Rozdziaª 2. Analiza spektralna

Transkrypt

1 Rozdziaª 2. Analiza spektralna MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI z R MPGzR (rozdz. 2) Analiza spektralna 1 / 18

2 Widmo szeregu czasowego W analizie spektralnej szereg {y t : t = 1, 2,..., T } postrzegany jest jako niesko«czona suma szeregów o ró»nych cz stotliwo±ciach ω, którym odpowiadaj okresy waha«τ = 2π ω. Podstawowym poj ciem w analizie spektralnej jest widmo okre±lane tak»e jako spektrum. MPGzR (rozdz. 2) Analiza spektralna 2 / 18

3 Widmo - intuicja Rozwa»my regresj (l. parametrów 2M + 1 równa liczbie obserwacji T ): y t = µ + M { αj cos(ω j t) + β j sin(ω j t) } + ϵ t j=1 gdzie ω j = j 2π T odpowiada cyklom o okresach τ j = 2π ω j = T j. Poniewa» zmienne sin(ω j t) oraz cos(ω j t): a. s wzajemnie ortogonalne b. maj warto± oczekiwan 0 (czyli E(y t) = µ) c. oraz wariancj 1 2 to wariancja zmiennej y t wynosi: σ 2 = 1 2 M j=1 { } α 2 j + βj 2 Czyli, mo»emy dokona dekompozycji σ 2 na M cz stotliwo±ci z przedziaªu [0, π], gdzie wpªyw waha«o cz stotliwo±ci ω j wynosi: σ 2 j = 1 2 (α2 j + β 2 j ) MPGzR (rozdz. 2) Analiza spektralna 3 / 18

4 Widmo - transformata Fouriera Widmo procesu Yt jest dane przez transformat Fouriera dla funkcji autokowariancji (γ j = Cov(Yt, Yt j)): f (ω) = 1 γ j e ijω 2π Uwzgl dniaj c: j= Symetrycznbo± autokowariancji: γ j = γ j Wzór de Eulera: e ix = cos x + i sin x Wzory: cos( x) = cos x i sin( x) = sin x powy»szy wzór mo»na przeksztaªci do: f (ω) = 1 γ γ j cos(jω) 2π j=1 Poniewa» f ( ω) = f (ω) oraz f (2π + ω) = f (ω) warto±ci widma podaje si dla ω [0, π]. MPGzR (rozdz. 2) Analiza spektralna 4 / 18

5 Widmo - odwrotna transformata Fouriera Dla widma f (ω) warto± autokowariancji jest dana przez odwrotn transformaty Fouriera: γ j = π Implikuje to,»e warto± wariancji dla Y t : f (ω) cos(jω)dω dla j = 0, ±1, ±2,... π γ 0 = 2 π 0 f (ω)dω. oraz wkªad waha«o cz stotliwo±ciach ω [ω 1, ω 2 ] do caªkowitej wariancji procesu Y t : ω2 2 f (ω)dω. ω 1 MPGzR (rozdz. 2) Analiza spektralna 5 / 18

6 Oszacowanie widma Dwie metody oszacowania widma na podstawie szeregu czasowego {y t : t = 1, 2,..., T }: 1. Oszacowanie modelu AR(P) postaci y t = ρ 1 y t ρ P y t P + ϵ t, ϵ t N(0, σ 2 ϵ ). oraz podstawienie oszacowa«parametrów do wzoru: ( f (ω) = σ2 ϵ 2π 1 Pp=1 (1 + ρ 2 p 2ρ p cos(pω)) ) 2. Wykorzystanie dyskretnej transformaty Fouriera (DFT): oraz obliczenie periodogramu jako: który mo»na przeksztaªci do: ˆf (ω s ) = 1 2π T 1 x s = y te 2πist/T t=0 ˆf (ω s ) = 1 T 2 x s 2. ˆγ T 1 j=1 ˆγ j cos(jω s ) MPGzR (rozdz. 2) Analiza spektralna 6 / 18

7 Wygªadzony periodogram Warto±ci periodogramu liczone jedynie dla poszczególnych warto±ci ω s, za± jego wykres charakteryzuje si du» zmienno±ci (utrudniony odczyt) Wygªadzenia uªatwia odczyt periodogramu Wygªadzona warto± periodogramu dla cz stotliwo±ci ω: f (ω) = h x= h ν(x)ˆf (ω + x), gdzie h okre±la szeroko± pasma przenoszenia (bandwidth), za± ν(x) jest funkcj okre±laj c tzw. okno spektralne (spectral window) przypisywane s siednim cz stotliwo±ciom, które speªniaj zale»no± h ν(x) = 1. x= h MPGzR (rozdz. 2) Analiza spektralna 7 / 18

8 Przykªad - kwartalne tempo PKB PKB kw/kw Periodogram lata czestotliwosc : 4 τ Wygladzony Periodogram Proces AR(4) czestotliwosc : 4 τ czestotliwosc : 4 τ MPGzR (rozdz. 2) Analiza spektralna 8 / 18

9 Filtry liniowe Filtr liniowy deniujemy jako: x t = ψ j y t j j= = ψ(l)y t Filtry, które eliminuj trend stochastyczny lub deterministyczny musz speªnia nast puj ce warunki: 1. Wagi sumuj si do zera: ψ(1) = j= ψ j = 0 2. Wagi s symetryczne: ψ j = ψ j MPGzR (rozdz. 2) Analiza spektralna 9 / 18

10 Filtry liniowe Filtrowi liniowemu x t = ψ(l)y t w dziedzinie cz stotliwo±ci odpowiada funkcja odpowiedzi cz stotliwo±ciowej (frequency response function): Ψ(ω) = która deniuje widmo dla zmiennej x t : j= ψ j e iωj, f x (ω) = Ψ(ω) 2 f y (ω) gdzie Ψ(ω) 2 jest funkcj transferow (transfer function), za± Ψ(ω) okre±lane jest jako wzmocnienie (gain). MPGzR (rozdz. 2) Analiza spektralna 10 / 18

11 Filtry liniowe - przykªad Zilustrujmy powy»sze rozwa»ania na przykªadzie ltru przyrostowego: x t = y t y t 1, dla którego ψ(l) = 1 L. Funkcja odpowiedzi cz stotliwo±ciowej wynosi: Ψ(ω) = 1 e iω = 1 cos(ω) + i sin(ω), za± funkcja transferowa przyjmuje posta : W rezultacie: Ψ(ω) 2 = 1 cos(ω) + i sin(ω) 2 = 2 2 cos(ω). f x (ω) = (2 2 cos(ω))f y (ω). Filtr przyrostowy uwypukla znaczenie waha«o wysokich cz stotliwo±ciach (gdy ω jest bliska π ) oraz pochªania wahania o niskich cz stotliwo±ciach (gdy ω jest 2 bliska 0). Ponadto, jest to ltr asymetryczny: powoduje przesuni cie fazowe widma dla x t wzgl dem widma dla y t MPGzR (rozdz. 2) Analiza spektralna 11 / 18

12 Idealny ltr pasmowo-przepustowy Zdeniujmy ltr pasmowo-przepustowy (band-pass) jako ltr liniowy, dla którego x t jest cz ±ci y t, zwi zana z wahaniami o cz stotliwo±ciach z przedziaªu ω [ω 1, ω 2 ]. Przykªadowo, je»eli dla kwartalnych danych x t jest cz ±ci y t o wahaniach z przedziaªu od 6 do 40 kwartaªów to ω 1 = π 20 oraz ω 2 = π 3. Dla niesko«czonej liczby obserwacji wagi idealnego ltru pasmowego (IF) wynosz : { sin(jω 2 ) sin(jω 1 ) dla j 0 πj ψ j = ω 2 ω 1 π dla j = 0. W praktyce dysponujemy sko«czon liczb obserwacji, a zatem musimy stosowa jedynie przybli»enia dla IF MPGzR (rozdz. 2) Analiza spektralna 12 / 18

13 Filtr Baxtera-Kinga Baxter i King (1999) zaproponowali estymator ltru idealnego dla sko«czonej liczby obserwacji: x t = n θ j y t j = θ(l)y t j= n gdzie n jest ustalane egzogenicznie (sugeroana warto± wynosi 3 lata). Warto±ci parametrów θ j oblicza si poprzez minimalizacj wyra»enia: 1 2π π Ψ(ω) Θ(ω) 2 dω π przy zaªo»eniu symetryczno±ci oraz warunku n j= n θ j = 0. Interpretacj powy»szego wyra»enia jest ±redni dystans mi dzy funkcj odpowiedzi cz stotliwo±ciowej idealnego ltru Ψ(ω) oraz ltru BK Θ(ω). Rozwi zaniem s wagi: θ j = ψ j 1 n ψ i 2n + 1 i= n gdzie ψ j s wagami ltru idealnego. MPGzR (rozdz. 2) Analiza spektralna 13 / 18

14 Filtr Christiano-Fitzgeralda Christiano i Fitzgerald (2003) zaproponowali asymetryczny ltr, który umo»liwia obliczenie wszystkich obserwacji dla przeltrowanej zmiennej postaci: x t = t 1 j=t T ϕ j,t y t j = ϕ t (L)y t dla t = 1, 2,..., T Warto±ci parametrów ϕ j,t oblicza si poprzez minimalizacj wyra»enia: 1 2π przy warunku t 1 j= (T t) ϕ j,t = 0. π Ψ(ω) Φ t(ω) 2 f y (ω)dω π W powy»szym wyra»eniu minimalizowana jest ±rednia wa»ona dystansu mi dzy funkcjami odpowiedzi cz stotliwo±ciowej idealnego ltru Ψ(ω) oraz ltru CF Φ t (ω), gdzie wagi te s dane przez widmo zmiennej y t. Dla procesu bª dzenia losowego wagi wynosz : 1 2 ψ 0 T t 1 i=0 ψ i dla j = t T ϕ j,t = ψ j dla j = t T + 1, t T + 2,..., t ψ 0 t 2 i=0 ψ i dla j = t 1, gdzie warto±ci ψ i s wagami ltru idealnego. Uwaga: CF sugeruj, aby przed przyst pieniem do ltracji usun trend deterministyczny. MPGzR (rozdz. 2) Analiza spektralna 14 / 18

15 Filtr Hodricka-Prescotta HP - najcz ±ciej stosowany ltr umo»liwiaj cy dekompozycj zmiennej y t na cz ± zwi zan z dªugookresowym trendem ȳ t oraz skªadnik cykliczny x t: y t = ȳ t + x t Dekompozycji dokonuje si poprzez minimalizacj wyra»enia: T [ (xt ) 2 + λ[(ȳ t+1 ȳ t ) (ȳ t ȳ t 1 )] 2] t=1 gdzie parametr λ okre±la relatywn wag dla wariancji x t oraz przyrostów ȳ t. Standardowa warto± dla danych kwartalnych wynosi λ = 1600, za± dla danych o innej cz stotliwo±ci: λ τ = (τ/4) Przykªadowo, dla danych miesi cznych (τ = 12): λ 12 = (3 4 ) 1600 = Dla danych rocznych: λ 1 = (1/4) = 6, 25. Funkcja odpowiedzi cz stotliwo±ciowe dla ltru HP dla skªadnika cyklicznego jest postaci: Γ(ω) = λ(1 eiω ) 2 (1 e iω ) λ(1 e iω ) 2 (1 e iω ) 2. Poniewa» Γ(0) = 0; Γ(ω) jest funkcj rosn c dla ω [0, π/2] oraz istnieje pewna warto± ω taka,»e dla ω [ω, π/2] warto± funkcji transferowej jest bliska jedno±ci. Z tego wzgl du ltr HP jest ltrem górno-przepustowym. MPGzR (rozdz. 2) Analiza spektralna 15 / 18

16 Przykªad - analiza skªadowych cyklicznych w Polsce Korelacje skladowych cyklicznych dla komponentow PKB Y C G I Y C G I Odchylenie standardowe skladowych cyklicznych Y C G I MPGzR (rozdz. 2) Analiza spektralna 16 / 18

17 Przykªad - analiza skªadowych cyklicznych w Polsce Autokorelacja skladowych cyklicznych k Y C G I MPGzR (rozdz. 2) Analiza spektralna 17 / 18

18 Przykªad - analiza skªadowych cyklicznych w Polsce Cykliczna czesc skladników PKB (filtr HP) Cykliczna czesc PKB (rozne filtry) Y C G I (prawa os) HP BK CF MPGzR (rozdz. 2) Analiza spektralna 18 / 18