LINIOWE ELEMENTY SKOŃCZONE O ZMIENNEJ SZTYWNOŚCI W MODELOWANIU PODŁOŻA GRUNTOWEGO POD BUDYNKIEM

Transkrypt

1 LINIOW LMNTY SKOŃCZON O ZMINNJ SZTYWNOŚCI W MODLOWANIU PODŁOŻA GRUNTOWGO POD BUDYNKIM Tadeusz CHYŻY, Monia MACKIWICZ Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowisa, Politechnia Białostoca, ul. Wiejsa 45 A, 5-5 Białysto Streszczenie: Jedny z najprostszych sposobów oputerowego odelowania podłoża gruntowego jest zastosowanie etody Winlera, gdzie podłoże gruntowe odwzorowuje się jednowyiarowyi sprężynai o odpowiednio dobranych paraetrach sztywnościowych. W uzasadnionych przypadach etodę Winlera ożna zastosować do odelowania gruntów uwarstwionych. W ty przypadu najprostszy odwzorowanie jest zespół sprężyn połączonych szeregowo, gdzie ażda z nich opisuje onretną warstwę. W wyniu odpowiedniego suowania sztywności sładowych uzysuje się ostatecznie sztywność zastępczą. W artyule autorzy proponują inny sposób wyznaczania sztywności zastępczej z bezpośredni użycie echanizów (algorytów) Metody leentów Sończonych. Pojedynczy liniowy eleent sończony (odelujący sprężynę w MS) dzieli się na podobszary, tóre ogą być oddzielnie całowane, a zate w ażdy podobszarze ożna zadać inne paraetry sztywnościowe (oduł) i geoetryczne (iąższość) odpowiadające danej warstwie gruntu. Słowa luczowe: MS, łaane funcje ształtu, podłoże gruntowe, odel Winlera.. Wprowadzenie Prawidłowe obliczeniowe odwzorowanie onstrucji budowlanych na oddziaływania zewnętrzne w uzasadnionych przypadach wyaga zaodelowania paraetrów podłoża gruntowego, głównie jego podatności. Ziany wytężenia jednego z podobszarów odelu (na przyład budynu) ają wpływ na odpowiedź drugiego podobszaru (na przyład gruntu), i na odwrót. Taie wzajene oddziaływanie różnych podobszarów odelu obliczeniowego nazywane jest interacją. fet interacji jest ty bardziej zauważalny i bardziej złożone pod względe geoetryczny i ateriałowy są podobszary współpracującego agregatu: budyne-podłoże gruntowe. Złożoność ośroda gruntowego to głównie jego przewarstwienia, czy też ziany właściwości echanicznych gruntu w obszarze ontatu z budowlą. Istnieje wiele etod uożliwiających uwzględnienie wpływu podatności podłoża na pracę budynu. Obecnie coraz bardziej popularne są etody oputerowe wyorzystujące Metodę leentów Sończonych (MS), czy też Metodę leentów Brzegowych (MB). Szczególnie MS (Zieniewicz i in., 5) jest obecnie najbardziej użyteczną etodą ze względu na łatwość definiowania odelu, ja i dostępność ierunowego oprograowania (w ty również na licencji open source ). Łatwość definiowania odelu podłoża w MS uożliwiło opracowanie wielu etod od najprostszych jednowyiarowych do złożonych odeli trójwyiarowych D. W artyule zaprezentowano oncepcję zastosowania odelu jednowyiarowego do odelowania w MS uwarstwionego podłoża gruntowego. Model oże być łatwo ipleentowany w istniejących systeach obliczeniowych.. Koncepcja rozwiązania Wyorzystano odel interacji poiędzy budowlą a grunte, polegający na zastosowaniu jednowyiarowych sprężyn (odel gruntu) o charaterystyce odpowiadającej odelowi Winlera dla podłoża uwarstwionego. Istota proponowanego rozwiązania polega na zastosowaniu specjalnych eleentów sończonych liniowych (sprężyny), tóre uożliwiają zaodelowanie pojedynczy eleente całego profilu uwarstwionego. Koncepcję zilustrowano na rysunu. Przy odelowaniu pojedynczy eleente sończony uwarstwionego podłoża gruntowego pojawia się proble odwzorowania poszczególnych warstw. Proble rozwiązano poprzez zastosowanie specjalnej Autor odpowiedzialny za orespondencję. -ail: t_chyzy@interia.pl 7

2 Civil and nvironental ngineering / Budownictwo i Inżynieria Środowisa 4 () 7- a) b) c) Fundaent Grunt Pd I D =, Pd I D =,5 Ps I D =,7 g g g Rys.. Koncepcja etody: a) podłoże uwarstwione, b) sprężyny odelujące podłoże warstwowe według hipotezy Winlera, c) pojedyncza sprężyna odelująca podłoże uwarstwione według proponowanej oncepcji sprężyny o soowo ziennej sztywności w obszarze aprosyowanego pola odształceń, z ożliwością ontroli zian sztywnościowych i geoetrycznych. Budowa ta zdefiniowanego eleentu sończonego wyaga całowania w podprzestrzeniach. Koncepcja eleentów całowanych w podprzestrzeniach polega na podziale eleentu na n części podobszarów (rys. ) i suowaniu częściowych acierzy sztywności z ażdego podobszaru, co wyraża się wzore: Ke = K + K + K +... = g g g = K e g g n Ke = ( ξ) + Ke ( ξ) + Ke ( ξ) +... = Macierz sztywności podobszaru eleentu liniowego e (sprężyny) jest wyznaczana z równania: K e = Be De Be dv () V T gdzie: B e jest acierzą odształceń podobszaru, D e jest acierzą ateriałową podobszaru, a g jest głęboością spodu warstwy (rys ). Po wyonaniu podstawień otrzyano ostateczną postać acierzy sztywności podobszaru : () K e b = b A = b L A L A dξ = ( ξ ξ ) b ( ξ ξ ) ξ ξ A L A ( ξ ) b ( ξ ξ ) ξ L L gdzie b = ξ ξ Zastosowanie powyżej zdefiniowanego eleentu sończonego, jao suy acierzy sztywności poszczególnych podobszarów, przy założeniu liniowego rozładu pola odształceń (rozwiązanie standardowe rys. a) prowadzi do błędnych rozwiązań, co zostało zilustrowane na rysunu, przytoczony z pracy (Maciewicz, ). Jest to związane z efete przesztywnienia eleentu sończonego powodowany niedopasowanie zian pola odształceń do zian rozładu sztywności wewnątrz tego eleentu. Aby wyeliinować efet przesztywnienia zastosowano łaane funcje ształtu (rys. b). W efecie doprowadziło to do uzysania prawidłowych wyniów, co zostało zilustrowane na rysunu. () a) pojedynczy eleent sończony odwzorowanie sztywności liniowe odwzorowanie funcji ształtu b) pojedynczy eleent sończony odwzorowanie sztywności łaane funcje ształtu wg proponowanej etody ξ ξ i+ - i+ ξ ξ i - i Rys.. Podział eleentu sończonego na podprzestrzenie 8

3 Tadeusz CHYŻY, Monia MACKIWICZ Istotą tego rozwiązania są foruły uożliwiające wyznaczenie paraetrów i, czyli rzędnych funcji ształtu. Pełne rozwiązanie zagadnienia podano w pracy (Chyży i in.,996). Adaptacja foruł do potrzeb analizy podłoża uwarstwionego a postać: i =, i = n, i =, =,,.., n i = = i (4) gdzie: jest sztywnością wypadową całego zespołu sprężyn, i jest sztywnością wypadową części uładu sprężyn do puntu, w tóry obliczana jest wartość i, jest sztywnością -tej warstwy gruntu (podobszaru), a n jest liczbą warstw. Kolejny zagadnienie związany z odelowanie podłoża warstwowego poprzez sprężysty eleent liniowy jest odpowiednie ustalenie sztywności warstwy (jao sprężyny). Jedny z rozwiązań jest zastosowanie hipotezy Winlera, według tórej osiadanie podłoża sprężystego s jest proporcjonalne do działającego obciążenia q: q = s (5) z Wartość współczynnia podatności z dla gruntu jednorodnego do głęboości ożna wyznaczyć według wzoru (Wiłun, 5): z = (6) ω B ( ν ) Natoiast w przypadu podłoża uwarstwionego współczynni z jest suą współczynniów podatności poszczególnych warstw gruntu z i. Dla pojedynczej warstwy i współczynni ten wyznacza się z wyrażenia: i i = z, i i B i = ωi ω ( ν ) gdzie: q jest obciążenie, jest odułe odształcenia gruntu, B jest szeroością obciążonego obszaru, ν jest współczynniie bocznej rozszerzalności gruntu, a ω (ω i ) jest współczynniie wpływu, zależny od ształtu obciążonego obszaru (fundaentu) dobierany według odpowiednich tablic i noograów (Wiłun, 5).. Przyład obliczeniowy. W przyładzie obliczeniowy porównano wartości osiadań w przypadu podłoża uwarstwionego. Przyjęto płytę żelbetową o wyiarach,5,,, spoczywającą na sprężysty podłożu i obciążoną ciężare własny. Analizowany odel oraz jego paraetry obliczeniowe poazano na rysunu 4. Obliczenia wyonano w trzech wariantach: wariant I według hipotezy Winlera i wzorów podanych przez Wiłuna (5), przytoczonych forułai (5) (6) (7); (7) 8, 7, 68, 68, 6, 5, 4,,,,, A =A = c - stałe A = c A = 9 c Rozwiązanie doładne Liniowe funcje ształtu Łaane funcje ształtu,,,,,,,74,69,74,69,74,6667,4 A = 5 c,6667,4,6667 8,,857 A = c 8,,857 8,,985 A = c 68,,985,74,6667 8, 68, Rys.. Wynii analizy porównawczej 9

4 Civil and nvironental ngineering / Budownictwo i Inżynieria Środowisa 4 () 7- q ciężar q - ciężar własny własny płyty żelbetowej płyty żelbetowej (5 N/ ) (5 N/ ) t=c h=c h=c h=5c Piase drobny, ID=, Piase drobny, ID=,5 =Pa =5Pa Piase średni, ID=,7 =Pa L=,5 B=, q = 5 N/ ciężar własny żelbetu, ν =, współczynni bocznej rozszerzalności gruntu, =,5 =,5 współczynni wpływu dla pierwszej warstwy, =,5,5 =,55 współczynni wpływu dla drugiej warstwy, =,5,5 =,8 współczynni wpływu dla trzeciej warstwy. Współczynnii wpływu według (Wiłun, 5). Rys. 4. Paraetry odelu obliczeniowego wariant II z zastosowanie warstwowych sprężystych eleentów sończonych całowanych w podprzestrzeniach, czyli eleentów sończonych prezentowanych w artyule i zaipleentowanych w autorsi systeie analizy onstrucji ORCAN (rys. 5b); wariant III ontrolnie z zastosowanie płasiego (dwuwyiarowego) odelu MS, ja na rysunu 5a. Dla eleentów płasich odelujących podłoże gruntowe zastosowano transforację odułu cele odwzorowania podatności podłoża ja w hipotezie Winlera: h i i = i (8) i gdzie: i jest odułe odształcenia dla poszczególnych warstw gruntu, h i jest grubością (iąższością) poszczególnych warstw, a ω i jest współczynniie wpływu, zależny od ształtu obciążonego obszaru (fundaentu) dobierany według odpowiednich tablic i noograów (Wiłun, 5). W wyniu obliczeń otrzyano następujące wartości osiadania płyty żelbetowej (rys. 5): a) PŁYTA ŻLBTOWA b) PŁYTA ŻLBTOWA h h h Rys. 5. Model obliczeniowy: a) dwuwyiarowy odel MS dysretyzacja, b) prezentowana oncepcja Wariant I hipoteza Winlera ( ν ) ( 5N, ) 5,, (, ) 5 == =, 75 q B s = Pa ( ν ) ( 5N,),55, (, ) 5 == =,45 q B s = 5 Pa ( ν ) ( 5 N,),8, (, ) 5 == =,78 q B s = Pa Osiadanie: s = s + s + s = 4,45 5 Wariant II liniowe eleenty sprężyste całowane w podprzestrzeniach (prezentowana etoda) Pa ( ) ( ) ( ) N N s = A =,5 = 978,,5 = 989, B,5, ν

5 Tadeusz CHYŻY, Monia MACKIWICZ 5Pa ( ) ( ) ( ) N N s = A =,5 = 978,,5 = 774, B,55, ν Pa ( ) ( ) ( ) N N s = A =,5 = 978,,5 = 44, 66 B,8, ν Sztywność wypadowa: N s = = = 5664, N N N s s s 989, 774, 44,66 Osiadanie: s = 4,5 5 Wariant III odel MS z zastosowanie eleentów płasich dwuwyiarowych pierwsza warstwa: h, = = Pa = 6 Pa,5 druga warstwa: h, = = 5 Pa = 96774, 9 Pa,55 trzecia warstwa: h,5 = = Pa = 5Pa,8 Osiadanie: s = 4, Podsuowanie W wyniu zastosowania prezentowanej etody uzysano wystarczająco doładne wynii obliczeń przy dużych zianach sztywności poszczególnych warstw gruntu pod budynie. Jednocześnie zapewniono inialną liczbę niewiadoych. Bez względu na uwarstwienie podłoża liczba niewiadoych jest ta saa (eleenty sprężyste D ają dwa węzły a w nich stopnie swobody). Prezentowana etoda stanowi specyficzne zastosowanie znanych rozwiązań hipotezy Winlera. Dodatowy oczeiwany atute prezentowanego rozwiązania jest wyeliinowanie osztownych obliczeniowo algorytów rearanżacji siati podziału MS, tóre ogłyby zaistnieć w przypadu gwałtownych zian paraetrów podłoża. Wyorzystanie etody przewiduje się przede wszysti w analizie porytycznej onstrucji doznającej dużych zian sztywności, rozwijanej w pracy Chyżego (9). Prezentowana oncepcja oże być jedna ja najbardziej stosowana w stacjonarnych rozwiązaniach soowych zian sztywności, co zaprezentowano w referacie. Literatura Chyży T. (9). Metoda Analizy Budynów Mieszalnych Obciążonych Nadciśnienie w Strefie Wewnętrznego Wybuchu Gazu. Oficyna Wydawnicza Politechnii Białostociej, Białysto. Chyży T., Kazberu A., Tribiłło R. (996). Zastosowanie sao adaptujących się funcji ształtu w nieliniowej analizie obszarów płasich i asywnych. Zeszyty Nauowe Politechnii Białostociej, z.5, Białysto, Maciewicz M. (). Koncepcja liniowych eleentów sończonych do analizy onstrucji o dużych zianach geoetryczno-sztywnościowych. W: Badania doświadczalne i teoretyczne w budownictwie: prace nauowe dotorantów, J. Bzówa (red.), Wydawnictwo Politechnii Śląsiej, Gliwice, 7-8. Wiłun Z. (5). Zarys Geotechnii. Wydawnictwa Kouniacji i Łączności, Warszawa. Zieniewicz O. C., Taylor R. L., Zhu J. Z. (5). The Finite leent Method: its Basis and Fundaentals. lsevier, Butterworth-Heineann, Asterda.

6 Civil and nvironental ngineering / Budownictwo i Inżynieria Środowisa 4 () 7- LINAR FINIT LMNTS WITH VARIABL STIFFNSS IN MODLLING OF SUBSOIL UNDR TH BUILDING Abstract: One of the ethods of coputational subsoil odelling is the Winler odel, where the subsoil is considered as one-diensional springs with appropriate stiffness paraeters. In justified cases, the Winler ethod can be used in odelling of ultilayered subsoil. In this case, subsoil is considered as a set of springs connected in series, where each spring describes a particular layer. ventually resultant stiffness is achieved as a result of the relevant suation of stiffness coponents. Different idea of the resultant stiffness deterination with the direct use of Finite leent Method algoriths is proposed in the paper. Presented ethod is based on a conception where a single linear finite eleent, which describes spring in FM, is divided into sub-areas. ach subarea can be separately integrated and the sae can have different stiffness and geoetric paraeters corresponding to the layer of subsoil.