Ekonometria. wiczenia 3 Autokorelacja, heteroskedastyczno±, wspóªliniowo± Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Transkrypt

1 Ekonometria wiczenia 3 Autokorelacja, heteroskedastyczno±, wspóªliniowo± (3) Ekonometria 1 / 29

2 Plan wicze«1 Wprowadzenie 2 Normalny rozkªad 3 Autokorelacja 4 Heteroskedastyczno± Test White'a Odporne bª dy standardowe 5 Wspóªliniowo± VIF Dodatkowe zadania (3) Ekonometria 2 / 29

3 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Normalny rozkªad 3 Autokorelacja 4 Heteroskedastyczno± 5 Wspóªliniowo± (3) Ekonometria 3 / 29

4 Problemy Autokorelacja (3) Ekonometria 4 / 29

5 Problemy Heteroskedastyczno± (3) Ekonometria 5 / 29

6 Problemy Macierz wariancji-kowariancji skªadnika losowego (N x N) Autokorelacja: macierz wariancji-kowariancji skªadnika losowego ma niezerowe elementy poza gªówn przek tn : var (ε 1 ) cov (ε 1, ε 2 ) cov (ε 1, ε N ) cov (ε 1, ε 2 ) var (ε 2 ) cov (ε 2, ε N )..... = cov (ε 1, ε N ) cov (ε 2, ε N ) var (ε N ) 1 ω 12 ω 1N σ 2 ω 12 1 ω 2N..... ω 1N ω 2N 1 Heteroskedastyczno± : macierz wariancji-kowariancji skªadnika losowego ma ró»ne elementy na gªównej przek tnej: var (ε1 ) cov (ε 1, ε 2 ) cov (ε 1, ε N ) (3) Ekonometria 6 / 29

7 Problemy Wspóªliniowo± (3) Ekonometria 7 / 29

8 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Normalny rozkªad 3 Autokorelacja 4 Heteroskedastyczno± 5 Wspóªliniowo± (3) Ekonometria 8 / 29

9 Test Jarque-Bera Zadanie 3a (model cen wina) 1 Czy rozkªad skªadnika losowego w modelu cen wina jest normalny? 2 Jaka byªaby konsekwencja braku normalnego rozkªadu? (3) Ekonometria 9 / 29

10 Test Jarque-Bera Rozkªad skªadnika losowego rozkªad normalny skªadnika losowego nie jest zaªo»eniem estymacji KMNK......ale opiera si na nim wi kszo± procedur testowych (t, F,...) zªamanie tego zaªo»enia niewiarygodne wyniki znanych nam testów! (3) Ekonometria 10 / 29

11 Gretl: Testy - Test normalno±ci rozkªadu reszt w oknie modelu. (3) Ekonometria 11 / 29 Test Jarque-Bera Test normalno±ci rozkªadu skªadnika losowego Test Jarque-Bera H 0 : skªadnik losowy ma rozkªad normalny H 1 : skªadnik losowy ma ] rozkªad inny ni» normalny JB = T 6 [S 2 + (K 3)2 4 Test oparty jest na wªasno±ciach rozkªadu normalnego: sko±no±ci (S = 0) i kurtozie (K = 3). Statystyka ma rozkªad χ 2 z 2 stopniami swobody Series: Residuals Sample Observations 22 Mean 2.42e-16 Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability

12 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Normalny rozkªad 3 Autokorelacja 4 Heteroskedastyczno± 5 Wspóªliniowo± (3) Ekonometria 12 / 29

13 Test Durbina-Watsona i mno»nika Lagrange'a Autokorelacja teoria (3) Ekonometria 13 / 29

14 Test Durbina-Watsona i mno»nika Lagrange'a Zadanie 2.3 (rozszerzone) Oszacuj model ekonometryczny, w którym wolumen skupionego mleka krowiego (skup) uzale»nia si od pogªowia krów (krowy) w tym samym okresie (zbiór dane_2_1.xls; zadanie 2.3 z podr cznika). Rozwa»amy dwa zbiory danych (i dwa modele): o cz stotliwo±ci rocznej i miesi cznej. Oce«jako± modeli pod k tem autokorelacji skªadnika losowego za pomoc testu Durbina-Watsona. Czy taka ocena jest adekwatna? Oce«jako± modeli pod k tem autokorelacji skªadnika losowego za pomoc testu mno»nika Lagrange'a. Jaki rz d opó¹nie«nale»aªoby wybra? (3) Ekonometria 14 / 29

15 Test Durbina-Watsona i mno»nika Lagrange'a Zadanie 3.8 (3) Ekonometria 15 / 29

16 Test Durbina-Watsona i mno»nika Lagrange'a Test Durbina-Watsona (1) Test Durbina-Watsona H 0 : skªadnik losowy nie wykazuje autokorelacji pierwszego rz du H 1 : skªadnik losowy wykazuje autokorelacj pierwszego rz du DW = T (ˆε t ˆε t 1 ) 2 t=2 T ˆε 2 t t=1 2 (1 ρ) (3) Ekonometria 16 / 29

17 Test Durbina-Watsona i mno»nika Lagrange'a Test Durbina-Watsona (2) Uwaga - ograniczenia testu! model z wyrazem wolnym bez opó¹nionej zmiennej obja±nianiej normalny rozkªad skªadnika losowego wykrywa maksymalnie autokorelacj rz du 1 posiada obszar niekonkluzywno±ci Gretl mo»emy post pi na dwa sposoby: 1 W oknie modelu wybieramy Testy test Durbina-Watsona (warto± p) 2 Warto± DW uzyskan wraz z oszacowaniami modelu porównujemy z warto±ciami krytycznymi uzyskanymi poprzez: Narz dzia Tablice statystyczne zakªadka DW (3) Ekonometria 17 / 29

18 Test Durbina-Watsona i mno»nika Lagrange'a Test mno»nika Lagrange'a Krok 1: podstawowe równanie regresji y t = x tβ + ε t ˆβ = ( X T X ) 1 X T y ˆεt = y t x t ˆβ Krok 2: pomocnicze równanie ˆε t = x tβ + β k+1ˆε t 1 + β k+2ˆε t β k+p ˆε t P Je»eli nie ma autokorelacji do rz du P wª cznie, to w pomocnicznym równaniu R 2 powinno by niskie. Test mno»nika Lagrange'a H 0 : nie ma autokorelacji do rz du P wª cznie H 1 : wyst puje autokorelacja rz du od 1 do P LM = TR 2 χ 2 (P) Uwaga! Test asymptotyczny (w krótkich próbach wnioskowanie mo»e by obarczone du»ym bª dem). Gretl: w oknie modelu Testy Testy autokorelacji (w oknie dialogowym wskazujemy P) (3) Ekonometria 18 / 29

19 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Normalny rozkªad 3 Autokorelacja 4 Heteroskedastyczno± 5 Wspóªliniowo± (3) Ekonometria 19 / 29

20 Test White'a Zadanie 3b (model cen wina) 1 Dokonaj oceny modelu cen wina pod k tem homoskedastyczno±ci za pomoc testu White'a. 2 W jakiej sytuacji mo»e by przydatna wersja testu White'a tylko kwadraty? Dlaczego? 3 Powtórz wnioskowanie nt. istotno±ci zmiennych (z poprzednich zaj ) z wykorzystaniem bª dów standardowych odpornych na heteroskedastyczno±. Gretl: w oknie modelu Testy - Test heteroskedastyczno±ci - Test White'a. (3) Ekonometria 20 / 29

21 Test White'a Test White'a Krok 1: podstawowe równanie regresji y t = x tβ + ε t ˆβ = ( X T X ) 1 X T y ˆε t = y t x t ˆβ Krok 2: pomocnicze równanie ˆε 2 t = x i,t x j,t β i,j + v t i,j Np. je»eli w modelu podstawowym jest staªa i 3 regresory x 1t, x 2t, x 3t, to model pomocniczy zawiera zmienne: staªa, x 1t, x 2t, x 3t, x 2 1t, x2 2t, x2 3t, x 1t x 2t, x 2t x 3t, x 1t x 3t. }{{} cross terms Je»eli nie ma heteroskedastyczno±ci, to w pomocnicznym równaniu R 2 powinno by niskie. Test White'a H 0 : nie ma heteroskedastyczno±ci H 1 : wyst puje heteroskedastyczno± W = TR 2 χ 2 (k ) k liczba zmiennych obja±niaj cych w regresji testowej (bez staªej) (3) Ekonometria 21 / 29

22 Odporne bª dy standardowe Co daj odporne bª dy (a czego nie daj )? wzór( na) macierz wariancji-kowariancji estymatora KMNK, Var ˆβ = ˆσ 2 ( X T ) 1 X, jest prawdziwy tylko pod warunkiem sferyczno±ci reszt przy autokorelacji i heteroskedastyczno±ci nieprawdziwy; w konsekwencji: ( ) ¹le oszacowane bª dy standardowe s ˆβ j z przek tnej macierzy ( ) Var ˆβ......¹le obliczona statystyka t = ˆβ i s( ˆβ... j)...i niepoprawne wnioski co do istotno±ci poszczególnych zmiennych ( ) odporne bª dy alternatywne metody oszacowania s ˆβ j UWAGA! Odporne bª dy standardowe nie zmieniaj wyników estymacji, wpªywaj jedynie na ocen precyzji szacunku parametrów i wnioski na temat istotno±ci zmiennych. (3) Ekonometria 22 / 29

23 Odporne bª dy standardowe Bª dy odporne na heteroskedastyczno± i autokorelacj Opcja Odporne bª dy standardowe (robust) w Gretlu w oknie specykacji modelu. odporne na heteroskedastyczno± (HC) w kilku wariantach por. White, 1980 odporne na autokorelacj i heteroskedastyczno± (HAC) zob. Newey i West, 1987 dost pne w przypadku interpretacji danych jako szeregów czasowych (3) Ekonometria 23 / 29

24 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Normalny rozkªad 3 Autokorelacja 4 Heteroskedastyczno± 5 Wspóªliniowo± (3) Ekonometria 24 / 29

25 VIF Zadanie 3c (model cen wina) 1 Czy w modelu cen wina mamy do czynienia ze zjawiskiem (przybli»onej) wspóªliniowo±ci? 2 Czy mo»na w tym modelu uwzgl dni równocze±nie dwie dodatkowe zmienne zerojedynkowe: 1 Przyjmuj c warto± 1 w latach 60. i 70.; 2 Przyjmuj c warto± 1 w latach 80. i 90.? (3) Ekonometria 25 / 29

26 VIF Poj cie wspóªliniowo±ci (3) Ekonometria 26 / 29

27 VIF Diagnostyka wspóªliniowo±ci 1 macierz korelacji zmiennych obja±niaj cych tylko bilateralne zwi zki niejasna warto± graniczna, powy»ej której problem nale»aªoby uzna za powa»ny 2 czynnik inacji (VIF) dla zmiennej obja±niaj cej j {1,..., k} VIF j = 1 1 R 2 j gdzie Rj 2 to wspóªczynnik determinacji R 2 z regresji pomocniczej, w której zmienna j obja±niana jest za pomoc pozostaªych zmiennych obja±niaj cych warto± graniczna: 10, powy»ej: wspóªliniowo± Gretl: Testy - ocena wspóªliniowo±ci w oknie modelu. (3) Ekonometria 27 / 29

28 Dodatkowe zadania Dodatkowe zadania zad. z podr cznika 2.9, 2.10, 3.2, 3.5, 3.6, 3.10, 3.11, 3.17, 3.19, 3.20 (3) Ekonometria 28 / 29

29 Dodatkowe zadania Zadanie E2 (3) Ekonometria 29 / 29