BIULETYN INSTYTUTU AUTOMATYKI I ROBOTYKI NR 18, 2003 Algoryt wyznaczania rotności diagnostycznej strutury opiniowania diagnostycznego typu PMC 1 Artur ARCIUCH Załad Systeów Koputerowych, Instytut Teleinforatyi i Autoatyi, Wojsowa Aadeia Techniczna, ul. Kalisiego 2, 00-908 Warszawa STRESZCZENIE: Krotnością diagnostyczną strutury opiniowania diagnostycznego nazyway asyalną liczbę niezdatnych węzłów tej strutury, dla tórej ożliwa jest identyfiacja wszystich dopuszczalnych stanów niezawodnościowych tej strutury. W artyule zaproponowano algoryt wyznaczania rotności diagnostycznej strutury opiniowania diagnostycznego wyorzystujący znane twierdzenie Aina i Haiiego dla strutur opiniowania diagnostycznego typu PMC. Doonano również oceny złożoności obliczeniowej zaproponowanego algorytu i porównania jej ze złożonością obliczeniową algorytu wyorzystującego wzorzec opinii diagnostycznych strutury diagnostycznej typu PMC. 1. Wprowadzenie Algoryty wyznaczania rotności diagnostycznej strutury diagnostycznej ają zastosowanie w systeach o podwyższonych wyaganiach niezawodnościowych. Podczas esploatacji, na sute powstawania i usuwania niezdatności, systey te ulegają proceso degradacji, regeneracji oraz reonfiguracji. Zaistniałe niezdatności, wyniające z uszodzeń linii transisyjnych poiędzy węzłai strutury lub z uszodzeń powstałych wewnątrz węzłów, powodują zianę strutury opiniowania diagnostycznego i ty say jej rotności diagnostycznej. Ta więc, rotność diagnostyczna jest wielością zienną, tórą należy oresowo ontrolować i przedsięwziąć odpowiednie czynności w przypadu ziany jej wartości. 1 Referat wygłoszony na V Krajowej Konferencji Diagnostya Techniczna Urządzeń i Systeów DIAG 2003, Ustroń 13-17.10.2003. Dru testu referatu za zgodą Koitetu Organizacyjnego onferencji. 57
A. Arciuch W dalszej części wprowadzenia podano oreślenia i twierdzenia wyorzystywane w przedstawionych algorytach. W części 2 zawarto algoryty wyznaczania rotności diagnostycznej, a w części 3 zaproponowano sposób wyznaczenia złożoności obliczeniowej algorytów. Niech dst = 0 oraz d st = 1 oznacza, że oputer es opiniuje oputer e t, (odpowiednio) jao zdatny oraz jao niezdatny, a n( e) oraz n0( e ) niech oznacza (odpowiednio) stan niezawodnościowy oraz stan zdatności oputera e. Dla odelu PMC wartość opinii d st oputera zdefiniowana następująco: oraz 0 dla ne ( t) = n0 ( et) [ ne ( s) = n0 ( es)] dst = 1 dla ne ( t) n0 ( et) s 0 s st es o oputerze e jest t (1 ) [ ne ( ) n( e)] [ d = x] ( x {0,1}) (1 ) Niech -wyiarowy ( = E) wetor binarny n, ( n= ( n1, n2,..., n )) oznacza tai stan niezawodnościowy zbioru E oputerów sieci oputerowej, że jeżeli n s = 0 (1 s ), to oputer e s jest zdatny oraz jeśli ns = 1, to oputer e s jest niezdatny, a N - zbiór wszystich ożliwych taich stanów niezawodnościowych. Dla ustalonego G ( G =< E, U > ) oraz oreślonego n ( n N) zgodnie z zależnością (1) po ustalony uporządowaniu ziennych d otrzyay oreślony podsześcian dn ( ), st U -wyiarowego hipersześcianu binarnego [1], natoiast po identyczny uporządowaniu opinii (wydanych przez wszystie oputery, tóre testują inne oputery), otrzyay U -wyiarowy wetor binarny d, nazywany opinią globalną oputerów sieci oputerowej. Zbiór { dn ( ) : n N },( N N), nazyway wzorce opinii diagnostycznych sieci dla zbioru stanów niezawodnościowych N. Porównanie opinii globalnej ze wzorce jest podstawą do wniosowania o stanie niezawodnościowy sieci oputerowej. Niech N,(1 E ) oznacza zbiór taich stanów niezawodnościowych sieci oputerowej, w tórych liczba niezdatnych oputerów nie jest więsza niż, a D( GN, ) zbiór opinii globalnych (oputerów sieci) ożliwych dla grafu (opiniowania diagnostycznego) G, w przypadu gdy stan niezawodnościowy sieci należy do zbioru N. 58 Biuletyn Instytutu Autoatyi i Robotyi, 18/2003
Algoryt wyznaczania rotności diagnostycznej Oznaczy Nd ( ) = { n N: d dn ( ) }. Oreślenie 1. Mówiy, że graf opiniowania diagnostycznego G, ( G =< E, U >, E > 3) jest grafe -diagnozowalny, jeżeli ażdy stan niezawodnościowy należący do zbioru N za poocą opinii globalnej, to jest jeżeli:, jest (jednoznacznie) identyfiowany d D( G, N ): N( d) = 1. (2) Własność 1. Graf opiniowania diagnostycznego G, ( G =< E, U > ) jest grafe -diagnozowalny, wtedy i tylo wtedy, gdy: n, n N < e, e > U :( d ( n ) x) s t st ( d ( n ) x) ( d ( n ) d ( n )), st st st ponieważ zależność (2) jest spełniona wtedy i tylo wtedy, gdy podsześciany zbioru { dn ( ) : n N } są (parai) rozłączne. Własność 2. Jeżeli graf G, jest grafe -diagnozowalny dla odelu PMC, to: E 2 + 1 i µ ( e), ( e E) gdzie µ ( e) oznacza stopień wewnętrzny węzła e. Własność 3. Jeżeli graf G jest grafe -diagnozowalny dla odelu PMC, to: ( ) ( 0 p 1 E E: E = E 2 + p): Γ E > p. (4) Własność 4.[4] Graf G ( E 2 + 1, ( e), e E) jest grafe -diagnozowalny dla odelu PMC wtedy i tylo wtedy, gdy spełnia zależność (4). Własność 5. Jeżeli graf G jest grafe -optyalny dla odelu PMC, to µ () e = ( e E) oraz U = E. Własność 6. Jeżeli graf opiniowania diagnostycznego G ( G =< E, U > ) jest grafe -diagnozowalny dla odelu PMC, to liczba węzłów wiszących w ty grafie nie jest więsza niż E 2 1, to jest: + + { µ + } µ (3) e E: ( e) = 0 E 2 1, (5) gdzie µ () e ( µ () e =Γ ( e) oznacza stopień zewnętrzny węzła e. Niech R( G) ( ri, j R( G) ) oznacza acierz przejść grafu G ( E 3,opisującego ) struturę opiniowania diagnostycznego (sieci oputerowej). Biuletyn Instytutu Autoatyi i Robotyi, 18/2003 59
A. Arciuch Oznaczy gdzie I { 1,..., E} =. { i j } ri, = j I : r, = 1 ( i I); (6) { i j } r i I r j I, j = :, = 1 ( ) (7) Oczywiście r = i, µ + ( ei) = Γ ( ei) (8) 1 r, j µ ( ej) = = Γ ( ej). (9) Ta więc [ E = { ei,1,..., ei, p},( 1 < p E )] [ ej Γ( E ) (10) (( j I \{ i1,..., ip}) ( i { i1,..., ip}: ri, j = 1))] oraz (analogicznie) 1 { j,1 j, q} ( ) j ( ) [ E = e,..., e, 1 < q E ] [ e Γ E (( i I \{ j,..., j }) ( j { j,..., j }: r = 1))]. 1 q 1 p i, j (11) 1 2 3 4 5 6 7 8, j i, 0 1 0 1 0 1 0 0 3 0 0 1 1 1 1 1 1 6 1 1 0 0 1 0 0 0 3 1 0 0 0 1 1 0 0 3 R ( G) = 0 1 1 0 0 0 0 1 3 1 0 0 1 0 0 1 1 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 3 r 3 3 3 3 4 3 3 3 r Rys. 1.Graf opiniowana diagnostycznego strutury diagnostycznej oraz acierz przejść opisująca ten graf Inaczej ówiąc, aby oreślić wartość Γ ( E ) należy wyreślić z acierzy R( G) oluny o nuerach odpowiadających indeso eleentów zbioru E i policzyć te oluny, tóre w wierszach o nuerach odpowiadających 60 Biuletyn Instytutu Autoatyi i Robotyi, 18/2003
Algoryt wyznaczania rotności diagnostycznej indeso eleentów zbioru E, ają co najniej jeden eleent o wartości jeden. Analogicznie, aby oreślić wartość Γ 1 ( E ) należy wyreślić z acierzy R( G) wiersze o nuerach odpowiadających indeso eleentów zbioru E i policzyć te wiersze, tóre w olunach o nuerach odpowiadających indeso eleentów zbioru E, ają co najniej jeden eleent o wartości jeden. Na rys. 1 przedstawiono graf opiniowania diagnostycznego wraz z opisującą go acierzą przejść R( G). 2. Algoryty wyznaczania rotności diagnostycznej strutury opiniowania diagnostycznego 2.1. Algoryt wyorzystujący twierdzenie Aina i Haiiego Zaproponowany algoryt wyorzystuje własności acierzy przejść R( G), za poocą tórej ożna opisać struturę diagnostyczną. Ze znanych warunów oniecznych (własności 2,6 po podstawieniu: = ( > 1) i p = 1) wiadoo, że rotność diagnostyczna dla danego grafu G usi spełnić poniższe ograniczenia: { 1 ( in E 1), in{ µ ( e) : e E}, 2 ( ) 1 + E 1 { e E: µ ( e) = 0 }. 2 Jeżeli wyznaczona w ten sposób wartość zależności (12) jest rotnością diagnostyczną, to spełnia ona waruni twierdzenia Aina i Haiiego (zależność 4), tóry po podstawieniu = ( > 1) i p = 1 opisuje zależność (13): ( E E: E = E 1): Γ ( E ) + 1>, (13) w przeciwny przypadu należy sprawdzać czy zależność (13) a iejsce dla = 1. W celu wyznaczenia wartości zależności (12) należy wyorzystać zależności (8) i (10). } (12) Biuletyn Instytutu Autoatyi i Robotyi, 18/2003 61
A. Arciuch 2.2. Algoryt wyorzystujący wzorzec opinii diagnostycznych strutury diagnostycznej typu PMC Algoryt oparty jest na porównaniu opinii globalnych dla poszczególnych stanów niezawodnościowych strutury diagnostycznej typu PMC ze wzorce. Jeżeli wyznaczona na podstawie zależności (12) wartość jest rotnością diagnostyczną strutury opiniowania diagnostycznego, spełnia ona warune wystarczający (3). Na tej podstawie należy wyznaczyć zbiór N ożliwych stanów niezawodnościowych strutury opiniowania diagnostycznego. Następnie dla ażdego stanu niezawodnościowego n ( n N ), (po uprzedni uporządowaniu ziennych d st ) należy oreślić (z acierzy przejść) odpowiadający u wzorzec opinii di ()( i N ), gdzie oznacza nuer danego stanu niezawodnościowego n. W ten sposób otrzyay zbiór E { di ( ): i N = }, ( N N), czyli wzorzec opinii diagnostycznych strutury opiniowania diagnostycznego dla zbioru stanów niezawodnościowych N. Ponuerujy eleenty zbioru N i utwórzy acierz, tórej wiersze zawierają wzorce opinii niezawodnościowy ze zbioru są parai rozłączne, czyli: dn ( ) Ω N U odpowiadające olejny stano dn ( ) w acierzy Ω N. Jeżeli wszystie opinie i, j {1,..., N },( i j) : d( i) d( j), to jest spełniona zależność (3) i liczba jest rotnością diagnostyczną sieci oputerowej. W przeciwny przypadu należy przeprowadzić obliczenia dla = 1, aż do oentu spełnienia zależności (3). Dla przyładu graf opiniowania diagnostycznego z rys. 1 nie a rotności diagnostycznej = 3, ponieważ z zależności (3) wynia, że istnieją stany niezawodnościowe n = (11010000) oraz n = (11000100), dla tórych dn ( ) i dn ( ) nie są rozłączne. Zależność (13) też nie jest spełniona, ponieważ dla podzbioru węzłów grafu { 3,5,7 } E =,8, Γ ( E ) + 1= 3. 3. Złożoność obliczeniowa algorytów Złożoność obliczeniowa oreślonego algorytu jest liczbą eleentarnych operacji potrzebnych do wyonania obliczeń za poocą tego algorytu. 62 Biuletyn Instytutu Autoatyi i Robotyi, 18/2003
Algoryt wyznaczania rotności diagnostycznej Niech stopień pełności π ( G) (0 π 1) grafu G ( E 3), opisującego struturę opiniowania diagnostycznego oznacza stosune liczby łuów grafu częściowego G do liczby łuów grafu pełnego G: < U > G 2 π ( G) =, ( U = E E ) (14) ax U ax Rozważy struturę opiniowania diagnostycznego przedstawioną na rys. 1. Złożoność obliczeniową algorytu wyorzystującego twierdzenie Aina i Haiiego ożna opisać zależnością: E + E 1 ( E 1) ( 1), (15) bowie liczba ożliwych obinacji podzbiorów E zbioru węzłów grafu E E wynosi:, a dla ażdej obinacji podzbioru E należy E 1 przeszuać ( E 1) wierszy acierzy R ( G), w ażdy wierszu należy doonać ( + 1) sprawdzeń. Złożoność obliczeniową algorytu wyorzystującego wzorzec opinii diagnostycznych ożna opisać zależnością: E i= 0 i U π ( G) ax, (16) 2 E ponieważ liczba ożliwych stanów niezawodnościowych N wynosi, i= 0 i E liczba par wzorców opinii di ( ) wynosi i= 0 i, a dla ażdej pary wzorców 2 opinii należy doonać < U > G ( < U > G = π ( G) U ) porównań ax odpowiednich opinii eleentarnych. Na przyład złożoność obliczeniowa algorytu wyorzystującego twierdzenie Aina i Haiiego dla strutury opiniowania diagnostycznego zobrazowanej na rys.1 wynosi 1120 operacji (potrzebnych do wyonania algorytu), podczas gdy złożoność obliczeniowa algorytu wyorzystującego wzorzec opinii diagnostycznych wynosi 106950 operacji. Biuletyn Instytutu Autoatyi i Robotyi, 18/2003 63
A. Arciuch 4. Podsuowanie Zaproponowany algoryt a zdecydowanie niejszą złożoność obliczeniową niż lasyczny algoryt wyorzystujący wzorzec opinii diagnostycznych. Autor zaipleentował algoryt w języu prograowania Visual C++. Cechą charaterystyczną tej ipleentacji jest ożliwość wprowadzania odyfiacji strutury opiniowania diagnostycznego, dzięi czeu ożliwe jest obserwowanie wpływu wprowadzonych odyfiacji strutury na wartość rotności diagnostycznej tej strutury. Rezultaty taich esperyentów ogą być wyorzystywane przy projetowaniu systeów o podwyższonej niezawodności w celu oreślenia fragentów strutury, w tórych należy doonać redundancji ta, aby ożliwe było przeprowadzenie procesu opiniowania diagnostycznego. Literatura [1] Kulesza R.: Podstawy diagnostyi sieci logicznych i oputerowych, Instytut Autoatyi i Robotyi WAT, Warszawa 2000. [2] Papadiitriou Ch. H.: Złożoność obliczeniowa, WNT, Warszawa 2002. [3] Preparata F.P., Metze G., Chien R. T.: On the Connection Assignent Proble of Diagnosable Systes, IEEE Trans. Coput. 6, 1967. [4] Haii S. L., Ain A.T.:Characterization of Connection Assignent of Dianosable Systes, IEEE Trans. On Coput. 1, 1974. Referat wygłoszony na V Krajowej Konferencji Diagnostya Techniczna Urządzeń i Systeów DIAG 2003, Ustroń 13 17.10.2003r Praca wpłynęła do redacji: 20.10.2003r. 64 Biuletyn Instytutu Autoatyi i Robotyi, 18/2003