XXXIII Konferencja Statystyka Matematyczna

Transkrypt

1 XXXIII Konferencja Statystyka Matematyczna MODEL AUTOPSJI KOHERENTNEGO SYSTEMU Karol J. ANDRZEJCZAK Politechnika Poznańska

2 PROGRAM REFERATU. WPROWADZENIE A. Dychotomiczny system koherentny B. Model autopsji 2. KLUCZOWE PYTANIA 3. RYS HISTORYCZNY 4. CEL REFERATU 5. OZNACZENIA I DEFINICJE 6. WŁASNOŚCI 7. ZAKOŃCZENIE Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 2

3 . WPROWADZENIE A. Dychotomiczny system koherentny (dychotomic coherent system). <C, ϕ> gdzie C ={e, e 2,, e n } oznacza zbiór n elementów systemu, ϕ oznacza koherentną strukturę niezawodnościową. x j oznacza stan elementu e j. Dychotomiczność oznacza, że x j =,, gdy element gdy element e e j j jest zdatny, jest niezdatny, j =,,n System jest również dwu stanowy i jego stan x s zależy wyłącznie od stanów jego elementów i struktury niezawodnościowej ϕ. Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 3

4 Stan systemu x s = ϕ(x,, x n ), Struktura niezawodnościowa ϕ jest funkcją boolowską postaci ϕ: {, } n {, } Koherentność oznacza, że struktura systemu jest monotoniczna i nieredukowalna. Rozważania dotyczą klasy systemów koherentnych, tj klasy wykluczającej systemy z elementami pasywnymi. Klasyczny problem niezawodności Wyznaczenie rozkładu czasu zdatności systemu, o danej struktury niezawodnościowej ϕ, na podstawie znanych rozkładów czasów zdatności jego elementów. Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 4

5 B. Model autopsji (the autopsy model). T i oznacza czas zdatności elementu e i, i =,,n T oznacza czas zdatności systemu. Założenia modelu: czasy zdatności T,,T n są a) niezależnymi zm. l., b) absolutnie ciągłymi zm. l., c) nie obserwowanymi zm. l. Czas T zdatności systemu jest obserwowany. W chwili utraty zdatności systemu rejestrowany jest zbiór elementów niezdatnych. Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 5

6 Problem autopsji Polega na rozpoznaniu rozkładów czasów zdatności elementów systemu na podstawie obserwacji czasu T zdatności systemu i zbioru A elementów niezdatnych. Rozwiązanie metodami statystycznymi Polega na estymacja nieznanych czasów zdatności poszczególnych elementów systemu na podstawie statystycznego modelu, w którym m replik systemu poddanych jest obserwacji, aż do ich utraty zdatności. Dane statystyczne Składają się z czasów zdatności badanego systemu oraz ze zbiorów niezdatnych elementów, tj. ciągu par (T, A ),,(T n, A n ) Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 6

7 Element e i nazywamy bezpośrednią przyczyną utraty zdatności systemu, jeżeli system traci zdatność w chwili utraty zdatności przez ten element. Model autopsji systemu koherentnego Każdy model służący do rozwiązania przedstawionego problemu autopsji przy podanych założeniach lub ich modyfikacjach. Zbiory A,,A n są niepustymi podzbiorami zbioru elementów C. Jeżeli zawierają one tylko po jednym elemencie, to znane są bezpośrednie przyczyny utraty zdatności systemu. W szczególnym przypadku, dla systemu o strukturze szeregowej, zbiory A,,A n będą wyłącznie jednoelementowe. Dla takich systemów są mocno rozwinięte modele zwane modelami rywalizujących przyczyn (competing risks models). Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 7

8 2. KLUCZOWE PYTANIA Czy w ogóle, bądź w jakich przypadkach, mogą być estymowane rozkłady czasów zdatności elementów? Pytanie to jest blisko związane z pytaniem: Czy rozkłady czasów zdatności elementów można odtworzyć z wiedzy o prawdziwych rozkładach statystyk autopsji systemu? Jeżeli dla systemu <C, ϕ> odpowiedź jest pozytywna, to mówimy, że rozkłady elementów są identyfikowalne (identifiable). System <C, ϕ> nazywamy wówczas systemem identyfikowalnym (the identifiable system). Pytanie o identyfikowalność nie jest banalne, gdyż okazuje się, że nie każdy system jest identyfikowalny. Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 8

9 Przykład. (System nie identyfikowalny) Dwuelementowy system o strukturze równoległej. Niech F i F 2 oznaczają dystrybuanty czasów zdatności T i T 2 tych elementów. Gdy zaobserwujemy niezdatność systemu, to obydwa elementy będą zawsze niezdatne. Obserwowany czas T zdatności systemu jest związany z czasami T i T 2 zależnością T = max{t, T 2 }. Model autopsji pozwala estymować czas zdatności systemu, którego dystrybuanta F, w przypadku niezależnie pracujących elementów związana jest z dystrybuantami F i F 2 zależnością F = F F 2. Niestety nie możliwe jest wyznaczenie dystrybuant brzegowych F i F 2 na podstawie dystrybuanty F. Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 9

10 3. RYS HISTORYCZNY 98 Meilijson podał warunek konieczny nałożony na strukturę systemu, aby rozkłady elementów systemu były identyfikowalne, przy założeniu ciągłości i niezależności czasów zdatności elementów i tym samym nośniku. 99 Nowik podał warunek konieczny i wystarczający identyfikowalności czasów zdatności elementów, przy bardziej restrykcyjnym założeniu, że rozkłady elementów są absolutnie ciągłe. 993 Antoine, Doss i Hollander podali warunek wystarczający dla struktury systemu, aby był identyfikowalny poprzez skupienie uwagi na klasie rzeczywistych funkcji analitycznych (gładkiej klasie funkcji rozkładów), tj. bez atomów. Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl

11 Literatura:. Antoine, R., Doss, H., Hollander, M. (993) On identifiability in the autopsy model of reliability theory. J. Appl. Prob. 3, Doss, H., Freitag, S. and Proschan, F. (989) Estimating jointly system and component reliabilities using a mutual censorship approach. Ann. Statist. 7, Meilijson, I. (98) Estimation of the lifetime distribution of the parts from the autopsy statistics of the machine. J. Appl. Prob. 8, Nowik, S. (99) Identifiability problems in coherent systems, J. Appl. Prob. 28, Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl

12 4. CEL REFERATU Koherentny binarny system poddany jest obserwacji, aż do jego utraty zdatności. W chwili utraty zdatności przez system rejestrowany jest zbiór niezdatnych elementów oraz czas zdatności systemu. Czasy zdatności elementów nie są obserwowalne i są nieznane. Celem referatu jest przedstawienie możliwości wyznaczenia rozkładu czasów zdatności elementów na podstawie rozkładu obserwowanych danych. Cel ten jest osiągnięty poprzez podanie warunku koniecznego i wystarczającego identyfikowalności czasów zdatności elementów. Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 2

13 5. OZNACZENIA I DEFINICJE Dany jest system <C, ϕ>. F i F j, j =,,n oznaczają dystrybuanty czasów zdatności systemu i elementów. I <C, ϕ> oznacza losowy zbiór tych elementów systemu <C, ϕ>, które są niezdatne w chwili utraty zdatności systemu. Definicja. Podzbiór A zbioru elementów C nazywamy cięciem, jeżeli spełniona jest formuła ( (e j A), (x j = )) ϕ(x,, x n ) = Podzbiór A nazywamy minimalnym cięciem, jeżeli jest on cięciem i żaden właściwy jego podzbiór nie jest cięciem. Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 3

14 Przykład 2. Rozważamy system przedstawiony schematycznie na rys. 2 3 Zbiory {}, {, 2}, {, 3}, {2, 3} i oczywiście {, 2, 3} są wszystkimi cięciami. Minimalnymi cięciami są {} i {2, 3}. Przy założeniu, że nie możliwa jest utrata zdatności jednocześnie przez kilka elementów, cięcie {, 2, 3} nigdy nie będzie zaobserwowane, ponieważ system utraci zdatność, jak tylko cięcie {} lub {2, 3} utraci zdatność. Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 4

15 Spostrzeżenie to prowadzi do wyróżnienia zbiorów elementów, których niezdatność można zaobserwować w momencie utraty zdatności przez system. Zbiory te nazywamy zbiorami fatalnymi (a fatal set). Niech (x,, x n ) oznacza zaobserwowany wektor stanów elementów w chwili utraty zdatności przez system. Definicja 2. Podzbiór B zbioru elementów C nazywamy fatalnym zbiorem elementów, jeżeli spełniona jest formuła (x,, x n ), (ϕ( B, C B ) = ) Zbiór fatalny nazywamy minimalnym zbiorem fatalnym, jeżeli nie zawiera on żadnego właściwego podzbioru fatalnego. W przykładzie 2 zbiór {, 2} jest fatalny, ale nie jest minimalnym zbiorem fatalnym. Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 5

16 6. WŁASNOŚCI Założenie. Nie możliwa jest utrata zdatności jednocześnie przez kilka elementów systemu. Własność. Niech B C. Zbiór elementów B jest fatalny wtedy i tylko wtedy gdy Pr(I = B)>. Własność 2. Jeżeli B jest zbiorem fatalnym, to jest cięciem. Własność 3. Nie każde cięcie jest zbiorem fatalnym. Własność 4. Jeżeli zbiór B nie jest cięciem, to nie jest zbiorem fatalnym. Własność 5. Zbiór elementów B C jest minimalnym zbiorem fatalnym B jest minimalnym cięciem. Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 6

17 W przykładowym systemie jeżeli (x, x 2, x 3 ) = (,, ), tj. jeżeli zaobserwowany jest zbiór fatalny {}, to jest on przyczyną utraty zdatności systemu. Podobnie, jeżeli zaobserwowany jest zbiór fatalny {, 2}, to też element pierwszy jest przyczyną niezdatności systemu. Niestety w przypadku zaobserwowania zbioru fatalnego {2, 3} nie jesteśmy w stanie rozstrzygnąć, który element uszkodził się jako drugi i stał się bezpośrednią przyczyną uszkodzenia systemu. Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 7

18 Niech W oznacza rodzinę fatalnych zbiorów elementów systemu <C, ϕ>, tj. W = {B C: Pr(I = B) > } Definicja 3. Niech B będzie fatalnym zbiorem systemu <C, ϕ>. Podzbiór D zbioru B nazywamy jego krytycznym podzbiorem, jeżeli elementy podzbioru D mogą być niezdatne w chwili utraty zdatności systemu i stąd mogą być przyczyną utraty zdatności systemu. Definicja 4. Niech E będzie podzbiorem zbioru elementów systemu <C, ϕ>. Wektorem incydencji v zbioru E nazywamy wektor zerojedynkowy v(e), którego składowe są określone wzorem: v j =,, gdy gdy e e j j E E Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 8

19 Jeżeli struktura niezawodnościowa systemu <C, ϕ> jest znana, to można utworzyć kolekcje następujących zbiorów: minimalnych fatalnych zbiorów M = {M,, M q }, fatalnych zbiorów B = {B,, B l }, krytycznych zbiorów D = {D,, D l }. Definicja 5. Macierzą incydencji fatalnej systemu <C, ϕ> nazywamy l n macierz B, której elementy są określone wzorem: b ij =,, gdy gdy Analogicznie dla systemu <C, ϕ> definiujemy macierze incydencji: minimalną fatalną M, krytyczną D. e e j j B B Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 9 i i

20 Karol J. Andrzejczak, PP, 2 Przykład 2 c.d. Krytycznymi zbiorami odpowiadającymi zbiorom fatalnym {}, {, 2}, {, 3} i {2, 3} są odpowiednio zbiory {}, {}, {} i {2, 3}. Stąd macierze: minimalna fatalna = M, fatalna = B, krytyczna = D Minimalna macierz incydencji fatalnej jest wystarczająca do jednoznacznego odtworzenia struktury niezawodnościowej systemu.

21 Przykład 2 cd. Identyfikacja rozkładów elementów. Niech T będzie czasem zdatności systemu, a I <C, ϕ> losowym zbiorem fatalnym. Niech G i (t) = Pr(I <C, ϕ> = D i, T t) Przypuśćmy, że rozkłady zdatności elementów są absolutnie ciągłe. Niech g i oznacza gęstość dla dystrybuanty G i, f j gęstość czasu zdatności j-tego elementu. Zbiory fatalne {} i {, 2} mają ten sam zbiór krytyczny {}. Z fatalnego zbioru {} otrzymujemy a z fatalnego zbioru {, 2} g (t) = f (t) ( F 2 (t)) ( F 3 (t)), g 2 (t) = f (t) F 2 (t) ( F 3 (t)), Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 2

22 Karol J. Andrzejczak, PP, 22 Dzieląc g 2 (t) przez g (t) otrzymujemy ) ( ) ( ) ( ) ( t F t F t g t g = Stąd można wyznaczyć dystrybuantę F 2. ) ( ) ( ) ( ) ( t g t g t g t F + = Podobnie można wyznaczyć dystrybuantę F 3. ) ( ) ( ) ( ) ( t g t g t g t F + = gdzie g 3 (t) = f (t) ( F 2 (t)) F 3 (t), Metoda jest skuteczna ponieważ zbiory fatalne {} i {, 2} mają ten sam krytyczny zbiór {} i różnią się tylko jednym elementem {2}.

23 7. ZAKOŃCZENIE Wracamy do pytania: Jaki warunek należy nałożyć na strukturę niezawodnościową, aby system był identyfikowalny, w klasie absolutnie ciągłych rozkładów czasów zdatności elementów? Odpowiedź wymaga zdefiniowania specyficznych zbiorów elementów i macierzy. Definicja 6. Element e nazywamy elementem specyficznym systemu, jeżeli istnieje zbiór fatalny B o własnościach: (i) e B i B = B \ {e} jest zbiorem fatalnym, (ii) B i B mają te same krytyczne zbiory. Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 23

24 Niech E będzie zbiorem elementów specyficznych systemu <C, ϕ> oraz J = C \ E. Macierz B J definiujemy jako podmacierz macierzy krytycznej B utworzoną z kolumn odpowiadających elementom zbioru J. Rozkłady czasów zdatności elementów zbioru E można wyznaczyć stosując technikę użytą w przykładzie. Stąd system <C, ϕ> jest identyfikowalny, jeżeli rozkłady czasów zdatności elementów ze zbioru J mogą być wyznaczone. Jest to możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy B incydencji fatalnej jest równy liczbie elementów systemu. Jest to równoważne temu, że nie istnieją elementy e i i e j oraz rozłączny moduł M równolegle połączone. Karol J. Andrzejczak, PP, kandrzej@math.put.poznan.pl 24

25 PYTANIA? Karol J. Andrzejczak, PP, 25