki linią łamaną Jak wynika z porównania rys.6.2 i rys. 6.5, linia ugięcia układu prętowego jest zbieżna z wykresem momentów zginających utworzonym dla tego układu. Podobnie jak w przypadku obciążenia rzeczywistego, różnica kątów obrotu przekrojów z lewej i prawej strony węzła i jest równa sile przyłożonej w węźle i : tan i = i i a i i tan i = i i a i i (6.3) (6.4) w i = i i Dla siły w i, nazywanej dalej ciężarem sprężystym możemy zapisać definicje: Ciężary sprężyste to różnice kątów obrotu dwóch sąsiednich odcinków pręta wywołane obciążeniem w układzie rzeczywistym, to wielkości, które po obciążeniu belki zastępczej dają wykres momentów zginających identyczny z linią ugięcia układu rzeczywistego.
Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 7 6.3. Ciężary sprężyste dla układów kratowych statycznie wyznaczalnych Sposób obliczania ciężarów sprężystych dla układów kratowych statycznie wyznaczalnych przebiega zawsze w dwóch etapach :. bliczamy siłę będącą różnicą kątów nachylenia dwóch sąsiadujących odcinków prętowych i obciążamy nią belkę zastępczą. 2. Rysujemy wykres momentów, który jest równy wykresowi linii ugięcia. Należy przypomnieć, że w celu obliczenia wartości ciężarów sprężystych obciążamy układ siłami wirtualnymi (SME CIĘŻRY SPRĘŻYSTE T NIE CIĄŻENI WIRTULNE!!!) by wyznaczyć przemieszczenia δ węzłów pasa dolnego kratownicy P P 2 δ k - δ k δ k + Rys. 6.6. Kratownica obciążona siłami P (δ nieznane przemieszczenie) w każdym z węzłów należy wyliczyć ciężar sprężysty w i i obciążyć nimi belkę zastępczą w k- w k w k+ Rys. 6.7. elka fikcyjna (zastępcza) ciężary sprężyste dla kratownicy możemy obliczyć ze wzoru: gdzie: w i = j S p (j) oznacza siłę w j-tym pręcie wywołaną obciążeniem zewnętrznym, Sj oznacza siłę w j-tym pręcie wywołaną obciążeniem wirtualnym. S P j S j j l j (6.5)
Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 8 bciążeniem wirtualnym są jednostkowe momenty, wyrażone przez pary sił, przyłożone do prętów dochodzących do węzła, w którym liczymy ciężar sprężysty. Na przykład dla węzła k : k - k k + a i a i a i+ a i+ a i a i + Rys. 6.8. Kratownica obciążona siłami wirtualnymi by przyjąć belkę zastępczą postępujemy analogiczne jak w metodzie obciążeń wtórnych kratownicę (rys. 6.9) zamieniamy na belkę fikcyjną spełniającą warunki brzegowe układu rzeczywistego (rys. 6.0): Rys. 6.9. Przykładowa kratownica Rys. 6.0. elka fikcyjna spełniająca warunki brzegowe układu rzeczywistego Linia ugięcia pasa górnego lub dolnego kratownicy jest taka sama jak wykres momentów belki fikcyjnej. Innym sposobem tworzenia układu zastępczego jest zastosowanie belki podpartej na obu końcach. Dla niej tworzymy wykres momentów od ciężarów sprężystych, na którym zaznaczamy rzędną punktu, gdzie ugięcie powinno być zerowe, na rys. 6. są to punkty i. Prowadzimy prostą zamykającą przez rzędną wykresu w punktach i. Rzędne z zakreskowanego pola między linią wykresu momentów a prostą zamykającą, stanowią wartości ugięć kolejnych punktów układu rzeczywistego. ' Rys. 6.. Schemat zastępczy dla kratownicy z rys. 6.9 - rozwiązanie drugim sposobem
Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 9 Zadanie Jak powinien wyglądać układ fikcyjny dla belki o podanym schemacie: Rozwiązaniem jest belka spełniająca warunki brzegowe: Zadanie 2 Znajdź linię ugięcia pasa dolnego kratownicy (rys. 6.2) dwoma sposobami: a) przykładając jedynki wirtualne w kolejnych węzłach b) stosując metodę ciężarów sprężystych 2 0 9 8 7,5 2 3 4 5 6 00 kn [m] 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 Rys. 6.2. Zadana kratownica ad a) Rozwiązanie kratownicy od obciążenia zewnętrznego c 2 =,5 2 2 2 =2,25 4 =6,25 c 2 = 6,25= 2,5 sin =,5 2,5 cos = 2 2,5 Y 2 =0 : S 2,0 sin =50 S 2,0,5 2,5 =50 S = 250 2,0 3 X 2 =0 S 2,3 = 250 3 2 2,5 S 2,3 =S 2,0 cos S 2,3 = 200 3
Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 0,5 N p [kn] 83,(3) 00 83,(3) 2 66,(6) 3 66,(6) 4 5 6 [m] 00 50 50 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 Rys. 6.3. Rozwiązanie kratownicy od obciążenia zewnętrznego Siły w prętach kratownicy obciążanej w kolejnych węzłach siłą wirtualną P=,5 N [ - ],(3),(3),(6) 0,8(3) 0,8(3) 2 0,(6) 3 0,(6) 4 5 6 [m],5 0,5 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 Rys. 6.4. Kratownica obciążana w węźle nr siłą wirtualną P=,5 [m] N 3 [ - ] 0,8(3) 0,8(3) 2 0,(6) 3 0,(6) 4 5 6 0,5 0,5 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 Rys. 6.5. Kratownica obciążana w węźle nr 3 siłą wirtualną P=
Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH,5 N 6 [ - ] [m],(6) 2,(6) 2,(6),(6) 2,(3) 3,(3) 4,(3) 5,(3) 6 2 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0,(6),(6) Rys. 6.6. Kratownica obciążana w węźle nr 6 siłą wirtualną P= bliczenia przemieszczeń wykonywać będziemy na podstawie wzoru : v i = N N l Z symetrii układu wynika, że v i v 5 są sobie równe: v =v 5 = 5 6 250 3 2,5 5 6 250 2,5 2 200 3 3 2 3 = 77, 7 Ugięcia w podporach są zerowe: v 2 =v 4 =0 Przemieszczenia węzła 3 i 6 wynoszą: v 3 = 250 5 2 00 2 200 2 3 6 3 3 =675 v 6 = 5 3 250 3 2,5 5 3 250 3 2,5 2 200 3 Rozwiązanie przedstawiono na rys. 6.7: 2 4 3 = 355, 5 77,(7) 77,(7) 355,(5) [m] 675,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 Rys. 6.7. Linia ugięcia pasa dolnego kratownicy
Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 2 dcinki linii ugięcia pasa dolnego kratownicy pomiędzy wyznaczonymi w węzłach wartościami aproksymowano liniami prostymi. ad b) Metoda ciężarów sprężystych W celu obliczenia ciężarów sprężystych układ obciążamy grupami sił przykładamy w sąsiadujących węzłach k -, k, k +. W naszym przykładzie a k = a k+= 2,0 m. Ciężary sprężyste wyznaczamy na podstawie wzoru: a k,, a k a k a k, które w i = j S P j S j j l j (6.6) by określić wartość ciężaru sprężystego w 2 wyznaczamy siły w prętach kraty (rys. 6.8) obciążonej w węzłach, 2, 3. N W2 [ - ],5 0,5 0,(6) 0,(6) 0,8(3) 0,8(3) 0,5 [m] 2 3 4 5 6 0,5 0,5 0,5 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 Rys. 6.8. Kratownica obciążanej w węzłach nr,2,3 siłami 2, 2 2, 2 bliczamy wartość ciężaru sprężystego dla węzła 2 (z symetrii układu wynika, że w 2 = w 4 ): 0,5 w 2 =w 4 = 5 6 250 3 2,5 2 00,5 = 248,6 Dla ciężaru sprężystego w 3 poszukujemy sił w prętach kraty od obciążenia w węzłach 2, 3, i 4.
Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 3,5 N W3 [ - ] 0,8(3) 0,8(3) 0,(6) 0,(6) 2 3 4 5 6 0,5 0,5 0,5 0,5 [m] 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 Rys.6.9. Kratownica obciążanej w węzłach nr 2,3,4 siłami 2, 2 2, 2 obliczamy wartość ciężaru sprężystego: w 3 = 5 6 250 200 2,5 2 00,5 3 3 2 3 2 2 =675 Dla ciężaru w5 obciążenie wirtualne przykładamy w węzłach 4, 5 i 6. Wyznaczone w ten sposób siły występują tylko w prętach, w których siły od obciążenia są równe zero. Wobec tego: w 5 =0 Dobieramy układ zastępczy dla kratownicy (rys. 6.2) i obciążmy ciężarami sprężystymi: w 2 = 248,6() w 3 = 675,0 w 4 = 248,6() C D [m] 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 Rys. 6.20. Układ zastępczy dla kratownicy Z rys. 6.20 widać, że ciężary w i w 6 byłyby przyłożone w podporach. Tak więc nie mają wpływu na ugięcia. bliczamy reakcje podporowe:
Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 4 belka II w 2 = 248,6() w 3 = 675,0 w 4 = 248,6() belka I belka III R R C C D [m] 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 dla belki II M C =0 R = w 2 w 4 3 2 = 4 675 2 248,6 R =R =R C =R D = 88, 8 dla belki I M =0 M =R 2 = 77, 7 dla belki II M D =0 M D =R C 4 = 355, 5 = 88, 8 bliczamy moment w środku rozpiętości części II : w 2 = 248,6() E M E R 2,0 M E =0 M E = R w 2 2= 675 Wykres momentów od ciężarów sprężystych przedstawia również linię ugięcia pasa dolnego kratownicy:
Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 5 77,(7) 77,(7) 355,(5) [m] 675,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 Rys. 6.2. Wykres momentów od ciężarów sprężystych 6.4. bliczanie ciężarów sprężystych dla układów prętowych zginanych Rozważymy dowolny zginany układ prętowy obciążony siłami skupionymi P k. Każdy z prętów układu posiada przekrój o polu powierzchni k i momencie bezwładności Ik, długość pręta oznaczono lk. W celu wyznaczenia przemieszczeń φ k wzdłuż kierunków działających sił P k należy wyznaczyć dla każdego węzła ciężar sprężysty w k. Ciężar sprężysty jest liczony na podstawie wykresów sił wewnętrznych od obciążenia rzeczywistego i od obciążenia wirtualnego, które stanowią pary sił (momenty jednostkowe). l k+ l k P k k k +, J k+ P k+ k+ P k- k, J k ß k+ k- ß k a k a k+ N k+ N p N k M k+ N k M p M k M k- Rys. 6.22. Układ prętowy obciążony siłami skupionymi
ak+ Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 6 a k ak + ak+ a k a k+ M l tg β k+ k+ l k+ tg β k+ N - l k tg β k - l k tg β k Rys. 6.23. Układ prętowy obciążony w więzach siłami wirtualnymi We wzorze określającym ciężar sprężysty nie uwzględniamy sił tnących i osiadań: w k = { s M M p EJ t t h ds s N N p t t 0 ds } (6.7) Używając oznaczeń z wykresów sił wewnętrznych można zapisać: w k = E J k [ 2 l k 3 M 2 k 3 k ] M E J k [ 2 l k 3 M 2 k 3 k ] M tg l k l k N k k] E k [ tg l k l k N k k ] E k [ t t h k 2 l k t t h k 2 l k t t 0 l k tg k l k t t 0 l k tg k l k (6.8) Po skróceniu otrzymujemy ogólny wzór na ciężar sprężysty z uwzględnieniem momentów zginających, sił normalnych i temperatury. w k = l k 6 E J k 2 M k M k l k 6 E J k 2 M k M k tg k 6 E k N k tg k 6 E k N k t t 2 l k h k l k h k t t 0 tg k tg k (6.9) t, t - wspólne dla obu prętów (l k i l k + ). Należy zwrócić uwagę na pewne przypadki szczególne stosowania wzoru (6.8)
Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 7. Dla wykresów krzywoliniowych do powyższego wzoru należy dodać poprawkę uwzględniającą parabolę tzn. zwiększyć wartość w k o część wynikającą z faktu krzywoliniowego wykresu momentów rzeczywistych. q k,j k l k Δw Rys. 6.24. Krzywoliniowy wykres momentów w k = 6 E J k [2 M k M k ]... w (6.0) 2. W przypadku nieciągłości wykresu, skoku o wartość momentu rzeczywistego, rozbijamy wykres na dwa wykresy, ale całość koncepcji nie zostaje zmieniona. Po obliczeniu ciężarów sprężystych obciążamy nimi belkę fikcyjną, tzn. taką, która spełnia warunki brzegowe układu rzeczywistego (analogia do metody obciążeń wtórnych). C w w 2 w 3 w 4 Rys. 6.25. elka zastępcza (fikcyjna) obciążona ciężarami sprężystymi Można jednak zamiast belki fikcyjnej obciążać ciężarami sprężystymi belkę spoczywającą na dwóch podporach, wymaga to jednak pewnego zabiegu graficznego.
Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 8 Dla belki podpartej na dwóch końcach wykres momentów powstały od obciążeń wk będzie równy zeru w punktach i C (rys. 6.26) (ugięcie tych punktów równe jest zeru). Jednak warunkiem brzegowym belki rzeczywistej jest zerowe ugięcie w punktach i C. Należy postąpić w następujący sposób: po narysowaniu wykresu momentów w belce podpartej na obu końcach, kreślimy prostą zamykającą tak aby przecięła rzędne wykresu momentów dla punktów i C. w w 2 w 3 w 4 C C δ 2 δ 3 δ 4 Rys. 6.26. elka wolnopodparta na obu końcach obciążona ciężarami sprężystymi Rzędne zakreskowanego pola (rys. 6.26) pomiędzy linią krzywą a prostą zamykającą stanowią wartości ugięć kolejnych punktów belki rzeczywistej (na rysunku wyróżniono ugięcia w punktach przyłożenia ciężarów sprężystych). nalogicznie postępujemy w przypadku kratownic wyznaczając linię ugięcia mamy dwie możliwości: Możemy przyjąć schemat belki zastępczej spełniającej warunki brzegowe układu rzeczywistego. W punkcie (rys. 6.27a) jest podpora (przemieszczenie jest zerowe) wprowadzamy przegub aby moment od ciężarów sprężystych był równy zero. Drugim sposobem jest zastosowanie schematu belki wolnopodpartej (rys. 6.27c) dla której tworzymy wykres momentów od sił w k. Kreślimy prostą zamykającą przez rzędne w punktach i (zerowe przemieszczenia w kracie rzeczywistej) aż do punktu M. Dalej łączymy prostą zamykającą punkty M i C. Przemieszczenia to wartości pomiędzy wykresem krzywoliniowym i prostymi zamykającymi. Przypomnieć należy, że w kratownicy możemy wyznaczyć linię ugięcia pasa dolnego lub pasa górnego w zależności od sposobu wyznaczenia samych ciężarów sprężystych. W przypadku pasa górnego trzeba wirtualne obciążenia (pary sił i ) przykładać do węzłów górnych. a k a k
Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 9 a) 2 3 4 5 6 7 8 9 M 0 2 C b) w w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 w 7 w 8 w 9 w 0 w w 2 δ 3 c) w w 2 w 3 w 4 w 5 w 6 w 7 w 8 w 9 w M w 0 w w 2 δ 3 Rys. 6.27. a) układ rzeczywisty, b) układ zastępczy (analogia do metody obciążeń wtórnych) - belka fikcyjna, c) układ zastępczy (belka wolno podparta - konieczność wprowadzenia zabiegu graficznego) W przypadku występowania przegubu wewnętrznego ciężar sprężysty dla tego punktu należy obliczyć indywidualnie biorąc pod uwagę fakt, że wykresy momentów wirtualnych występują w całym układzie (rys. 6.28).
Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 20 0 2 3 4 5 6 7 8 dla w dla w 2 dla w 3 dla w 4 dla w 5 4 4 Rys. 6.28. elka z przegubem wewnętrznym Podobnie w układach kratowych z przegubem wewnętrznym trzeba zwrócić uwagę na ciężar sprężysty dla przegubu.
Część 6. WYZNCZNIE LINII UGIĘCI W UKŁDCH PRĘTWYCH 2 ak + ak+ ak+ m ak k H =0 a k a H =0 k+ R =0 am + am+ R =0 am am+ f a m a m+ H = f H = f R =0 R =0 w k w m u k u m Rys. 6.29. Układ trójprzegubowy Wszystkie wartości wk obliczamy w układach samorównoważących się (siły tylko w niektórych prętach). Natomiast wielkość w m obliczamy z uwzględnieniem faktu, że obciążenie wirtualne w punkcie m wywołuje reakcje poziome H. Zatem stan naprężenia występuje we wszystkich prętach kratownicy a nie jak poprzednio tylko w otoczeniu obciążonych węzłów.