OBLICZENIA W POMIARACH POŚREDNICH

Transkrypt

1 ROZDZAŁ 6 OBLCZENA W POMARACH POŚREDNCH Stefan ubisa Zachodniopoorsi niwersytet Technologiczny. Wstęp Poiar pośredni to tai w tóry wartość wielości ierzonej wielości wyjściowej ezurandu y oblicza się z pozysanych w różny sposób z poiaru z douentacji używanej aparatury z tablic fizycznych itp. wartości wielości wejściowych x x xn xn na podstawie znanej funcji poiaru: y f x x xn xn Wielościai wejściowyi ogą być: wsazania przyrządów poiarowych wielości reprezentowane przez wzorce poiarowe dane zaczerpnięte ze specyfiacji douentacji i podręczniów wielości pochodzące z innych poiarów tzw. stałe uniwersalne poprawi do wartości ww. wielości w ty poprawi ze względu na wielości wpływające itp. Obliczenia obejują estyatę ezurandu oraz jej niepewność. Spotya się różne sposoby tych obliczeń a wybór sposobu jest przediote dysusji zresztą nie jedyny. Dysutuje się też potrzebę rozróżniania iędzy sybolai wielości i sybolai wartości wielości. Ten rozdział zajuje się wartościai wielości i stosuje dla nich zaprezentowaną we wzorze sybolię tóra budzi ontrowersje bo raczej nie jest używana w innych publiacjach. Częściej spotyana sybolia typu x x x n x N a jedna wadę wyniającą stąd że wtedy gdy trzeba rozróżnić wynii wielu obserwacji danej wartości np. x powstaje łańcuch indesów dolnych np.: x x x 3. W przypadu sybolii proponowanej w ty rozdziale wady tej nie a ciąg obserwacji wartości np. x a postać: x x x 3. Dwuznaowe sybole typu x budzą jedna zastrzeżenia. Warto je poonać bo w prograowaniu oputerowy stosowanie syboli wieloznaowych jest częste i wygodne chociaż sutuje oniecznością używania znaów nożenia w wyrażeniach przedstawiających iloczyny aby rozróżnić iloczyn syboli jednoznaowych np a b c d od iloczynu syboli dwuznaowych np ab cd. W sybolu typu x czciona jest eleente nazwy ziennej a nie oznacza liczby i dlatego powinno się ją pisać czcioną pochyłą. Dalsze rozważania dotyczą taich poiarów pośrednich w tórych zaobserwowano wartości ażdej z wielości wejściowych x x xn xn. Obserwacje tworzą acierz o wierszach i N olunach poazaną jao obraowane części tablic i.

2 Część. Zagadnienia ogólne oceny niepewności poiaru Wynii obserwacji ożna opracować za poocą jednego z dwóch sposobów:. sposób pierwszy obliczanie olunai. sposób drugi obliczanie wierszai. Sposób pierwszy olunai polega na ty że najpierw oblicza się wartości średnie arytetyczne xn' wartości wejściowych xn n N : xn xn a następnie estyatę y' niepoprawioną! jao funcję tych wartości średnich: y f x x xn xn 3 Obliczanie poprawi do estyaty y' oówiono dalej. Tab.. Macierz obserwacji obraowana część tablicy i ilustracja pierwszego olunai sposobu obliczania estyaty y ezurandu Nr obs. x x xn xn. x x xn xn. x x xn xn. x x xn xn x' x' xn' xn' y' Przy sposobie drugi wierszai najpierw oblicza się wartości estyat cząstowych: y f x x... xn... xn... 4 a następnie estyatę y jao wartość średnią arytetyczną estyat cząstowych: y y 5 Pojawia się zate pytanie tóry sposób jest bardziej poprawny? Tab.. Macierz obserwacji obraowana część tablicy i ilustracja drugiego wierszai sposobu obliczania estyaty y ezurandu Nr obs. x x xn xn y. x x xn xn y. x x xn xn y. x x xn xn y y 7

3 7 Stefan ubisa. Przewodni a sposoby obliczania estyaty ezurandu. Porównanie stopnia złożoności obliczeń Zdanie etrologów w westii wyboru sposobu obliczania estaty ezurandu w poiarach pośrednich nie jest jednolite. Przewodni [] w podrozdziale 4.4 powiada: Estyatę wielości ierzonej oblicza się z funcji 3 dla estyat wejściowych. Oznacza to obliczanie etodą pierwszą czyli olunai bo wedle tablicy. estyatai wejściowyi są x' xn'. Jedna dalej w ty say podrozdziale Przewodni [] stwierdza że Obydwa sposoby uśredniania dają jednaowe wynii jeżeli f jest funcją liniową. Przewodni [] dotya oawianego probleu w ilu iejscach by na przyładzie obliczeniowy H. równoczesny poiar rezystancji i reatancji wyazać że oba sposoby dają pratycznie identyczne wynii. Taa ocena wyniu obliczeń w przyładzie H. jest rezultate słabo przeyślanego doboru danych w ty przyładzie w otoczeniu ąta fazowego φ rzędu rad funcje osinus i sinus występujące w funcjach poiaru są słabo nieliniowe. Dalej w ty rozdziale przedstawiono natoiast przyład poiaru ondutancji przy ącie φ podlegający losowy ziano woół wartości zerowej dla tórej funcja osinus a asiu jest więc silnie nieliniowa. Wtedy oawiane sposoby obliczania dają wynii istotnie różniące się. Dalej w H. Przewodni [] stwierdza że Jeśli f nie jest funcją liniową wynii uzysane sposobe pierwszy różnią się od wyniów uzysanych sposobe drugi. eneralnie wywody w H. nie są zbyt larowne ale gdy podejść do nich cierpliwie to oazuje się że w sytuacji gdy zaobserwowane wartości wielości wejściowych tworzą grupy pozysane jednocześnie czyli poiar pośredni jest jednoczesny to dogodniejszy do obliczeń jest sposób drugi wierszai. Rozważania co by było gdyby najpierw wyonano n 5 obserwacji napięcia następnie n 5 obserwacji prądu i wreszcie n 3 5 obserwacji ąta przesunięcia fazowego prowadzą Przewodni [] do onluzji że Jest to fatycznie nie najlepsza procedura poiarowa ale autor tego rozdziału jest przeonany iż żaden prawdziwy etrolog taiej procedury by nie zastosował. J. M. Jaworsi swoje poglądy przedstawia w []. Na str. 68 pisze: Jao estyatę wartości prawdziwej przyjuje się najczęściej wartość funcji średnich arytetycznych wartości wielości wejściowych czyli sposób pierwszy. Na str. 73: Estyatę wartości funcji ożna obliczać jao tu w innej sybolice wzory 4 i 5 i ta liczone wartości nie powinny się istotnie różnić w obszarze stosowalności prawa propagacji błędów. Wreszcie na str. 89: Estyatę wielości ierzonej oblicza się jao tu znów w innej sybolice wzory 4 i 5 przy czy forułę drugą stosuje się jeżeli cały poiar słada się z serii równoczesnych poiarów wielości powtarzanych w warunach powtarzalności. czyli sposób drugi. Zarówno [] ja i [] zauważają że w przypadu silnie nieliniowej funcji poiaru przy obliczaniu estyaty ezurandu sposobe pierwszy olunai należy uwzględnić drugie pochodne wielości wyjściowej po wielościach wejściowych. Oznacza to że do wartości estyaty y' wg 3 należy wprowadzić poprawę

4 Część. Zagadnienia ogólne oceny niepewności poiaru tóra sforułowana w zgodzie z [] wzór H.0 i [] ale zapisana w sybolice tego artyułu a postać: N N f py xi xj u xi xj 6 i j przy czy uxi xj wg Tablicy 4 w [] oznacza estyatę owariancji: u xi xj xi xi xj xj 7 Poprawioną estyatę y' wg 4 dalej oznacza się sybole yp': yp y py 8 Poprawa py jest zerowa gdy funcja poiaru jest liniowa. Złożoność obliczeń sposobe pierwszy olunai jest na ogół więsza niż sposobe drugi wierszai zwłaszcza przy dużej liczbie N wielości wejściowych. Wynia to głównie ze wzoru 6 tóry foralnie biorąc a [N N ]/ sładniów co już przy N 3 daje tych sładniów 6 a przy N 5 sładniów 5. Złożoność sposobu drugiego wierszai polega natoiast głównie na -rotny obliczaniu wg wzoru 4. Dalsze wywody poażą że w przypadu sposobu pierwszego olunai więsza jest też złożoność obliczeń niepewności standardowej typu A. Znaczna złożoność obliczeń zwięsza niebezpieczeństwo poyłe czyli błędów grubych. Ocena oawianych sposobów obliczeń z puntu widzenia złożoności obliczeniowej nie jest ta ważna ja ocena w aspecie wiarygodności obliczeń a więc w aspecie doładności poiaru pośredniego. Tej ostatniej trudno jest doonać w sposób ogólny. Dlatego dalsze wywody oparto o zalecany w [3] esperyent syulacyjny Monte Carlo dotyczący onretnego przypadu nieliniowej funcji poiaru. 3. Esperyent syulacyjny Monte Carlo. Poiar pośredni jednoczesny obliczenia estyaty ezurandu Poiar pośredni jednoczesny to tai w tóry w dowolny -ty wierszu tablicy lub wartości ziennych wejściowych x x xn xn pozysuje się jednocześnie w tej saej chwili. Oczywiście w realnych warunach owa chwila przedstawia sobą pewien interwał czasu jedna na tyle róti by ożna było założyć że w jego obrębie wartości wielości wejściowych są stałe. W poprzedni podrozdziale stwierdzono że dla poiaru pośredniego jednoczesnego zarówno [] ja i [] zalecają drugi sposób obliczeń wierszai ale czynią to w forie zawiłanej nie w pełni przeonującej. W iarę wiarygodnego rozstrzygnięcia oże dostarczyć esperyent syulacyjny oparty o trafnie dobrany przyład poiaru. Niech będzie ni poiar ondutancji dwójnia przy prądzie przeienny polegający na jednoczesny poiarze wartości sutecznej napię- 73

5 Stefan ubisa cia na dwójniu wartości sutecznej prądu w dwójniu i wartości φ przesunięcia fazowego iędzy prąde i napięcie. Funcja poiaru a zate postać: cos f f x x x3 9 Jest to zate funcja nieliniowa ze względu na wielości wejściowe oraz φ. Załada się że oczeiwaną wartością ondutancji jest E > 0 oczeiwaną wartością susceptancji EB 0 znaionową wartością napięcia E > 0. Założenie EB 0 powoduje że funcja 9 odznacza się szczególnie silną nieliniowością ze względu na φ przy EB 0 wartością oczeiwaną przesunięcia fazowego φ jest 0 zero i funcja cosφ a asiu. W ty esperyencie syulacyjny poija się wszelie efety systeatyczne wywołane niedoładnością przyrządów poiarowych i pobieranie energii przez ich obwody wejściowe. Załada się natoiast że efety losowe wywołują: rozrzut napięcia zasilającego uład poiarowy o rozładzie noralny z odchylenie standardowy σ rozrzut ondutancji o rozładzie noralny z odchylenie standardowy σ rozrzut susceptancji o rozładzie noralny z odchylenie standardowy σ B. Wybrany przyład poiaru nie jest całowicie oderwany od rzeczywistości. Sytuacja poiaru ondutancji z załócenie w postaci susceptancji o wartości losowo rozrzuconej woół 0 zera oże ieć na przyład iejsce gdy przediote poiaru jest ondutancja tłuiąca równoległy obwód rezonansowy LC rys. przy częstotliwości rezonansowej. 74 Rys.. Model obwodu rezonansowego LC dla ałych odchyleń częstotliwości od częstotliwości rezonansowej Flutuacje częstotliwości woół częstotliwości rezonansowej powodują że pojawia się różna od zera susceptancja o wartości opisanej wzore: L B» d f 0 C przy czy δ f jest względny odchylenie częstotliwości od częstotliwości rezonansowej wywołany np. flutuacjai częstotliwości źródła zasilającego uład poiarowy.

6 Część. Zagadnienia ogólne oceny niepewności poiaru Strutura procedury syulacji powinna naśladować struturę procedur poiaru zarówno procedury fizycznej ja i obliczeniowej. Wynia stąd następujący przebieg syulacji Monte Carlo zrealizowanej za poocą apliacji Mathcad 4. Syuluje się M np. M 0 5 poiarów pośrednich jednoczesnych o nuerach M. ażdy poiar słada się z np. 5 obserwacji o nuerach. Za poocą generatora liczb pseudolosowych o rozładzie noralny generuje się niezależne acierze o roziarze M onduntancji o eleentach ; M o wartości oczeiwanej E i odchyleniu standardowy σ co naśladuje losową zienność wartości ierzonej susceptancji o eleentach B o wartości oczeiwanej EB 0 i odchyleniu standardowy σ B co naśladuje losową zienność załócenia wywołanego wsponianyi wyżej flutuacjai częstotliwości wartości napięcia zasilającego uład poiarowy o eleentach o wartości oczeiwanej E i odchyleniu standardowy σ co naśladuje losową zienność wartości sutecznej napięcia zasilającego uład poiarowy. Oblicza się acierz wartości prądu o eleentach ; M: B Wartości prądu są więc sorelowane z wartościai napięcia ondutancji i susceptancji. Oblicza się acierz wartości przesunięcia fazowego o eleentach φ : B arctg Przesunięcie fazowe jest więc sorelowane z wartościai ondutancji i susceptancji. Obliczenia opisane wzorai i odelują zjawisa fizyczne decydujące o wartościach prądu i przesunięcia fazowego. Macierze o eleentach i φ tratuje się jao wynii -tej obserwacji w -ty poiarze pośredni jednoczesny złożony z obserwacji. Sposobe pierwszy olunai niepoprawioną estyatę ondutancji w -ty syulowany poiarze zgodnie z i 3 oblicza się ze wzorów: cos 3 Poprawę w sposób ogólny wyrażają wzory 6 i 7 a poprawioną estyatę 8. Wzory 6 i 8 w dany onretny przypadu patrz 9 przyjują forę: x 3 3 f p u i j xi xj x3 xi xj przy czy x ; p p 4 75

7 76 Stefan ubisa Znacznie prostsze jest obliczanie sposobe drugi wierszai. Sprowadza się ono do wyorzystania wzorów: ; cos 5 Wynii syulacji w odniesieniu do estyat przedstawiono w olunie tablicy 3 gdzie podano wartości średnie arytetyczne estyat z M syulowanych poiarów o obserwacjach. 4. Esperyent syulacyjny Monte Carlo. Poiar pośredni jednoczesny obliczenia odchylenia epirycznego Rozważania oparto tutaj o przyład poiaru przyjętego za podstawę esperyentu syulacyjnego. ta w -ty poiarze odchylenie epiryczne estyaty ' obliczanej sposobe pierwszy olunai wyraża się wzore: u u u s s s s 6 zawierający pochodne cząstowe estyaty ' wartości wyjściowej po estyatach ' ' i φ' wartości wejściowych odchylenia epiryczne wartości wejściowych: lub lub przy czy x x x x s 7 oraz epiryczne estyaty owariancji 8: u u u 8 W przeciwieństwie do ta złożonej procedury obliczania odchylenia epirycznego estyaty ' obliczanej sposobe pierwszy olunai obliczanie odchylenia epirycznego estyaty " obliczanej sposobe drugi wierszai sprowadza się do wyorzystania wzoru: s 9

8 Część. Zagadnienia ogólne oceny niepewności poiaru Wynii syulacji w odniesieniu do odchyleń epirycznych przedstawiono w olunie 3 tablicy 3 gdzie podano wartości średniowadratowe odchyleń epirycznych z M syulowanych poiarów o obserwacjach. Zgodnie z oncepcjai Przewodnia [] obliczone odchylenia epiryczne identyfiuje się z niepewnościai standardowyi typu A. 5. Esperyent syulacyjny Monte Carlo. Poiar pośredni jednoczesny obliczenia prawdopodobieństwa Przy przyjęty w esperyencie założeniu o poinięciu efetów systeatycznych wywołanych niedoładnością przyrządów poiarowych niepewnością rozszerzoną -tego poiaru jest iloczyn współczynnia rozszerzenia przez niepewność standardową typu A czyli przez odchylenie epiryczne s. Współczynniie rozszerzenia jest natoiast wantyl rozładu t-studenta z liczbą stopni swobody ν przy założony pozioie ufności p czyli t p ν. Ta więc niepewnością -tego poiaru jest: Nr wiersza t ν s przy czy p lub 0 p Tab. 3. Wynii esperyentu MC. Poiar pośredni jednoczesny. Wartości stałe: M 0 5 σ 03 % E σ B 0 % E Sposób obliczeń Estyata w %E wartość średnia arytetyczna z M poiarów. 5 σ 03 % E Odch. epiryczne w %E wartość średniowadratowa z M poiarów Prawdopodobieństwo epiryczne P e w % dla poziou ufności p 95 %. Pierwszy olunai Drugi wierszai σ 03 % E 5. Pierwszy olunai Drugi wierszai σ 0 % E 8. Pierwszy olunai Drugi wierszai σ 0 % E. Pierwszy olunai Drugi wierszai Ponieważ w esperyencie syulacyjny znana jest wartość oczeiwana E wartość prawdziwa! ierzonej wielości więc dla M syulowanych poiarów ożna obliczyć prawdopodobieństwo epiryczne P e tego że E ieści się w przedziale ufności: 77

9 Stefan ubisa e { [ ]} M gdy E [ ] P E M 0 gdy przeciwnie Wynii obliczeń prawdopodobieństwa P e przedstawiono w olunie 4 tablicy Poiar pośredni jednoczesny dysusja wyniów esperyentu syulacyjnego Wynii esperyentu syulacyjnego zaprezentowane w tablicy 3 jednoznacznie wsazują drugi sposób obliczeń wierszai jao ten tóry w poiarze pośredni jednoczesny prowadzi do poprawnych wartości: estyaty ezurandu ol. tablicy 3 wartość średnia arytetyczna estyat z M 0 5 syulowanych poiarów jest pratycznie biorąc równa założonej wartości oczeiwanej E czyli wartości prawdziwej odchylenia epirycznego estyaty ezurandu ol. 3 tablicy 3 wartość średniowadratowa odchylenia epirycznego z M 0 5 syulowanych poiarów jest pratycznie biorąc równa wartości teoretycznej równej σ tzn. 034 %. E dla 5 i 003 %. E dla 00 prawdopodobieństwa tego że wartość E ieści się w przedziale niepewności rozszerzonej ol. 4 tablicy 3 prawdopodobieństwo epiryczne P e jest pratycznie biorąc równe założoneu pozioowi ufności. O przewadze drugiego sposobu obliczeń wierszai nad pierwszy olunai świadczą też wynii testu zgodności histograu epirycznej ziennej t-studenta z wyrese tej ziennej dla tej saej liczby stopni swobody poazane w [4] i na rys.. Rys.. Histogray gęstości prawdopodobieństwa gt epirycznej ziennej t-studenta na tle wyresu statystyi Studenta dla liczby stopni swobody 4 i dla estyat obliczonych: a sposobe pierwszy olunai b sposobe drugi wierszai dla 5 σ 03 % E σ B 0 % E oraz σ 03 % E 7. Poiar pośredni niejednoczesny esperyent syulacyjny W tou dysusji na onferencjach nauowych na tórych autor prezentował przedstawianą tu probleatyę pojawiło się pytanie ja ształtują się wynii obliczeń oawianyi dwoa sposobai gdy poiar pośredni jest niejednoczesny. Odpowiedzi dostarcza znowu esperyent syulacyjny zrealizowany za poocą apliacji Mathcad 4. Esperyent ten różni się od opisanego w podrozdz. 3 78

10 Część. Zagadnienia ogólne oceny niepewności poiaru esperyentu syulującego poiar pośredni jednoczesny ty że acierz wartości prądu o eleentach oblicza się ze wzoru: B zaiast ze wzoru tzn. wartość prądu o nuerze uzależnia się od wartości napięcia o nuerze. Wartości prądu nie są więc sorelowane z wartościai napięcia. Podobnie acierz wartości przesunięcia fazowego o eleentach φ oblicza się ze wzoru: B arctg 3 dzięi czeu przesunięcie fazowe nie jest sorelowane z wartościai ondutancji i susceptancji. Nie są zate ze sobą sorelowane wartości i φ. Tu uwaga: Wiarygodność syulacji Monte Carlo zasadza się na założeniu że generowane liczby pseudolosowe ają nie tylo zadany rozład prawdopodobieństwa ale też że olejne ich realizacje są od siebie statystycznie niezależne. Według wiedzy autora generatory liczb pseudolosowych apliacji Mathcad 4 te waruni w wysoi stopniu spełniają. Wynii esperyentu syulacyjnego dotyczące poiaru pośredniego niejednoczesnego zestawiono w tablicy 4. Wsazują one na niewielą przewagę sposobu Nr wiersza Tab. 4. Wynii esperyentu MC. Poiar pośredni niejednoczesny. Wartości stałe: M 0 5 σ 03 % E σ B 0 % E Sposób obliczeń Estyata w %E wartość średnia arytetyczna z M poiarów Odch. epiryczne w %E wartość średniowadratowa z M poiarów Prawdopodobieństwo epiryczne P e w % dla poziou ufności p 95 %. 5 σ 03 % E. Pierwszy olunai Drugi wierszai σ 03 % E 5. Pierwszy olunai Drugi wierszai σ 0 % E 8. Pierwszy olunai Drugi wierszai σ 0 % E. Pierwszy olunai Drugi wierszai

11 Stefan ubisa pierwszego olunai szczególnie przy dużej wartości σ 0 % E losowego rozrzutu napięcia zasilającego uład poiarowy zwłaszcza przy dużej liczbie 00 obserwacji wiersz tablicy 4. Ostatni wniose słonił do rozszerzenia badań na jeszcze więsze liczby obserwacji: 500 i 000. Ze względu na ograniczone zasoby paięci jaii dysponuje apliacja Mathcad 4 przy tworzeniu acierzy liczbę syulowanych poiarów należało ograniczyć do M 0 4. Wynii zestawiono w tablicy 5. Nr wiersza Tab. 5. Wynii esperyentu MC. Poiar pośredni niejednoczesny o dużej liczbie obserwacji. Wartości stałe: M 0 4 σ 03 % E σ B 0 % E σ 0 % E Sposób obliczeń Estyata w %E wartość średnia arytetyczna z M poiarów. 500 Odch. epiryczne w %E wartość średniowadratowa z M poiarów Prawdopodobieństwo epiryczne P e w % dla poziou ufności p 95 %. Pierwszy olunai Drugi wierszai Pierwszy olunai Drugi wierszai Potwierdzają one wcześniejszy wniose że przewaga sposobu pierwszego olunai objawia się pratycznie biorąc tylo przy dużej liczbie obserwacji. Wyonywanie liczby obserwacji więszej niż iladziesiąt nie jest na ogół realne. Pratycznie jest ożliwe wtedy gdy poiary są autoatycznie powtarzane ze znaczną częstotliwością. Taa ożliwość występuje w szczególnych przypadach ale wtedy zachodzi obawa sorelowania olejnych wyniów i tzw. efetywna liczba obserwacji zniejsza się patrz rozdział autorstwa A. Zięby. 8. Podsuowanie i wniosi nspirację dla podjęcia przedstawionej probleatyi stanowiła wiedza pozysana od etrologów starszej daty tórzy nie dysponując ta potężny narzędzie jai jest syulacja za poocą oputera na podstawie swojego doświadczenia i intuicji wsazywali że poiar pośredni powinien być jednoczesny i opracowywany wierszai. Wśród nich autor pragnie wyienić swoich Nauczycieli: zastępcę profesora gra inż. Zygunta Parysiego i prof. Artura Metala. Wynii zaprezentowanych esperyentów syulacyjnych ożna wypuntować następująco: Poiar pośredni jednoczesny w przedstawionych esperyentach syulacyjnych wyazał bezwzględną wyższość nad poiare pośredni niejednocze- 80

12 Część. Zagadnienia ogólne oceny niepewności poiaru sny zwłaszcza wtedy gdy obliczenia wyonuje się sposobe drugi wierszai. Na tę wyższość wsazują wiersze i tablicy 3 z tórych wynia że taie połączenie sposobu poiaru i obliczeń prowadzi do poprawnych w sensie statystyczny wartości estyaty ezurandu i wartości niepewności standardowej typu A ja to szczegółowo oówiono w podrozdziale 6. Z zestawień wartości średniowadratowych odchyleń epirycznych wg tablicy 3 oluna 3 a ianowicie wiersza 3 z wiersze w. 6 z w. 5 w. 9 z w. 8 i w. z w. wynia że w esperyencie syulacyjny przy obliczaniu wierszai otrzyano o. 5-rotnie niejsze wartości średniowadratowe odchylenia epirycznego niż przy obliczaniu olunai. onluzja: poiar pośredni jednoczesny jest doładny w sensie statystyczny gdy obliczenia wyonuje się sposobe drugi wierszai. Ta doładność w sensie statystyczny nie oznacza jedna że w ażdy onretny poiarze wartości estyaty ezurandu i odchylenia standardowego są doładne bo estyaty ezurandu podlegają statystyce Studenta a wadraty odchyleń epirycznych rozładowi gaa. 3 Drugi sposób obliczeń wierszai wydaje się w niewieli stopniu niej poprawny przy poiarze pośredni niejednoczesny ale a istotną przewagę nad sposobe pierwszy olunai zwłaszcza przy dużej liczbie ziennych wejściowych: posługuje się znacznie prostszyi wyrażeniai ateatycznyi np. 5 zaiast 3 i 4 oraz 9 zaiast 6 7 i 8. Nie wyaga też analizy orelacji iędzy ziennyi wejściowyi. W efecie jest niej podatny na oyłi w obliczeniach niej podatny na błędy grube. 4 Pierwszy sposób obliczeń olunai wyazuje pod względe doładności w sensie statystyczny niezbyt wielą przewagę nad sposobe drugi wierszai przy poiarze pośredni niejednoczesny wiersze 8 i tablicy 4 zwłaszcza przy dużej raczej nierealnej w pratyce liczbie obserwacji wiersz tablicy 4 i wiersze i 5 tablicy 5. 5 Poiar pośredni jednoczesny jest znacznie doładniejszy od poiaru pośredniego niejednoczesnego. Wartości średniowadratowe odchyleń epirycznych w olunie 3 tablicy 3 są ila a nawet iladziesiąt razy niejsze od odpowiednich wartości w ol. 3 tablicy 4. Należy jedna też rozróżniać oawiane sposoby obliczeń w aspecie definicji ezurandu: sposób pierwszy olunai daje wartość wyjściową funcję wartości średnich wielości wejściowych sposób drugi wierszai daje wartość średnią funcji. Mogą to być definicje różnych wielości. Np. w przypadu poiaru ocy poprzez poiar napięcia prądu i przesunięcia fazowego w pierwszy przypadu jest to oc wartości średnich a w drugi oc średnia. Są to różne oce a ażda z nich oże ieć sens w inny onretny zagadnieniu poiarowy. Ta więc trudno jest sforułować jeden uniwersalny i jedynie słuszny algoryt obliczeń. ażde zadanie poiarowe wyaga wniliwej analizy i tworzenia algorytu obliczeń adewatnego do fizyo-technicznego sensu ierzonej wielości. 8

13 Stefan ubisa Należy zauważyć że przedstawione algoryty obliczeniowe posługują się wartością średnią arytetyczną jao estyatore wartości oczeiwanej. Jest to w pełni poprawne gdy zienna losowa a rozład noralny. Tyczase zienna losowa tóra jest nieliniową funcją innych ziennych losowych nie a rozładu noralnego nawet wtedy gdy te inne zienne losowe ają rozłady noralne. Ponadto należy ieć na uwadze że poiar pośredni niejednoczesny ożna tratować jao złożenie niezależnych poiarów wielości wejściowych. Taie podejście wydaje się bardziej ogólne. To jedna wyracza poza zares tego rozdziału. 9. Podzięowania Treści tego rozdziału ształtowały się iędzy innyi w dysusjach podczas onferencji etrologicznych. Dlatego też autor pragnie podzięować szczególnie atywny dysutanto a zwłaszcza Pani prof. Annie Doańsiej z Politechnii Poznańsiej i Pano prof. prof. Tadeuszowi Subisowi z Politechnii Śląsiej i Michałowi Lisowsieu z Politechnii Wrocławsiej za zainteresowanie się prezentowanyi tu zagadnieniai i istotny wład w treści przedstawione w ty rozdziale. Szczególne podzięowanie należy się prof. A. Doańsiej tóra wyonała żudną pracę wyszuania w [] i [] istotnych fragentów odnoszących się do poiarów pośrednich. Znaczący wład w udosonalenie rozdziału pod względe terinologiczny a Pan dr Paweł Fotowicz z łównego rzędu Miar. Autor pragnie wyienić też Pana Macieja Leśniaa studenta Wydziału Eletrycznego ZT tóry zainteresował się zagadnienie podczas wyładu i zwrócił uwagę na to że przy liczbie obserwacji dążącej do niesończoności wartości średnie wielości wejściowych przy niezbędnych założeniach dążą do wartości prawdziwych. Zainspirowało to autora do realizacji esperyentu syulacyjnego przy dużej liczbie obserwacji. Literatura [] Wyrażanie niepewności poiaru. Przewodni tłu. Jaworsi J. M. łówny rząd Miar 999. [] J. M. Jaworsi: Niedoładność błąd niepewność dodate do []. [3] uide to the Expression of ncertainty in Measureent. Suppleent. Nuerical Methods for the Propagation of Distributions Joint Coittee for uides in Metrology 004. [4] S. ubisa: Porząde procedur w poiarze laboratoryjny. Metoda Monte Carlo. Metrologia dziś i jutro pod red. J. Jaubca Z. Moronia i H. Juniewicza Oficyna Wydawnicza Politechnii Wrocławsiej 00 s