Makroekonomia Zaawansowana

Makroekonomia Zaawansowana wiczenia 10 Polityka optymalna MZ 1 / 34

Plan wicze«1 Optymalna polityka pieni»na 2 Funkcja straty a dobrobyt spoªeczny 3 Domkni cie modelu NK z optymaln polityk pieni»n 4 Optymalna polityka pieni»na w Dynare 5 Zadania MZ 2 / 34

Plan prezentacji 1 Optymalna polityka pieni»na 2 Funkcja straty a dobrobyt spoªeczny 3 Domkni cie modelu NK z optymaln polityk pieni»n 4 Optymalna polityka pieni»na w Dynare 5 Zadania MZ 3 / 34

Optymalna polityka pieni»na Reguªa Taylora Dotychczas korzystali±my z nast puj cego równania nominalnej stopy procentowej: i t = ρ + (1 γ ρ ) (γ π π t + γ y y t ) + γ ρ i t 1 + ε i t (1) konstrukcja ad hoc brakuje wyprowadzenia od mikropodstaw popularne, cho wbrew idei DSGE dlatego bankowi centralnemu te» na ogóª powierza si zadanie optymalizacyjne co bank centralny mo»e optymalizowa? MZ 4 / 34

Optymalna polityka pieni»na Polityka optymalna Zadanie banku centralnego: minimalizowa zmienno± w gospodarce. W gospodarce s sztywno±ci nominalne, a wi c zmienno± cen wymaga dostosowa«. W ich czasie nie wszyscy producenci maj ceny ustalone na poziomie optymalnym, co zmniejsza zagregowan produkcj, konsumpcj i w ko«cu dobrobyt. Odpowiada temu cz sto stosowana funkcja straty ad hoc: L = k=0 β k ( E t π 2 t+k + λyt+k 2 ) Przy pewnych warunkach mo»na pokaza,»e taka funkcja straty jest to»sama z maksymalizacj dobrobytu spoªecznego przez bank centralny. Aby tak byªo, musi zachodzi (przy pewnych dodatkowych warunkach zob. dalej): 1 (1 ω) (1 θ) (1 βθ) λ = µ θ + ω [1 θ (1 β)] MZ 5 / 34

Przybli»enia 2. rz du Przybli»enia 2. rz du (1) Wró my do szeregu Taylora z tematu 3 i rozwi«my go do 2., a nie do 1. rz du: f (X ) f ( X ) + f ( X ) ( X X ) + f ( ) X ( X X ) 2 2 Oznaczenie, jakim posªugiwali±my si do tej pory: x t ln X t ln X. Zauwa»my jednak,»e przybli»enie Xt X x t X, czyli interpretacja x t jako odchylenia procentowego od stanu ustalonego, byªo efektem rozwini cia 1. rz du. Przy rozwini ciu 2. rz du taka interpretacja jest zbyt niedokªadna. Zauwa»my,»e ln X t ln X + 1 X ( Xt X ) ( ) (Xt + 1 2 1 X 2 X ) 2 (2) MZ 7 / 34

Przybli»enia 2. rz du Przybli»enia 2. rz du (2) ( ) ( X Porz dkuj c, otrzymujemy: x t = t X X 1 2 ( ) równania kwadratowego ze wzgl du na otrzymujemy: X t X X X t X X ) X t X 2. Po rozwi zaniu X = 1 ± 1 2x t. Zauwa»my,»e w stanie ustalonym x t = 0 i lewa strona równania = 0, a wi c tylko rozwi zanie sens ekonomiczny. Xt X X = 1 1 2x t ma Rozwini cie prawej strony w szereg Taylora 2. rz du wokóª x t = 0 daje: X t X X Na podstawie (2) oraz (3) mo»emy zatem zapisa : f (X ) f ( X ) + X f ( X ) ( x t + 1 2 x 2 t = x t + 1 2 x 2 t (3) ) + X 2 f ( X ) 2 ( x t + 1 2 x 2 t ) 2 (4) MZ 8 / 34

Przybli»enia 2. rz du Przybli»enia 2. rz du (3) Pomijamy wyra»enia do pot gi 3. lub wy»szych, otrzymuj c ostatecznie: f (X ) f ( X ) + X f ( X ) ( x t + 1 2 x 2 t ) + 1 [ X 2 f ( X )] xt 2 (5) 2 Gdy X jest wektorem zmiennych, f Xi pochodn wzgl dem zmiennej X i obliczon dla stanu ustalonego, a f Xi X j drug pochodn wzgl dem zmiennych X i oraz X j, wówczas: f (X) f (X)+ i ( X i f Xi x i,t + 1 ) 2 x t 2 + 1 X i X j f Xi X 2 j x i,t x j,t (6) i,j MZ 9 / 34

Przybli»enia 2. rz du Przybli»enia 2. rz du (4) Z punktu widzenia polityki pieni»nej, istotne jest rozró»nienie pomi dzy zmiennymi, na które polityka ma [ wpªyw, ] i takimi, na które nie ma wpªywu Z t (wstrz sy). Niech zatem X t = wg tego podziaªu. Równanie (6) ɛ t przybiera wówczas posta : f (Z, ɛ) f ( Z, ɛ) + ( i Z i f Zi zi,t + 1 2 z ) i,t 2 + 1 2 2 i,j,i j Z i j f Zi Z i zi,t+ 2 + i,j,i j Z i Zj f Zi Z j z i,t z j,t + i,j Z i ɛ j f Zi ɛ j z i,t ɛ j,t + tip (ɛ t) (7) pomin li±my wyra»enia zale»ne tylko od poziomu i od kwadratu ɛ t, zapisuj c je jako tip (ɛ t) (ang. terms independent of policy), poza kontrol polityki pieni»nej, a wi c bez znaczenia dla dalszej analizy ɛ to na ogóª wektor jedynek (i byªby nim w dotychczasowym modelu) przy pochodnych mieszanych pomin li±my 1, co wynika z faktu,»e 2 elementy ostatniej sumy w (7), dla których i j, si dublowaªy (symetryczne drugie pochodne) MZ 10 / 34

Liniowo-kwadratowe przybli»enie u»yteczno±ci Liniowo-kwadratowe przybli»enie u»yteczno±ci (1) Takie przybli»enie dla jednookresowej funkcji u»yteczno±ci: U t (C t, N t ) = ε D t daje nast puj ce wyra»enie: C 1 σ t 1 σ N1+φ t 1 + φ (8) U t Ū + C C σ c t N N φ n t + 1 [ 2 C C σ + C 2 ( [ σ C σ 1)] ct 2 + N N φ + N 2 ( φ N φ 1)] nt 2 + 1 C C σ c t ɛ d t + tip = 1 2 = Ū + C 1 σ c t N 1+φ n t + 1 2 C 1 σ (1 σ) c 2 t + 1 2 N 1+φ (1 + φ) n 2 t + C 1 σ c t ɛ d t + tip MZ 11 / 34

Liniowo-kwadratowe przybli»enie u»yteczno±ci Liniowo-kwadratowe przybli»enie u»yteczno±ci (2) Pami tamy,»e w modelu rozwa»anym w cz ±ci 5 zachodziªo Ȳ = C (warunek równowagi w gospodarce zamkni tej) oraz»e w stanie ustalonym kra«cowy MPN = U N U, czyli Ȳ N = N φ. St d mamy C C σ N 1+φ = C 1 σ, y t = c t i dalsze uproszczenie do postaci: U t Ū C 1 σ y t n t + 1 2 (1 σ) y 2 t 1 2 (1 + φ) n2 t + y t ɛ d t + tip (9) MZ 12 / 34

Liniowo-kwadratowe przybli»enie u»yteczno±ci Liniowo-kwadratowe przybli»enie u»yteczno±ci (3) Wracamy do upraszczaj cego zaªo»enia o log-linearyzowanym modelu, przyj tego przy agregacji funkcji produkcji w temacie 5. Je»eli rozwa»amy przybli»enie liniowo-kwadratowe, to nie mo»emy ju» tego zaªo»enia przyj, a zatem N t = 1 0 N n,t dn = 1 0 Y n,t dn = Yt ε S t ε S t 1 ( Pn,t P t 0 ) µ dn gdzie ostatnia równo± bazuje na funkcji popytu na dobro n wyprowadzonej w cz ±ci 5. Przybli»enie drugiego rz du (a nie log-linearyzacja) wymaga zatem rozwa»enia równania: 1 n t = y t ɛ s t + ln 0 ( Pn,t P t ) µ dn (10) MZ 13 / 34

Liniowo-kwadratowe przybli»enie u»yteczno±ci Liniowo-kwadratowe przybli»enie u»yteczno±ci (4) Wprowad¹my oznaczenie ceny relatywnej B n,t = Pn,t P t, równej 1 w stanie ustalonym. Zauwa»my,»e Bn,t µ = exp ( µb n,t ), co po rozwini ciu w szereg Taylora 2. rz du daje: Liczymy caªk zawart w (10): B µ n,t = 1 µb n,t + 1 2 µ2 b 2 n,t (11) 1 ln 0 1 (B n,t ) µ dn = µ 0 b n,t dn + 1 2 µ2 1 0 b 2 n,tdn (12) MZ 14 / 34

Liniowo-kwadratowe przybli»enie u»yteczno±ci Liniowo-kwadratowe przybli»enie u»yteczno±ci (5) ( 1 Zauwa»my teraz,»e P t 0 P1 µ i,t ) 1 dn 1 µ (z denicji z tematu 5). Dzielenie obu stron tego równania przez P t i pó¹niejsze pot gowanie przez 1 µ daje 1 1 = B 1 µ i,t dn. Przybli»enie logarytmiczne 2. rz du podobne do (11) daje: 0 1 = 1 + (1 µ) 1 0 b i,t dn + 1 (1 µ)2 2 1 0 b 2 i,tdn Na tej podstawie równanie (12) mo»emy upro±ci do postaci: ln 1 0 1 (B n,t) µ dn = µ 1 2 (1 µ) 0 b 2 i,tdn + 1 2 µ2 1 0 1 bn,tdn 2 = 1 µ 2 0 b 2 n,tdn (13) MZ 15 / 34

Liniowo-kwadratowe przybli»enie u»yteczno±ci Liniowo-kwadratowe przybli»enie u»yteczno±ci (6) Równanie (13) mo»emy dodatkowo zmodykowa korzystaj c z: 1 0 b 2 n,tdn = 1 0 (p n,t p t ) 2 dn 1 0 [p n,t E (p n,t )] 2 dn = var n p n,t (14) gdzie var oznacza wariancj mi dzy cenami poszczególnych producentów, n policzon w danym okresie. Powy»sze przybli»enie polega na tym,»e podstawienie p t E (p n,t ) wykonywane jest pod znakiem kwadratu, a wi c pomijamy tu elementy rz dów dalszych ni» drugi. Ostatecznie mamy równanie (10) z uwzgl dnieniem podstawienia B n,t = Pn,t P t oraz równa«(13) i (14) w postaci: n t = y t ɛ s t + 1 2 µvar n p n,t (15) MZ 16 / 34

Liniowo-kwadratowe przybli»enie u»yteczno±ci Liniowo-kwadratowe przybli»enie u»yteczno±ci (7) Po podstawieniu do (9) mamy: U t Ū C 1 σ 1 2 µvar n pn,t + 1 2 (1 σ) y t 2 1 2 (1 + φ) (yt ɛs t )2 + y tɛ d t + tip (16) Pomini cie wariancji p n,t w drugim przypadku wynikaªo z wª czenia jej do grupy wyrazów rz du wy»szego ni» 2. Równanie mo»na dalej upro±ci do postaci: U t Ū C 1 σ 1 2 µvar n pn,t 1 2 (σ + φ) y t 2 + (1 + φ) ytɛs t + ytɛd t + tip (17) Zdeniujmy funkcj dobrobytu (z dokªadno±ci do tip oraz wyrazów wy»szych rz dów) w sposób analogiczny do wielookresowej optymalizacji gospodarstw domowych: W = t=0 β t Ut Ū C 1 σ = t=0 β [ t 1 2 µvar n pn,t 1 ] 2 (σ + φ) y t 2 + (1 + φ) y tɛ s t + y tɛ d t (18) MZ 17 / 34

Liniowo-kwadratowe przybli»enie u»yteczno±ci Wariancja cen relatywnych (1) Zauwa»my,»e wariancja zmiennej przesuni tej o staª nie ulega zmianie, a zatem: var n [ 2 pn,t = var n (pn,t p t 1) = E (p n,t p t 1 ) 2 E (p n,t p t 1 )] = En (p n,t p t 1 ) 2 π 2 n n t Zauwa»my,»e pierwszy komponent (warto± oczekiwana liczona po n) mo»emy rozdzieli na trzy grupy producentów: tych, którzy byli dobrani losowo i nie zmienili ceny (θ) przenosz c tym samym w przyszªo± rozkªad cen z poprzedniego okresu; tych, którzy cen zmienili indeksuj c do przeszªej inacji (ω (1 θ)); wreszcie tych, którzy zmienili cen na now cen optymaln ((1 ω) (1 θ)): var n pn,t = θe n (p n,t 1 p t 1 ) 2 + (1 θ) ω ( p t 1 + π t 1 p t 1 ) 2 + + (1 θ) (1 ω) ( p f,t p t 1 ) 2 π 2 t p t i p f,t s staªe dla wszystkich producentów z grupy zmieniaj cej ceny, a wi c mogli±my pomin operatory warto±ci oczekiwanej. MZ 18 / 34

Liniowo-kwadratowe przybli»enie u»yteczno±ci Wariancja cen relatywnych (2) Pami tamy o równaniu π t = (1 θ) ( p t p t 1 ) oraz Et p f,t+1 p t = 1 (1 θ)(1 ω) (Et π t+1 ωπ t ) z tematu 5. Oba przesuwamy o 1 okres wstecz i podstawiamy, zauwa»aj c dodatkowo,»e π t 1 p t 1 = p t 2 : var n pn,t = θe ( ) 2 ω pn,t 1 p n t 1 + 1 θ π2 t 1 + 1 ( ) 2 2 πt ωπ t 1 π t (1 θ) (1 ω) Porz dkuj c i zauwa»aj c,»e w równaniu jest denicja wariancji cen mi dzy producentami w okresie t 1, otrzymujemy: var pn,t = θvar n n p n,t 1 + θ 1 θ π2 t + ω ( ) 2 πt π t 1 (1 θ) (1 ω) Rozwi»my równanie iteracyjnie w przyszªo±, pocz wszy od okresu 0 (który zaliczymy do warunków pocz tkowych, a wi c tip) a» do t: ( ) t var n pn,t = θt+1 var n p n, 1 + θ t s θ s=0 1 θ π2 s + ω ( ) 2 πs π s 1 (1 θ) (1 ω) MZ 19 / 34

Liniowo-kwadratowe przybli»enie u»yteczno±ci Wariancja cen relatywnych (3) Wyznaczmy na potrzeby podstawienia we wzorze (18): β t var n pn,t = t=0 [π 0 2 ( + β θπ0 2 ) + π2 1 + β 2 ( θ 2 π0 2 + θπ2 1 + π2 2 = θ 1 θ + ω(1 ω) 1 (1 θ) [ = θ π 2 ( 1 θ 0 + ω(1 ω) 1 (1 θ) ) ] +... + ( π0 π 1 ) 2 + β [ θ ( π 0 π 1 ) 2 + (π1 π 0 ) 2] + +β 2 [ θ 2 ( π 0 π 1 ) 2 + θ (π1 π 0 ) 2 + (π 2 π 1 ) 2] +... = 1 + θβ + (θβ) 2 ) +... + βπ1 2 ( 1 + θβ + (θβ) 2 ) +... + β 2 π2 2 ( 1 + θβ + (θβ) 2 ) +... ( ) [ π0 π 2 1 + β θ ( ) π 0 π 2 1 + (π1 π 0 ) 2] + +β 2 (π 2 π 1 ) 2 ( 1 + θβ + (θβ) 2 ) +... +... ] +... + [ ] = 1 β t θ 1 θβ 1 θ π2 t + ω(1 ω) 1 ( ) πt π 2 (1 θ) t 1 t=0 (19) MZ 20 / 34

Liniowo-kwadratowe przybli»enie u»yteczno±ci Funkcja dobrobytu (1) Wobec tego mamy we wzorze (18): W = Ut Ū t=0 βt = C 1 σ = 1 2 µ θ { β t t=0 β t (1 θ)(1 θβ) t=0 [ 1 2 µ 1 1 θβ 1 2 (σ + φ) y t 2 θ 1 θ π2 t + ω(1 ω) 1 (1 θ) (π t π t 1) 2] + + (1 + φ) y tɛ s t + y tɛ d t πt 2 1 (1 θ)(1 θβ) + µ (σ + φ)y 2 θ t + + ω θ(1 ω) (πt πt 1)2 + 1 (1 θ)(1 θβ) [ 2µ (1 + φ) ɛ s t + ɛ d t θ ] yt (20) } MZ 21 / 34

Liniowo-kwadratowe przybli»enie u»yteczno±ci Funkcja dobrobytu (2) Zauwa»my: taka funkcja dobrobytu to przybli»enie warto±ci funkcji u»yteczno±ci, zdeniowane z dokªadno±ci do staªej (Ū, tip)......oraz do czynników skaluj cych zmienno± y t i π t mo»emy uzna za zmniejszaj ce dobrobyt a wi c bank centralny maksymalizuj c dobrobyt dany przez (20) minimalizuje równocze±nie funkcj straty parametry przy y t to lambda wyra»enie z (π t π t 1 ) 2 znika w modelu bez indeksacji do przeszªej inacji, czyli gdy ω = 0 iloczyny y t i wstrz sów znikn ªyby, gdyby±my funkcj straty zdeniowali w kategoriach logarytmicznego odchylenia produkcji od produkcji potencjalnej, a nie od stanu ustalonego w modelach nowokeynesowskich produkcj potencjaln deniuje si jako poziom produkcji, jaki obserwowaliby±my przy zadanych warto±ciach bie» cych wstrz sów, gdyby ceny byªy idealnie elastyczne nasz stan ustalony korzysta z wi kszej liczby zaªo»e«ni» tylko elastyczno± cen w krótkim okresie MZ 22 / 34

Model NK z polityk optymaln Równania modelu i problem decyzyjny banku centralnego Dla uproszczenia zapiszmy krzyw Phillipsa i krzyw IS jako: y t = E ty t+1 σ 1 (i t E tπ t+1 r) + σ 1 ( ɛ d t E tɛ d t+1 ) (21) π t = p 1π t 1 + p 2E tπ t+1 + p 3y t + p 4ɛ d t + p 5ɛ s t (22) B d to warunki ograniczaj ce w problemie decyzyjnym banku centralnego: min y t,π t,i t k=0 β k ( E t π 2 t+k + λy 2 ) t+k MZ 24 / 34

Model NK z polityk optymaln Równania modelu i problem decyzyjny banku centralnego Problem mo»emy rozwi za na dwa sposoby: zaªo»y,»e bank centralny rozwi zuje ten sam problem co okres, a podmioty gospodarcze racjonalnie oczekuj utrzymania tego post powania (commitment) zaªo»y,»e bank centralny rozwi zuje ten problem jednorazowo (discretion), a podmioty gospodarcze nie bior pod uwag tej reguªy i nie dyskontuj jej w swoich oczekiwaniach (brak wiarygodnego zobowi zania) MZ 25 / 34

Model NK z polityk optymaln Decyzja banku centralnego W przypadku commitment mamy: L = β k E t{ k=0 ( π 2 t+k + λy 2 t+k) [ +φ 1,t yt E ty t+1 + σ 1 (i t E tπ t+1 r) σ ( )] [ 1 ɛ d t E tɛ d t+1 +φ 2,t πt p 1π t 1 p 2E tπ t+1 p 3y t p 4ɛ d t p 5ɛt] s } L y t = 2λy t + φ 1,t β 1 φ 1,t 1 p 3φ 2,t = 0 (23) L π t = 2π t (βσ) 1 φ 1,t 1 + φ 2,t β 1 p 2φ 2,t 1 βp 1φ 2,t+1 = 0 (24) L i t = σ 1 φ 1,t = 0 (25) MZ 26 / 34

Model NK z polityk optymaln Decyzja banku centralnego interpretacja Mamy model z 5 równaniami: (21), (22), (23), (24), (25) oraz 5 zmiennymi: y t, π t, i t, φ 1,t, φ 2,t. Z równania 25 wiemy,»e φ 1,t = 0, co pozwala nam upro±ci równania (23)-(24) i zredukowa model do 4 zmiennych. W zredukowanym modelu równanie (21) mo»emy potraktowa jako wzór na i t, a sam model dalej zredukowa do 3 równa«: (22), uproszczonego (23) i uproszczonego (24) ze wzgl du na zmienne y t, π t, φ 2,t. Równanie (23) mo»emy przeksztaªci do wzoru na y t, a nast pnie podstawi do równania (22) oraz (24), otrzymuj c ostatecznie model dwurównaniowy: π t = p 1 π t 1 + p 2 E t π t+1 + (p 3 ) 2 (2λ) 1 φ 2,t + p 4 ɛ d t + p 5 ɛ s t 2π t + φ 2,t β 1 p 2 φ 2,t 1 βp 1 φ 2,t+1 = 0 MZ 27 / 34

Polityka optymalna w Dynare parameters sigma... r mu lambda optimal_policy_discount_factor; sigma = 0.5; phi = 1;... rho = 0; mu = 3; lambda =...; optimal_policy_discount_factor = beta; MZ 29 / 34

Z bloku model usuwamy wiersz: i =... oraz denicje parametrów reguªy Taylora, wstrz s monetarny i jego wariancj. Jako osobny blok, po specykacji równa«modelu, dodajemy: planner_objective pi^2 + lambda*y^2; Zamiast polecenia stoch_simul pojawia si : ramsey_policy; MZ 30 / 34

Mno»niki Lagrange'a w Dynare Zwró my uwag na pojawienie si zmiennych MULT_1 oraz MULT_2 w tabeli Policy and transition functions. To odpowiedniki φ 1,t oraz φ 2,t. MZ 31 / 34

Zadania Zadanie 1 Porównaj odpowiedzi poszczególnych zmiennych na wstrz s popytowy przy regule Taylora i przy polityce optymalnej. MZ 33 / 34

Zadania Zadanie 2 1 Porównajmy macierz oo_.dr.ghx (i odpowiednio ghu) z tabel Policy and transition functions dla pliki NK_optimum.mod. Czy wszystkie liczby z macierzy mo»na odnale¹ w tabeli? 2 Zanotuj zawarto± macierzy oo_.dr.ghx, a nast pnie wykonaj skrypt NK_optimum_replica.mod. Przeanalizuj ten skrypt przy u»yciu materiaªów do tych zaj. Jakie s ró»nice mi dzy modelem NK_optimum a NK_optimum_replica? 3 Czym s liczby, których nie udaªo nam si zidentykowa w punkcie 1? Odpowiedz na podstawie tabeli Policy and transition functions do modelu NK_optimum_replica.mod. MZ 34 / 34